Desenho Geométrico

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(Parte 1 de 2)

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1 Escalas

Escala é a razão ou relação de semelhança estabelecida entre a o desenho e o objeto que ele representa, ou seja, entre a distância gráfica e a distância real.

Pode ser utilizada tanto para a representação de objetos muito grandes (escala de redução) quanto de objetos muito pequenos (escala de ampliação). Quando o desenho for representado do mesmo tamanho do objeto, a escala chamase Natural.

As escalas podem ser numéricas ou gráficas. As numéricas são representadas por algarismos e as gráficas são representadas por meio de linhas divididas e subdivididas em partes iguais.

1.1 Escalas Numéricas

É o número que informa quantas vezes o desenho é menor (ou maior) que o objeto que ele representa.

Onde: d – distância gráfica

D – distância real 1/Q - escala

Exemplo: Um arquiteto deseja representar a localização de uma residência em um terreno, cuja forma é retangular e mede 15 X 20 m. No papel cada 1m será representado por 1 cm, portanto o terreno será representado por um retângulo de 15x20 cm. Se cada metro é representado no papel por 1 centímetro e, se cada centímetro é a centésima parte do metro, temos então 1 cm por 100cm, ou ainda escala 1:100. Portanto, o desenho do terreno é representado com uma redução de 100 vezes.

Escala de Redução: quando as medidas do desenho são menores que as medidas reais do objeto (1/n ou 1:n). Por comodidade, foram padronizadas algumas escalas de redução, como por exemplo: 1:100, 1:125, 1:20, 1:50, 1:75.

Escala de Ampliação: quando as medidas do desenho são maiores que as medidas reais do objeto (n/1 ou n:1).

d = 1 D Q

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1.2 Escalas Gráficas

As escalas gráficas são a representação gráfica das escalas numéricas. A representação da escala no modo gráfico é mais comumente utilizada em cartografia.

Fonte: http://mapas.terra.com.br/Callejero/mapa_callejero.asp O uso da escala gráfica permite, através de métodos fotográficos ou copiadoras, quando necessária uma redução ou ampliação do objeto representado, saber a escala em que o objeto está representado.

A Escala Gráfica nos permite realizar as transformações de dimensões gráficas em dimensões reais sem efetuarmos cálculos. Para sua construção, entretanto, torna-se necessário o emprego da escala numérica.

Em alguns casos utiliza-se também um segmento à esquerda da origem (zero) denominada de Talão ou escala de fracionamento, este é dividido em sub-múltiplos da unidade escolhida, graduada da direita para a esquerda (geralmente é utilizada uma subdivisão decimal).

Fonte: http://trimbase.locaweb.com.br/doc/Escala.doc

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Exercícios: a) Uma embalagem que numa escala 1:10 mede 0,05 m de largura, que dimensão terá na realidade? b) Um painel luminoso mede 10 m de largura e está representado no papel por 0,25 m, em que escala foi representado? c) A distância gráfica entre as cidades A e B em um mapa é 8 cm, e a distância real é de 84 Km. Qual é a escala utilizada? d) Deseja-se representar um outdoor com as dimensões de 8,8 m X 2,9 m, na escala 1:50. Quais as dimensões gráficas? e) Um totem foi representado em um desenho com 168 m de altura, na escala 1:20. Qual a dimensão real deste totem? E se fosse representado na escala de 1:50 quanto mediria? f) Um arquiteto deseja utilizar uma folha tamanho A4 (21 x 29.7 cm) para representar a planta baixa de uma edificação cujas dimensões são 1 x 18 m, qual a escala mínima que ele deve utilizar?

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2 Traçado de retas paralelas, perpendiculares e oblíquas

A utilização correta dos esquadros em desenho geométrico é de fundamental importância para a obtenção da precisão necessária na solução dos problemas.

Estes são utilizados para o traçado de linhas horizontais, verticais, e também serve como apoio. O traçado de retas paralelas ou perpendiculares a uma determinada direção pode ser realizado movendo-se um esquadro apoiado sobre o outro, que permanece fixo.

Podem ser utilizados também para o traçado de linhas em ângulos determinados (30º, 45º, 60º e outros).

Um recurso para o traçado de linhas com ângulos diferentes é a combinação dos esquadros apoiados como nos exemplos.

Exercícios: a) Traçar retas paralelas utilizando o jogo de esquadros. b) Traçar retas perpendiculares às traçadas no item a. c) Traçar retas paralelas formando um ângulo de 15º com as retas do item a.

45º 90º

15º 75º

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2.1 Aplicações do traçado de paralelas

Uma das aplicações do traçado de paralelas é na divisão de um segmento qualquer em partes iguais ou proporcionais (Teorema de Thales). A aplicação deste teorema pode ser exemplificada pela divisão de cercas e determinação da altura dos degraus de uma escada.

Exemplo: Dividir um segmento de reta AB em 5 partes iguais.

- traçar por uma das extremidades do segmento uma reta inclinada, marcar nesta reta auxiliar uma unidade qualquer e o número de partes que se quer dividir o segmento AB (ex. 5 partes)

- unir o último ponto da reta auxiliar ao extremo do segmento (B) e traçar retas paralelas a esta dividindo o segmento AB.

AB

Exemplo: Dividir o segmento de reta AB em partes proporcionais a 2, 5, 1 e 3.

- traçar por uma das extremidades do segmento uma reta inclinada, marcar nesta reta auxiliar uma unidade qualquer e o número de partes que se quer dividir o segmento AB (2+5+1+3=1)

- unir o último ponto da reta auxiliar ao extremo do segmento (B) e traçar retas paralelas a esta dividindo o segmento AB nas divisões correspondentes.

AB

Exercícios: a) Dividir o segmento AB de 7 cm em 9 partes iguais. b) Dividir o segmento CD de 12 cm em partes proporcionais a 4, 6, 1 e 3.

4 VI V

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3 Lugares Geométricos Básicos

Lugar Geométrico (LG) é um conjunto de pontos do plano que possuem uma propriedade em comum.

3.1 Circunferência

É o conjunto de pontos que eqüidistam de um ponto do plano, (distância é igual ao raio).

3.2 Mediatriz

É o conjunto de pontos que eqüidistam de dois pontos do plano.

Possui a propriedade de ser perpendicular ao segmento AB e passar pelo Ponto Médio do segmento AB.

3.3 Bissetriz

É o conjunto de pontos que eqüidistam de duas retas do plano, dividindo o ângulo formado por elas em 2 partes iguais.

APM B
AB

bissetriz r

r
R

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3.4 Retas paralelas

É o conjunto de pontos eqüidistam de uma reta do plano.

3.5 Arco capaz

É o conjunto de pontos que vêem um dado segmento segundo um determinado ângulo k.

A semi-circunferência é o lugar geométrico dos pontos que vêem o segmento AB (diâmetro) segundo um ângulo reto (90º).

DD
AB

90º 90º

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Exercícios:

a) Determinar os pontos que distam simultaneamente 50 m de A e 30 m de B.

b) Dividir o segmento AB em 8 partes iguais.

c) Traçar uma reta perpendicular a um segmento AB que passe por um ponto C fora do segmento. C

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Prof. Anelise Hoffmann 9 d) Traçar uma reta perpendicular ao segmento AB passando por um ponto C deste mesmo segmento.

extremidade B

e) Traçar uma reta perpendicular ao segmento AB passando pela f) Por um ponto P traçar uma reta paralela a AB.

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Prof. Anelise Hoffmann 10 g) Desenhar o lugar geométrico dos pontos que distam 20 m da reta r.

h) Determinar a distância entre as retas paralelas r e s.

- traçar uma reta perpendicular às duas retas paralelas.

i) Determinar a bissetriz do ângulo formado entre as retas r e s.

r s r s

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4 Circunferência

Elementos da Circunferência: - raio

- corda

- diâmetro

- centro (O)

- arco (DE)

- flecha (FG)

- secante (s)

- reta tangente (t)

- reta normal (n)

Exercícios:

a) Traçar uma circunferência que passa pelos pontos A, B e C.

- achar as mediatrizes de AB e BC. - O encontro das mediatrizes será o ponto O (centro da circunferência) s t

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Prof. Anelise Hoffmann 12 b) Determinar o centro da circunferência. c) Determinar o centro do arco do arco MN e seu ponto médio.

d) Determinar a distância do ponto P ao arco MN.

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4.1 Tangência

Traçar uma tangente em um ponto dado da circunferência.

- unir o centro da circunferência (O) ao ponto T (reta normal) - traçar uma perpendicular à reta normal por T

Traçar circunferências tangentes à outra circunferência. - unir o centro da circunferência ao ponto de tangência com uma reta - marcar sobre ela o raio da circunferência tangente a primeira e traçar.

Retas tangentes à curva passando por ponto fora dela. - ligar O e P, determinar o Ponto médio (M).

- traçar uma circunferência auxiliar (com centro em M e raio OM, determinar os pontos de tangência T e T sobre a circunferência.

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Unir duas circunferências por tangentes exteriores. - traçar dentro da circunferência maior uma circunferência com raio (r – r’).

- traçar com centro em P e raio PO uma circunferência, encontrando os pontos 1 e 2 na circunferência de raio (r – r’). - ligar os pontos 1 e 2 ao ponto O. Encontrar T e T sobre a circunferência de raio r através do prolongamento do raio, traçar paralelas a estas 2 retas, determinando 3 e 4 na circunferência menor.

Unir duas circunferências por tangentes interiores. - traçar, com centro coincidente ao da circunferência maior uma circunferência com raio (r + r’).

- encontrar o ponto médio (P) entre os centros das 2 circunferências.

- traçar com centro em P e raio PO uma circunferência, encontrando os pontos 1 e 2 na circunferência de raio (r + r’). - ligar os pontos 1 e 2 ao ponto O, traçar paralelas a estas 2 retas a partir de T e T’ determinados pelo prolongamento do raio na circunferência maior (r), transferir com o compasso a medida de O1 e O2 para T e T’ determinando os pontos 3 e 4 na circunferência menor.

r-r’ r' r+r’ r'

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Exercícios: a) Determinar a reta tangente à circunferência em T.

b) Determinar o ponto de tangência entre a reta t e a circunferência O.

c) Determinar as retas tangentes à circunferência que passam pelo ponto P.

O t

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Prof. Anelise Hoffmann 16 d) Traçar uma circunferência de raio 30 m, tangente a circunferência em T.

e) Encontrar as tangentes exteriores às circunferências de r = 3,5 cm e r’ = 1 cm. Sabendo que seus centros distam 7 cm. f) Encontrar as tangentes interiores às circunferências de r = 3 cm e r’ = 1,5 cm. Sabendo que seus centros distam 9 cm.

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4.2 Retificação da Circunferência

A retificação de uma circunferência consiste em determinar o segmento de reta cujo comprimento seja o da circunferência em questão. Isto pode ser determinado a partir da relação constante entre a circunferência e seu diâmetro, pois sabe-se que o comprimento da circunferência é aproximadamente o triplo mais um sétimo do seu diâmetro (cujo valor aproximado é constante e igual a 3,1416).

Onde: C – comprimento da circunferência r – raio da circunferência D – diâmetro da circunferência

Processo de Arquimedes:

Processo de Terquem:

Exercícios: a) Retificar a circunferência de raio 25 m através do processo de Arquimedes e de Terquem, e após, comparar os resultados.

1/7 D

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4.3 Divisão da Circunferência

Divisão por 2 e múltiplos de 2:

- traçar dois diâmetros 12 e 34, perpendiculares entre si. - determinar a mediatriz de 14 e 13 encontrando 5 e 6, e 7 e 8.

determinando os pontos 3 e 4

- traçar o diâmetro AB. - com centro em B , traçar arco com o mesmo raio da circunferência, determinando os pontos 1 e 2. - para dividir a circunferência em 6 partes, repetir o mesmo processo em A, com abertura igual ao raio,

Divisão em n partes iguais: Método de Bion-Rinaldine

- traçar o diâmetro AB. Com centro em A e B e raio = diâmetro, traçar arcos, determinando O e O.

- dividir o diâmetro AB em n partes (ex. 7 partes).

- ligar O e Oaos pontos pares (2, 4, 6,...) ou ímpares (1, 3, 5,...).

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Exercícios: a) Dividir uma circunferência de raio = 30 m em 6 e em 12 partes iguais. b) Dividir uma circunferência de raio = 25 m em 8 e em 16 partes iguais. c) Dividir uma circunferência de raio = 30 m em 9 partes iguais. d) Dividir uma circunferência de raio = 35 m em 13 partes iguais.

5 Ângulos

5.1 Construção de ângulos

Os ângulos são formados por duas semi-retas que tem a mesma origem. A grandeza de um ângulo é representada pela abertura dos lados.

A origem dos ângulos corresponde à divisão da circunferência em 360 partes iguais, sendo cada parte (1/360) chamada de grau, portanto a circunferência tem 360 graus.

O ângulo entre duas retas pode ser representado através de um raio e uma corda (notação: ab (raio,corda)).

5.2 Classificação

Os ângulos podem ser classificados, conforme a abertura dos lados, como: RETO – lados perpendiculares, mede 90º; AGUDO – menor que o ângulo reto, mede menos de 90º; RASO – mede 180º; OBTUSO – maior que o reto e menor que o obtuso, mede entre 90º e 180º.

lado lado abertura vértice bissetriz V

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5.3 Transporte de Ângulos

O processo de transporte de ângulos é o mesmo que para construir um ângulo igual a um outro ângulo dado. Para tanto, basta utilizar uma abertura qualquer do compasso, traçando um arco sobre o ângulo dado, em seguida, sobre a reta a que se quer transportar o ângulo, desenha-se o mesmo arco, após este processo, basta medir a corda do ângulo dado e transportá-la para o arco desenhado. Encontrado o ponto, basta ligar ao vértice do ângulo.

5.4 Operações com ângulos

Os ângulos são quantidades que podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas graficamente.

ADIÇÃO: basta construir os ângulos, da mesma forma como visto anteriormente, porém lado a lado, fazendo com que o vértice e um de seus lados coincida com um dos lados do ângulo anterior.

SUBTRAÇÃO: basta construir os ângulos, da mesma forma como visto anteriormente, porém de forma a que fiquem um dentro do outro, fazendo com que o vértice e um de seus lados coincida com um dos lados do ângulo anterior.

MULTIPLICAÇÃO: os ângulos podem ser multiplicados por um número graficamente, sabendo que a multiplicação é a uma soma de parcelas iguais, portanto, basta construir os ângulos, lado a lado, repetidamente.

divisão aritmética seja. É possível dividir graficamente o ângulo em 2 partes, 4, 8

DIVISÃO: a divisão gráfica de um ângulo não é sempre possível, embora a de forma precisa, através da determinação de sua bissetriz, porém não é possível dividi-lo em 3 partes (com exceção do ângulo de 90º).

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