Espaços precompactos

Espaços precompactos

Introducao a analise Aula 10 — segunda, 21 de fevereiro 2011

10.1. Espacos metricos precompactos. O teorema de Heine-Borel tenhauma generalisacao importante valida para todos os espacos metricos, mas a nocao duma “parte limitada” deve ser rafinada.

Definicao 10.1.1. Seja A um sub-conjunto dum espaco metrico X qualquer. O diametro de A e dado pela formula

Exercıcio 10.1.2. Mostrar que para cada sub-conjunto A nao vazio temos

Exercıcio 10.1.3. Seja A um sub-conjunto dum espaco metrico X qualquer. Mostrar que as condicoes seguintes sao equivalentes:

(2) para cada x ∈ X existe r > 0 tal que A ⊆ Br(x), (3) o diametro de A e finito, isso e,

Definicao 10.1.4. Um sub-conjunto A dum espaco metrico X e dito limitado se A satisfaz uma das condicoes equivalentes de exercıcio 10.1.3.

Exercıcio 10.1.5. Verifica-se facilmente que cada espaco metrico compacto e limitado.

Ao mesmo tempo, um sub-espaco fechado e limitado dum espaco metrico nao e sempre compacto.

Exemplo 10.1.6. Um exemplo a mais simples e dado para um conjunto infinito X munido da metrica zero-um. Esto espaco e completo, logo “absolutamente fechado”, e limitado, por que X e contido na cada bola aberta do raio dizemos R = 2. Agora, escolhamos uma sequencia

(xn) dos pontos de X dois a dois distintos (e possivel como X e infinito). Evidentemente, nenhuma sub-sequencia de (xn) nao e uma sequencia de Cauchy, logo nao converge.

Eis uma vercao geral correta dum conjunto “limitado” no senso do teorema de Heine-

Borel. 1

Definicao 10.1.7. Um sub-conjunto A dum espaco metrico X e dito precompacto, ou totalmente limitado, se para cada valore r > 0 existe uma cobertura finita de A pelas bolas abertas do raio r:

Em outras palavras, para cada r > 0 existe uma colecao finita x1,x2,...,xn dos pontos de X tal que cada a ∈ A e a distancia < r de algum deles:

Exemplo 10.1.8. O intervalo aberto (0,1) da reta R e precompacto (em R dizemos). Dado um numero r > 0, cada ponto x ∈ [0,1] encontra-se a distancia < r de algum dos pontos seguintes:

0, r, 2r,, nr,

onde n = ⌊1/r⌋ (a parte inteira). N

Exemplo 10.1.9. O espaco metrico Z munido da distancia usual nao e precompacto no ele mesmo. Cada famılia das bolas abertas contem somente um numero finito dos elementos de Z.

Definicao 10.1.10. Um espaco metrico X e dito precompacto se X e um sub-conjunto precompacto de ele-mesmo.

Com efeito, a nocao da precompacidade dum sub-espaco metrico A e “absoluta”, isso e, nao depende do espaco ambiental, X.

Proposicao 10.1.1. Seja A um sub-conjunto precompacto nao vazio dum espaco metrico X, isso e, para cada r > 0 existe uma cobertura finita de A pelas bolas abertas do raio r centradas em X. Entao, A e precompacto em ele-mesmo, isso e, para cada r > 0 existe uma cobertura finita de A pelas bolas abertas do raio r centradas em A.

Demonstracao. Seja r > 0. Podemos escolhar uma collecao finita dos pontos x1,x2,...,xn ∈ X tal que para cada a ∈ A existe i com a propriedade

Sem perda da generalidade, podemos suponhar que cada bola aberta Br/2(xi) encontra A; se nao, podem retirar esta bola, porque ela nao tem nenhuma papel. Para cada i, escolhamos um ponto

Seja a ∈ A um ponto qualquer. Existe i tal que d(a,xi) < r/2. Temos finalmente, graca a desigualdade triangular:

Portanto, A e contido na uniao das bolas abertas Br(ai), i = 1,2,...,n, onde as bolas podem ser consideradas em A em vez de em X.

Eis um corolario imediato.

Corolario 10.1.12. Um sub-espaco mettrico dum espaco metrico precompacto e precompacto.

10.2. Compacidade e precompacidade. Teorema 10.2.1. Cada conjunto compacto e precompacto.

Demonstracao. Vamos mostrar a contraposicao: se X nao e precompacto, entao X nao e compacto.

Suponhamos que X e um sub-conjunto nao precompacto dum espaco metrico. A negacao da precompacidade significa que existe r > 0 com a propriedade que para cada colecao finita

d(xi, xn+1) ≥ r, i = 1, 2,, n.

Utilisando esta propriedade, escolhamos pela recorrencia uma sequencia infinita dos pontos de X,

x1, x2,, xn, . . . ,

de modo que

Evidentemente, cada sub-sequencia de (xn) tem a mesma propriedade, logo nao e convergente. Concluımos: o conjunto X nao e compacto.

Observacao 10.2.2. Existem espacos precompactos nao compactos, por exemplo, o intervalo (0, 1) (cf. exemplo 10.1.8).

Teorema 10.2.3. Um espaco metrico X e compacto se e somente se X e precompacto e completo.

Demonstracao. A necesidade (⇒) foi mostrada nos teoremas 10.2.1 et 9.1.8. A fim de verificar a suficiencia (⇐), seja X um espaco precopacto e completo, e seja

(xn) uma sequencia qualquer dos pontos de X. Cobraremos X por uma famılia finita das bolas abertas do raio um. Como esta colecao e finita, existe pelo menos uma bola entre elas, denotaremos-a B1(a1), que contem uma infinidade dos membros da sequencia (xn).

De acordo com o corolario 10.1.12, a bola B1(a1) e precompacta, logo ela pode ser coberta por uma famılia finita das bolas abertas do raio 1/2 (formadas no sub-espaco metrico

B1(a1)). Entre elas, pelo menos uma bola contem uma infinidade dos membros da sequencia (xn).

B1/2(a2),, B1/n(an), ..., cujam cada uma contem uma infinidade dos membrosda sequencia

Continuando pela recorrencia, escolhamos uma sequencia infinita das bolas abertas B1(a1),

(xn). Finalmente, escolhamos uma sequencia dos numeros inteiros

, k = 1, 2, 3,pertence a bola B1/k(ak). Esta sub-

de tal modo que cada elemento xnk sequencia e uma sequencia de Cauchy: cada vez que i,j > k, temos d(xni , xnj

Como o espaco metrico X e completo, a sequencia extrata (xnk )∞ k=1 converge em X. Con- cluımos: X e compacto.

Observacao 10.2.4. Com efeito, temos mostrado que se X e um espaco precompacto, entao cada sequencia (xn) dos pontos de X contem uma subsequencia de Cauchy. Prova-se facilmente que esta propriedade caracterisa os espacos precompactos (exercıcio).

Observacao 10.2.5. O criterio da compacidade acima (teorema 10.2.3) e muito comodo porque, geralmente, e mais facil de verificar a precompacidade dum espaco metrico que a compacidade dele.

Teorema 10.2.6. Seja X um sub-espaco denso dum espaco metrico Y . Se X e precompacto, entao Y e precompacto.

Demonstracao. Seja r > 0 um numero real qualquer. Escolhamos uma colecao finita x1,x2,...,xn ∈ X da tal maneira que

(Aquı Br/2(xi) pode denotar as bolas abertas seja em X, seja em Y , isso nao importe). Vamos verificar agora que

Seja y ∈ Y . Como X e denso em Y , existe x ∈ X ∩ Br/2(y). O ponto x e contido na bola Br/2(xi) por um i. Concluımos, utilisando a desigualdade de triangulo:

(Aquı Br(xi) denota uma bola aberta em Y .)

Observacao 10.2.7. Se X e denso em Y , a condicao X ⊆ ∪n i=1Br(xi) nao implica, em geral,

Corolario 10.2.8. Um espaco metrico X e precompacto se e somente se o seu completamento X e compacto.

10.3. Aplicacoes uniformemente contınuas.

Observacao 10.3.1. Lembramosque a imagemdumespaco compactpor umafuncao contınua e compacto (teorema 9.3.2). E falso para os espacos precompactos.

Por exemplo, a funcao contınua(− π

e uma sobrejecao dum intervalo limitado, que e precompacto sobre a reta, que nao e precompacta.

Um resultado analogo ao teorema 9.3.2 os espacos precompactos e verdade em relacao a classe das funcoes mais estreita, esta das funcoes uniformemente contınuas.

Definicao 10.3.2. Uma funcao f : X → Y entre dois espacos metricos e dita uniformemente contınua se

O valor de δ = δ(ǫ) pode ser escolhado “uniformemente” em relacao a x, enquanto na definicao duma funcao contınua δ = δ(ǫ,x) geralmente depende de x ∈ X bem como de ǫ.

Certamente, cada funcao uniformemente contınua e contınua. A recıproca nao e sempre verdadeira.

de R para R e contınua mas nao uniformemente contınua, porque, dados ǫ > 0 e x ∈ R, o valor de δ > 0 correspondente e da ordem da grandeza

Por conseguinte, δ depende de x de maneira essencial e nao se pode escolhar um valor δ > 0 valido para todos os x ∈ R a mesmo tempo. N

Mesmo assim, tem-se o resultado seguinte de grande importanca.

Teorema 10.3.4. Cada funcao contınuasobre um espaco metrico compacto e uniformemente contınua.

Demonstracao. Vamos mostrar a contraposicao: seja f : X → Y uma funcao contınua entre dois espacos metricos. Suponhamos que f nao e uniformemente contınua. Entao f nao e contınua.

Como f nao e uniformemente contınua, existe ǫ0 > 0 tal que para cada n = 1,2,3,... pode-se encontrar os pontos xn,yn ∈ X que satisfazem

n et

(2) dY (f(xn), f(yn)) ≥ ǫ0. A sequencia (xn) contem uma subsequencia convergente de modo que xni → x quando i → ∞.

Graca a hipotese (1), temos

Por conseguinte,

Por causa de (2), nao temos o que significa que f nao e cotınua.

Exercıcio 10.3.5. Mostrarque a imagem dum espaco metrico precompacto para umaaplicacao uniformemente contınua e precompacto.

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