Espaços desconexos e conexos

Espaços desconexos e conexos

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Introducao a analise Aula 2 — terca-feira, dia 8 de fevereiro 2011

2.1. Espacos desconexos.

Definicao 2.1.1. Um subconjunto A dum conjunto X e dito proprio se ∅ 6= A 6= X.

Definicao 2.1.2. Dizemos que um espaco metrico X e desconexo se existe um subconjunto proprio A de X que e aberto e fechado ao mesmo tempo.

Definicao 2.1.3. Dizemos que os dois sub-conjuntos A e B dum conjunto X sao complementares (em X), ou que eles formam uma particao binaria de X, se A e B sao desjuntos, e cobrem X: A∪B = X.

Proposicao 2.1.4. Seja X um espaco metrico. As condicoes seguintes sao equivalentes:

(1) X e desconexo, isso e, existe uma particao de X em duas partes abertas nao vazias e disjuntas: X = U ∪ V .

(2) existe uma particao de X em duas partes fechadas nao vazias e disjuntas: X = F ∪G. (3) existe uma parte propria U de X (isso e, U 6= X, U 6= ∅) tal que U e ao mesmo tempo aberto e fechado.

Demonstracao. (1) ⇒ (2): se U e V sao como em (1), definiremos F = Uc e G = V c. As partes F e G sao fechadas, disjuntas e cobrem X:

(2) ⇒ (3): se F e G sao como em (2), entao o conjunto (dizemos) F e, ao mesmo tempo, aberto e fechado, nao vazio e evidemente F 6= X por que Fc = G 6= ∅.

(3) ⇒ (1): suponhamos que U ⊆ X e proprio, aberto e fechado. Entao V = Uc e nao vazio, aberto, disjunto de U, e X = U ∪ Uc .

As duas partes sao abertas em X, nao vazias e certamente complementares. 1

Exemplo 2.1.6. O conjunto Z, como um sub-espaco metrico da reta R munida da sua distancia usual, e desconexo. Por exemplo, cada ponto n ∈ Z e isolado (B1(n) = {n}), logo os conjuntos U = {0}, V = Z\{0}, formam uma particao de Z em duas partes abertas e nao vazias.

Exemplo 2.1.7. De forma mais geral, se um espaco metrico X qualquer de cardinalidade ≥ 2 contem um ponto isolado, x, entao X e desconexo. A particao correspondente de X e dada por U = {x}, V = X \ {x}. Particularmente, o espaco metrico αN e disconexo, qual fato e testemunhado pela particao seguinte:

Exemplo 2.1.8. De forma ainda mais geral, cada espaco ultrametrico X com pelo menos dois elementos e desconexo. Sejam x,y ∈ X, x 6= y. Escolha ǫ = d(x,y). A bola aberta

Exemplo 2.1.9. O espaco Q dos numeros racionais e desconexo:

Exercıcio 2.1.10. Mostrar diretamente, sem usar Exemplo 2.1.8, que o espaco de Baire Zℵ0 e desconexo.

2.2. Espacos conexos.

Definicao 2.2.1. Um espaco metrico X e dito conexo se X nao e desconexo. Em outras palavras, X e conexo se e somente se cada vez que X = U∪V , onde U,V sao dois conjuntos abertos e disjuntos, um deles e vazio.

Definicao 2.2.2. Um subconjunto A dum espaco metrico qualquer X e dito conexo se A e conexo como um espaco metrico munido da distancia induzida de X.

O resultado seguinte da o exemplo o mais importante dum espaco metrico conexo. (Essencialmente, e o unico exemplo conhecido...)

Teorema 2.2.3. Cada intervalo fechado da reta, [a,b], a ≤ b, munido da distancia usual, e conexo.

Demonstracao. Suponhamos que a = 0 e b = 1, para tornar a demonstracao menos carregada pelas letras. (A prova geral e identica).

Sejam U,V dois abertos do intervalo I = [0,1] tais que U ∩ V = ∅ e U ∩ V = I.

Suponhamos sem perda de generalidade que 0 ∈ U. O truque nao evidente da demonstracao e definir o conjunto

Notem o que A nao e vazio por que 0 ∈ A:

Como o conjunto A nao e vazio e evidemente majorado (com a cota superior 1, por exemplo), ele possui o supremo (o menor dos majorantes),

O intervalo I e fechado em R, e por conseguinte ele contem b (Exemplo 1.7.5). Para cada n, escolhamos an ∈ A de tal maneira que an > b − 1/n. Cada intervalo [0,an] e uma parte de U, e por conseguinte

O conjunto U e fechado em I, e concluımos:

que significa o que b ∈ A. Para esta razao, A = [0,b]. Basta mostrar o que b = 1. A demonstracao e por contradicao. Suponhamos que b < 1.

Como U e aberto em I, existe um ǫ > 0 tal que Bǫ(b) ⊆ U (onde a bola e formada no espaco metrico I, e nao em R). Sem perda de generalidade, podemos supor que ǫ < 1 − b. Temos agora

Esto resultado tem numerosos corolarios, incluindo uma clasificacao completa dos subconjuntos conexos de R.

Definicao 2.2.4. Uma parte nao vazia, J, de R e chamada um intervalo se, quaisquer sejam x,y,z ∈ R tais que x,z ∈ J e x ≤ y ≤ z, temos y ∈ J.

Teorema 2.2.5. Existem exatamente 9 tipos dos intervalos em R:

(1) Intervalo aberto finito (a, b), a < b. (2) Intervalo fechado finito [a, b], a ≤ b. (3) Intervalo semi-aberto finito [a, b), a < b. (4) Intervalo semi-aberto finito (a, b], a < b. (5) Intervalo aberto semi-infinito, (a, +∞). (6) Intervalo aberto semi-infinito, (−∞, b). (7) Intervalo fechado semi-infinito, [a, +∞). (8) Intervalo fechado semi-infinito, (−∞, b]. (9) Intervalo infinito, (−∞,+∞) = R.

Demonstracao. A demonstracao consistedumaconsideracao dos casos separados, com acordo das respostas as questoes seguintes:

(1) O intervalo J e limitado superiormente? (2) Se sim, o supremo supJ pertence a J? (3) O intervalo J e limitado inferiormente? (4) Se sim, o ınfimo inf J pertence a J?

Por exemplo, suponhamos que um intervalo J seja majorado, contem o seu supremo, b = supI, e nao seja minorado. Agora podemos concluir que I = (−∞,b]. A inclusao J ⊆ (−∞,b] e obvia. Seja x um elemento qualquer de (−∞,b]. Como J nao e minorado, existe y ∈ J tal que y ≤ x. Temos logo: y ≤ x ≤ b, onde y,b ∈ I, e por conseguinte x ∈ J.

Teorema 2.2.6. Seja F uma famılia dos sub-conjuntos dum espaco metrico X qualquer. Suponhamos que todos A ∈ F sao conexos e possuem um ponto comum:

Demonstracao. Escolhamos um ponto comum, x0, de todos os A ∈ F:

x0 ∈ ∩F. Sejam U e V dois sub-conjuntos abertos de ∪F tais que

Podemos suponhar sem perda de generalidade que x0 ∈ U. Seja y ∈ ∪F um ponto qualquer. De acordo com a definicao da uniao duma famılia dos conjuntos, existe V ∈ F tal que

As partes U′ = U ∩ A e V ′ = V ∩ A de A sao abertas em A, disjuntas e cobrem A:

De mais, x0 ∈ U′, e por conseguinte U′ nao e vazio. Como A e conexo de acordo com a hipotese, concluımos: V ′ = ∅ e U′ = A. Isso significa que y ∈ U′ ⊆ U.

De que observamos

Corolario 2.2.7. Um sub-conjunto nao vazio J de R (munido da distancia usual) e conexo se e somente se J e um intervalo.

Demonstracao. ⇒: por contraposicao. Suponhamos que um conjunto I ⊆ R nao seja um intervalo. Isso e, existem x,y ∈ I e z ∈ R tais que x ≤ z ≤ y mas z /∈ I. Consideremos os sub-conjuntos

Eles sao abertos em I, como os tracos dos sub-conjuntos abertos de R:

Os conjuntos U e V nao sao vazios (por que x ∈ U e y ∈ V ), e evidentamente eles sao disjuntos. Podemos concluir: I e desconexo. Por isto, se I e conexo, entao I e um intervalo.

⇐: nesta direcao a demonstracao e direta. Suponhamos que I seja um intervalo. Seja x0 ∈ I um ponto qualquer. E facil de verificar que

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