matematica aula1

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1AULA1 AULA

Recordando operaçıes

l adiçªo l subtraçªo l multiplicaçªo l divisªo

Vamos lembrar como essas operaçıes sªo feitas e, principalmente, quando devemos utilizÆ-las na soluçªo de um problema.

Muita gente pensa que quem faz contas com rapidez Ø bom em matemÆtica.

É engano! Fazer contas rapidamente Ø uma habilidade que se adquire com a prÆtica. Muito mais importante que fazer contas com rapidez Ø descobrir quais sªo as operaçıes que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em matemÆtica, o mais importante Ø o raciocínioo mais importante Ø o raciocínioo mais importante Ø o raciocínioo mais importante Ø o raciocínioo mais importante Ø o raciocínio.

Para começar, leia os quatro problemas abaixo e tente descobrir quais sªo as contas que devem ser feitas.

lUm motorista de tÆxi andou 180 km em certo dia e 162 km no dia seguinte. No total, quanto ele andou nesses dois dias? lUma mercadoria que custa R$37,0 foi paga com uma nota de R$50,0. De quanto foi o troco? lUma caixa de leite tipo “longa vida” possui 16 litros de leite. Quantos litros existem em 12 caixas? lDevo repartir 24 balas igualmente entre meus trŒs filhos. Quantas balas deve receber cada um?

Introduçªo

sªo os nossos conhecidos 0, 1, 2, 3,e tambØm os negativos - 1, - 2, - 3, ... .

AULAEm todos os exemplos desta aula, usaremos apenas nœmeros inteiros. Eles

A adiçªo

Podemos pensar na operaçªo de adiçªo quando queremos juntarjuntarjuntarjuntarjuntar as coisas que estªo separadas.

EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1

Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 27 alunos, outra com 31 alunos e outra com 18 alunos. Quantos alunos existem ao todo nessa escola?

Para reunir os alunos das 3 turmas, devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. A operaçªo que devemos fazer Ø:

27 + 31 + 18 = 7627 + 31 + 18 = 7627 + 31 + 18 = 7627 + 31 + 18 = 7627 + 31 + 18 = 76

Existem, portanto, 76 alunos76 alunos76 alunos76 alunos76 alunos nessa escola.

Cada um dos nœmeros de uma soma chama-se parcelaparcelaparcelaparcelaparcela. Na operaçªo de adiçªo, podemos somar as parcelas em qualquer ordem. Por isso, temos certeza de que 18 + 27 + 31 tambØm dÆ 76 76 76 76 76. Devemos ainda lembrar que nœmeros negativos tambØm podem ser soma-

Observe que colocamos - 5 entre parŒnteses para evitar que os sinais de + e de - fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever a mesma operaçªo. Veja:

----- 12 12 12 12 12 ----- 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = ----- 17 17 17 17 17

A subtraçªo

Podemos pensar na operaçªo de subtraçªo quando queremos tirar uma quantidade de uma outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo.

EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2

Uma secretÆria recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de correspondŒncia. AtØ a hora do almoço, ela jÆ tinha feito 52. Quantos ela ainda tem de fazer?

Temos aqui um exemplo claro de operaçªo de subtraçªo. A operaçªo que devemos fazer Ø:

90 90 90 90 90 ----- 52 = 38 52 = 38 52 = 38 52 = 38 52 = 38

Assim, depois do almoço, a secretÆria deverÆ preparar ainda 38 envelopes38 envelopes38 envelopes38 envelopes38 envelopes.

Nossa aula

AULAObserve agora que, em uma subtraçªo, quando o segundo nœmero Ø maior que o primeiro, o resultado Ø negativo. Veja:

9 9 9 9 9 ----- 5 = 4 5 = 4 5 = 4 5 = 4 5 = 4 5 5 5 5 5 ----- 9 = 9 = 9 = 9 = 9 = ----- 4 4 4 4 4

Para visualizar as operaçıes de adiçªo e subtraçªo, representamos os nœmeros inteiros como pontos de uma reta.

Na operaçªo 9 + 5 = 149 + 5 = 149 + 5 = 149 + 5 = 149 + 5 = 14, partimos do nœmero 9, andamos 5 unidades para a direitadireitadireitadireitadireita e chegamos ao nœmero 14.

Na operaçªo 9 9 9 9 9 ----- 5 = 4 5 = 4 5 = 4 5 = 4 5 = 4, partimos do nœmero 9, andamos 5 unidades para a esquerdaesquerdaesquerdaesquerdaesquerda e chegamos ao nœmero 4.

Na operaçªo 5 + 9 = 14 5 + 9 = 14 5 + 9 = 14 5 + 9 = 14 5 + 9 = 14, partimos do nœmero 5, andamos 9 unidades para a direitadireitadireitadireitadireita e chegamos ao nœmero 14.

Na operaçªo 5 5 5 5 5 ----- 9 = 9 = 9 = 9 = 9 = ----- 4 4 4 4 4, partimos do nœmero 5, andamos 9 unidades para a esquerdaesquerdaesquerdaesquerdaesquerda e chegamos ao nœmero - 4.

Para resumir, as regras sªo as seguintes:

Por exemplo:

5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8 5 + (- 3) = 5 - 3 = 2 5 + (+ 3) = 5 - 3 = 2 5 - (- 3) = 5 + 3 = 8

Veja, a seguir, como devemos proceder numa situaçªo em que hÆ soma e subtraçªo de diversos nœmeros.

1 AULA

DIADIADIADIADIA SALDOSALDOSALDOSALDOSALDOINICIALINICIALINICIALINICIALINICIAL DEPÓSITODEPÓSITODEPÓSITODEPÓSITODEPÓSITO RETIRADARETIRADARETIRADARETIRADARETIRADA

EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3

Joªo abriu uma conta bancÆria. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento:

Qual serÆ o saldo de Joªo após essas operaçıes? Vamos representar os depósitos por nœmeros positivos e as retiradas por nœmeros negativos. Devemos entªo fazer a seguinte conta:

53 53 53 53 53 ----- 25 + 65 25 + 65 25 + 65 25 + 65 25 + 65 ----- 30 30 30 30 30 ----- 18 18 18 18 18

melhor forma de fazer esse cÆlculo Ø somarsomarsomarsomarsomaros nœmeros positivos (os depósitos),
somarsomarsomarsomarsomaros nœmeros negativos (as retiradas) e depois subtrairsubtrairsubtrairsubtrairsubtrair o segundo resul-

O resultado dessa operaçªo serÆ a quantia que Joªo ainda tem no banco. A tado do primeiro. Assim:

0000053 53 53 53 53 ----- 25 + 65 25 + 65 25 + 65 25 + 65 25 + 65 ----- 30 30 30 30 30 ----- 18 = 18 = 18 = 18 = 18 =

= (53 + 65) = (53 + 65) = (53 + 65) = (53 + 65) = (53 + 65) - - - - - (25 + 30 + 18) =(25 + 30 + 18) =(25 + 30 + 18) =(25 + 30 + 18) =(25 + 30 + 18) =

= 118 = 118 = 118 = 118 = 118 ----- 73 = 73 = 73 = 73 = 73 =

= 45= 45= 45= 45= 45

Portanto, Joªo ainda tem R$ 45,0R$ 45,0R$ 45,0R$ 45,0R$ 45,0 em sua conta bancÆria.

A multiplicaçªo

A multiplicaçªo nada mais Ø que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo:

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 · 7 = 35 7 = 35 7 = 35 7 = 35 7 = 35 O nœmero 7 apareceu 5 vezes. Entªo, 7 vezes 5 dÆ 35. Da mesma forma:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 · 5 = 35 5 = 35 5 = 35 5 = 35 5 = 35

VocŒ jÆ sabe que, em uma multiplicaçªo cada nœmero chama-sefatorfatorfatorfatorfator.

Agora, o nœmero 5 apareceu 7 vezes. Entªo 5 vezes 7 dÆ 35. Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplicaçªo.

5 5 5 5 5 · 7 = 7 7 = 7 7 = 7 7 = 7 7 = 7 · 5 5 5 5 5

2 2 2 2 2 · 3 3 3 3 3 · 5 5 5 5 5=====(2 (2 (2 (2 (2 · 3) 3) 3) 3) 3) · 5 5 5 5 5=====6 6 6 6 6 · 5 5 5 5 5=====3030303030 2 2 2 2 2 · 3 3 3 3 3 · 5 5 5 5 5=====2 2 2 2 2 · (3 (3 (3 (3 (3 · 5) 5) 5) 5) 5)=====2 2 2 2 2 · 15 15 15 15 15=====3030303030 2 2 2 2 2 · 3 3 3 3 3 · 5 5 5 5 5=====(2 (2 (2 (2 (2 · 5) 5) 5) 5) 5) · 3 3 3 3 3=====10 10 10 10 10 · 3 3 3 3 3=====3030303030

2 2 2 2 2 · (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 · 12 = 24 12 = 24 12 = 24 12 = 24 12 = 24 Ou, ainda:

2 2 2 2 2 · (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 (3 + 4 + 5) = 2 · 3 + 2 3 + 2 3 + 2 3 + 2 3 + 2 · 4 + 2 4 + 2 4 + 2 4 + 2 4 + 2 · 5 = 6 + 8 + 10 = 24 5 = 6 + 8 + 10 = 24 5 = 6 + 8 + 10 = 24 5 = 6 + 8 + 10 = 24 5 = 6 + 8 + 10 = 24

Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicaçıes com nœmeros negativos. As regras sªo as seguintes:

Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras.

lPara calcular 4 · (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a - 3.

lPara entender que o produto de dois nœmeros negativos Ø positivo vamos lembrar que o produto de qualquer nœmero por zero dÆ zero. Portanto:

É a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplicaçªo, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja:

?????----- 6 6 6 6 6

Ora, sabemos que (- 3) · 2 dÆ - 6. Logo, devemos ter (- 3) · (- 2) = 6 para que a soma seja zero.

AULAA divisªo

Podemos pensar na divisªo quando queremos dividir um total de partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um nœmero cabe no outro.

EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4

Desejamos colocar 80 lÆpis em 5 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo nœmero de lÆpis. Quantos lÆpis devemos pôr em cada caixa?

A resposta Ø fÆcil. Basta dividirdividirdividirdividirdividir 80 por 5. 80 80 80 80 80 ‚ 5 = 16 5 = 16 5 = 16 5 = 16 5 = 16 Logo, cada caixa deve conter 16 lÆpis.

No exemplo que acabamos de ver, a divisªo foi exataexataexataexataexataou seja, conseguimos

colocar a mesma quantidade de lÆpis em cada caixa sem que sobrasse nenhum. O que aconteceria, entretanto, se tivØssemos 82 lÆpis para pôr nas 5 caixas? ` resposta Ø fÆcil. Cada caixa continuaria com 16 lÆpis, mas sobrariam 2. Veja a operaçªo:

Na operaçªo acima, 82 Ø o dividendodividendodividendodividendodividendo, 5 Ø o divisordivisordivisordivisordivisor, 16 Ø o quocientequocientequocientequocientequocientee 2

Ø o restorestorestorestoresto. Esses quatro nœmeros se relacionam da seguinte forma:

82= 5 82 = 5 82 = 5 82 = 5 82 = 5 · 16 + 2 16 + 2 16 + 2 16 + 2 16 + 2

(dividendo) = (divisor) (dividendo) = (divisor) (dividendo) = (divisor) (dividendo) = (divisor) (dividendo) = (divisor) · (quociente) + (resto)(quociente) + (resto)(quociente) + (resto)(quociente) + (resto)(quociente) + (resto)

O resto Ø sempre positivopositivopositivopositivopositivoe menormenormenormenormenor que o divisor.

Atençªo!Atençªo!Atençªo!Atençªo!Atençªo!

Ao fazer uma divisªo, estaremos sempre encontrando dois novos nœmeros: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa operaçªo em um problema.

dividendo divisor quociente resto

AULAEXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5

Certo elevador pode transportar no mÆximo 6 pessoas. Se existem 46 pessoas na fila, quantas viagens o elevador deverÆ fazer para transportar todas essas pessoas?

_ 466
- 427

O quociente igual a 7 indica que o elevador farÆ 7 viagens com lotaçªo completa. Mas o resto igual a 4 indica que sobrarªo ainda 4 pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador deverÆ fazer uma viagem a mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto, o elevador farÆ 8 viagens para transportar todas as pessoas.

Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1 Efetue as operaçıes indicadas:

a)a)a)a)a)37 + 43 = b)b)b)b)b)5 - 18 = c)c)c)c)c)18 - 5 = d)d)d)d)d)12 + (- 7) = e)e)e)e)e)12 - (- 7) = f)f)f)f)f)- 9 - 6 = g)g)g)g)g)- 9 + (- 6) = h)h)h)h)h)- 9 - (- 6 ) = i)i)i)i)i)13 · 7 = j)j)j)j)j)(- 8) · 9 = l)l)l)l)l)(7 - 3) · 4 = m)m)m)m)m)(3 - 8) · (- 4) =

Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2

Efetue as operaçıes indicadas. Lembre que, se vÆrias operaçıes aparecem em uma mesma expressªo, as multiplicaçıes e divisıes sªo feitas primeiro e depois as somas e subtraçıes. a)a)a)a)a)4 + 2 · 3 = b)b)b)b)b)20 - 3 + 12 - 30 6 = c)c)c)c)c)13 · 12 - 1 · 10 =

Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3 Um revendedor entrou numa confecçªo e fez a seguinte compra.

MERCADORIAMERCADORIAMERCADORIAMERCADORIAMERCADORIAQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEPREOPREOPREOPREOPREOUNITRIOUNITRIOUNITRIOUNITRIOUNITRIO (R$) (R$) (R$) (R$) (R$)

Quanto ele pagou por essa compra?

Exercícios

AULAExercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4 Um trabalhador recebe R$12 por dia de trabalho, mais uma gratificaçªo de

R$8 por semana. Sabendo que cada semana tem 6 dias de trabalho, quanto esse trabalhador deverÆ ter recebido após 4 semanas?

Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5

a)a)a)a)a)12 ·=180
b)b)b)b)b)8
5 26
c)c)c)c)c)148 = 6 ·+ 4

Descubra que nœmeros estªo faltando nas operaçıes abaixo:

Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6

Certo automóvel faz, na estrada, 12 km por litro de gasolina. Para fazer uma viagem de 340 km, o proprietÆrio colocou no tanque 30 litros de gasolina. Esse combustível serÆ suficiente?

Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7

Em uma festa, as mesas do salªo sªo quadradas e acomodam, no mÆximo, 4 pessoas. Para que 150 pessoas possam se sentar, quantas mesas serªo necessÆrias?

Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8

Uma escola tem 4 salas e cada sala tem 30 carteiras. Na primeira sala existem 26 alunos, na segunda 24, na terceira, 23 e na quarta, 19. Quantos alunos ainda podem ser matriculados?

Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9Exercício 9

Joªo tem um terreno retangular de 20m de frente por 30m de fundo, e deseja cercÆ-lo com uma cerca de arame com 5 fios.

Quantos metros de arame ele deverÆ comprar?

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