espaços compactos

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Introducao a analise Aula 9 — sexta-feira, 18 fevereiro 2011

9.1. Espacos compactos.

n1 < n2 << nk < ...

Definicao 9.1.1. Sejam (xn) uma sequencia dos elementos dum conjunto X qualquer, e uma sequencia crescente dos numeros inteiros positivos. A sequencia

,, xnk
,)

e dita uma subsequencia, ou uma sequencia extrata, da sequencia original (xn)∞ n=1. N

O conceito seguinte e provavelmente o mais importante do nosso curso.

Definicao 9.1.2. Um subconjuntoK dum espaco metrico X e dito compacto se cada sequencia dos pontos de K contem uma subsequencia que converge e tem o seu limite em K. N

1, 2, 3, 4,, n, . . .

Exemplo 9.1.3. R nao e compacto: a sequencia nao contem nenhuma subsequencia convergente, por que nenhuma subsequencia nao e uma sequencia de Cauchy: a distancia entre dois termos distintos de cada subsequencia sera sempre maior ou igual a 1. N

Exemplo 9.1.4. Cada espaco metrico finito, X, e compacto.

Qual que seja uma sequencia (xn) dos pontos de X, pelo menos um ponto aparece a sequencia a infinidade das vezes:

x, x, x,

Portanto, a sequencia constante e uma subsequencica de (xn). Certamente, esta subsequencica e convergente em X. N

Observacao 9.1.5. A compacidade e uma vercao “contınua” da finidade, da mesma maneira que a integral e uma vercao “contınua” da soma. N

Teorema 9.1.6. Seja K um sub-conjunto compacto dum espaco metrico X qualquer. Entao K e fechado em X.

Demonstracao. Seja x ∈ X um ponto adherente a K. Existe uma sequencia (xn) dos elementos de K que converge para x:

Como K e compacto, a sequencia (xn) tenha uma sub-sequencia convergente (xnk )∞ k=1 cuja o limite e contido em K:

No mesmo tempo, a sub-sequencia certamente converge para x, todo como a sequencia original:

xnk → x quando k → ∞.

Gracas a unicidade do limite duma sequencia convergente num espaco metrico, concluımos:

Isso significa que K contem todos os seus pontos adherentes, logo e fechado no espaco X.

Observacao 9.1.7. No linguagem um pouco antiquado mas expressivo e energico dos anos 1930, o resultado acima diz que cada espaco compacto K e absolutamente fechado, isso e, fechado na cada espaco metrico contendo K como um sub-espaco metrico. N

Teorema 9.1.8. Cada espaco metrico compacto e completo.

Demonstracao. A prova direita: seja (xn) uma sequencia de Cauchy no espaco metrico compacto K. Existem uma sub-sequencia (xnk ) convergente para um limite x ∈ K. Verifica- se facilmente que com efeito lim

A prova alternativa: seja X um espaco metrico compacto. Denotaremos X a sua comple- tamento. De acordo com o teorema 9.1.6, X e fechado em X, e como X e denso, temos X = X, logo X e completo.

Observacao 9.1.9. Certamente, existem numerosos espacos metricos completos e nao compactes, tais que R. A compacidade e uma propriedade muito mais poderosa que a completude. N

Teorema 9.1.10. Cada sub-conjunto fechado dum espaco metrico compacto e compacto.

Demonstracao. Sejam K um espaco compacto e F ⊆ K um sub-conjunto fechado. Dada uma sequencia (xn) qualquer dos pontos de F, pode-se extrair uma subsequencia (xnk )∞ k=1 que converge para um limite x ∈ K, porque K e compacto:

xnk → x ∈ K quandok → ∞.

Isso significa que x e um ponto adherente a F, logo contido em F: x ∈ F.

9.2. Teorema de Heine–Borel.

Teorema 9.2.1 (Teorema de Heine-Borel). Uma parte K de R e compacta se e somente se K e fechada e limitada.

Demonstracao. ⇒: segundo o teorema 9.1.6, se uma parte K de R e compacta, entao K e fechada em R. Se agora suponhamos que K nao e limitada, entao existe uma sequencia

(xn) dos elementos de K que diverge seja para +∞, seja para −∞. Evidentemente, esta propriedade e herdade por cada sub-sequencia de (xn). Concluımos: K e limitado. ⇐: seja K uma parte limitada e fechada da reta R. Entao K e contida, como uma parte fechada, num intervalo fechado, [a,b]. Graca ao teorema 9.1.10, basta mostrar que cado intervalo fechado [a,b] e compacto. Seja (xn) uma sequencia qualquer dos pontos de [a,b]. Fazemos I1 = [a,b] e escolhamos pela recurcao uma sequencia encaixada

I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇⊇ In ⊇ ...

da tal maneira que

(1) o comprimento do n-o intervalo seja igual a ℓ(In) = b−a 2

(2) cada intervalo In conter uma infinidade dos pontos da sequencia (xn).

Escolhamos um numero nk para cada k de modo que xnk ∈ Ik e nk < nk+1. Portanto, a sequencia (xnk ) e uma subsequencia da sequencia original. De acordo com o teorema de

Cantor, existe um unico ponto comum, c, da sequencia encaixada dos intervalos (Ik)∞ k=1.

Para cada k,m, se m ≥ k, entao xnm ∈ Ik, e por conseguinte

Logo, lim

Corolario 9.2.2. A bola fechada unitaria B = B1(0) do espaco ℓ∞(n) e compacta.

Demonstracao. Seja (xn) umasequencia dospontosde B. Denotaremos(x dos primeiras coordenadas dos elementos da sequencia. Porque x (1) segundo o teorema de Heine–Borel existe um sub-conjunto infinito I1 ⊆ N dos ındices tal que a sequencia (x (1) n )n∈I1 converge para um limite, denotamemos-o y1. Consideremos agora a sequencia extrata (xn)n∈I1 e a sequencia correspondente das segundas coordenadas, n )n∈I1 . Membros desta sequencia pertencem todas ao segmento [−1,1], e por conse- guinte, existe uma subsequencia convergente: para um sub-conjunto infinito dos ındices n )n∈I2 → y2. Continua-se de maneira re-

corrente a fim de obter um sub-conjunto infinito In ⊆ N tal que, qualquer seja i = 1, 2,, n,

a sequencia dos i-mos coordenadas (x (i) n )n∈In converge para um real yi ∈ [−1,1]. Dedui- mos, usando a definicao da norma ‖·‖∞ , que a sequencia extrata (xn)n∈In converge para o

9.3. Teoremas de Weierstrass.

Teorema 9.3.1. A imagem dum conjunto compacto pela aplicacao contınua e compacto.

Em outras palavras, sejam X e Y dois espacos metricos, K ⊆ X um sub-conjunto compacto, e f : X → Y uma aplicacao contınua. Entao o sub-conjunto f(K) de Y e compacto.

Demonstracao. Seja (yn) uma sequencia qualquer dos pontos de f(K). Para cada n escolhamos um xn ∈ K tal que f(xn) = yn. Como K e compacto, existe uma subsequencia

(xnk )∞ k=1 convergente em K para um limite κ ∈ K. Como a aplicacao f e contınua, con- cluımos

Eis um corolario importante que, por razoes historicas, habitualmente e cortado em duas partes de maneira um pouco grotesca.

Teorema 9.3.2 (Primeiro teorema de Weierstrass). Cada funcao real contınua sobre um espaco metrico compacto e limitada...

Teorema 9.3.3 (Segundo teorema de Weierstrass)e atinge os seus limites.

Demonstracao. Seja K um espaco metrico compacto (em especial, nao vazio), e sejaf : K → R uma funcao contınua. A imagem f(K) e compacto graca ao teorema 9.3.1, logo limitado em R (teorema de Heine-Borel 9.2.1). Como f(K) nao e vazio, o supremo b = supf(K) existe e pertence a R. Evidentemente, b e um ponto adherente de f(K). Como f(K) e fechado em R, temos b ∈ f(K), isso e, existe um x ∈ K tal que f(k) = supf(K). Logo, o supremo e igual ao maximo de f sobre K:

sup x∈K

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