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Demonstração: Queremos verificar se: Admitamos que:

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do que podemos concluir que: também tomemos:

sendo Pelo exposto temos que:

esta expressão se traduz em:

portanto:

o que confirma a validade do teorema. T4 - (Razão)

Demonstração: T5 - (Potência)

Demonstração: De fato, temos:

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Wikilivros, livre pensar e aprender O que, pelo teorema do produto, nos leva a:

E portanto, estabelece o que pretendíamos demonstrar. T6 - (Radiciação)

Demonstração:

Conseqüentes para funções algébricas:

Estas regras são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima:

sendo

sendo Limites laterais

Consideremos a função: , podemos notar que todos os valores de x menores que 2 induzem um valor indefinido na função, esta indefinição também se refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo de indefinição, portanto não faz sentido falar de limites absolutos quando os valores da função estão indefinidos para certa faixa do domínio. O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função? Podemos limitar o seu domínio e consequentemente, deveríamos limitar os limites; quando temos um

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Wikilivros, livre pensar e aprender meio de definir o intervalo de exclusão dos números, podemos também, excluir certa faixa dos limites; se quisermos adotar apenas números positivos na análise podemos fazê-lo desta forma: , da

mesma forma poderemos adotar apenas números negativos, com a seguinte restrição: , no primeiro caso dizemos que o limite da

função é o valor da função para qual a mesma tende quando x se aproxima de a pela direita, no segundo caso dizemos que o limite da função é o valor da função para qual a mesma tende quando x se aproxima de a pela esquerda.

Limite lateral pela direita Dizemos que , quando:

Limite lateral pela esquerda Dizemos que , quando:

Infinitos

algo fascinanteAgora imagine um número absolutamente tão alto
quanto é possível você conceberConseguiu? Pois bem este não é

Já lhe perguntaram o que é o infinito? Certamente alguém lhe deu uma resposta poética a respeito e de fato no sentido poético, o infinito é infinito, pois aqui, falaremos desse número como sendo algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar. Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que é tão alto que jamais poderíamos atingir, é como se fosse um caminho sem fim, como o destino de um corpo sem obstáculos e atrito no espaço sem fim.

limiteEntão façamos um estudo de como representá-lo. Antes de

Desta forma é um número que só podemos representar como um mais nada pensemos qual a melhor maneira de aumentar sucessivamente o valor de uma função, isto é possível fazendo divisões por números menores que 1, ou seja se fizermos:

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então poderemos dizer que

Isto é o que chamamos de infinito matemático e a partir desta, a operação inversa é imediatamente dedutível:

Este é um conceito importantíssimo na análise do cálculo e em diversos campos das ciências exatas, iremos nos aprofundar a partir deste conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos.

Tendências infinitas

Considere a função , o seu valor jamais ultrapassará f(x) = 1 quando tomamos valores de x maiores que 1, fazendo sucessivas aproximações vemos que:

De fato temos uma tendência do valor da função se igualar a 1 quando levamos x para números muito altos, embora nunca alcance o valor 1, chamamos isso de limite no infinito, ou tendência infinita.

Podemos simbolizá-lo destas formas:

ou 15Disponível sob Gnu Free Documentation license

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O mesmo pode acontecer quando aproximamos o valor de uma variável independente ao infinito negativo, pelo lado esquerdo da função, então podemos representá-la destas formas:

Definição

Seja L o número para qual uma função f(x) tende a se igualar quando a variável independente x ultrapassa o número N, chamamos o número L de limite lateral positivo no infinito se o definimos como:

tal qual chamamos o número L de limite lateral negativo no infinito se o definimos como:

Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função.

Limites infinitos

Se nos depararmos com uma função onde o denominador decresce vertiginosamente até zero, o que podemos fazer?

Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível

colocar qualquer valor. Adotamos ou , pois , como

já definimos anteriormente.

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