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onde C é a constante que define a função primitiva.

Operações básicas

A antidiferenciação é uma operação que tende a ser complicada na maioria das funções, ao longo do nosso estudo veremos métodos para simplificar o processo, porém existem formas de funções que não podem ser operadas nesse processo. Algumas das regras básicas para operação de antidiferenciais serão abordadas nas seções subseqüentes, outras regras serão abordadas nos próximos capítulos. Devido a complexidade que envolvem o processo, muitos dos métodos necessitam de alguma regra que ainda não estudamos; para não colocar questões que não possam ser esclarecidas neste capítulo teremos que deixá-las para o momento oportuno, quando todos os elementos necessários para a abordagem do assunto estejam bem claros.

T20 - Diferenciais A diferencial dx ao ser operada pela antidiferenciação, resulta:

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Com C constante.

Comprovação: De fato se F(x) = x + C:

T21 - Constantes

A constante c é operada como coeficiente da variável independente, de forma que sua antidiferencial é:

Comprovação: Se fizermos: , teremos:

Conforme o teorema T13 - fator.

Comprovação:

Se f(x) é o resultado da soma de duas antidiferenciais, logo:

1.Temos que admitir que g(x) e h(x) são diferenciais; 2.A soma de diferenciais admite que: 1.Se g(x) = dm e h(x) = dn, temos: g(x) + h(x) = dm + dn 2.Sendo, portanto, possível fazer: g(x) + h(x) = d(m + n) 3.Além disso: Se (m + n) = p então, podemos fazer: f(x) = dp

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Portanto, pela análise da reversibilidade, é possível constatar que a adição de duas antidiferenciais pode ser operada distributivamente, o que atesta a regra que expomos.

T23 - Variável com expoente constante (antidiferencial)

Seja a função f(x) = xn onde n é constante, sua antidiferencial é:

; onde:

Onde C é constante. Comprovação:

T24 - Regra da cadeia para antidiferenciais

Seja as funções f(u) e u = g(x), contínuas em seus domínios ou no intervalo a que se propõe a análise em questão. A antidiferencial da função composta f(u) com relação a x é:

Onde C é a constante que define a primitiva.

Comprovação:

Uma vez que: u = g(x) , temos:

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O que nos possibilita operar, por substituição: , obtendo:

para definir a antiderivada, usamos a constante C:

O que comprova a regra.

Introdução a equações diferenciais

Considerando a questão da indefinição criada pela diferenciação, o processo de antidiferenciação traz uma conseqüência indesejável para o processo de equacionamento de diferenciais. Quando uma equação diferencial é proposta, a constante de antidiferenciação faz com que o processo de resolução seja bastante prejudicado, o que exige que tenhamos técnicas especiais para tentar resolvê-la. Faremos agora uma breve introdução aos conceitos de equações diferenciais, porém, o estudo completo do tema demanda um aprofundamento maior por parte dos interessados, ao longo dos nossos estudos teremos meios para simplificar o processo, embora que a solução de muitas equações diferenciais quando não são impossíveis exigem muito esforço e dedicação.

Diferenciais de primeira ordem Seja a equação , a sua derivada é expressa como:

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sendo uma constante arbitrária, definida pelas características das deduções que originaram a equação.

O que resulta na equação diferencial:

Esta equação é denominada: Equação diferencial de primeira ordem, visto que é originada de uma derivada primeira, o que permite facilmente separar as variáveis diferenciais. Por outro lado, como meio para reverter o processo de diferenciação, fazemos:

Com C constante; lembre-se que C é uma constante não definida, a constante original é .

Pelo exposto deduzimos que a equação assumirá a forma:

y = f(x) + C

Porém, como C é uma constante indefinida, temos uma função ainda indefinida.

Constante antidiferencial

A constante resultante da indefinição na antidiferenciação é expressa na equação diferencial como observamos na seção anterior, para aumentar as possibilidades da análise, cosideremo-la como variável, ao fazer isto temos um comportamento interessante para a função resultante; quando atribuimos valores a esta variável temos uma equação para cada valor assumido pela mesma, se observarmos mais atentamente, descobriremos que o gráfico da função mantém a forma, porém varia a altura em relação ao eixo das abscissas (variável independente), ou seja, a equação antidiferencial fornece um conjunto de curvas, o que possibilita uma infinidade de valores.

O que definiria a escolha de uma constante em particular? A constante definirá qual a curva que obedece o comportamento espelhado pelos números que compõem a curva a ser escolhida. De fato basta um par

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Wikilivros, livre pensar e aprender ordenado definido dentro do conjunto de números que obedecem à equação e teremos a definição da função exata. Em várias áreas onde podemos utilizar estas equações temos a definição deste par ordenado a partir do comportamento dos números que são observados ou deduzidos, na maioria das vezes este par de números é chamado de estado inicial, pois estabelece o comportamento da equação quando os valores das variáveis são conhecidos inicialmente.

No nosso caso da seção anterior coseguimos a fórmula geral:

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