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Concavidades

concavidade em um intervalo da curvaComo a derivada segunda

Temos formas côncavas em todo gráfico que apresenta variações, a derivada segunda também pode nos revelar outra característica interessante quando fazemos seu cálculo e a relacionamos à reflete a tendência de crescimento ou decréscimo da declividade, temos como verificar que o seu sinal indica se a concavidade do gráfico é para cima ou para baixo, ou seja:

Se a concavidade da curva está voltada para cima.

Devido ao fato de que há uma tendência de crescimento da declividade naquele intervalo.

Se a concavidade da curva está voltada para baixo.

Devido ao fato de que há uma tendência de decréscimo da declividade naquele intervalo.

Pontos de inflexão

A inflexão é uma indefinição transitória das tendências da função em um determinado ponto, dizemos que o ponto onde a função passa da condição de tendência ao crescimento para tendência ao decaimento, ou vice versa, é chamado de ponto de inflexão. De forma geral, quando

a função passa de uma taxa de variação positiva: ou

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negativa: ou vice versa, ela passa por um ponto de inflexão.

Considerando o número crítico c, para uma função f(x), o ponto de inflexão é definido como aquele onde ocorre a inversão na tendência da declividade, ou seja, quando:

ou

Também é possível demonstrar que:

O que torna possível identificar o número crítico do ponto de inflexão a partir da derivada segunda da função.

Esboço de gráficos

Podemos utilizar os conceitos aprendidos neste capítulo para fazer esboço de gráficos, a utilidade deste artifício se mostra muito útil na análise de grandezas físicas e químicas.

É importante lembrar que os números críticos verificados com o teste da derivada primeira são diferentes dos conseguidos com a derivada segunda, podemos adotar uma notação indexada para identificá-los, assim temos: c1 para o primeiro caso e c2 para o segundo.

Para esboçar o gráfico de uma função desconhecida podemos extrair as raizes e o valor da função quando x é nula, além disso podemos verificar os pontos em que a função apresenta números críticos, extraindo a derivada primeira, a derivada segunda e resolvendo as

equações: e , verificando os pontos onde as derivadas não existem; a partir de então podemos verificar as tendências de crescimento ou decaimento entre nos intervalos entre os

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Wikilivros, livre pensar e aprender números críticos, as raizes, pontos de inflexão e concavidades.

Obviamente, os resultados numéricos em pontos onde não existem números críticos não fornecem precisão para uma avaliação de valores, porém para a análise do comportamento da função e, em alguns casos, na visualização de formas geométricas, este método é bastante útil.

Integrais

Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, como poderíamos reverter a análise, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. Outra característica interessante da integral é que o valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). Vamos analisar em seguida como funciona o mecanismo básico de integração e nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema, que é bastante vasto.

Uma breve introdução dos conceitos que detalharemos neste capítulo pode ser encontrada em:

A Wikipédia possui o artigo: Integral.

Antiderivadas e antidiferenciais

Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma:

Considere a função F(x) = f(x) + C cuja derivada , então dizemos que F(x) é a antiderivada de , a nossa primeira

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Wikilivros, livre pensar e aprender constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se

fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antidiferenciação, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que

operar e zero, o primeiro requesito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível.

Podemos então dizer:

A antiderivação é o processo pelo qual operamos a derivada de uma função para encontrar a sua exata função primitiva.

O que nos leva a conclusão que a antiderivação exige que tenhamos meios para encontrar a constante que pertencia a função quando ela foi derivada, ou que deduções, a partir de suas características e dos fenômenos utilizados para sua formulação, possam fornecer a constante.

A antidiferenciação, opera apenas os processos para dedução de um esboço da função, o que chamamos de fórmula geral, no formato: f(x) + C.

Como podemos encontrar diversas constantes, temos diversas funções, o que nos dá a possibilidade de operar, por exemplo as funções:

derivadas de , mesmo que , ao operarmos as funções derivadas utilizando a

antidiferenciação teremos , que não nos garante meios de encontrar as primitivas, visto que não conhecemos meios para deduzir as constantes.

Definições

Ao operar a inversa da derivada, podemos fazer a análise com as diferenciais, ou seja, cosidere a função y = f(x) + C, então temos:

, o que nos leva a algo muito interessante:

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Wikilivros, livre pensar e aprender O que nos lembra:

Temos ainda que y = f(x) + C, fazendo-nos deduzir que precisamos operar:

Para encontrar y. Esta operação é chamada de antidiferencial e é simbolizada por:

Onde (f) é a função e (d) é a diferencial da variável independente. De forma mais completa a antidiferencial da função é:

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