espaços compactos

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(Parte 2 de 2)

O ınfimo a = inf f(K) e tratado da mesma maneira.

9.4. Uma propriedade dos aplicacoes contınuas dos espacos compactos.

Definicao 9.4.1. Uma aplicacao contınua f : X → Y entre dois espacos metricos quaisquer X e Y e dita fechada se para cada parte fechada G de X a sua imagem, f(G), por f e fechada em Y .

Exemplo 9.4.2. Sejam X = R2 munido da distancia usual, Y = R, G ⊆ R2 o grafo da funcao y = 1/x, isso e,

Verifica-se facilmente que a aplicacao p e contınua e que o conjunto G e fechado em R2, mas ao mesmo tempo a imagem p(G) = R \ {0} nao e fechada em R. Concluımos: a aplicacao p nao e uma aplicacao fechada. N

Proposicao 9.4.3. Cada aplicacao contınua dum espaco metrico compacto K para um espaco metrico Y qualquer e fechada.

Demonstracao. Seja F ⊆ K uma parte fechada qualquer. Logo F e compacto, e a sua imagem f(F) pela aplicacao contınua f e compacto em Y . Cada sub-conjunto compacto dum espaco metrico e fechado.

Corolario 9.4.4. Seja f : K → Y uma aplicacao contınua e bijetiva entre dois espacos metricos, onde K e compacto. Entao a aplicacao inversa f−1 e conınua. (Como diz-se, f e um homeomorfismo.)

Demonstracao. A fim de mostrar que a aplicacao g = f−1: Y → K e contınua, seja G ⊆ K uma parte fechada qualquer. Temos e f(G) e fechado em Y porque a aplicacao f e fechada segundo a proposicao 9.4.3. Concluımos: a imagem inversa de cada parte fechada de K por g e fechada em Y , e portanto g = f−1 e contınua.

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