O Atomo e a Mecanica Quantica

O Atomo e a Mecanica Quantica

UFSC – Departamento de Química QMC 5106 (Engenharia de Produção Elétrica) e QMC 9502 (Licenciatura em Física) Prof. Dr. Marcos Aires de Brito (2/03/2011)

O Átomo e a Mecânica Quântica

A nossa abordagem a seguir se dirige para os alunos dos Cursos de Engenharia de Produção Elétrica (primeira fase do curso presencial na UFSC) e para os alunos da quarta fase do Curso de Licenciatura em Física na modalidade à distância – UFSC, mais interessados em conhecer a equação de Schrödinger.

Baseado em observações do espectro do átomo de hidrogênio Niels Bohr postulou um modelo dinâmico para o átomo. Com esse modelo Bohr foi capaz de interpretar o espectro do átomo de hidrogênio na ausência de um campo magnético, entretanto, na presença de um campo magnético o espectro torna-se complicado, devido aos efeitos observados por Zeeman (1896) e a teoria de Bohr não mais funciona. Do mesmo modo, para os átomos e/ou os íons multieletrônicos são necessárias outras variáveis, tornando o modelo de Bohr impossível de ser utilizado.

A teoria eletromagnética ondulatória clássica de J. C. Maxwell (1864) teve de ser reformulada a partir da observação do efeito fotoelétrico e do efeito Compton. A teoria quântica inicial ou a “velha Física Quântica” do início do século X teve a contribuição de Louis de Broglie (1924) que sugeriu uma natureza dual de partículaonda para o elétron. Heisenberg (1927), através do princípio de incerteza, introduziu a idéia que, embora o elétron possa ser considerado como uma partícula, pois possui massa, não poderia ser descrito de maneira tão precisa quanto aquela apresentada pelo modelo simples de Niels Bohr para o átomo de hidrogênio.

Estas duas considerações, ou seja, a hipótese de Louis de Broglie e o princípio de incerteza de Werner Heisenberg foram fundamentais para o surgimento da “moderna Física Quântica” ou Mecânica Ondulatória, também denominada Mecânica Quântica. A Mecânica Quântica foi construída com base no conceito de partícula-onda, principalmente considerando o elétron como onda. Max Born e Werner Heisenberg utilizaram cálculo matricial, que opera com um conjunto de coordenadas de um sistema de osciladores que representa cada átomo, mas Erwin Schrödinger (1926), mediante a utilização de cálculo diferencial, optou pela substituição das equações de movimento da Mecânica Clássica, pela equação de onda Ĥ = . Schrödinger demonstrou a equivalência entre as duas formas da Mecânica Ondulatória e assim compartilhou o Prêmio Nobel de Física de 1933 com o físico P. A. M. Dirac, por seus trabalhos sobre Mecânica Quântica. O postulado fundamental da moderna teoria quântica ondulatória é representado pela equação de Schrödinger.

O nosso objetivo aqui se dirige para uma interpretação fenomenológica da equação de Schrödinger, mas você encontrará em livros de Química Quântica uma abordagem matematizada sobre a equação de Schrödinger aplicada ao átomo de hidrogênio, a átomos e íon multieletrônicos e a moléculas. Enquanto que a mecânica ondulatória oferece uma descrição exata do átomo de hidrogênio, a solução da equação de Schrödinger para átomos, seus íons multieletrônicos e moléculas é aproximada.

A Equação de Schrödinger

Para descrever o comportamento de partículas subatômicas, Erwin Schrödinger (1926) propôs a equação de onda Ĥ = , como um postulado fundamental da Mecânica Quântica. A equação de Schrödinger indica que um operador de energia total, denominado Hamiltoniano (Ĥ), operando sobre uma função de onda ( ), resgata essa função de onda e estabelece a energia do sistema ( ). Portanto, para se conhecer os estados de energia, para cada sistema em estudo, será necessário resolver a equação de Schrödinger. Você teria que propor uma equação matemática para Ĥ e realizar as operações em .

Para ondas reais, corresponde a amplitude da onda, sendo a intensidade de ondas de luz dada pelo quadrado da amplitude, 2. A Mecânica Ondulatória de Schrödinger é representada por uma equação diferencial de segunda ordem, envolvendo derivadas parciais.

O significado de

É possível se estabelecer uma correspondência entre os conceitos ondulatórios e corpusculares. Podemos determinar a intensidade de um feixe de elétrons a partir de um ponto de vista corpuscular como uma quantidade proporcional à densidade do feixe, ou seja, o número de elétrons por cm3. Considerando o conceito de onda e como a intensidade de uma onda é proporcional ao quadrado da sua amplitude, a intensidade do feixe de elétrons deve ser também considerada proporcional a 2, ou mais precisamente, 2 = *.

* se refere ao complexo conjugado de , pois a função de onda é uma quantidade complexa e assim, 2 adquire o significado de densidade. Multiplicando 2 pela carga do elétron edV, que é um elemento de volume, obtemos um valor que se refere à carga desse elemento de volume, e 2dV. Integrando em todo o volume, obtemos a carga desse volume. Para ter significado físico a função de onda deve ser normalizada, de modo que a magnitude dessa carga seja igual à carga do elétron, ou seja, 2dV =

1, que é conhecida como condição de normalização. De acordo com Max Born, 2dV se refere à probabilidade de se encontrar um elétron em um elemento de volume dV.

Portanto 2 é denominada densidade de probabilidade.

A condição de normalização indica que a probabilidade de encontrar um elétron no átomo é igual a um. A partir da interpretação probabilística de Ψ, conclui-se que a posição ou a trajetória de um elétron não pode ser determinada com precisão, como era prevista pela Mecânica Clássica. Portanto, calculando 2 podemos determinar a probabilidade de encontrar o elétron em um dado ponto no espaço atômico. Esta característica da teoria quântica moderna assume a forma do princípio de incerteza de Heisenberg (1927), que surgiu da necessidade de se considerar, simultaneamente, a característica partícula-onda para o elétron. Max Born, por suas pesquisas fundamentais em Mecânica Quântica e principalmente pela interpretação estatística da função de onda, dividiu o Prêmio Nobel de Física de 1954 com Walther Bothe que apresentou um método coincidente e também pela sua contribuição para a teoria quântica.

Dedução da equação de Schrödinger.

Ondas eletromagnéticas são caracterizadas pelos parâmetros, a = amplitude e = comprimento de onda, conforme a representação de uma onda monocromática se propagando na direção x e a correspondente equação de onda.

x a

Para se obter a equação de Schrödinger, a é substituído por e é substituído pela relação de Louis de Broglie, = h / p, onde p = mv indica o momento (quantidade de movimento) da partícula.

Para uma partícula em movimento, por exemplo, o elétron no átomo de hidrogênio, em um campo de potencial, a energia total é dada por ET = EC + Ep.

Ou

O Operador Hamiltoniano

Como a expressão clássica para a energia total é uma função de Hamilton, o correspondente operador é denominado Hamiltoniano. O Hamiltoniano para um sistema com uma partícula é dado pela seguinte equação, envolvendo um operador de energia cinética e outro de energia potencial.

Na formulação clássica, T = ½ mv2 = p2/2m p = mv E = p2/2m + V (Energia total de uma partícula de massa m)

Considerando que a ação de forças sobre a partícula é definida pelo potencial, V e sendo F = - dV/dx, introduzindo o operador mecânico-quântico para a energia cinética,

T = - i d/dx, portanto temos a expressão para o operador Hamiltoniano:

Ĥ = 1/2m[-i d/dx (- i d/dx)] + V Ou

Para coordenadas cartesianas, o momento, Pq, é substituído pelo operador diferencial, sendo considerada a seguinte relação:

nde qihq h i

Exemplo: Construção do operador mecânico quântico para a energia cinética, T.

A expressão clássica para a energia cinética de uma partícula é dada pela seguinte equação.

T = 1/2m (px2 + py2 + pz2)

Utilizando a prescrição para o operador diferencial e sendo cuidadoso na ordem das operações, a equação anterior pode ser transformada na seguinte equação:

2 = operador Laplaciano

Sendo o operador da energia potencial uma função das coordenadas q, a seguinte equação representa o operador Hamiltoniano para um sistema com uma partícula.

O Sistema de Coordenadas Esféricas Polares

O átomo de hidrogênio e íons do tipo He+, Li2+ etc., (isoeletrônicos ao átomo de hidrogênio) podem ser estudados impondo-se as mesmas condições de contorno, ou seja, as mesmas condições impostas ao problema para a sua solução e representam uma situação considerada simples. Essas espécies químicas apresentam carga nuclear +Ze, massa M e um elétron (de carga–e, e massa m), portanto, o potencial coulômbico do núcleo apresenta simetria esférica.

Como o átomo de hidrogênio pode ser considerado como um sistema centrossimétrico, ou seja, com um elétron e um próton no átomo, ao invés do sistema de coordenadas cartesianas, convêm resolver a equação de Schrödinger mediante a utilização do sistema de coordenadas esféricas polares.

m m iiiiiiT zyx zyx

As coordenadas esféricas polares e as suas relações com o sistema cartesiano de coordenadas encontram-se representadas na seguinte figura. Devemos declarar que não é escopo deste arquivo resolver a equação de Schrödinger, mas apenas apresentar uma breve introdução a Mecânica Quântica que interessam, pois interessa para a Química.

Coordenadas cartesianas e esféricas polares de um ponto P. Um elemento de volume em P d = dxdydz = r2sen drd d . r = raio; = colatitude; = azimute.

Em coordenadas cartesianas (retangulares), um ponto P(x, y, z) é definido por 3 distâncias sobre 3 eixos mutuamente perpendiculares, mas no sistema de coordenadas esféricas polares um ponto P(r, e ) é definido por 2 ângulos e uma distância. Desse modo o Laplaciano, no sistema de coordenadas esféricas polares, é dado pela seguinte equação:

senrrrr sen senrr

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