Matemática - Apostila Álgebra - Teoria dos Conjuntos

Matemática - Apostila Álgebra - Teoria dos Conjuntos

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Teoria dos conjuntos 1

Teoria dos conjuntos

O que são Conjuntos? Conjunto é qualquer coleção de objetos. Os objetos são os elementos do conjunto e dizemos que pertencem ao mesmo. Como exemplo de conjunto podemos citar o Campeonato Brasileiro de Futebol, onde seus elementos são os times e que Corinthians, Flamengo e Grêmio pertencem a esse conjunto. Outro exemplo de conjunto é o conjunto dos números múltiplos de 5 (25, 125, 625, etc).

Por quê estudamos os conjuntos em Matemática? Os Conjuntos fornecem um padrão de linguagem para a Matemática. Quando determinamos os possíveis resultados de uma inequação, a teoria dos conjuntos nos permite compreendermos de forma simples e rápida os valores que nos interessam. Outra aplicação muito importante dos conjuntos é na Estatística, onde o estudo sobre um conjunto de dados coletados permite tomarmos decisões quanto a acontecimentos futuros.

Relações nos conjuntos Sejam os conjuntos:

a c d A d B d C f b e f e e

Matematicamente eles ficam da seguinte forma:

A={a, b, c, d, e}

B={d, e, f} C={d, e, f}

Dizemos que: a pertence ao conjunto A. Matematicamente:

a ∈ A Do mesmo modo:

f ∉ B (lê-se f não pertence ao conjunto A).

Quando o conjunto possui infinitos valores, como o conjunto dos números pares, utilizamos matematicamente:

P={x | x é par} (lê-se P é o conjunto dos x tal que x é par).

Para que um conjunto seja igual a outro, todos os elementos do primeiro devem ser iguais aos do segundo. Caso um ou mais dos elementos não seja igual, os conjuntos são diferentes. Assim, no nosso exemplo: B = C

Diz-se conjunto-universo ao conjunto do qual se faz o estudo. Se estivermos analisando o conjunto de crianças que passam fome, seu conjunto-universo poderá ser o Brasil, a África, a cidade de São Paulo, etc. Diz-se ainda conjunto unitário o conjunto formado por apenas um elemento, e conjunto vazio o formado por nenhum elemento. Matematicamente, D={2} – conjunto unitário

T=∅ ou T={ } – conjunto vazio Preste atenção: não se representa o conjunto vazio como A={∅}; é errado.

Teoria dos conjuntos 2 Sejam agora os conjuntos:

5 6 X Y 2 Z 1 4 3 7

U Obs.: U é o conjunto universo, ou seja, o conjunto dos números que vão de 1 à 7.

Diz-se que: • Y está contido em X (Y ⊂ X), ou seja, Y é subconjunto de X. Note que todos os elementos de Y são elementos de X também. Da mesma forma, X contém Y (X ⊃ Y). • Da mesma forma, Y não está contido em Z (Y⊄Z).

• Como há elementos de X que não pertencem a Y e todos os elementos de Y pertencem a X, podemos ter o que chamamos de conjunto complementar, onde os elementos desse conjunto são os que não pertencem ao conjunto que está contido. No nosso exemplo:

CXY={4, 6} (lê-se complementar de Y em relação à X)

• Os elementos de Z que não pertencem à X chama-se diferença Z – X. No nosso exemplo: Z – X = {3, 7} (lê-se diferença Z menos X)

• A interseção entre os conjuntos X e Z é o conjunto formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo. No nosso exemplo:

X ∩ Z = {2} (lê-se X inter Z)

• A união entre os conjuntos X e Z é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a Z, a X e a ambos. No nosso exemplo:

X ∪ Z = {1, 4, 6, 2, 3, 7} (lê-se X união Z)

• Dois conjuntos que possuem interseção vazia são chamados disjuntos.

N = {0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8,, n, ...}

Os conjuntos numéricos são conjuntos formados por números que possuem alguma característica em comum. Todo o estudo da Matemática tem por base esses conjuntos. No Ensino Fundamental e Médio estudam-se os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Números Naturais N São os números primitivos surgidos com a necessidade da contagem. Todos os outros conjuntos são expansão desse. São representados por: sendo n um elemento genérico do conjunto. Graficamente:

N*={1, 2, 3,, n, ...} ∀n ∈N e n ≠ 0 – N*=N – {0} – (números naturais não nulos}

Subconjuntos de N:

X = {1, 2, 4, 6} Y = {1, 2} Z = {2, 3, 7} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

NP={0, 2, 4, 6,, 2n, ...} ∀n ∈N – (números naturais positivos)
NI={1, 3, 5, 7,, 2n+1, ...} ∀n ∈N – (números naturais ímpares)
P={2, 3, 5, 7, 1, 13,} – (números primos)

Teoria dos conjuntos 3 Operações em N:

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,}

Multiplicação: ∀n, m ∈N ⇒ n.m ∈N (disso resulta que “N é fechado em relação à adição e multiplicação”). Números Inteiros Z Resultam da adição do conjunto dos números menores que zero. São representados por:

Z*={..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,} – Z*=Z – {0}
Z+={0, 1, 2, 3,} – (inteiros não negativos) – Z+=N
Z+*={1, 2, 3, 4,} – (inteiros positivos)

Subconjuntos de Z: Z-={-3, -2, -1, 0} – (inteiros não positivos)

Z-*={-3, -2, -1} – (inteiros negativos) Operações em Z: “Z é fechado em relação à adição, multiplicação e subtração”. Diz-se que dois números opostos ou simétricos entre si quando eles possuírem mesma distância da origem:

∴2 e –2 são opostos entre si. Chama-se módulo de um número a distância, em unidades, da origem. Por exemplo: | 2 | = 2

| -2 | = 2 Números Racionais Q Englobam os números resultantes da operação de divisão de inteiros. São representados por Q:

Genericamente,

“O conjunto Q é fechado para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão”. Forma decimal:

1== (os dois últimos são

chamados dízima periódica, pois são uma divisão cujo quociente possui infinitas casas decimais). Como atingir a forma fracionária (fração geratriz) de um número decimal? Não periódicos:

Periódicos:

Teoria dos conjuntos 4 x x x x

Números Irracionais I São números cujas casas após a vírgula tendem ao infinito sem periodicidade:

Os números racionais não estão contidos nos números irracionais. Números Reais R É a reunião do conjunto dos racionais com os irracionais.

x x x x

Obs.: vale para os racionais, irracionais e, conseqüentemente, para os reais, os conceitos de números opostos entre si e módulo. Intervalos reais São conjuntos que representam intervalos de números reais: Exemplos:

Complete com os outros possíveis conjuntos. Represente suas interseções e uniões.

Bibliografia IEZZI, Gelson. Matemática: 1ª série, 2º grau. São Paulo. Atual, 1981. IEZZI, Gelson e DOLCE, Oswaldo e DEGENSZAJN, David Mauro e PÉRIGO, Roberto. Matemática: volume único. São Paulo. Atual, 1997.

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