Baixe Apostila de Isostática e outras Exercícios em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia Civil Apostila de Análise Estrutural I Agosto de 2009 Grupo de Experimentação em Estruturas – GRUPEX Programa de Educação Tutorial – PET Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia Civil Apostila de Análise Estrutural I Ângela do Valle Henriette Lebre La Rovere Nora Maria De Patta Pillar Colaboração dos Bolsistas PET: Alex Willian Buttchevitz Alexandre Garghetti André Ricardo Hadlich Helen Berwanger Stephanie Thiesen Talita Campos Kumm Valmir Cominara Júnior Vanessa Pfleger Colaboração dos Monitores: Artur Dal Prá (2006-1) Willian Pescador (2007-1) ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 2 Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas. Barra de elementos delgados: as três dimensões principais são de diferentes ordens de grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados são tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à solicitação por torção. Folhas ou lâminas: duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira dimensão. Subdividem-se em: Placas: carregamento perpendicular ao plano médio. Chapas: carregamento contido no plano médio. Cascas: superfície média curva. Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza. ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 3 1.3. Tipos de Vínculos Vínculos são elementos que impedem o deslocamento de pontos das peças, introduzindo esforços nesses pontos correspondentes aos deslocamentos impedidos. Os deslocamentos podem ser de translação ou de rotação. 1.3.1 Vínculos no plano: No plano, um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de movimento: deslocamento em duas direções e rotação. a) Apoio simples ou de primeiro gênero: Reação na direção do movimento impedido. Exemplo de movimento: rolete do skate. b) Articulação, rótula ou apoio do segundo gênero: Exemplo de movimento: dobradiça. c) Engaste: ou apoio de terceiro gênero: Exemplo de movimento: poste enterrado no solo. y x y x z y x Mz=0 Rx=0 Ry=0 RxRy Rx Ry y x Mz=0 Rx Ry Mz y x z ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 4 Vínculos no Plano Tipo de Vínculo Símbolo _________Reações_____ Cabo Ligação esbelta Roletes Rótula Luva com articulação ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 7 Exemplos de Vínculos Apoio rotulado em viga de ponte. Apoio com material de baixo coeficiente de atrito, funcionando como roletes. Rolete nos apoios de vigas de concreto protendido de uma ponte rodoviária. Ligação de canto rígida de um pórtico de aço. Observam-se as chapas formando uma ligação rígida com os pilares. A inclinação da rótula de apoio entre as duas vigas indica a expansão térmica do tabuleiro da ponte. Os enrijecedores verticais na região de apoio previnem a flambagem local causadas pelas altas reações de apoio. ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 8 1.4. Estaticidade e Estabilidade: a) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é igual ao número de equações de equilíbrio: ISOSTÁTICA. b) A estrutura é restringida e o número de incógnitas é maior que o número de equações de equilíbrio: HIPERESTÁTICA. c) A estrutura não é restringida ou o número de incógnitas é menor que o número de equações de equilíbrio: HIPOSTÁTICA. Uma estrutura está restringida quando possui vínculos para restringir todos os movimentos possíveis da estrutura (translação e rotação) como um corpo rígido. Número de incógnitas: - Externas: reações de apoio ou vinculares; - Internas: esforços internos necessários ao traçado dos diagramas (conhecidas as reações de apoio) – estruturas fechadas. Número de equações de equilíbrio: - Externo: equações de equilíbrio estático para a estrutura como um todo (seis no espaço e três no plano); - Interno: equações de equilíbrio estático para parte da estrutura conhecido um ou mais esforços internos (ex.: rótula). g: grau de estaticidade ou hiperestaticidade = número de incógnitas – número de equações. Critério apresentado por Sussekind: g = ge + gi, sendo ge = número de incógnitas externas – número de equações de equilíbrio externo e interno e gi = número de incógnitas internas, ou também: ge = grau de hiperestaticidade externa; gi = grau de hiperestaticidade interna. Tipos de Equilíbrio: Estável Instável Indiferente i. ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 9 Exemplos: Estruturas Planas Vigas: ISOSTÁTICA ISOSTÁTICA HIPOSTÁTICA r = 3 r = 3 r = 2 g = 0 g = 0 g < 0 HIPOSTÁTICA HIPERESTÁTICA r = 3 r = 4 g = 0 g = 1 (não restringida) HIPOSTÁTICA HIPERESTÁTICA HIPERESTÁTICA r = 2 r = 4 r = 4 g < 0 g = 1 g = 1 Nº de equações equilíbrio externo = 3 Nº de equações equilíbrio interno = 1 (Momento fletor em C = 0) . Nº de incógnitas = r = 4 g = número de incógnitas – número de equações (ext. e int.) = 4 – ( 3+1 ) = 4 – 4 = 0 ou g = ge + gi ge = 4 – 4 = 0 gi = 0 Como resolver: 4 incógnitas: VA, HA, VB, VD . i) ∑ FX = 0 HA + ... = 0 ∑ FY = 0 VA + VB + VD = 0 3 Equações ∑ MA = 0 d1.VB + d2.VD - ... - ... = 0 (qualquer ponto) Uma equação adicional (devido à rótula): A B C D ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 12 g = 1 g = 2 Momento fletor é nulo Arcos: g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 4– 3 = 1 ge = 4 – (3 + 1) = 0 Isostática Restringida Hiperestática Isostática Restringida g = ge = ((3 + 2) – 3)= 2 ge = 3 – 3 = 0 ge = 4 – 3 = 1 gi = 1 gi = 1 Hiperestática Hiperestática Hiperestática Quadros: Conhecidos N1, V1 e M1 obtêm-se os esforços N2, V2 e M2 ou em qualquer seção. ge = 3 – 3 = 0 gi = 3 Não é possível traçar os g = ge + gi = 0 + 3 = 3 diagramas, só conhecidas Hiperestática internamente as reações de apoio HA, VA, VB. g = ge + gi = 0 + 6 = 6 Hiperestática internamente Tirante Tirante A B V1 N1 V1 M1 N2 V2V2 M2 A B BA A B ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 13 1.5. Reações de apoio em estruturas planas: 1.5.1. Estrutura Aporticada Cos α =4/5 Sen α =3/5 Decompor a força de 10kN nas direções x e y: i) ∑FX = 0 HA + 6kN = 0 ∴HA = - 6kN ii) ∑FY = 0 VA + VB = (10x3) + 8 = 38kN iii) ∑MA = 0 7xVB – (30x 5,5)- (8x2) – (6x1,5) = 0 ∴7VB = 190 ∴ VB = 27,14kN Logo, VA = 38kN – 27,14kN = 10,86kN Outra maneira seria: ∑MA = 0 7VB – (30x 5,5)- (10x2,5) = 0 ∴7VB = 165+25 = 190 ∴VB = 27,14kN Verificação: ∑MB = 0 (10,86x7) + (6x3) – (30x1,5) – (8x5) – (6x1,5) = 0 76 + 18 – 45 – 40 – 9 = 0 Y X α 10x(3/5)=6kN 10x(4/5)=8kN10kN ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 14 1.5.2. Pórtico Isostático i) ∑FX = 0 -HA + 40 = 0 ∴HA = 40kN ii) ∑FY = 0 VA + VB = 60kN iii) ∑MA = 0 8VB + 80 - (40x6) – (60x4) = 0 ∴8VB = 400 ∴ VB = 50kN ∴VA = 60 – 50 = 10kN Verificação: ∑MB = 0 (10x8) + (40x3) – 80 – (60x4) + (40x3) = 0 120 + 120 – 240 = 0 1.5.3. Treliça Isostática i) ∑FX = 0 HB + 4 -12 = 0 ∴HB = 8kN ii) ∑FY = 0 VA + VB = 6 + 8 = 14kN iii) ∑MB = 0 (4x4) + (8x1,5) – (12x2) – 3VA = 0 ∴3VA = 16 + 12 – 24 = 4 ∴VA = (4/3) = 1,33kN ∴VB = 12,67kN Verificação: ∑MA = 0 r=3; b=5; n=4. r + b = 2n 5 + 3= 2x4 VA HA VB B A 80kNm 60kN 40kN 4.00m 4.00m 3.00m 3.00m VA VB HB 4kN 1.50m 1.50m 2.00m 2.00m 6kN 8kN 12kN ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 17 i) ∑FX = 0 (→+ ) RAX = RBX ii) ∑FY = 0 (↑+ ) RAY – 12(12) – 30 ∴RAY = 174kN iii) ∑MA = 0 12xRBX – 30x20 – 144x6 = 0 RBX = 600 + 864 ∴RBX = 122kN ∴RAX = 122kN 12 Conferindo ∑MB = 0 12xRAX – 144x6 – 30x20 = 0 1464 – 864 – 600 = 0 ∑MC = 0 6xRBX – 144x14 + 6xRAX – 20xRAY = 0 122x6 + 2016 + 122x6 – 174x20 = 0 732 + 2016 + 732 – 3480 = 0 c) Achar as reações de apoio para a viga abaixo : BA 3.00m 6.00m 3.00m 3.00m 16kN/m 8kN 45°45° 10 2kN 10 2kN b) 12kN/m A B C C B A 144kN 30kNRAX RAY RBX 6.00m 6.00m 8.00m12.00m 30kN ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 18 8144 3434 111,33108,67 5454kN.m A B 9.00m Balanço d) Determinar as reações de apoio para a viga: 72 ↑ ↑ (144/2) = 72 34 ↑ ↑ 10 + 24 = 34 (8x3)/9 = 2,67 ↑ ↑ (8x6)/9 = 5,33 108,67 ↑ ↑ 111,33 6 ↑ ↑ (12/2) = 6 6 ↑ ↑ 6 + 8 = 14 2,67 ↑ ↑ (20-12)/3=2,67 10kN 10kN 3x(16/2)=24kN 10 2kN ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 19 3 incógnitas N1, N2, N3 3 equações: ∑FX = 0, ∑FY = 0, ∑FZ = 0 1.6. Reações de apoio no espaço: 6 Equações de Equilíbrio: ∑FX = 0; ∑FY = 0; ∑FZ = 0; ∑MX = 0; ∑MY = 0; ∑MZ = 0 1.6.1. Treliça Espacial Isostática r + b = 3n Restringida n=4 r+b=3n 9+3 = 3x4 12=12 Inicia-se pelo equilíbrio do nó D: Em seguida passa-se aos nós com apoios: Conhecidos agora os esforços N1, N2 e N3, para cada nó A, B ou C existem 3 incógnitas (Reações) e 3 equações de equilíbrio. D C BA 1 2 3 4tf 2tf RAZ RAX RAY RBY RBX RBZ RCY RCX RCZ ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 22 Treliças Planas Fonte: Engel, Heino, 1981 Sentido dos Esforços Treliça com diagonais comprimidas Treliça com diagonais tracionadas Fonte: Salvadori, Heller, 1975 AI E O' B F M N HDOCG L W 4 W2 W1 W3 W5 W 4 W2 W1 W3 W 5 AI E O' B F M N H DOCD L ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 23 Transmissão de Cargas para as Treliças Treliça de Cobertura Treliça de Ponte Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 Ligações das Extremidades das Barras Fonte: Salvadori, Heller, 1975 Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 24 Mecanismo de Treliças Aplicado a Outros Sistemas Estruturais Pórtico de Treliça Biarticulado Pórticos de Treliça Triarticulado com Balanços Arco de Treliça Triarticulado ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 27 2.1.1. Método de Ritter Seja a seguinte treliça: Suponhamos que deseja-se determinar os esforços axiais nas barras 3, 6 e 10. Parte-se a estrutura em duas partes, de forma a partir estas barras, através da seção SS indicada. Considerando a parte da esquerda, deve-se colocar os esforços internos axiais que surgem nas barras para estabelecer o equilíbrio: As forças N3, N6 e N10 representam a ação da parte da direita da treliça sobre a parte da esquerda. H A VA P4 P1 P2 D N 6 N10 N 3 S S 1 2 3 7 48 6 9 10 11 5 HA P 4 P 1 P2 P D P5 C ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 28 É indiferente considerar a parte da esquerda ou a da direita: Os esforços indicados N3, N6 e N10 são iguais em módulo e direção, mas têm os sentidos opostos dos que aparecem na parte esquerda. Representam a ação da parte esquerda sobre a parte da direita. Para obter os esforços N3, N6 e N10 utilizam-se as equações da estática, devendo ser escolhidas e usadas numa ordem tal que permita determinar cada incógnita diretamente. Para o exemplo, pode-se resolver utilizando: ΣMC = 0 Obtém-se N3; ΣMD = 0 Obtém-se N6; ΣFy = 0 Obtém-se N10. (tanto faz pela esquerda ou direita) Se os esforços forem positivos terão o sentido indicado (tração) senão terão sentido inverso (compressão). Observações: 1. seções de Ritter não podem interceptar 3 barrras paralelas, nem 3 barras concorrentes no mesmo ponto; 2. as seções podem ter forma qualquer (não necessitando ser retas); 3. para barras próximas às extremidades da treliça (no exemplo, barras 1, 5, 4 e 7), pode ocorrer que a seção de Ritter só intercepte 2 barras neste caso obter os esforços fazendo equilíbrio dos nós (conforme vimos anteriormente). P3 VB P5 C S S N 6 N 10 N 3 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 29 Exemplos: 1. Obter os esforços nas barras 2, 3, 9 e 10. I. Obter as reações de apoio: ΣFx = 0 HA = -6 tf; ΣFy = 0 VA + VB = 10 tf; ΣMA = 0 VB . 10 - 6 x 4 - 4 x 6 - 6 x 2 = 0; VB = 6 tf e VA = 4 tf. II. Seção S1S1 ΣMH = 0 N2 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N2 = 14 tf (tração); ΣMD = 0 -N16 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N16 = -14 tf (compressão); ΣFy = 0 N9 + 6 = 4 N9 = -2 tf (compressão). 8 9 10 11 12 13 14 7 6 1 2 3 4 5 HA V A VB A C D E F B G H I J 15 16 17 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 4 tf 6 tf 6 tf S1 S2 S2S 1 2 2 m H A VA 6 tf S1 S1 N N2 N 16 6 tf C G H ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 32 II. Seção S2S2 ΣMJ = 0 N3 x 2 + 6 x 2 - 5 x 6 - 6 x 2 = 0 N3 = 15 tf (tração); II. Seção S3S3 ΣFy = 0 N13 cos45º + 5 = 0; N13 = -7,1 tf (compressão); 6tf A C1 87 5tf D 9 2 3 10 11 H6tf 18 19 J I S2 6tf N 19 N 3 N 11 F4 13 14 B G5 6 15 16 17 5tf 20 K S 3 21 LN 20 N 4 N 13 J ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 33 2.1.2. Método de Cremona Seja a seguinte treliça para a qual se obtiveram as reações e esforços indicados: 1,5m 1,5m 3tf 3tf 5tf1tf 6tf -1 ,25 3,75 -6,25 BA C 2m Se um nó está em equilíbrio, a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre ele será nula: Nó A: 3 3,75 1,25 1 Nó B: 5 3,75 6,25 A 3 tf 1 tf 1,2 5 3,75 B 6,25 3,75 5 tf ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 34 Nó C: 1,25 6,25 6 3 A soma vetorial das forças externas e internas atuantes forma sempre um polígono fechado. O método de Cremona consiste em encontrar os esforços internos graficamente, a partir do equilíbrio dos nós da treliça, seguem-se os seguintes passos: • inicia-se por um nó com apenas duas incógnitas; • marca-se em escala as forças externas atuantes, formando um polígono aberto; • pelas extremidades deste polígono traçam-se paralelas às barras que concorrem no nó, cujos esforços desejamos conhecer; • a interseção destas paralelas determinará o polígono fechado de equilíbrio; obtêm-se assim os módulos e sinais dos esforços nas barras; • Os sinais dos esforços são obtidos verificando-se: - se o esforço normal aponta para o nó negativo (compressão); - se o esforço normal foge do nó positivo (tração); • O sentido do percurso de traçado de forças é arbitrário, adotaremos o sentido horário; • Obtém-se 2 a 2 incógnitas na análise sobrarão 3 equações de equilíbrio, já usadas para as reações. 6 tf 3 tf C 1,2 5 6,25 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 37 Nó A: 2P 3P N7 a2 a7N2 2P 3P N2 N7 Medir em escala N2 e N7 Nó E: N2 conhecido - N3,N1 incógnitas: mede-se em escala N2 N1 N3 a3 a1 N1 (Compressão) N 2 N3 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 38 Exemplos: 1. 2m 2m C D BA 1m 1m 2 tf A 1m 1m B D C 2000kgf cb d e a 1000kgf 1000kgf Nó A: 2000(T)2830 2230 a b d 1000 C T A ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 39 Nó D: Nó B: 2000 D C 2000 28302830 C T T 2830 2830 20002000 d c e b e a2830 2230 1000 C T 1000 B A B D C 2000kgf -2830 +2000 -2830 +2230 +2230 a b cd e Escala do Cremona (tf) 210 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 42 2.2. Vigas 2.2.1. Vigas Simples - Método Direto para Diagramas Esquerda V N M N Direita V Convenção de sinais: Revisão: a VV F M a F M Esquerda com carga para cima Esquerda com carga para baixo V – F = 0 V = +F positivo. V + F = 0 V = - F negativo. M – F.a = 0 M = +F.a positivo. M + F.a = 0 M = - F.a negativo. a F a F Direita com carga para cima Direita com carga para baixo V + F = 0 V = - F negativo. V – F = 0 V = +F positivo. M - F.a = 0 M = +F.a positivo. M + F.a = 0 M = - F.a negativo. • Traçar DEC diretamente vindo pela esquerda. ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 43 • Traçar DMF vindo pela esquerda, calculando M nos pontos de aplicação de força concentrada. Lembrando: • Força Concentrada: Descontinuidade no DEC • Binário Aplicado: Descontinuidade no DMF q=0 ; (entre cargas conc.) • V Constante • M Varia Linearmente em x q= k ; • V Varia Linearmente em x • M Varia Parabolicamente em x Integrando q V; Integrando V M. dx dVq =− dx dM =V dx d Mq 2 2 =− ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 44 Exemplo 1: MC = 60.4 = 240 kN; MD = 60.8 – 50.4 = 280 kN; MEDir. = 110.2 = 220 kN ou MEEsq. = 60.11 – 50.7 – 30.3 = 220 kN ou MD = MC + VC x4m ou MEEsq. = MD +VD x3m DMF (kN.m) 60kN 60 280 240 (+) 220 -110 10 -20 DEC (kN) 110kN 30kN50kN 90kN 4 m 4 m 3 m 2 m A C D E B ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 47 Exemplo 4: (q . a 2 ) / 8 = (20 . 2 2 ) / 8 = 10 -40 120 80 120 60 DMF (kN.m) -60 20 (-) (+) 40 80 kN 80 DEC (kN) 60 kN 100kN.m20kN/m 40kN 20kN (+) 2 m 2 m 1,5 m 1,5 m 1 m A B C D E 10 10 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 48 2.2.2. Vigas Gerber • Aplicações principais – Pontes; • Surgiram por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva; • Vigas Gerber Isostáticas serão decompostas nas diversas vigas isostáticas que as constituem: - Vigas com estabilidade própria; - Vigas que se apóiam sobre as demais; Exemplos de Decomposição: Os algarismos romanos I, II, III e IV indicam a ordem de resolução, para obtenção das reações de apoio. • Os diagramas podem ser traçados separadamente, juntando-os em seguida; • As rótulas transmitem forças verticais e horizontais, mas não transmitem momento; • Basta que um dos apoios resista a forças horizontais na viga Gerber. Apenas as cargas verticais provocam esforço cortante e momento fletor nas vigas, portanto, na decomposição não é necessário distinguir apoios do 1o ou 2o gênero. Usaremos apenas: ∆ II I II II I ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 49 IV III II I II ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 52 2. 4+6+3 = 13 tf 3 tf 3+3 = 6 tf 3 tf 3 tf 2+4+3+2= 11 tf 3 tf 11 tf 3 tf 4 tf 12 66 tf 2 tf/m 3 tf/m 3 tf A 2 tf/m B C 3 tf/m FD E 4 tf 3 tf HG 4-3= 1 tf 8 tf 8 tf JI 2 tf/m 3 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m1 m 1 m ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 53 MD = -4+ (2.42)/8 + (4.4)/4 = 4 MI = 1.2 = 2 A C B FED 4 HG -4 3 -5 -3 -4 -12 -6 -2 32 -6 -3 6 5 7 J I 2 DMF (tf.m) -1 DEC (tf) 2,25 2,25 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 54 2.2.3. Vigas Inclinadas Independente do valor de b, as reações verticais serão iguais (= q.a / 2) 1. Esforços Internos: Seção S (a x do apoio A) (q.a)/2 S V (q.a)/2 q.x NM A S (q.a)/2 q B x a b x x/2 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial – PET 57 Diagramas: q.b.[cosα+(b.senα)/2.a q.b².(sen α)/2.a q.b.(sen α)/2 -q.b.(sen α)/2 q.b²/8 DEN DEC DMF ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial – PET 58 3. R = q . (a² + b²) A q B A B q q.b q q.a A B b a ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial – PET 59 Logo, o diagrama de momento fletor fica: q.(a²+b²)/8 Se tivermos, por exemplo, as estruturas: DMF -6 A 6 tf.m 2 6 DMF 1 tf/m 2 tf.mB 8m 6m -2 2 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 62 Seção S2: N = -1,72 kN (const.) V = 12,29 - 10 = 2,29 kN (const.) M = 15,36.x –8(x-2) –6(y-1,5) = 2,86.x + 25 – 0,75.x y = x.tgα Para x=2, M=30,72 kN.m; x=4, M=36,44 kN.m; Seção S3: (direita) 10 kN/m 27,14 kN M V x' V = 10.x’ – 27,14 Para x’=0, V=-27,14 kN; x’=3, V=2,86 kN; M = 27,14.x’ – 10.x’2/2 Para x’=0, M=0 kN.m; x’=3, M=36,42 kN.m; ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 63 Diagramas: -27,14 (+) 12,29 2,86 2,29 (+) (-) -1,72 (-) nulo x = (10x3²)/8 = 11,25 DMF (kN.m) DEC (kN) DEN (kN) 30,72 36,42 36,42 x 0,286m ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 64 Não havendo barras inclinadas, recomeça-se o traçado de diagramas pelo método direto. 10 kN/m 17 kN 12 kN DMF (kN.m) DEC (kN) DEN (kN) (-) (+) (-) 12 12 kN nulo -17 (+) 17 -23 x = (10x4²)/8 = 20 12 12 23 kN (+) (+) 4m 1m 1m x ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 67 02. P/2 P/2 P DMF (kN.m) DEC (kN) DEN (kN) nulo nulo -P (-) (-) -P (+) P/2 P (+) P(L/2 + a) (+) (+)(+) P(L/2+a) P(L/2+a)PL/2 nulo L/2 a L a ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 68 2.3.2. Pórticos Simples 80 kN.m 60 kN 40 kN 40 kN 10 kN 50 kN 40 DEN (kN) (+) DMF (kN.m) DEC (kN) -50 -10 (-) (-) nulo(-) (+) (+) -50 10 40 200 (+) nulo 280 240 240 (+) 6m 4m 4m 3m ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 69 Pelo Método Direto: Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo: Reações: ΣFx = 0 ∴ RAx = 1 tf ΣFy = 0 ∴ RAy = 3 + 1.4 + 1 RAy = 8 tf ΣMA = 0 ∴ 3.2 – 1.4.2 – 1.1 + 1.2 + MA = 0 MA = 1 tf.m Seção S1: trecho DC N = 0; V = -3 tf MC = -6 tf.m Seção S2: trecho CE N = 0; V = 1.x Para x = 0; V = 0; x = 4; V = 4 tf; M = -1.x2/2 Para x = 0; M = 0; x = 4; M = -8 tf.m; Seção S3: trecho FB N = -1 tf V = 1 tf M = -1.x Para x = 0; M = 0; x = 1; M = -1 tf.m; Seção S4: trecho BC N = -7 tf V = 0 M = -2 tf.m 3 tf 1 tf/m 1 tf 1 tf 1 tf.m B A D E C F 8 tf 1 tf 2m 2m 2m 1m 3m ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 72 Seção S2: [2,5 x 5,0] N = + 1,75 tf; V = 12,6 - 4.x Para x = 2,5; V = 2,6 tf; x = 5; V = -7,4 tf; M = 12,6.x - 2.x2 – 2,5 Para x = 2,5; M = 16,5 tf.m; x = 5; M = 10,5 tf.m; Seção S4: [0 x 5,0] tgα = 4/5 senα = 4/√41 N + 1,75.cosα + 1,4 senα = 0 N = - 2,24 tf; V + 1,75.senα - 1,4.cosα = 0 V = 0; M = 1,4.x – 1,75.y M = 0; Seção S3: [0 x’ 6,0] N = - 7,4 tf; V = -1,75 tf; M = 1,75.x’ Para x’ = 0; M = 0; x’ = 6; M = 10,5 tf.m; Nu lo DMF (tf.m) DEN (tf) DEC (tf) 16,5 17,3 10,5 (+) (+) (+) -7,4 Nu lo (-) 2,6 1,6 11,6 -1,75 (-) 1,75 -7,4 -2,24 (-) (+) (-) 10,5 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 73 Reações: ΣFx = 0 ∴ HA + HB + 12 – 3,33 = 0 HA + HB = - 8,67 tf ΣFy = 0 ∴ -10 + 4,99 + VA + VB = 0 VA + VB = 5,01 tf ΣMB = 0 ∴ 6.1 + 10.4 – 12.3 – 9.VA = 0 VA = 1,11 tf VB = 3,9 tf; ΣMEEsq = 0 ∴ - HA.6 + VA.2,5 – 12.3 = 0 HA = -5,54 tf HB = -3,13 tf Diagramas: A B C D E HA VA VB HB 6 tf 10 tf 3,90 3,135,54 1,11 4,99 3,33 10 12 2m2m2,5m2,5m 3m 3m 1 2 tf/m -1,11 DEN (tf) DMF (tf.m) DEC (tf)(-) (-) (-) (-) -6,5 -10,98 -4,98 Nul o 0,44 (-) -6,0 1,11 -6,46 5,54 (+) (+) (-) (+) -2,8 (+) -2,8 2,82,8 4,41 6,0 -1,6 7,66 (-) (+) 2,77 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 74 Determinar os diagramas de esforços solicitantes: N = - 4,42 kN V = - 2,55 kN 0 = M + 3,2.(x - 0,3) + 1,9.x M = -5,1.x + 2,56 Para x = 1,6; M = -5,6 kN.m; x = 3,2; M = -15,8 kN.m; 60° 1,9kN 1,9 1,9kN 2 kN/m1 kN/m 2 kN/m 1 kN/m 5,1kN 15,8kN.m 3,46m 3,8m 1,6m 2m 60° Nulo DEN (kN) (-) -4,42 DMF (kN.m) DEC (kN) -2,55 -5,1 -1,9 (+) (-) (-) -5,6 -5,6 -15,8 1,8 (-) (-) (+) ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 77 2.3.1. Pórticos Compostos Pórticos Compostos são uma associação de pórticos simples. Assim como a viga Gerber é uma associação de vigas simples. Se forem isostáticos, o resultado será uma Associação de Pórticos Simples Isostáticos. 1. A B J K HDx C D Dy Dy E HxH H Hy Dx Hx Hy I GF A B C E D J K GF H I ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 78 2. 3. 4. ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 79 5. A D G 30 kN B 10 kN /m C E 20 kN F 5m8m 3m 2m 2m 4m Decompondo: ΣFx = 0 ∴ HC = 30 kN; ΣFy = 0 ∴ VA + VC = 80 kN; ΣMA = 0 ∴8.VC + 4.HC –80.4 – 30.2 = 0 VC = 32,5 kN VA = 47,5 kN ΣFx = 0 ∴ HD + HG +30 = 0 ΣFy = 0 ∴ VD + VG = 20 + 32,5 + 80 VD + VG = 132,5 kN ΣMD = 0 ∴ 8.VG – 20.5 – 80.4 – 30.4 = 0 VG = 67,5 kN VD = 65 kN MCD = 0 ∴ 4.HD = 0 HD = 0 HG = - 30 kN A VA B 30 kN 10 kN/m C Vc Hc D VD GHD C30 kN 32,5 kN E 20 kN VG HG F 10 kN/m ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 82 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 83 Fonte: Vasconcelos, Augusto Carlos; Pontes Brasileiras, Viadutos e Passarelas notáveis, Editora PINI, São Paulo, 1993. Ponte Hercilio Luz (inaugurada 13/05/1926) ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 84 Exemplo de formas funiculares: Catenária Parábola Polígono Trapezóide Triângulo Carga Uniformemente Distribuída ao longo do vão Carga Uniformemente Distribuída ao longo do comprimento do cabo (peso próprio) Forma FunicularCarregamento ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 87 Faz-se uma seção no cabo que coincida com o ponto C escolhido e trabalha-se com a parte a esquerda ou a direita do ponto C, substituindo pelo seu efeito na seção. AH L/3 Ay = P C P NCD f ΣMc = 0 - H.f + (P.L) / 3 = 0, portanto H = (P . L) / 3f. Observe-se que quanto menor a flecha f, maior o empuxo H. E assim encontram- se as reações de apoio do cabo. É interessante a seguinte comparação: D L/3 A L/3 H P C P B H = PL / 3f L/3 P f P P Ay* = P A P By* = P B L/3 L/3 L/3 ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 88 Observa-se que as reações de apoio verticais coincidem para o cabo “AB” e para a viga “AB” de idêntico vão e carregamento. Logo, as reações de apoio verticais do cabo podem ser encontradas pela substituição do cabo por uma viga com idêntico vão e carregamento: Ay e By (no cabo) = Ay* e By* (na viga). Doravante, toda referência a reações de apoio e esforços na viga de substituição serão identificados por um asterisco. No entanto, a vantagem de comparar o cabo AB a uma viga de substituição AB não está somente nas reações de apoio verticais. Observamos o diagrama de momentos fletores para a viga de substituição e comparemos ao empuxo horizontal no cabo: D P P A P PL / 3f C A P P B P H = PL / 3fB PL/3 (+) DMF PL/3 L/3L/3 L/3 f L/3 L/3 L/3 M*máx = PL / 3, logo H = PL / 3f = M*máx / f. Onde f é a distância vertical máxima do cabo até a linha de fechamento entre as extremidades A e B do cabo. Vejamos para outras condições de carregamento: ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 89 a) L/2 L/2 P f P/2P/2 PL / 4f H = PL / 4f P L/2 L/2 P/2 P/2 (+) PL/4 DMF C ΣMc = 0 - H.f + (P/2).(L/2) = 0, portanto H = (P . L) / 4f = M*max/f ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 92 Esforço normal no trecho CD: f P P F C APL/3f NCD ΣFx = 0 NCD = H = P L / 3 f; ΣFy = 0 P – P = 0, equilíbrio satisfeito Esforço normal no trecho DB: NDB = NAC = [ (P L / 3 f) 2 + P 2 ] ½ Observa-se, da comparação entre NAC e NCD, que o esforço normal máximo de tração no cabo AB ocorre nos trechos AC e DB, trechos adjacentes aos apoios das extremidades. Esta é uma das características dos cabos, os esforços normais máximos ocorrem nas seções dos cabos próximas aos vínculos externos, pois é onde a componente vertical do esforço normal, NY, é de maior valor. Calculando agora os esforços normais para um cabo com carga uniformemente distribuída ao longo do vão: y q L qL/2 H x qL/2 f H = qL² / 8f ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 93 Cortando o cabo em uma seção genérica de coordenadas (x,y): Nsy y q S H qL/2 x Ns Nsx Aplicando-se as equações de equilíbrio: ΣFx = 0 NSx = H ; ΣFy = 0 NSy – q L / 2 + q x = 0 NSy = q L / 2 - q x, sendo para x = 0, NSy = q L / 2 ; para x = L/2, NSy = 0. Para o ponto x = L / 2, onde ocorre a flecha f, distância máxima da linha AB, não há componente vertical do esforço normal de tração. Logo, o esforço normal varia ao longo do comprimento do cabo: Para x = 0 NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ] ½ NS = [ (H)2 + (q L /2)2 ] ½ Valor Máximo Para x = L / 2 NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ] ½ NS = [ (H)2 + (0)2 ] ½ NS = H Valor Mínimo Comparando o valor de NSy com os esforços da viga de substituição submetida a idêntico carregamento, constata-se que a variação de NSy para x=0 é q L / 2 e para x=L/2 é nulo, coincidindo com a variação do esforço cortante na viga: ECV 5219 – Análise Estrutural I - Departamento de Engenharia Civil da UFSC Prof a. Ângela do Valle (ECV/CTC/UFSC) e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC) Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas - GRUPEX Colaboração: Programa de Educação Tutorial - PET 94 (+) L qL/2 qL/2 A -qL/2 Vs* Vs* (-) qL/2 B q Portanto, pode-se concluir que o esforço normal de tração para um cabo é estimado pela expressão: NS = [ (NSx)2 + (NSy)2 ] ½ NS = [ (H)2 + (VS*)2 ] ½ Onde H: Empuxo horizontal nas extremidades do cabo e; VS* : Esforço cortante para uma seção genérica da viga de substituição. Exercício Proposto: Determinar os esforços normais para cada trecho da estrutura: