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O que nos leva a concluir que:

Logo em ambos os casos o limite que nos dá a derivada da função em c tem valor nulo.

Portanto sempre que temos um valor de uma função que é extremo em um intervalo, seja maior ou menor, este terá sua derivada nula.

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T16 - Teorema de Rolle

Este teorema serve de base para outras demonstrações e observações, também sendo importante para conclusões ao longo do estudo.

Observe o gráfico:

Figura 3

Considerando uma função f(x) e um intervalo fechado [a,b], obedecendo as seguintes condições:

I - f(x) é contínua em [a,b];

I - f(x) é derivável em (a,b);

Então é possível provar que existe pelo menos um número c no intervalo tal que:

Em decorrência do fato que a função tem dois valores iguais para a e b, além de ser derivável, isto implica na existência de um número crítico c, entre estes dois pontos, visto que o teorema T15 demonstra este fato, além de afirmar que este extremo tem derivada nula, provamos

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que o teorema é valido para . Por outro lado se f(x) = 0 a derivada de f(c) também é nula, visto que f(x) − f(c) = 0 quando o limite é alcançado, portanto:

T17 - Teorema do valor médio para derivadas

Tomemos dois números em um intervalo fechado [a,b], quando uma função f(x) é contínua neste intervalo temos pelo menos um número c, o qual projeta sobre a imagem da função um valor f(c) de forma que a sua derivada é igual ao valor da declividade da reta entre os pontos {[a,f(a)];[b,f(b)]}.

A explicação deste fato é facilmente observada no gráfico de qualquer função contínua em um dado intervalo, uma vez que a curva não apresenta rupturas ao longo de seu traçado e entre os pontos há pelo menos uma sinuosidade simples ou uma reta, haverá uma progressão continuada da declividade de um ponto em direção à declividade do outro, neste caso a curva terá sempre que reproduzir valores de declividade de um extremo a outro, de forma que teremos inevitavelmente um ponto cuja reta tangente será paralela a reta definida pelos dois pontos citados.

Algebricamente:

Queremos concluir que onde m é o coeficiente angular da reta determinada pelos valores a,b e seus conseqüentes na imagem da função: f(a),f(b).

teremos:

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Análises de declive e concavidade

Uma interessante aplicação da derivada é a análise de tendências da função, o resultado desta derivada está ligado a declividade da reta "tangente ao ponto", uma vez que a tangente, nos dois primeiros quadrantes do plano cartesiano, apresenta uma distinção clara devido à mudança de sinal, isso possibilita uma boa gama de informações para a análise de seu comportamento e por conseqüência, da função que a originou.

T18 - Teste da derivada primeira

O coeficiente angular da reta que passa por um ponto da curva em uma função, nos revela uma tendência que varia conforme a tangente desta reta, tomando como referência o eixo x, quando a função é crescente os valores das derivadas para os mesmos, de x são sempre positivos, enquanto que quando a função é decrescente estes são sempre negativos. O que nos sugere o seguinte teste:

Seja a função f(x) em um intervalo [a,b], dizemos que a função é crescente quando:

Ainda podemos afirmar que, quando a função é decrescente:

E finalmente, se a função não apresenta tendências, permanecendo inalterada até o limite do ponto:

É possível provar o teorema, pela análise da definição da função derivada, da seguinte forma:

Se f(x) é contínua, existe tal que:

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Wikilivros, livre pensar e aprender onde xb > xa.

Como o denominador é positivo, nos resta analisar o sinal do resultado no numerador, se f(xb) > f(xa) e portanto, quando a função é crescente

no intervalo, teremos , por outro lado se f(xb) < f(xa) teremos uma função decrescente no intervalo e .

No último caso, se então a reta que passa pelo ponto [x;f(x)] é paralela ao eixo x, o que indica um extremo ou um ponto de transição na tendência de crescimento da curva; explicando melhor: Se os valores da função estão crescendo e o ponto em questão tem derivada nula, ou a função atinge o maior valor no intervalo, ou atinge um ponto de transição na tendência de crescimento, passando de crescente para decrescente; quando a função está decrescendo passa de decrescente para crescente.

T19 - Teste da derivada segunda

Seja a função f(x), dizemos que é a derivada segunda, com a qual podemos provar que:

Dado o intervalo [a,b], onde existe um número :

Se então f(c) fornece o valor máximo no referido intervalo. Ainda poderemos afirmar que:

Se então f(c) fornece o valor mínimo no referido intervalo. Análise:

Consideremos a derivada segunda .

Tomando o valor de [(x2 − x1) > 0] podemos verificar o que ocorre com o numerador:

Se sabemos que a declividade da curva em f(x2) é menor que a declividade de f(x1), como em c temos um valor crítico,

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Wikilivros, livre pensar e aprender temos que concluir que este representa um máximo, visto que os valores estão diminuindo quando são diferentes de c, ou seja, todos os valores decrescem a medida nos deslocamos no eixo x, portanto f(c) apenas pode assumir o valor máximo no intervalo.

Se sabemos que a declividade da curva em f(x2) é maior que a declividade de f(x1), como em c temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um mínimo, visto que os valores estão aumentando quando são diferentes de c, ou seja, todos os valores crescem a medida nos deslocamos no eixo x, portanto f(c) apenas pode assumir o valor mínimo no intervalo.

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