Aula - 01 - Derivada - e-Antiderivada

Aula - 01 - Derivada - e-Antiderivada

A reta Tangente

  • A reta Tangente

    • Mantenha P fixo e faça Q se mover no sentido anti-horário sobre a curva em direção a P.
    • Perceba que a inclinação da reta s irá variar.
    • A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante tende para um valor limite.
    • Esse valor limite, é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P.

Definição: Dada uma curva y=f(x), seja P(x1,y1) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por:

  • Definição: Dada uma curva y=f(x), seja P(x1,y1) um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por:

  • Quando o limite existe. Fazendo , podemos escrever a equação acima como:

Exemplo:

  • Exemplo:

    • Encontre a inclinação da reta tangente à curva
    • no ponto (x1,y1).
    • Se

Exemplo:

  • Exemplo:

    • Usando a definição de coeficiente angular de uma reta, temos:

A reta Tangente

  • A reta Tangente

    • Portanto, a inclinação da reta tangente à curva
    • no ponto (x1,y1) é m(x1) = 2x1-2.

Derivada de uma função num ponto

  • Derivada de uma função num ponto

    • A derivada de uma função f(x) no ponto x1, simbolicamente designada por f ‘(x1), é definida pelo limite:
    • Este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (x1, f(x1)). Portanto, geometricamente, a derivada de uma função representa o coeficiente angular da reta tangente à curva neste ponto.
    • Devemos esta definição ao ilustre matemático Pierre de Fermat.

Exemplo-1)

  • Exemplo-1)

    • Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x2 no ponto (1,1).
    • Utilizando a definição, temos que:
    • Basta aplicar os pontos na regra que define a função.

Exemplo-2)

  • Exemplo-2)

    • Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva y=x3+2x no ponto (x, x3+2x).
    • Utilizando a definição, temos que:
    • Basta aplicar os pontos na regra que define a função.

Derivada

  • Derivada

    • Pelas colunas, é possível perceber que a 1.ª e a 3.ª colunas determinam uma nova função. Esta nova função, derivada da função original f, será denotada por f ‘ e chamada de derivada de f.

Derivada

  • Derivada

    • Diferenciar uma função é obter sua derivada. Por exemplo:
      • Obtemos 1 derivando x;
      • Obtemos x derivando ;
      • Obtemos x2 derivando ;
      • Obtemos x3 derivando ;
    • Em geral,
      • Obtemos xn derivando

Derivada

  • Derivada

    • Dada a tabela abaixo:
    • Derivar uma função implica em encontrar a função que preenche a terceira coluna a partir da segunda.
    • Significa, portanto, aplicar a definição de Fermat ou as regras de derivação aprendidas na disciplina de Cálculo I.

Antiderivada

  • Antiderivada

    • Dada a tabela abaixo:
    • Nosso interesse agora na disciplina de Cálculo II é o inverso:Trata-se de como preencher a segunda coluna a partir da terceira.
    • Esta é a operação do cálculo integral, definida por Leibniz em 1696.

Antiderivada

  • Antiderivada

    • A operação do Cálculo integral consiste no problema de determinar uma antiderivada para uma função. Assim, sabemos que:
      • x é a antiderivada de 1;
      • é a antiderivada de x;
      • é a antiderivada de x2;
      • é a antiderivada de x3;
    • Em geral:
      • é a antiderivada de xn.

Antiderivada

  • Antiderivada

    • Sabendo disso, é possível encontrar antiderivadas de muitas funções cuja regra envolve potências. Assim:
      • Uma antiderivada de –32 é -32x;
      • Uma antiderivada de –32x é –16x2;
      • Uma antiderivada de 64 – 32x é 64x – 16x2;
      • Uma antiderivada de 1 + 4x – 9x2 é x + 2x2 – 3x3.
    • Dizemos “uma” em vez de “a” antiderivada porque há geralmente mais de uma antiderivada para uma dada função.
    • Encontrando uma, pode-se facilmente encontrar outra acrescentando uma constante a que já existe.

Exemplo-1

  • Exemplo-1

    • Se F é uma antiderivada de f, então F’ = f e F + C também pois a derivada de uma constante é zero. Assim:
      • –32x;
      • -32x – 7;
      • -32x + ;
      • -32x + C;
    • São todas antiderivadas de -32.
    • A menos que se especifique, com alguma informação adicional, exatamente que antiderivada se quer determinar, não podemos falar da antiderivada, mas de uma antiderivada.

Exemplo-2

  • Exemplo-2

    • Considere a função f(x) = -32 com domínio 0  x. Encontre:
      • Uma antiderivada F de f;
      • A antiderivada F de f que assume o valor 64 quando x é igual a 0;
      • A antiderivada F de f que assume o valor -40 quando x é igual a 5;
  • Solução

      • a) Qualquer função da forma –32 x + C será uma antiderivada de f, pois C pode ser qualquer constante (inclusive 0).
      • b) Para responder b), devemos lembrar da tabela e do que consiste a operação de encontrar a antiderivada

Neste item a 1.ª linha da tabela nos dá informação suficiente para saber que a antiderivada é única. Pelo item a) sabemos que:

    • Neste item a 1.ª linha da tabela nos dá informação suficiente para saber que a antiderivada é única. Pelo item a) sabemos que:
          • F(x) = -32x + C;
    • E, pela primeira linha da tabela devemos ter:
          • F(0) = 64;
    • Substituindo na equação geral, temos:
    • F(0) = -32.(0) + C;
    • F(0) = C  C = 64;
    • Portanto, a antiderivada F de f que assume o valor 64 quando x = 0 é F(x) = -32x + 64.
    • c) Fazer o item c) como exercício.

IMPORTANTE!!!

  • IMPORTANTE!!!

    • A proposição:
      • Se f’(t) = 0, então f(t)=C,
    • sendo C uma constante qualquer, só é verdadeira se f(t) for contínua em seu domínio.
    • O gráfico abaixo mostra que embora f ’(t)=0, f(t) não é constante, pois há “furos” no seu domínio.

Princípio Fundamental do Cálculo Integral

  • Princípio Fundamental do Cálculo Integral

    • Sejam A e F funções contínuas definidas num mesmo domínio e assuma que a derivada de A em relação a t é igual a derivada de F em relação a t, ou seja:
    • Então, A(t) = F(t) + C, para qualquer C constante.

Aplicações

  • Aplicações

  • Apesar de abstrato o Princípio Fundamental do Cálculo Integral tem aplicações práticas. Ela é útil sempre que queremos saber a taxa de variação de uma certa quantidade e a própria quantidade. Um exemplo disso é fornecido no estudo dos corpos em queda livre.

  • Os corpos em queda livre se referem ao movimento vertical de objetos próximos a superfície da Terra. A gravidade é a única força a agir no corpo e a resistência do ar é ignorada.

  • Considere que a velocidade de um corpo em queda livre sob o efeito da aceleração da gravidade aumente a cada segundo. Então, o efeito da gravidade é definido pela equação:

Exemplo-3

  • Exemplo-3

    • Uma pedra é arremessada para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de 20 m/s. Considere a pedra como um corpo em queda livre e responda:
      • Qual é a altura máxima alcançada pela pedra?
      • Onde está a pedra 3 segundos após o lançamento?
      • Quando e com que velocidade ela atingirá o solo?
  • Solução

    • Sabemos que a velocidade v é dada por v = 10t +20.
    • Mas, a velocidade de subida é igual a variação da altura pelo tempo, portanto:

Entretanto, pelo princípio fundamental:

    • Entretanto, pelo princípio fundamental:
    • Para alguma constante C. Mas quanto vale C?
    • Uma vez que a pedra foi arremessada do solo, sabemos que, nesta situação a altura h = 0. Como t, neste instante, também é 0, então:
    • Logo,

Quando a pedra atinge sua altura máxima, a velocidade é zero, ou seja:

    • Quando a pedra atinge sua altura máxima, a velocidade é zero, ou seja:
    • Portanto a pedra atinge sua altura máxima quando o tempo é aproximadamente t=2s.
    • Basta substituir o valor do tempo na equação da altura:

b) Após t=3s a pedra está a uma altura de:

    • b) Após t=3s a pedra está a uma altura de:
    • E continua a cair atingindo o solo aproximadamente quando t=4s.
    • c) A pedra atinge o solo com velocidade aproximada de 20 m/s.

Exemplo-4

  • Exemplo-4

    • Uma bola é lançada de um edifício de 60m de altura com uma velocidade inicial de -15 m/s. Encontre uma expressão algébrica para representar a altura da bola em função do tempo após o lançamento, considerando a bola como um objeto em queda livre.
  • Solução

    • Neste exemplo, podemos iniciar a resolução destacando as informações que o texto fornece em uma tabela:

Usando antiderivadas para calcular distâncias

  • Usando antiderivadas para calcular distâncias

    • O método para calcular corpos em queda livre não se aplica a objetos automotores como motocicletas, carros ou projéteis;
    • Contudo, as antiderivadas podem ser úteis quando se deseja converter as leituras do velocímetro m distância percorrida.
    • Suponha que nas cartas de um navegador as leituras do velocímetro registrem que ele varia a cada hora;
    • Como o navegador pode determinar, a partir de sua carta, distância percorrida durante a última hora?

Exemplo-5

  • Exemplo-5

    • Um foguete atravessa o firmamento numa jornada diretamente além da Terra. Num certo dia à tarde o navegador lê o velocímetro do foguete como função do tempo, e conclui que ele é dado por: f(t) = 100t 3 – 400t 2 + 800t, onde t é o tempo em horas. Se a função f fornece a velocidade em km/h, encontre a distância percorrida pelo foguete:
    • Entre o início da tarde e as duas horas;
    • Entre uma e 4 horas da tarde.

Solução

  • Solução

    • A leitura do velocímetro é a taxa de variação instantânea da distância em função do tempo. Sabendo que s é a distância da Terra, temos que:
    • Se dispusermos os dados numa tabela, teremos:

Precisamos agora determinar o valor de C;

    • Precisamos agora determinar o valor de C;
    • Contudo, substituindo o valor de t por 0, 1, 2 e 4 na expressão F, podemos facilmente responder o que se pede no item a):
    • A distância percorrida entre t = 0 e t = 2 é igual a:
    • (posição para t=2) menos (posição para t=0)
    • s = F(2) – F(0)
    • Calculemos então quando t=2:

Agora vamos calcular quando t=0:

    • Agora vamos calcular quando t=0:
    • Fazendo temos:

    • b) A distância percorrida entre t = 1 e t = 4 é igual a:

Comentários