Baixe Análisis Estructural - Roberto Falconi e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! = E es a] Es Si = To ho = E E Es rms : a GA Presentación La primera edición del libro: “Análisis Matricial de Estructuras” fue publicado en 1982 y sirvió durante varios años como texto de consulta de la materia que se creó con el mismo nombre en 1982 en la Facultad de Ingeniería Civil de la Escuela Politécnica del Ejército. El Ing. Adrián Herrera Vela en esa época alumno de VI Nivel tuvo la paciencia de escribir el libro en una máquina portátil en la cual si se equivocaba tenía dos opciones, repetir la página o usar tinta blanca correctora, era muy difícil escribir en esa época. Este texto tuvo 274 páginas. La segunda edición del libro: “Análisis Matricial de Estructuras” se publicó en 1995, fue una edición que tuvo 15 capítulos y 612 páginas. La diferencia de páginas habla por si solo de que prácticamente era un nuevo libro que en ésta ocasión fue escrito por el Ing. Héctor Oña G., que por esos tiempos era estudiante de Ingeniería Civil de la ESPE. La presentación de éste libro fue realizada por el Ing. Ignacio Dávila Rojas y el prólogo fue escrito por el Ing. Alejandro Segovia Gallegos, que ha criterio del autor han sido los principales profesores que ha tenido la ESPE no solo por sus conocimientos y entrega a la cátedra sino por su gran calidad humana. Fue un honor que me hicieron estos dos grandes maestros en escribir la presentación y el prólogo de ese libro con palabras muy bondadosas que han servido de estímulo en mi trayectoria académica y científica. Decidí escribir la tercera edición ante el reiterado pedido de estudiantes de varias universidades del Ecuador que me pedían que les preste la segunda edición del libro para fotocopiarlo y así seguir las clases de sus profesores. El 16 de diciembre de 2003 fui invitado por el Ing. Diego Barahona, profesor de la Universidad Nacional del Chimborazo y ex alumno del autor del libro a que dicte un curso sobre “Análisis Sísmico por Desempeño” en la ciudad de Riobamba y nuevamente se repitió el pedido de que necesitaban el libro de “Análisis Matricial de Estructuras” ahí fue cuando decidí trabajar a tiempo completo en la edición del presente libro. En ésta ocasión personalmente me dedique a escribir el texto teniendo como base el libro de la segunda edición, con las herramientas informáticas que se disponen actualmente es más sencillo escribir los libros en relación a la forma como lo hacíamos por 1980 o 1990. A pesar de que se tiene esta ayuda informática, escribir un libro demanda demasiado tiempo pero únicamente el pensar que va a ser de gran utilidad a tantos estudiantes le da animo a sacrificarse a sabiendas de que escribir un libro técnico en el Ecuador no es rentable desde el punto de vista económico pero si desde el punto de vista espiritual que es más valioso que el primero. La tercera edición del libro tiene 17 capítulos, dos más que el anterior ya que este libro fue escrito para cubrir el programa de estudios de la materia “Análisis Matricial de Estructuras” que se dicta en la ESPE en V Nivel, y el programa termina con el cálculo de la matriz de rigidez en coordenadas de piso orientado al análisis sísmico de edificios considerando piso rígido. De tal manera que la segunda edición estaba incompleta puesto que el programa de estudios no se termina con la programación de una estructura que era el último capítulo de la segunda edición. Debo manifestar que al escribir la tercera edición no me gustó la redacción empleada en la segunda edición, había temas que los consideraba que no estaban lo suficientemente explicados y por eso decidí realizar más ejemplos para que el texto sea más didáctico para los estudiantes. De ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS iv 2.1.1 Vector q 21 2.1.2 Coordenadas generalizadas ortogonales 23 Ejemplo 1 23 2.1.3 Coordenadas generalizadas no ortogonales 24 Ejemplo 2 24 2.1.4 Diagramas de deformación elementales 25 Ejemplo 3 25 2.2 CARGAS GENERALIZADAS DE UNA ESTRUCTURA 27 2.2.1 Hipótesis considerada 27 2.2.2 El sistema Q – q 29 2.2.3 Solución general del problema 29 2.2.4 Problema primario 30 2.2.5 El problema complementario 30 2.3 DESPLAZAMIENTO DE LOS ELEMENTOS 32 2.4 EJERCICIOS RESUELTOS 34 Ejemplo 4 34 Ejemplo 5 35 2.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 37 CAPITULO 3 FUNCIONES DE FORMA O DE INTERPOLACIÓN 3.1 ORDENADAS DE LA ELASTICA 39 3.2 PRIMERA FORMA DE CALCULO 40 3.2.1 Efecto de u1 en la ordenada de la elástica 40 Ejemplo 1 42 3.2.2 Efecto de v1 en la ordenada de la elástica 43 Ejemplo 2 45 3.2.3 Efecto de 1θ en la ordenada de la elástica 47 Ejemplo 3 48 3.3 TERCERA FORMA DE CALCULO 48 3.3.1 Expresiones de la Elástica 48 3.3.2 Desplazamientos como cuerpo rígido 49 3.3.3 Cálculo de )(4 xφ 49 3.3.4 Cálculo de )(5 xφ y )(6 xφ 50 3.3.5 Resumen de las funciones de forma para miembros lineales totalmente Flexibles de sección constante 51 3.3.6 Funciones de forma para miembros axialmente rígidos 51 3.3.7 Funciones de forma para miembros transversalmente rígidos 52 3.4 CUARTA FORMA DE CALCULO 52 3.4.1 Planteamiento de elementos finitos 52 3.4.2 Cálculo de la matriz de rigidez de miembro 53 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS v 3.5 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE FORMA 54 3.5.1 Cálculo de momentos de empotramiento 54 3.5.2 Cálculo de cortantes de empotramiento 55 3.5.3 Cálculo de la fuerza axial de empotramiento 56 Ejemplo 4 57 Ejemplo 5 58 Ejemplo 6 59 Ejemplo 7 60 Ejemplo 8 62 3.5.4 Cálculo de las deflexiones 63 Ejemplo 9 64 Ejemplo 10 65 3.6 APLICACIÓN A LA INGENIERIA SISMORRESISTENTE 67 Ejemplo 11 68 3.7 EJERCICIOS RESUELTOS 71 Ejemplo 12 71 Ejemplo 13 73 Ejemplo 14 75 3.8 EJERCICIOS PROPUESTOS 77 CAPITULO 4 VECTOR DE CARGAS GENERALIZADAS Q 4.1 PROBLEMA PRIMARIO Y COMPLEMENTARIO 81 4.1.1 Introducción 81 4.1.2 Problema primario 82 4.1.3 Problema complementario 83 4.1.4 Problemas numéricos 84 Ejemplo 1 84 Ejemplo 2 86 Ejemplo 3 89 Ejemplo 4 91 4.2 TRABAJOS VIRTUALES 93 Ejemplo 5 94 4.3 EJERCICIOS RESUELTOS 98 Ejemplo 6 98 Ejemplo 7 102 Ejemplo 8 106 Ejemplo 9 108 Ejemplo 10 109 Ejemplo 11 117 Ejemplo 12 121 4.4 EJERCICIOS PROPUESTOS 123 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS vi CAPITULO 5 RELACION ENTRE DOS SISTEMAS DE COORDENADAS 5.1 CAMBIO COORDENADAS 125 5.2 PUNTO DE VISTA GEOMÉTRICO 126 5.2.1 Relación entre dos sistemas de coordenadas generalizadas 126 Ejemplo 1 127 5.2.2 Relación entre dos sistemas de cargas 129 5.3 PUNTO DE VISTA ESTATICO 131 5.3.1 Relación entre dos sistemas de cargas 131 Ejemplo 2 132 5.3.2 Relación entre dos sistemas de desplazamiento 136 5.3.3 Relación entre T y 1T 137 5.4 RELACION ENTRE SISTEMAS DE COORDENADAS NO GENERALIZADAS 138 5.4.1 Relación qTqng = 138 5.4.2 Relación ng t QTQ = 138 5.5 CALCULO DEL VECTOR Q POR MEDIO DE LA MATRIZ T 139 5.5.1 Matriz 32−T 139 5.5.2 Cálculo de Q orientado al ordenador 141 5.5.2.1 Caso de cargas en las juntas 141 Ejemplo 3 141 5.5.2.2 Caso de cargas en los elementos 143 Ejemplo 4 144 5.6 EJERCICIOS RESUELTOS 147 Ejemplo 5 147 Ejemplo 6 150 Ejemplo 7 152 Ejemplo 8 154 Ejemplo 9 165 Ejemplo 10 173 5.7 EJERCICIOS PROPUESTO 174 CAPITULO 6 RELACION ENTRE CARGAS Y DESPLAZAMIENTOS GENERALIZADOS. ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES 6.1 MATRIZ DE RIGIDEZ 179 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ix CAPITULO 9 MATRICES A Y B 9.1 RELACION ENTRE DESPLAZAMIENTOS Y DEFORMACIONES 267 9.1.1 Introducción 267 9.1.2 Definición 268 9.1.3 Matriz fuerza carga tA 268 9.2 CALCULO DE LA MATRIZ A 269 9.2.1 Pórticos planos 269 Ejemplo 1 269 Ejemplo 2 275 Ejemplo 3 279 9.2.2 Armadura plana 284 Ejemplo 4 285 Ejemplo 5 287 Ejemplo 6 289 9.2.3 Coordenadas pP − arbitrarias 292 Ejemplo 7 293 9.3 RELACION ENTRE CARGAS GENERALIZADAS Y FUERZAS INTERNAS 295 9.3.1 Introducción 295 9.3.2 Definición 296 9.3.3 Relación entre B y A 296 9.4 CALCULO DE LA MATRIZ B 296 9.4.1 Coordenadas pP − usuales 296 Ejemplo 8 296 Ejemplo 9 301 Ejemplo 10 303 9.4.2 Coordenadas pP − arbitrarias 304 Ejemplo 11 304 9.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 309 CAPITULO 10 CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA POR MEDIO DE LA MATRIZ A 10.1 FORMULACION MATRICIAL 313 Ejemplo 1 313 10.2 CALCULO DE K TRABAJANDO CON SUBMATRICES 316 Ejemplo 2 318 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS x 10.3 CALCULO DE K CON CUALQUIER SISTEMA pP − 319 Ejemplo 3 320 Ejemplo 4 322 10.4 EDIFICIO DE CORTE 324 Ejemplo 5 324 10.5 DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL TRIPLE PRODUCTO MATRICIAL 326 10.6 USO DE CAL 329 Ejemplo 6 331 10.7 EJERCICIOS RESUELTOS 331 Ejemplo 7 331 Ejemplo 8 334 Ejemplo 9 336 Ejemplo 10 338 Ejemplo 11 339 Ejemplo 12 341 Ejemplo 13 342 Ejemplo 14 343 Ejemplo 15 344 Ejemplo 16 344 10.8 EJERCICIOS PROPUESTOS 345 CAPITULO 11 EL METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS 11.1 CONSIDERACIONES GENERALES 349 11.1.1 Reseña Histórica 349 11.1.2 Ideas generales del método 350 11.1.3| Comentarios del método 351 11.2 SISTEMAS CINEMATICAMENTE DETERMINADOS 352 11.2.1 Indeterminación estática y cinemática 352 11.2.2 Definición de la matriz A 352 11.2.3 Procedimiento de solución 353 11.3 SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES 354 11.3.1 Método de Gauss 354 Ejemplo 1 354 11.3.2 Matriz Simétrica 359 11.3.3 Sistema de ecuaciones simétricas bandeadas 363 11.3.4 Otros métodos 365 11.3.5 Solución de ecuaciones con CAL 367 Ejemplo 2 367 Ejemplo 3 368 11.3.6 Otros comandos de CAL 368 11.4 PORTICOS PLANOS 369 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS xi 11.4.1 Cargas solo en los nudos 369 Ejemplo 4 369 11.4.2 Cargas en los elementos 374 Ejemplo 5 374 Ejemplo 6 375 11.4.3 Pórticos con elementos axialmente rígidos 378 Ejemplo 7 378 11.5 ARMADURAS PLANAS 381 11.5.1 Cargas en los nudos 381 Ejemplo 8 382 11.5.2 Cargas en nudos y miembros 385 Ejemplo 9 385 11.6 EJERCICIOS PROPUESTOS 388 CAPITULO 12 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO ORIENTADO AL USO DEL COMPUTADOR 12.1 ELEMENTOS DE SECCION CONSTANTE DE UN PORTICO PLANO 12.1.1 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales 391 12.1.2 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales 396 12.1.3 Matriz de rotación 32−T 398 12.2 ELEMENTOS DE SECCION CONSTANTE DE UNA ARMADURA PLANA 12.2.1 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas locales 399 12.2.2 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales 401 12.3 ELEMENTOS DE SECCION CONSTANTE O VARIABLE DE UN PORTICO 12.3.1 Sistema 1 402 12.3.2 Forma general de k2 en coordenadas locales 404 12.3.3 Consideraciones del efecto de corte en un elemento de sección constante 405 12.4 DIAGRAMA DE MASAS ELASTICA 12.4.1 Definiciones y nomenclatura 407 12.4.2 Cálculo de α 408 12.4.3 Cálculo de ε 409 12.4.4 Cálculo de 'α 409 12.5 EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo No. 1 410 Ejemplo No. 2 412 Ejemplo No. 3 414 12.6 ELEMENTO LINEAL CON DOS SECTORES DE RIGIDEZ INFINITA 416 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS xiv 16.3.1 Caso en que Qb = 0 504 Ejemplo No. 5 504 16.3.2 Caso en que Qa = 0 505 16.4 CONDENSACION MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS 505 Ejemplo No. 6 506 16.5 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL 507 16.5.1 Vigas axialmente rígidas y columnas totalmente flexibles 507 Ejemplo No. 7 508 16.5.2 Vigas y columnas axialmente rígidas 509 Ejemplo No. 8 510 16.6 SIGNIFICADO FISICO 512 16.7 ANALISIS CON PISO FLEXIBLE 512 Ejemplo No. 9 514 16.8 VARIABLES EN LA MODELACIÓN 515 16.8.1 Modelación de las condiciones de apoyo 516 Ejemplo No. 10 516 16.8.2 Modelación de las inercias 518 16.8.3 Modelación de los nudos 521 16.9 EJERCICIOS PROPUESTOS 521 Ejercicio No. 1 522 Ejercicio No. 2 522 Ejercicio No. 3 522 Ejercicio No. 4 522 Ejercicio No. 5 522 CAPITULO 17 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO 17.1 DESCRIPCION DEL MODELO 523 17.2 HIPOTESIS DEL MODELO 525 17.3 MATRIZ KE 525 Ejemplo No. 1 526 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS xv Ejemplo No. 2 528 17.4 SUBMATRICES DE KE 532 Ejemplo No. 3 533 17.5 ESTRUCTURACION SÍSMICA 534 17.6 CENTRO DE RIGIDEZ 536 17.6.1 Análisis en Sentido X 536 17.6.2 Análisis en Sentido Y 537 Ejemplo No. 4 537 17.7 CENTRO DE RIGIDEZ EN FUNCION DE RIGIDEZ “t” 539 Ejemplo No. 5 539 17.8 CENTRO DE RIGIDEZ EN FUNCION DE RIGIDEZ DE PISO Ejemplo No. 6 541 17.9 EJERCICIOS PROPUESTOS 542 LIBROS DEL AUTOR EN INTERNET Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar Daño Sísmico en los Países Bolivarianos 545 Análisis Sísmico por Desempeño 548 LIBROS DEL AUTOR EN INTERNET SISTEMA DE COMPUTACIÓN CEINCI3 PARA EVALUAR DAÑO SÍSMICO EN LOS PAÍSES BOLIVARIANOS • R. Aguiar • Derecho de Autor N. 016638. • ISBN 9978-42-353-2 Libros Publicados en el Ecuador y que están en Internet Roberto Aguiar Falconí 548 ANÁLISIS SÍSMICO POR DESEMPEÑO • R. Aguiar • Derecho de Autor N. 018400 • ISBN 9978-43-192-6 Capítulo 1.- Relación Momento Curvatura y VISION 2000. Resumen, Introducción, Esquema de Cálculo, Método de las Dovelas, Forma general de un diagrama momento curvatura, Rótula plástica, Formulas aproximadas para: viga simplemente armada, vigas doblemente armadas, columnas. Aplicaciones de la relación momento curvatura, Ductilidad local por curvatura, Reserva de ductilidad por curvatura, Redistribución de momentos, Inercias Agrietadas, Índice de daño sísmico local. Sismos de análisis de acuerdo a VISION 2000. Comportamiento Esperado. Capítulo 2.- Descripción numérica de la Técnica del Pushover y modelos de Plasticidad. Resumen, Introducción, Matriz de Rigidez del elemento para el modelo de plasticidad de Giberson, Estructura de Análisis, Matriz de Rigidez de la estructura, Solución Matricial, Descripción del Proceso de Cálculo, Resumen del cálculo de Inercias y Rigidez del Elemento, Resumen de cálculo de estructura completa, Resultados de la curva de capacidad resistente. Matriz de rigidez orientada al uso del computador, Análisis sin nudo rígido, Análisis con nudo rígido, Ensamblaje de la matriz de rigidez, Condensación estática de la matriz de rigidez, Condensación mediante solución de ecuaciones, Condensación mediante eliminación de Gauss. Matriz de rigidez lateral, vigas axialmente rígidas, vigas y columnas axialmente rígidas. Determinación de la curva de capacidad resistente. Modelos de plasticidad extendida, Propiedades Dinámicas. Libros publicados en Ecuador y que están en Internet Roberto Aguiar Falconí 549 Capítulo 3.- Un nuevo modelo de plasticidad para el Análisis Estático no lineal. Resumen, Introducción, Diagrama de Masas Elásticas, Matriz de Flexibilidad, Algoritmo de cálculo. Relaciones Momento Curvatura M-C. Longitud de Daño. Descripción de las estructuras con las cuales se analiza la bondad del modelo propuesto con relación a otros modelos de plasticidad extendida incluyendo el modelo del programa DRAIN. Curvas de capacidad sin considerar efecto ∆−P . Curvas de capacidad considerando efecto ∆−P . Modelo Bilineal. Análisis Estadístico. Otros modelos de plasticidad: Modelo de Rigidez Lineal, Modelo de Rigidez Constante, Conclusiones. Capítulo 4.- Incorporación del efecto de corte en los diagramas Momento Curvatura. Resumen, Introducción, Nuevo modelo para el hormigón confinado, Modelo del Acero, Ejemplo numérico de flexión. Relación corte ductilidad por rotación, Relación corte ductilidad para vigas rectangulares, Relación corte ductilidad para columnas rectangulares, Relación corte ductilidad para columnas circulares. Acoplamiento entre el efecto de corte y de flexión. Ejemplo numérico de flexión y corte, Reducción de la capacidad a flexión por efecto de corte, Incorporación del punto S en el diagrama MC, Ejemplo de una columna, Conclusiones. Capítulo 5.- Capacidad sísmica espacial de las estructuras con un modelo de tres grados de libertad. Resumen, Introducción, Análisis Plano, Modelo de Cálculo, Ejemplo Numérico, Programa Espacial. Centro de Resistencia. Estructuras con excentricidad de resistencia. Criterios para obtener el modelo bilineal: criterio de rigidez tangente horizontal, criterio de rigideces tangentes, critierio con iguales áreas, ajuste por mínimos cuadrados. Conclusiones. Capítulo 6.- Capacidad resistente sísmica en estructuras antiguas. Resumen, Introducción, Capacidad a Corte: relación corte ductilidad para vigas rectangulares, relación corte ductilidad para columnas rectangulares. Modelos de Plasticidad de Thom et al. Rigidez de corte: valores de corte máximo para rango elástico en vigas y columnas, rigidez equivalente. Estructura de Análisis. Curvas de capacidad sísmica. Conclusiones. Capítulo 7.- Espectro de Capacidad para modelo espacial. Resumen, Introducción, Ecuaciones de cálculo. Modelo de Análisis Espacial, Ejemplos desarrollados. Programa ESPACAP. Incertidumbre del modelo. Distorsión global y de piso. Espectro de Capacidad con límites de daño. Vibraciones Libres sin amortiguamiento, Valores Propios, Propiedades dinámicas, Modos de vibración. Algoritmo de 2/1M , Conclusiones. Capítulo 8.- Espectros sísmicos de riesgo uniforme para verificar desempeño estructural en Países Latinoamericanos. Resumen, Introducción, Zonificación sísmica y espectro elástico, Normativa de Venezuela, Normativa de Colombia, Código de Ecuador, Norma de Perú, Norma de Chile, Norma de Argentina. Análisis de estudios realizados en Venezuela, Análisis de estudios realizados en Colombia, Análisis de estudios realizados en Ecuador, Análisis de estudios realizados en Perú, Análisis de estudios realizados en Chile. Resumen de estudios realizados. Propuestas de formas espectrales. Espectros de Demanda. Peligrosidad Sísmica, Etapas de cálculo, Relación de recurrencia, Magnitud Máxima, Metodologías de evaluación. Conclusiones. Recomendaciones. Capítulo 9.- Aplicación del método del espectro de capacidad. El factor de reducción de las fuerzas sísmicas y teoría de espectros. Resumen, Introducción, Método del Espectro de Capacidad, Explicación del Método del Espectro de Capacidad, Factores de Reducción de: Wu y Hanson; Nassar y Krawinkler; Miranda; Ordaz y Pérez; Vidic, Fajfar y Fishinger; Arroyo. Comentarios sobre los factores de reducción. Factores de reducción considerando diferentes modelos histeréticos. Procedimiento de cálculo, Capacidad resistente para el caso plano, Modelo bilineal de la curva de capacidad resistente, capacidad resistente de estructura espacial, espectros de capacidad, cálculo del punto de demanda. Análisis en diferentes lugares de Sur América. Espectros Elásticos, Reseña Histórica, Espectros de Respuesta, Sistemas de un grado de libertad, Fracción del Libros Publicados en el Ecuador y que están en Internet Roberto Aguiar Falconí 550 amortiguamiento crítico, Importancia de las formas espectrales, Pseudo Espectros, Espectros de respuesta suavizados, Estimación de los movimientos del terreno, Influencia del suelo. Conclusiones. Capítulo 10.- Método del Sistema Equivalente y Respuesta Lineal o no Lineal. Resumen, Fuerzas laterales para Pushover: criterio del modo fundamental, criterio de los modos superiores, ejemplos de aplicación. Sistema equivalente de 1 gdl. Modelo de Rodríguez (1994), Modelo de Fajfar y Gaspersic (1996), Modelo de Esteva (1999), Modelo de Aguiar (2001), Modelo de Ayala (2001), Ejemplo de aplicación. Amortiguamiento viscoso equivalente, cálculo de la energía disipada, cálculo de la energía absorbida por el sistema, cálculo de amortiguamiento viscoso equivalente, amortiguamiento viscoso efectivo. Aplicación del Método. Método del Espectro de Capacidad. Respuesta en sistema de múltiples grados de libertad. Respuesta Lineal y no Lineal. Análisis lineal con β de Newmark, Procedimiento de cálculo para análisis lineal, Procedimiento de cálculo para análisis no lineal. Conclusiones. Capítulo 11.- Método del sistema lineal de corte. Caso Plano y el Método de Jacobi. Resumen, Antecedentes, Eje de corte, Rigidez de Piso, Método del Sistema equivalente de corte, Ejemplo de aplicación. Método de Jacobi: desarrollo del método, procedimiento de cálculo, cálculo de los valores propios, ejemplo de aplicación, ortogonalidad de los vectores propios. Conclusiones. Capítulo 12.- Método de Superposición Modal. Resumen, Descripción general del método, Vectores propios normalizados, Caso de análisis sísmico. Organización del Método de Superposición Modal. Método de superposición Modal con Espectro. Respuestas Modales Máximas: Desplazamientos modales máximos, Fuerzas equivalentes y Cortantes, Peso efectivo Modal. Criterios de combinación modal: criterio del máximo valor probable, criterio de la doble suma, criterio de la combinación cuadrática completa, criterio AGH. Aplicación utilizando el CEC-2000. Diseño de vigas y columnas, Capacidad sísmica resistente. Cálculo de wR y desempeño sísmico. Análisis Espacial. Matriz de rigidez en coordenadas de piso. Matriz de Masas, Factores de Participación Modal, Procedimiento de cálculo, Torsión accidental, Simultaneidad de Acciones Sísmicas, Conclusiones. Capítulo 13.- Pérdidas Económicas. Resumen, Introducción, Modelo de Hazus, Ejemplo de aplicación en un edificio de 6 pisos. Índice de Desempeño, Nuevo modelo de pérdidas, Ejemplo de aplicación al caso de una residencia de dos pisos la misma que es analizada con tres estructuraciones una de ellas en base a vigas banda, otra con vigas descolgadas y otra con vigas descolgadas en el perímetro y banda en los ejes centrales, análisis ante varios sismos en términos estructurales y económicos. 343 p, Quito, agosto de 2003. Dirección: Centro de Investigaciones Científicas (CEINCI) Escuela Politécnica del Ejército Av. El Progreso s/n Valle de los Chillos, Ecuador Telfax: 593-2-2338421 E. mail: raguiar@espe.edu.ec Web : http://www.espe.edu.ec ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 3 Figura 1.4 Empotramiento fijo El calculista estructural en su modelo matemático, de acuerdo a la forma como va a construir es el que decide que tipo de vínculo tiene. A los vínculos interiores se denominan articulaciones y se los representa con un círculo de la siguiente manera. Figura 1.5 Articulación interior. El momento es nulo en la articulación, la barra a la izquierda de la articulación tendrá un giro el mismo que es diferente de la barra que esta a la derecha de la articulación. Este tipo de vínculo se usa con cierta frecuencia en el diseño de puentes, en los elementos horizontales (superestructura). También se lo utiliza en el análisis sísmico de estructuras para representar las rótulas plásticas que no es más que un modelo matemático que indica que una sección ya no puede resistir más momento y empieza a rotar, empieza a disipar energía. 1.1.2 Elementos En los cursos de estructura se estudia solamente elementos lineales, aquí se recordará que son elementos o miembros lineales y posteriormente se hablará de otros elementos que dependerán para determinado análisis estructural. Un elemento lineal es generado por un área plana, cuyo centro de gravedad describe una curva, en general alabeada, llamada directriz o eje, manteniendo su plano perpendicular a la curva. El área móvil puede cambiar de magnitud y forma, siempre que ello se realice de modo continuo. Las dimensiones del área transversal deben ser pequeñas en comparación con la longitud de la directriz. En general, los elementos se representan por su eje o directriz. En las figuras 1.6.1, 1.6.2, 1.6.3 y 1.6.4 se indican varios de los elementos mencionados. 1.1.3 Juntas Se denominan juntas o nudos a los puntos de concurso de varios elementos. Es decir al medio de conexión de dos o más elementos. Normalmente se representa un nudo con un punto el mismo que corresponde a la intersección de los elementos que concurren a él. Rx Ry 4 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE En este libro se dibujará una pequeña longitud de los elementos que llegan al nudo como lo muestra la estructura de la figura 1.7.1. . Figura 1.7.1 Pórtico plano compuesto por 4 juntas y 3 miembros Figura 1.7.2 Representación más común de las juntas o nudos Figura 1.6.2 Elemento recto de sección variable Figura 1.6.1 Elemento recto de sección constante. Figura 1.6.3 Elemento curvo de sección constante. Figura 1.6.4 Elemento curvo de sección variable ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 5 Figura 1.8 Junta típica Es importante notar, que si bien a una junta se la representa como un punto, en la realidad esto no es así, ya que es un elemento físico que tiene dimensiones como lo señala la figura 1.8, que se desplaza y gira. Por lo tanto habrá que tener presente este hecho para el diseño en hormigón. Los últimos códigos del A.C.I., cada vez dan mayor importancia al diseño del nudo, es más en estructuras aporticadas construidas en zonas sísmicas se diseña de tal forma que el nudo sea fuerte y la viga débil. Una de las fallas más frecuentes durante los sismos es la falla de nudo, especialmente en los exteriores por falta de anclaje del hierro longitudinal. También han fallado debido a que han tenido una baja capacidad al cortante horizontal. Todo esto se indica con el objeto de que deben ser diseñados. Retomando el tema se puede manifestar que hasta ahora se ha considerado únicamente elementos rectos pero podemos tener otra clase de miembros; todo dependerá de cómo se ha definido la junta. En consecuencia el número de elementos de una estructura es un número arbitrario, dependiente de la elección considerada. Por lo tanto un elemento no tiene porqué tener únicamente dos juntas. La ventaja de elegir estos elementos de geometría diferente a la que estamos acostumbrados se tiene cuando se estudia el tema de las subestructuras. En las figuras 1.9.1, 1.9.2 y 1.9.3, se muestran varios elementos especiales. Cuando se realiza el análisis sísmico espacial de edificios considerando tres grados de libertad por planta se considera que cada uno de los pórticos planos es un elemento que están unidos entre sí por una losa rígida. 1.1.4 Estructuras Una estructura es una cadena elástica estable, compuesta por un número finito de elementos unidos entre si mediante un número finito de juntas, uno de cuyos números es arbitrario. Nótese que se han utilizado en la definición las palabras: “cadena” por la unión que tienen los diferentes elementos; “elástica” porque se consideran pequeñas deformaciones del orden de infinitésimos y “estable” en tal virtud no tiene sentido hablar de estructuras inestables. Es 8 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Figura 1.12.3 Coordenadas dependientes Figura 1.12.4 Coordenadas independientes Figura 1.12.5 Coordenadas Verticales Figura 1.12.6 Otra posibilidad de definir los Grados de libertad. No se puede seleccionar las coordenadas de la figura 1.12.3 puesto que las dos son dependientes ya que )()( 111 tLtX θ∗= . Se puede trabajar con los sistemas de coordenadas de las figuras 1.12.4, 1.12.5 o 1.12.6. Evidentemente que al trabajar con éste último sistema de coordenadas la solución del problema es más difícil. Lo importante es notar que el sistema tiene solo dos grados de libertad, ni más ni menos y que además las coordenadas que se seleccionen deben ser independientes. 1.2.2 Números de grados de libertad Se denomina número de grados de libertad al …número de coordenadas generalizadas que hay que emplear para definir la configuración del sistema… En este libro se entiende como sistema a una estructura. ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 9 Cuando el número de grados de libertad de un sistema es igual al número de coordenadas generalizadas se dice que este sistema es HOLONOMO. 1.2.3 Sistemas deformables En los sistemas analizados anteriormente se ha considerado que la masa es puntual, que la polea es rígida, las cuerdas inextensibles y el resorte indeformable. Hipótesis que se acostumbra realizar para simplificar la solución de los problemas. Ahora, se va a considerar un sistema continuo deformable. La figura 1.13 presenta una viga en voladizo cuya masa se encuentra uniformemente distribuida; en ella observamos que para cada punto P, dentro del intervalo LX ≤≤0 es necesario definir tres parámetros que son: u que es la componente de desplazamiento horizontal del punto P, v que es la componente de desplazamiento vertical del punto P y θ que es la rotación del punto P. Figura 1.13 Sistema continuo con infinito número de grados de libertad. Los valores de u , v, θ irán cambiando punto a punto a lo largo de toda la longitud de la viga, es decir que al considerar únicamente la directriz o eje de la viga, para cada punto P hay que dar dos desplazamientos y una rotación para determinar la configuración del sistema deformado. Por lo tanto de acuerdo a la definición del número de grados de libertad, podemos indicar que este sistema posee infinito número de grados de libertad. Los únicos que tienen un número finito de grados de libertad son los compuestos por partículas rígidas. Los sistemas deformables poseen infinito número de grados de libertad y para resolverlos se tiene que plantear la ecuación diferencial que gobierna el problema y resolver ésta ecuación en todo el dominio. 1.3 GRADOS DE LIBERTAD EN UNA ESTRUCTURA 1.3.1 Clases de estructuras Con fines didácticos se clasifican a las estructuras en este libro en: pórticos planos, armaduras planas, estructuras espaciales, armaduras espaciales y parrillas o mallas espaciales. Se puede extender la clasificación considerando por ejemplo vigas de cimentación u otro tipo de estructuras. Lo importante es indicar que éste libro está dedicado al estudio de Pórticos Planos y 10 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE Armaduras Planas pero los conceptos que se van a dar son generales y se aplican a cualquier tipo de estructura. Por ejemplo la forma como se realiza el ensamblaje directo para encontrar la matriz de rigidez en Pórticos Planos es la misma que para Estructuras Espaciales. Claro está que para cada caso se deben definir la respectiva matriz de rigidez del elemento y los correspondientes grados de libertad. 1.3.2 Pórticos planos con elementos flexibles Se inicia el estudio calculando el número de grados de libertad de un pórtico plano compuesto por elementos lineales que son totalmente flexibles, que no tienen restricción para deformarse a los cuales se les ha identificado con las letra oo IA , . La configuración del sistema vendrá dada por la posición de las juntas. Por consiguiente, la definición del número de grados de libertad no es la general enunciada en mecánica, sino una particular limitada a describir la posición de las juntas. En consecuencia, el número de grados de libertad es el mínimo número de coordenadas que es preciso determinar para definir la posición de las juntas o nudos. Para obtener el número de grados de libertad de una estructura primero se debe dibujar una deformada lo más general posible. Por ejemplo, para el pórtico plano de la figura 1.14.1, primero se identifica la posición inicial de los nudos con letras. Ahora por efecto de cualquier sistema de cargas presentará una deformada como la que se indica en la figura 1.14.2, en la cual a la posición final del nudo se los ha identificado con la misma letra pero con un índice. Nótese en esta deformada que el ángulo del nudo B se mantiene de la misma dimensión, es decir la rotación q3 en el nudo B de la columna AB es igual a la rotación q3 de la viga BC; lo propio sucede en el nudo C. Se considera que la junta o nudo se desplaza y gira en el plano. En resumen para definir la posición de las juntas A, B, C y D del pórtico plano de la figura 1.14.1 se requieren seis coordenadas generalizadas que están indicadas en la figura 1.14.2 a las cuales se las ha identificado con la letra q . El significado de cada variable se indica a continuación. Figura 1.14.1 Pórtico plano con elementos Figura 1.14.2 Deformada general totalmente flexibles. q1 Componente de desplazamiento horizontal de la junta B. q2 Componente de desplazamiento vertical de la junta B. q3 Rotación de la junta B. q4 Componente de desplazamiento horizontal de la junta C. q5 Componente de desplazamiento vertical de la junta C. q6 Rotación de la junta C. Por lo tanto la descripción estructural está limitada en el presente capítulo, a definir la posición de las juntas. ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 13 de libertad y esto es falso ya que el sistema tiene dos grados de libertad como lo ilustra la figura 1.17.2. De tal manera que las ecuaciones deben considerarse como referenciales. El objetivo de la deformada general es ayudar a identificar los grados de libertad no interesa por ahora que las rotaciones se dibujen en forma horaria o antihorario. 1.3.4 Pórtico plano con elementos transversalmente rígidos Se define como un elemento transversalmente rígido a aquel que no trabaja a flexión pero puede alargarse o acortarse, es decir que un miembro transversalmente rígido se deforma axialmente pero no transversalmente. Se representa a este tipo de miembro de la siguiente manera: ∞=I . El pórtico de la figura 1.18.1, tiene las columnas totalmente flexibles pero la viga es transversalmente rígida y axialmente flexible. En la figura 1.18.2, se representa una deformada lo más general posible. Por ser transversalmente rígido el elemento BC, se tiene que la rotación q3 en el nudo B es igual a la rotación en el nudo C. Nótese que no se ha colocado como coordenada generalizada el desplazamiento vertical del nudo C, debido a que este desplazamiento es dependiente de q1, q2, q3, y q4. Es decir no es una coordenada generalizada. Se puede demostrar que este desplazamiento vertical del nudo C es igual a: )( 1432 qqLqq −++ Figura 1.18.1 Pórtico con viga transversalmente rígida Figura 1.18.2 Deformada general Por lo tanto el pórtico de la figura 1.18.1, tiene 4 grados de libertad. En este caso, la ecuación que define el número de grados de libertad es: TVNDJNDJNGL E ∗−−= 2*)()(3 ( 1.3 ) 14 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE donde T es el número de elementos que son transversalmente rígidos. Para el pórtico de la figura 1.18.1, al aplicar la ecuación 3 se tiene: NGL = 3 (4) - 2 (3) - 2 (1) = 12 - 6 - 2 = 4 Para un pórtico plano con elementos axialmente rígidos y transversalmente rígidos, el número de grados de libertad, viene definido por la ecuación (1.4) la misma que se constituye en una fórmula general para marcos planos. TAVNDJNDJNGL E ∗−∗−−= 21*)()(3 1.3. 5 Pórtico plano con elementos totalmente rígidos Se define como un elemento totalmente rígido a aquel que es longitudinal y transversalmente rígido. Es decir su representación es: ∞=A e ∞=I . El pórtico de la figura 1.19.1, tiene las columnas totalmente flexibles, pero su viga es completamente rígida. En la figura 1.19.2, se dibuja la deformada lo más general posible. Figura 1.19.1 Pórtico con viga totalmente rígida Figura 1.19.2 Deformada general En el análisis sísmico de pórticos planos se acostumbra considerar que todas las vigas de un piso son axialmente rígidas de tal manera que todos los nudos se desplazan horizontalmente la misma cantidad. También se considera que la losa de entrepiso es totalmente rígida, en el Análisis Sísmico en tres dimensiones. En el análisis de armaduras planas en cambio se considera que sus elementos son transversalmente rígidos. Estos tres ejemplos que se han indicado tienen como objetivo mostrar la necesidad de aprender a trabajar con elementos ∞=A y/o ∞=I . ( 1.4 ) ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 15 1.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN • EJEMPLO 1 En el sistema mostrado en la figura 1.20.1, se pide: a) Calcular el número de grados de libertad. b) Dibujar una deformada lo mas general posible. Figura 1.20.1 Estructura de análisis del Ejemplo 1 • SOLUCION TAVNDJNDJNGL E ∗−∗−−= 21*)()(3 12312)1(3)1()4(3 ∗−∗−−−=NGL = 2 Al utilizar la ecuación general se ha encontrado que la estructura tiene 2 grados de libertad ya se tiene una idea antes de dibujar la deformada general que debe hacerse con mucho detenimiento, con regla. Primero colocando las condiciones de los elementos que son ∞=A e ∞=I . Se traza perpendiculares a los elementos que son axialmente rígidos ∞=A y se indica su posición inicial en la figura 1.20.2. Por ser las columnas AB y CD axialmente rígidas, la posición final de sus juntas B y C estarán en cualquier punto de la recta X-X1 y X2 –X3, respectivamente. En la figura 1.20.3 se indica una deformada lo mas general posible de la estructura. Nótese que la junta B no gira ya que si rotara la posición final de C’ no caería dentro de la recta Y2 ‘–Y3’ que es la posición final del miembro BC por ser axialmente rígido. En consecuencia, los grados de libertad son la componente de desplazamiento horizontal del nudo B que se ha denominado 1q y la rotación del nudo D que se ha llamado 2q . En la medida que se van resolviendo más ejercicios la explicación teórica va disminuyendo. Es importante que el estudiante aprenda a encontrar los grados de libertad ya que si se seleccionan mal las coordenadas todo lo que se haga a posterior estará mal realizado. 18 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS Para cada uno de los sistemas mostrados se pide: a) Calcular el número de grados de libertad. b) Dibujar una deformada lo mas general posible. Ejercicio N.- 1 Ejercicio N.- 2 Ejercicio N.- 3 Ejercicio N.- 4 Ejercicio N.- 5 Ejercicio N.- 6 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 19 Ejercicio N.- 7 Ejercicio N.- 8 Ejercicio N.- 9 Ejercicio N.- 10 Ejercicio N.- 11 Ejercicio N.- 12 CAPITULO 2 SISTEMA DE CARGAS Y COORDENADAS GENERALIZADAS RESUMEN Se presentan los primeros vectores con que se trabajara en el Análisis Matricial de Estructuras; estos son el vector de coordenadas generalizadas q y el vector de cargas generalizadas Q, lo que interesa es que el lector se empiece a familiarizar con esta nomenclatura, en capítulos posteriores se indicara en detalle como se obtienen. Por otra parte se introducen las definiciones de coordenadas de la estructura, coordenadas de elemento y coordenadas de nudo. Aspecto fundamental en el Análisis Matricial constituye la construcción de diagramas elementales por lo tanto se da importancia a este tema y se desarrollan algunos ejemplos que ayudaran a comprender las definiciones que se indican al respecto. Es importante que el estudiante al finalizar este capítulo sepa construir diagramas elementales puesto que en el análisis estructural es muy frecuente su uso. 2.1 COORDENADAS GENERALIZADAS DE UNA ESTRUCTURA 2.1.1 Vector q Antes de empezar el estudio se destaca que a una matriz o un vector se les identifica con una letra negreada o con una letra con una raya encima. Cualquiera de las dos formas es valida en éste libro. El pórtico plano de la figura 2.1.1 está compuesto por miembros totalmente flexibles en consecuencia tendrá cinco grados de libertad, siendo una de sus deformadas la indicada en la figura 2.1.2. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 24 Figura 2.2.1 Coordenadas no ortogonales En este caso se han empleado coordenadas generalizadas que no son ortogonales. Aquí q1 será la componente del nudo B que forma un ángulo α con la horizontal. Nótese que ahora el ángulo comprendido entre las direcciones de q1 y q2 no es noventa grados. • EJEMPLO N.- 2 Con los datos de carga del ejemplo N.- 1, pero al trabajar con el sistema de coordenadas de la figura 2.2.1, se supone que se obtuvo q1 = 0.005 y q2 = 0.004. ¿Encontrar el punto B’?. • SOLUCIÓN Para obtener el punto 'B se trazarán primero los sentidos de las direcciones 1q y 2q en ellas se colocan los datos del problema. Finalmente para encontrar la posición de 'B se trazan perpendiculares en la posición final de los desplazamientos colocados. Nótese que al ser proyecciones, el desplazamiento de B, B’ no se obtiene sumando vectorialmente. Este tipo de coordenadas no ortogonales, generalmente no se utilizan para la resolución de problemas estructurales debido a que es más complicado. Se lo presenta únicamente para entender mejor las estructuras. ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 25 2.1.4 Diagramas de deformación elementales Son los diagramas que se obtienen al hacer una de las componentes igual a 1 y todas las demás cero. La unidad que se deforma es adimensional. Su notación será: 1=iq y 0=jq para i ≠ j , o simplemente deformada elemental iq . • EJEMPLO N.- 3 Encontrar los diagramas de deformación elemental q1 y q2 de la estructura de la figura 2.2.1, cuyos elementos son totalmente flexibles. • SOLUCION ♣ q1 = 1 y q2 = 0 para i ≠ 1 Figura 2.2.2 Deformada elemental q1 para el sistema de coordenadas de la figura 2.2.1 Primero se dibuja la estructura con líneas entrecortadas se colocan las letras que definen a cada nudo, luego se coloca el sentido en el cual se mide la componente de desplazamiento 1q . Al hacer q1 = 1 el nudo B inicialmente se traslada a B’, pero esta no puede ser la posición final del nudo ya que existiría un desplazamiento vertical es decir q2 ≠ 0 y como se quiere que sea cero necesariamente la posición final del nudo B será B’’, la misma que se obtiene trazando una perpendicular a la dirección de 1q . Para conocer cuanto se desplaza horizontalmente ''BB se recurre a la trigonometría, para ello en el triángulo rectángulo B B’ B’’, se tiene: Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 26 B’ B’’ = 1.tg α BB’’ = 1.sec α B’ B’’ = 1.tg α BB’’ = 1.sec α ♣ q2 = 1 y qi = 0 para i ≠ 2 Figura 2.2.3 Deformada elemental q2 para el sistema de coordenadas de la figura 2.2.1 En este caso, al hacer q2 = 1, inicialmente el nudo B se traslada verticalmente a B’, pero esa no es la posición final ya que en B’ se tiene q1 ≠ 0. Por lo tanto, para obtener la posición final del nudo B a partir de B’ se traza una perpendicular a B B’, y, por B se traza una perpendicular a la dirección de la coordenada q1. El punto de intersección determina la posición final del nudo B, que es B’’. Para encontrar cuanto se desplaza horizontalmente, en el triángulo rectángulo B B’ B’’ se tiene: Mediante un proceso similar obtendríamos los demás diagramas de desplazamientos elementales para el pórtico plano cuyas coordenadas se indican en la figura 2.2.1. ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 29 Por ultimo, bajo la hipótesis de que las cargas actúan, solamente sobre las juntas y en la dirección que se ha definido las coordenadas generalizadas no podemos resolver, por ahora, problemas relacionados con incrementos de temperatura, asentamientos de apoyos ni otras solicitaciones que sean diferentes a cargas o momentos concentrados actuando sobre los miembros. 2.2.2 El sistema Q-q Debido a que tanto Q como q se miden en el mismo sistema de coordenadas se puede dibujar simbólicamente cargas generalizadas y coordenadas generalizadas en un solo sistema al que se denomina “sistema qQ − ” o simplemente qQ − . Para el sistema de coordenadas de los pórticos de las figuras 2.3.4 y 2.3.5 se tiene que los sistemas qQ − respectivos son los indicados en las figuras 2.5.1 y 2.5.2. Figura 2.5.1 Sistema qQ − Figura 2.5.2 Sistema qQ − En los capítulos posteriores se trabajará generalmente con sistemas de coordenadas ortogonales y la convención de signos, adoptada es la siguiente: La fuerza es positiva si va de izquierda a derecha ( ) o de abajo hacia arriba ( ), y el momento es positivo si es antihorario ( ). Finalmente, es necesario hacer hincapié que entre carga y desplazamiento existe una importante diferencia: la carga sobre un nudo es la suma vectorial de las cargas actuantes sobre ella, pero no sucede lo propio con los desplazamientos q como se vio en el numeral 2.1.3. 2.2.3 Solución general del problema Para ilustrar el procedimiento de cálculo de estructuras en las cuales actúan: cargas distribuidas sobre los elementos, incrementos de temperatura, asentamientos de los apoyos, etc. Se fijará la atención en el pórtico plano de la figura 2.6.2, sobre el mismo gravitan las cargas indicadas en la figura 2.6.1, en este gráfico t∆ corresponde a un incremento de temperatura sobre los miembros y 1∆ , 2∆ y 3∆ , son asentamientos de los apoyos A y C. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 30 Figura 2.6.1 Cargas actuantes Figura 2.6.2 Estructura de análisis Figura 2.6.3 Sistema qQ − 2.2.4 Problema primario Es aquel en el que actúan todas las cargas, asentamientos de apoyo, incrementos de temperatura, etc, todo lo que produce deformaciones. Pero el vector de coordenadas generalizadas q es nulo. Para que esto suceda es necesario colocar vínculos externos que estén de acuerdo con el sistema qQ − de tal forma que los nudos no se desplacen ni giren. Para el nudo B, por ejemplo, figura 2.6.4, se ha colocado un vínculo ( ) el cual impide el desplazamiento horizontal (q1), desplazamiento vertical (q2) y la rotación (q3) del nudo B. Lo propio se ha realizado con el nudo C. Estos vínculos adicionales originan reacciones que son de sentido contrario a los desplazamientos y rotaciones, a los cuales se les ha definido con la letra iR y se denominan cargas de fijación o cargas primarias. En consecuencia, las cargas de fijación R, son las cargas que hay que aplicar para que las juntas de la estructura queden fijas y cumplan con la definición del problema primario. Por lo tanto, en el problema primario se tiene que cada elemento se encuentra empotrado- empotrado. Y sobre cada uno de ellos actúan las solicitaciones respectivas. 2.2.5 El problema complementario En este capítulo no interesa todavía que el lector sepa resolver el problema primario, esto se verá con detenimiento en el Capítulo IV, lo que importa es que comprenda como se resuelve una estructura. Conozca el por qué se tiene elementos empotrados en la solución, esto se debe a la condición de que 0=q En la estructura original, se aplican únicamente las fuerzas de fijación R que actuaron en el problema primario, pero aquí actúan con sentido contrario, es decir se tiene ya la hipótesis considerada, de tener cargas y momentos concentrados en las juntas o nudos. ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 31 Figura 2.6.4 Problema Primario 0=q Figura 2.6.5 Problema Complementario Con relación al pórtico plano de la figura 2.6.1, cuyos elementos son totalmente flexibles, no tienen la misma sección transversal, es únicamente por notación que todos tienen la misma letra. Con respecto a ésta figura en la figura 2.6.5 se presenta el problema complementario. Nótese que ahora las acciones iR generan los corrimientos o giros iq que realmente tiene la estructura y que en el problema primario se anuló. Al observar las figuras 2.6.3 y 2.6.5 se encuentra que: Q1 es la fuerza horizontal que actúa en la junta B, que en este caso vale R1; Q2 es la fuerza vertical que actua en la junta B, que vale R2, etc. En resumen se tiene: 5544332211 RQRQRQRQRQ ===== Luego el vector de cargas generalizadas Q para la estructura analizada, es: Q = 5 4 3 2 1 R R R R R Evidentemente, este vector de cargas Q es el que genera el vector de coordenadas generalizadas q y estos a su vez las fuerzas y momentos internos en cada uno de los miembros de la estructura. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 34 Figura 2.7.5 Origen de coordenadas en el nudo C. Figura 2.7.6 Coordenadas de un elemento. Para cierto tipo de problemas, como por ejemplo calcular marcos planos con apoyos inclinados, es conveniente definir coordenadas especiales de nudos que sigan la dirección paralela al apoyo de esta forma se facilita el cálculo de la matriz de rigidez de la estructura. Figura 2.7.7 Corte de una estructura con apoyo inclinado Figura 2.7.8 Coordenadas de un nudo especial. En la figura 2.7.7 se presenta un elemento de una estructura que tiene un apoyo inclinado; por el tipo de vnculo en el apoyo se tiene dos grados de libertad, un corrimiento en la dirección paralela al apoyo y una rotación. En este caso las coordenadas del nudo inicial se puede considerar las mostradas en la figura 2.7.8. 2.4 EJERCICIOS RESUELTOS • EJEMPLO N.- 4 En el pórtico de la figura 2.8.1 dibujar los diagramas elementales de desplazamiento. • SOLUCIÓN Los miembros horizontales son totalmente rigidos y los verticales son axialmente rigidos tienen dos grados de libertad los cuales se presentan en la figura 2.8.2.Se deja al estudiante que explique el porqué de los diagramas presentados en las figuras siguientes. X Y C B v1 v2 2 1 u 1 u 2 C B ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 35 Figura 2.8.1 Estructura de ejemplo 4. Figura 2.8.2 Sistema qQ − ♣ q1 = 1 y qi = 0 i 1 q2 = 1 y qi = 0 i 2 • EJEMPLO N.- 5 Para la estructura de la figura 2.9.1, seleccione un sistema de coordenadas qQ − apropiado, dibuje las deformadas elementales y en cada una de ellas defina las coordenadas del miembro BC. • SOLUCION Sea α el ángulo que forma el eje del miembro BC con la horizontal, de la geometría de la estructura se desprende que: sen = 3/5 cos = 4/5.En la figura 2.9.2 se presentan los tres grados de libertad que tiene la estructura y las deformadas elementales son: DD 1 1 1 1 E D B A E F C B B A E F C C Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 36 Figura 2.9.1 Pórtico plano de ejemplo 5. Figura 2.9.2 Sistema qQ − ♣ Deformada elemental 1q Figura 2.9.3 Deformada 1q Figura 2.9.4 Coordenadas del elemento BC. De la figura 2.9.4, se tiene que: u1 = cos = 4/5 u2 = 0 v1 = -sen = -3/5 v2 = 0 1 = 0 2 = 0 ♣ Deformada elemental 2q Figura 2.9.4 Deformada elemental 2q Figura 2.9.5 Coordenadas del elemento BC CAPITULO 3 FUNCIONES DE FORMA O DE INTERPOLACIÓN RESUMEN Las funciones de forma tienen una aplicación muy amplia en el análisis estático y dinámico de estructuras razón por la cual en este capítulo se le da la importancia respectiva y se presentan algunas aplicaciones de las mismas. Se inicia el estudio deduciendo las funciones de forma desde el punto de vista estructural y luego con el objeto de que el lector vea que son funciones de interpolación se calculan las mismas con los interpoladores de Lagrange y Hermite. Las aplicaciones que aquí se dan están orientadas al cálculo de ordenadas de la elástica y obtención de momentos de empotramiento perfecto para cualquier tipo de carga, todo esto en miembros lineales de sección constante. Se presenta además la manera como se obtiene los estados de carga D y L correspondientes a carga permanente y transitoria respectivamente, para el diseño sismorresistente de un edificio de hormigón armado y luego se obtiene las acciones de empotramiento perfecto con funciones de forma. 3.1 ORDENADAS DE LA ELASTICA Dado un pórtico plano cualquiera, como el mostrado en la figura 3.1.1. En el elemento inclinado BC se tiene un punto interior P. Ahora al actuar cualquier tipo de cargas sobre la estructura esta se deforma como lo ilustra la figura 3.1.2; el punto P pasa a P´. Se desea encontrar las ordenadas de la elástica u(x), v(x) y )(xθ para el punto P. Siendo: • u(x) Componente de desplazamiento axial del punto P. • v(x) Componente de desplazamiento transversal del punto P. • )(xθ Rotación del punto P. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 40 Figura 3.1.1 Pórtico cualquiera. Figura 3.1.2 Ordenadas de la elástica del punto P. Para comprender el cálculo de las ordenadas de la elástica se aísla al elemento BC y se dibujan las coordenadas del elemento miembro como lo indica la figura 3.1.3. Figura 3.1.3 Coordenadas de miembro y ordenadas de la elástica Para encontrar las ordenadas de la elástica se verá la contribución de cada una de las coordenadas de miembro y luego se aplicará el principio de superposición lineal. 3.2 PRIMERA FORMA DE CÁLCULO 3.2.1 Efecto de u1 en la ordenada de la elástica En el miembro lineal de la figura 3.2.1 solo existe un desplazamiento axial del nudo inicial u1 y las demás coordenadas locales son nulas. Por facilidad a este elemento se lo considera horizontal, pero su aplicación es general. Para que el miembro de la figura 3.2.1 experimente un desplazamiento u1 es necesario aplicar una fuerza axial N, figura 3.2.3. ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 41 Figura 3.2.1 Elemento Axial Figura 3.2.2 Solo existe 1u Figura 3.2.3 Fuerza axial que produce 1u De la resistencia de materiales se conoce: = L O ExA Ndx u )(1 donde )(xA es el área de la sección transversal, para el caso de sección variable es función de X, E es el módulo de elasticidad del material y N es la fuerza axial, la misma que es constante, razón por la cual sale de la integral. Luego: = L ExA dx Nu 0 1 )( : En consecuencia la fuerza axial que produce un corrimiento axial de magnitud u1 es: = L ExA dx u N 0 1 )( Ahora interesa calcular el desplazamiento longitudinal que experimenta un punto cualquiera P del miembro que se encuentra a una distancia X del nudo inicial, cuando existe N, si el nudo final permanece fijo. En la figura 3.2.4 se ilustra el problema en la parte superior de dicha figura se indica la posición inicial del elemento y en la inferior el problema que se va a resolver. Figura 3.2.4 Descripción del problema La deformación u(x) será igual a la deformación del nudo inicial u1 menos la deformación producida por la fuerza axial N en el intervalo de longitud X. ( 3.1 ) ( 3.2 ) Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 44 EI P dx vd o= 4 4 Las variables, no definidas todavía, son oP que es la carga transversal que actúa en el elemento, I es el momento de inercia a flexión del elemento y v es la ordenada transversal de la elástica. Al ser P0 = 0, la ecuación diferencial ( 3.8 ) se transforma, en: 0 4 4 = dx vd EI Las condiciones de contorno, del problema, son: 1.- En X = 0 v (x) = v1 ( 3.9.1 ) 2.- En X = 0 v´(x) = 0 ( 3.9.2 ) 3.- En X = L v (x) = 0 ( 3.9.3 ) 4.- En X = L v´(x) = 0 ( 3.9.4 ) Las integrales de la ecuación ( 3.9 ), al ser la inercia constante, son: A dx vd EI =3 3 ( 3.10.1 ) BAX dx vd EI +=2 2 ( 3.10.2 ) CBX AX dx dv EI ++= 2 2 ( 3.10.3 ) ( ) DCXBXAXxEIv +++= 26 23 ( 3.10.4 ) donde A, B, C y D son constantes de integración las mismas que se obtienen al aplicar las condiciones de borde, que están definidas de la ecuación ( 3.9.1 ) a ( 3.9.4 ) Al reemplazar las condiciones de borde, ( 3.9.1 ) y ( 3.9.2 ) en las ecuaciones ( 3.10.4 ) y ( 3.10.3 ), se encuentran los valores de las constantes de integración D y C. Estas son: 0 1 = = C vEID Ahora al reemplazar las condiciones ( 3.9.3 ) y ( 3.9.4 ) en ( 3.10.4 ) y ( 3.10.3 ) se halla: CLB LA DLC LBLA ++= +++= 2 0 26 0 2 23 La solución del sistema reporta luego de reemplazar C y D. 1213 612 v L EI Bv L EI A −== Al reemplazar A, B, C y D en la expresión ( 3.10.4 ) y luego de simplificar, se tiene: ( 3.8 ) ( 3.9 ) ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 45 +−= 3 3 2 2 1 23 1)( L X L X vxv Se denomina función de forma )(2 xφ a la expresión encerrada en el paréntesis. 3 3 2 2 2 23 1)( L X L X x +−=φ Luego: )()( 21 xvxv φ= El giro )(xθ se encuentra derivando la ecuación ( 3.13 ) con respecto a X. Por otra parte nótese que u(x) = 0 en este problema. • EJEMPLO N.- 2 Determinar la función de forma ∅2(x) para un elemento de sección constante, utilizando el polinomio de Hermite. • SOLUCIÓN Cuando se conoce el valor de una función y el valor de su derivada, como en el presente caso, se puede aplicar la fórmula de Hermite para encontrar la elástica v (x). Esto es posible ya que la elástica para elementos de sección constante no tiene una variación brusca. Las condiciones de borde para este problema se presentan en la tabla 3.2. Tabla 3.2 Condiciones de borde Punto i 0 1 Xi 0 L ( )xv 1v 0 )(xθ 0 0 La fórmula de Hermite, para el presente caso y también para el cálculo de )(),( 53 xx φφ y )(6 xφ es la siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11001100 xSxSxvRxvRxv θθ +++= ( 3.14.1 ) donde v(x0) es el valor de v(x) en el punto cero, nudo inicial, v(x1) es el valor de v(x) en el punto uno, nudo final, )( oxθ es el valor de )(xθ en el punto cero, nudo inicial y )( 1xθ es el valor de )(xθ en el punto uno, nudo final. Para el cálculo de las funciones de forma, en elementos de sección constante, en los que se conoce las condiciones de borde con el interpolador de Hermite se debe calcular primero los multiplicadores de Lagrange utilizando la ecuación (3.15.4). 0 0 )( 0 )( 1 − −= − −= L X xL L LX xLo ( 3.13 ) ( 3.11 ) ( 3.12 ) Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 46 Los multiplicadores de Lagrange )(xLo y )(1 xL que se obtienen para el punto 0 y 1 con la ecuación ( 3.15.4 ) pueden escribirse de la siguiente forma: L X xL L X xLo = −= )( 1)( 1 Las derivadas con respecto a X de los multiplicadores de Lagrange, son: L L L Lo 1 1 ' 1 ' = −= Los valores de R0 y R1, se obtienen con la ecuación ( 3.15.2 ) [ ] ( ) [ ] ( )21'11 2' )(21 21 LLXLR LXLR ooo −−= −= Para S0 y S1 se emplea la ecuación ( 3.15.3 ) 2 11 2 ))(( )( LLXS LXS oo −= = Por las condiciones de borde del problema la ecuación ( 3.14.1) queda: [ ] 2'1 1 )(21)( )( oo o LXLvxv Rvxv −= = 2 1 2 1 1211 1 21)( − += − −−= L X L X v L X X L vxv Al desarrollar el producto indicado se encuentra: +−= 3 3 2 2 1 23 1)( L X L X vxv de donde: 3 3 2 2 2 23 1)( L X L X x +−=φ Por considerar de interés, se presenta el caso general de la fórmula de Hermite, cuando se conoce el valor de la función Yi y la derivada Yi´. ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 49 )´( )( )( )()()()()( )()()( 62523121 4211 xv dx xdv x xxvxxvxv xuxuxu == +++= += θ φθφφθφ φφ )(),(),(),(),( 54321 xxxxx φφφφφ y )(6 xφ son las funciones de forma o de interpolación asociadas a: u1, v1, 1θ , u2, v2, y 2θ . Se destaca que las ecuaciones ( 3.18 ), ( 3.19 ) y ( 3.20 ) son debidas a corrimientos y rotación de los nudos extremos de un miembro; en consecuencia, constituye la solución del problema complementario. Por lo tanto, en las ecuaciones indicadas se debe añadir el problema primario para obtener la solución total, como se indicó en el capítulo anterior. 3.3.2 Desplazamientos como cuerpo rígido Sea un elemento ∞=A , e ∞=I , totalmente rígido; la deformada ante cualquier tipo de carga será como de cuerpo rígido y es la indicada en al figura 3.5.1. Las ordenadas de la elástica para este miembro se muestran en la figura 3.5.2. Figura 3.5.1 Deformada de un elemento totalmente rígido Figura 3.5.2 Ordenadas de la elástica. Por ser axialmente rígido, se tiene que: 1)( uxu = Del gráfico 3.5.2, se encuentra por geometría, lo siguiente: 1 11 )( )( θθ θ = += x Xvxv En base a las ecuaciones ( 3.21.1 ), ( 3.21.2 ) y ( 3.21.3 ), se calcularán las funciones de forma )(),( 54 xx φφ y )(6 xφ en el presente apartado. 3.3.3 Cálculo de φ4(x) Al igualar las ecuaciones ( 3.18 ) y ( 3.21.1 ) se obtiene: 14211 )()( uxuxu =+ φφ ( 3.22.1 ) ( 3.18 ) ( 3.19 ) ( 3.20 ) ( 3.21.1 ) ( 3.21.2 ) ( 3.21.3 ) Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 50 Pero por ser el miembro, axialmente rígido u2 = u1. Luego, la ecuación ( 3.22.1 ), queda: 14111 )()( uxuxu =+ φφ De donde: 1)()( 41 =+ xx φφ La ecuación ( 3.22.2) es fundamental y se aplica para elementos de sección constante o variable. Para un elemento de sección constante, se tiene: L X L X xx = −−=−= 11)(1)( 14 φφ L X x =)(4φ 3.3.4 Cálculo de φ5(x) y φ6(x) De igual manera, si en la expresión ( 3.21.2 ) se reemplaza la ecuación ( 3.19 ), se encuentra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxxvxxvxv 1162523121 θφθφφθφ +=+++= Pero por ser miembro transversalmente rígido, se tiene: ( ) Lvxv 112 θ+= ( 3.23.1 ) 12 θθ = ( 3.23.2 ) Al reemplazar se obtiene: [ ] [ ] XvxxLxxxv XvxxLxvxxv 116531521 116151513121 )()()()()( )()()()()( θφφφθφφ θφθφθφφθφ +=++++ +=++++ Para que esta expresión se cumpla, deberá cumplirse que: XxxLx xx =++ =+ )()()( 1)()( 653 52 φφφ φφ Relaciones que permitirán calcular fácilmente )(5 xφ y )(6 xφ a partir de )(2 xφ y )(3 xφ . Para un elemento lineal de sección constante se tiene: −=−= +−−=−= L X L X L X L X L X L X xx 2 3232311)(1)( 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 25 φφ −= L X L X x 2 3)( 2 2 5φ ( 3.22.2 ) ( 3.22.3 ) ( 3.23.3 ) ( 3.23.4 ) ( 3.24 ) ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 51 Usando, la relación XxxLx =++ )()()( 653 φφφ , y por un procedimiento análogo se tiene: −−= L X L X x 1)( 2 6φ 3.3.5 Resumen de las funciones de forma para miembros lineales totalmente flexibles de sección constante −−= −= = −= +−= −= L X L X x L X L X x L X x L X Xx L X L X x L X x 1)( 23)( )( 1)( 231)( 1)( 2 6 2 2 5 4 2 3 3 3 2 2 2 1 φ φ φ φ φ φ Relaciones fundamentales: XxxLx xx xx =++ =+ =+ )()()( 1)()( 1)()( 653 52 41 φφφ φφ φφ Expresiones de la Elástica: )´( )( )( )()()()()( )()()( 62523121 4211 xv dx xdv x xxvxxvxv xuxuxu == +++= += θ φθφφθφ φφ 3.3.6 Funciones de forma para miembros axialmente rígidos Si un miembro es axialmente rígido A = ∞, significa que, u1 = u2 , en consecuencia no existe φ1(x) y φ4(x) , quedando de la siguiente manera las expresiones de la elástica: )´( )( )( )()()()()( )( 62523121 21 xv dx xdv x xxvxxvxv uuxu == +++= == θ φθφφθφ ( 3.25 ) ( 3.26 ) Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 54 +−−+−+−= 232232 6212664126 L X LL X LL X LL X L yB ( 3.30.3 ) Para encontrar la matriz de rigidez de un elemento, para el caso de flexión, se tiene: ( )volumendBEBK t= ( 3.30.4 ) No es el objetivo todavía, calcular la matriz de rigidez de un elemento, razón por la cual no se efectúa las integrales indicadas en la ecuación (3.30.4). Lo único que se pretendía era enseñar como se tratan las funciones de forma en el método de los elementos finitos y que se conozca una aplicación inmediata de las mismas. 3.5 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE FORMA 3.5.1 Cálculo de momentos de Empotramiento Del estudio anterior se deduce que: φ1(x), es la elástica longitudinal cuando existe u1= 1 y los demás desplazamientos nulos. φ2(x) es la elástica transversal cuando existe v2 = 1 y los demás desplazamientos y rotaciones nulas, etc. Si se analiza la viga de la figura 3.6.1, sobre la cual, actúa una carga concentrada P, a una distancia X del nudo inicial, se observa que la elástica es la presentada en la figura 3.6.2. Para que esto se cumpla es necesario que en los extremos actúen unas fuerzas y momentos de fijación. Figura 3.6.1 Estado de carga Figura 3.6.2 Elástica de deformación Ahora si se elimina el empotramiento pero se coloca su momento M, se tendrá lo ilustrado en la figura 3.6.3, nótese que el giro es nulo tanto en el nudo inicial como final a esto se denominará sistema I. Figura 3.6.3 Sistema I Figura 3.6.4 Sistema II ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 55 Por otra parte, al aplicar un momento cualquiera µ de tal forma que produzca un ángulo 1θ en el nudo inicial y los demás corrimientos de nudo cero, como lo indica la figura 3.6.4, se tiene el sistema II. El trabajo virtual del sistema I en el sistema II que se llamará TVI-II es: )(1 xvPMTV III −=− θ De otro lado el trabajo virtual del sistema II en I, TVI-II vale: 00 ==− µIIITV Como TVI-II = TVI-II se tiene que: 0)(1 =− xvPMθ De donde: 1 )( θ xvP M = Al existir únicamente el giro 1θ (figura 3.6.4) el valor de )()( 31 xxv φθ= . Luego: )(3 xPM φ= Por un procedimiento similar se obtiene: )(6 ' xPM φ= 3.5.2 Cálculo de cortantes de empotramiento En el sistema de cargas de la figura 3.6.1 y con la elástica de deformación de la figura 3.6.2 se procede al cálculo del cortante en el nudo inicial para esto se elimina el empotramiento perfecto y se coloca un empotramiento móvil como lo ilustra la figura 3.6.5 pero actúa el cortante V . Este será el nuevo sistema I, nótese que el nudo inicial no se desplaza verticalmente; para que se mueva verticalmente se aplica una fuerza F de tal forma que produzca un corrimiento v1 y todos los demás corrimientos de nudo nulos, teniéndose de esta manera el sistema II. Figura 3.6.5 Sistema I Figura 3.6.6 Sistema II ( 3.31.1 ) ( 3.31.2 ) Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 56 Al aplicar trabajos virtuales y proceder de forma similar al numeral anterior se tiene: 00 )(1 == −= − − FTV xvPvVTV III III 0)()(1 =− xvPxvV 1 )( v xvP V = Pero )()( 21 xvxv φ= Luego: )(2 xPV φ= Al trabajar con 'V se obtiene: )(5 ' xPV φ= 3.5.3 Cálculo de la fuerza axial de empotramiento En este caso la carga P actúa axial al eje del elemento y se encuentra a una distancia X. Se deja al lector la explicación de la forma como se obtiene la fuerza axial de empotramiento N en el nudo inicial y 'N en el nudo final, en forma resumida se tiene: Figura 3.6.7 Estado de carga Figura 3.6.8 Sistema I Figura 3.6.9 Sistema II 00 )(1 == −= − − FTV xuPuNTV III III 1 1 )( 0)( u xuP NxuPuN ==− Pero u(x) = u1 (x) φ1 (x). Luego: )(1 xPN φ= De una manera similar se demuestra que: )(4 ' xPN φ= Es decir, que una interpretación estática de las funciones de formas es la siguiente: • )(1 xφ es la línea de influencia de la fuerza axial N. • )(2 xφ es la línea de influencia de la fuerza de corte V. ( 3.31.3 ) ( 3.31.4 ) ( 3.31.5 ) ( 3.31.6 ) ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 59 ( ) ( ) .4444.4 6 4210 .5926.2432 6 210 3 2 2 2 2 ' 3 2 3 2 ' Tm L baP M Tba L aP V −=∗∗−=−= =∗+∗=+= Figura 3.8 Resultados del ejemplo N.- 5 Para comprobar que el ejercicio está bien realizado, se debe verificar que exista equilibrio en el elemento. =−+=↑ 0105926.24074.70YF 02104444.48889.865926.20 =∗−−+∗= AM • EJEMPLO N.- 6 Calcular las fuerzas y momentos de empotramiento perfecto para la viga de sección constante que se indica en la figura 3.9.1. Figura 3.9.1 Datos de carga del ejemplo N.- 6 • SOLUCION Se aplica el principio de superposición lineal en la solución del ejemplo 6. En consecuencia la solución total será igual a la solución de cuando se aplica la carga de 5 T. de la izquierda más la solución de cuando se aplica la otra carga de 5 T. de la derecha, como se indica a continuación. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 60 Para .1 mX = ( ) .9375.01875.0518750.0)( .78125.015625.0515625.0)( .8125.256250.0556250.0)( .21875.484375.0584375.0)( ' 16 ' 15 13 12 TmMx TVx TmMx TVx −=−∗=−= =∗== =∗== =∗== φ φ φ φ Para .3 mX = .21875.484375.0584375.0)( .93750.01875.0518750.0)( .78125.015625.0515625.0)( ' 25 23 22 TVx TmMx TVx =∗== =∗== =∗== φ φ φ ( ) .8125.25625.0556250.0)( '26 TmMx −=−∗=−=φ Luego: .75.3.75.3 .00.5.00.5 ' 2 ' 1 ' 21 ' 2 ' 1 ' 21 TmMMMTmMMM TVVVTVVV =+==+= =+==+= Figura 3.9.2 Solución del ejemplo 6 • EJEMPLO N.- 7 Calcular las fuerzas y momentos de empotramiento perfecto para la viga de sección constante de la figura 3.10.1 si sobre ella actúa una carga uniforme distribuida de magnitud P0. ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 61 Figura 3.10.1 Viga con carga uniforme distribuida • SOLUCION En el ejemplo 6 cuando se tienen dos cargas puntuales al aplicar el principio de la superposición lineal los momentos y fuerzas de empotramiento son iguales a la contribución de cada una de las cargas. Este mismo principio se aplica el presente ejemplo teniendo en cuenta que la sumatoria no es nada más que la integral. Entonces para carga uniforme distribuida se tiene: = = = L o L o L o dxxPV dxxPM dxxPV 0 5 ' 0 3 0 2 )( )( )( φ φ φ = L o dxxPM 0 6 ' )(φ Los límites de las integrales correspondientes a donde actúan la carga para el presente caso de “0” a “L”. Para el corte V se tiene: =+−= +−= L o L o LP V L X L X XPdx L X L X PV 0 0 3 4 3 3 3 3 2 2 0 22 23 1 1212 386 43 2 243 2 2 22 11 2 2 222 2 432 0 0 2 32 0 2 2 0 2 LP MLP LLL P L X L XX PM L X L X XPdx L X L X XPdx L X XPM o oo L o L o L o L o = +−= +−=+−= +−= +−= −= Al efectuar las integrales indicadas para 'V y 'M se obtienen: 122 2 '' LPM LP V oo −== El signo menos del momento 'M significa que el sentido es horario. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 64 Por todo esto es tan complejo el cálculo de deflexiones diferidas, pero no así el cálculo de las deflexiones instantáneas las mismas que pueden calcularse por medio de las funciones de forma. Por lo tanto, la deformación total es igual a la deformación instantánea más la deformación diferida. En este capítulo se estudia el cálculo de la deformación instantánea exclusivamente. Antes es necesario presentar la solución del problema primario, para cuando actúa una carga uniforme distribuida P0, por ejemplo. • EJEMPLO N.- 9 Encontrar la ecuación de la elástica v (x) para la viga de sección constante de la figura 3.12, si se desprecia la deformación por corte. Figura 3.12 Viga de sección constante con carga uniforme Po • SOLUCIÓN La ecuación diferencial que gobierna el problema en estudio, es: EI P dx vd o= 4 4 La solución de la ecuación diferencial de cuarto orden, es: 423 24 )( X EI P DXCXBXAxv o++++= Las constantes de integración: A, B, C y D se obtienen de las siguientes condiciones de borde: 1. En X = 0 v(x) = 0 2. En X = 0 v´(x) =0 3. En X = L v(x) = 0 4. En X = L v´(x) = 0 Donde )(' xv corresponde al giro )(xθ . La solución del sistema de ecuaciones que se obtienen al reemplazar las condiciones de borde, reporta: 00 2412 2 00 ===−= DC EI LP B EI LP A Luego, la ecuación de elástica )(xv es: ( 3.32.1 ) ( 3.32.2 ) ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 65 ( ) ( )LXXLX EI P x LXLXX EI P xv X EI P X EI LP X EI LP xv o o ooo 223 3224 42 2 3 624 24 )( 2 24 )( 242412 )( −+= −+= ++−= θ Es importante destacar que la ecuación ( 3.32.1 ) fue obtenida con la siguiente convención de signos: i. Desplazamiento vertical positivo, si es hacia abajo. ii. Rotación positiva, si es horaria. Esta es la convención de signos de las ecuaciones ( 3.32.3 ) y ( 3.32.4 ), y es contraria a la que se ha venido trabajando en este capítulo. Por lo tanto, para tener concordancia en la convención de signos a las ecuaciones indicadas se deberá cambiar de signo. Si se tiene en cuenta que la solución total del problema es igual al problema primario más el problema complementario como se estudió en el capítulo anterior se tiene que para calcular las coordenadas de la elástica a flexión, debidas a una carga uniforme distribuida P0, las ecuaciones a utilizarse, son: ( )LXLXX EI P xxvxxvxv o 322462523121 224 )()()()()( −+−+++= φθφφθφ )()( xv dx d x =θ • EJEMPLO N.- 10 El pórtico plano de la figura 3.13.1 está conformado por columnas de 25 cm x 25 cm y vigas de 30 cm x 40 cm, tiene un módulo de elasticidad = 217370.65 Kg/cm2. Sobre éste pórtico gravita una carga uniforme distribuida de 35.4 Kg/cm, Se desea encontrar )(xv en el punto medio del vano izquierdo. Figura 3.13.1 Cálculo de elástica de deformación ( 3.32.3 ) ( 3.32.4 ) ( 3.33 ) ( 3.34 ) Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 66 • SOLUCIÓN Se consideran que los elementos son totalmente flexibles, en consecuencia existen tres grados de libertad por nudo. Los grados de libertad con las cuales se resuelve la estructura se presenta en la figura 3.13.2. Figura 3.13.2 Sistema de coordenadas qQ − El cálculo del vector de coordenadas generalizadasq, se verá en los capítulos posteriores de este libro. Por ahora, se presentan los resultados que se obtuvieron al utilizar un programa de computación. − − − − − − − − = − − − 3 4 4 10315262.2 1657211.0 4336346.0 10020483.6 4196969.0 4152865.0 10759498.8 1181176.0 4069752.0 x x x q Los desplazamientos están en milímetros y los giros en radianes. Nótese que son muy bajos en consecuencia la estructura trabaja en el rango elástico para las cargas del problema. Para el cálculo de v (x), es necesario encontrar las coordenadas locales del miembro BC, las mismas que se obtienen del vectorq. .10020483.6 .4196969.0 .10759498.8 .1181176.0 4 62 52 4 31 21 radq mmqv radq mmqv − − ∗−== −== ∗−== −== θ θ Al evaluar las funciones de forma en X = 2 m, se tiene: ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 69 Para L/2 ≤ x < L L P m L L P xx yy m 02 0 12 12 2 2 2 0 −= − − = − −= ( ) ( ) X L P PYPLX L P YP oo o 22 2 0)( −=−−=− Luego El cortante V en el nudo inicial se evalúa como sigue: +− −+ +−= L L L dx L X L X L xP Pdx L X L X L xP V 2 3 3 2 2 0 0 2 0 3 3 2 2 0 231 2 2 23 1 2 −+++−= L L L L LL L dx L XP dxPdx L XP dx L XP dx L xP V 2 2 3 3 0 0 2 0 4 4 02 0 2 0 3 3 00 42 462 −+−− L L L L L L L L dx L XP dx L XP dx L XP dx L XP 2 2 4 4 0 3 3 0 2 2 0 2 2 0 4626 L L L L XP L XP L XP L XP L XP XP L XP L XP L XP V 2/ 4 5 0 3 4 0 2 0 2 3 0 3 4 0 0 2/ 0 4 5 0 3 4 0 2 0 5 4 4 6 2 2 3 6 4 4 2 5 4 4 6 2 2 −+−−+++−= Al reemplazar los límites de integración se tiene: 4032 3 44165 4 2 3 22 4032 3 4 0 0 000 0000000 0 0 0 LPLP LPLPLP LPLPLPLPLPLPLP LP LP LP V +−++−−−+−−+++−= +−+−+−−+−+−++−= 160 41540104016012824016016032032041540 0LPV LPLPV 00 4 1 160 40 == Cálculo del Momento M = L dxxyPM 0 )(3)( φ dx L X X L XP Pdx L X L XP M L O L L o − −+ −= 2 2 2 0 22 0 1 2 21 2 dx L X L X L XP dx L X L X XPdx L X L X L XP M L L o L O L L +−− +−+ +−= 2 2 2 2 2 2 2 2 02 22 0 21 22 12 2 1 2 Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 70 dx L XP dx L XP dx L XP dx L XP dx L XP dxXPdx L XP dx L XP dx L XP M L L L L L L L L L L L L LL O L 3 4 0 2 2 3 0 2 2 0 2 2 3 0 2 2 0 22 0 2 0 3 4 02 2 0 2 3 0 2 0 242 24 2 242 −+− −+−++−= L L L XoP L XoP L XoP L XoP L XoPXoP L L XoP L XoP L X o P M 2/ 35 52 24 44 3 32 24 42 3 34 2 22 2/ 0 35 52 24 44 3 32 −+−+−++−= Al sustituir los límites de integración se obtiene: −+−+−− −+−+−+ +−= 325 2 1683 2 16283 4 4 5 2 3 2 23 4 325 2 1683 2 5 3 4 2 34 2 32 3 5 2 43 2 4 32 5 3 4 2 3 L L PL L PL L PL L PL L PLP L LP L LP L LP L LP L L P LP L L PL L PL L P M oooooo ooooo o ooo +−+−+−−+−+−++−= 2400 301502007540060096024001600120032002400301502002 0LPM 96 5 2400 125 202 0 LP LPM == Por un procedimiento similar se obtendrá la fuerza y el momento de empotramiento para el nudo final, trabajando con )(5 xφ y )(6 xφ , respectivamente. Los resultados a que se llega, son: ' ' 2 4 96 5 V LP V M LP M o o == −== ( 3.35.1 ) ( 3.35.2 ) ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 71 Para carga trapezoidal, se tiene: ' ' 322 1 2 21 12 V L aLP V M L a L aLP M o o = −= −= + −= 3.7 EJERCICIOS RESUELTOS • EJEMPLO N.- 12 Sobre el elemento lineal de sección constante de la figura 3.16.1, que tiene 5.0 m. de longitud actúa una carga concentrada P. Calcular las fuerzas y momentos de empotramiento perfecto. Figura 3.16.1 Estado de carga del ejemplo 12 SOLUCIÓN i) Se evalúa las funciones de forma en el punto de aplicación de la carga. °== 87.36 4 3 ααtg ( 3.36.1 ) ( 3.36.2 ) Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 74 Ahora, hay que expresar u1, u2, v1, etc. En función de q1, q2, q3, etc. Para esto a las coordenadas q se descomponen en una perpendicular y una longitudinal al eje del elemento AB, como lo ilustra la figura 3.17.3. Figura 3.17.3 Descomposición de las coordenadas q1, q3 y q4. Para el elemento AB se tiene: u1 = q1 cos u2 = q3 cos – q4 sen v1 = q1 sen v2 = q3 sen + q4 cos 1 = q2 2 = q5 En la figura 3.17.3, se observa: 5 3=αsen 5 4 cos =α Sustituyendo: u1 = 5 4 q1 u2 = 5 4 q3 - 5 3 q4 v1 = 5 3 q1 v2 = 5 3 q3 - 5 4 q4 1 = q2 2 = q5 El siguiente paso es evaluar las funciones de forma, en el punto medio del elemento AB. Al analizar la figura 3.17.1 se observa que la longitud de este elemento es L, por lo que habrá que calcular en x = L/2. 5.0)(1)( 5.0 8 2 4 3 1 23 1)( 5.0)(1)( 5.0 2 11)( 25 3 3 2 2 3 3 2 2 2 14 1 =−= =+−=+−= =−= =−=−= xx L L L L L X L X x xx L L L X x φφ φ φφ φ 3 4 5 ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 75 82 1 4 1)( 82 1 2 1)( 22 6 22 3 L L L L L L X L X x L L LL L X Xx −= −−= −−= = −= −= φ φ Al reemplazar las funciones de forma y las componentes de desplazamiento del elemento AB, en las expresiones de la elástica se obtiene: −+++= − +++= −+= −+= 54321 54321 431 431 45 4 5 3 45 3 2 1 )( 82 1 5 4 5 3 82 1 5 3 )( 2 3 22 5 1 )( 2 1 5 3 5 4 2 1 5 4 )( q L qqq L qxv L qqq L qqxv qqqxu qqqxu Para calcular (X) se debe escribir la forma general de v(x) para posteriormente derivar. +−+ −+ +−+ +−= = 2 32 23 3 2 2 22 32 13 3 2 2 1 23223 1)( )()( L X L X L X L X v L X L X X L X L X v dx d x xv dx d x θθθ θ +−+ −+ +−+ +−= 2 2 23 2 222 2 13 2 21 326634 1 66 )( L X L X L X L X v L X L X L X L X vx θθθ Para X = L/2 2211 2211 4 1 2 3 4 1 2 3 )( 4 3 2 2 4 6 2 6 4 3 2 4 1 4 6 2 6 )( θθθ θθθ −+−−= +−+ −+ +−+ +−= v L v L x LL v LL vx De donde ( ) ( )52431 54321 4 1 433 10 3 )( 4 1 5 4 5 3 2 3 4 1 5 3 2 3 )( qqqqq L x qqq L qq L x +−−−−= − ++−−= θ θ • EJEMPLO N.- 14 Encontrar los momentos y fuerzas de empotramiento perfecto para un vano del pórtico 2 de la figura 3.14, si la carga permanente D es 0.8 T/m2 y la carga transitoria L es 0.25 T/m2. Roberto Aguiar Falconí CEINCI-ESPE 76 • SOLUCIÓN Repartición de las cargas • Pórtico 2 D=0.8 T/m2 Po = 0.8 m T m m T 0.25.2* 2 = V = V’ = T LPo 5.2 4 0.5*2 4 == M = M’ = m TLPo 604.2 96 25*2*5 96 5 2 == Sobre el pórtico 2 gravitan dos tipos de carga, la triangular cuyo cálculo ya se ha indicado y la trapezoidal cuya forma de cálculo se indica a continuación Po = 0.8 m T m m T 6.10.2* 2 = V = V’ = T L aLPo 4.2 5 2 1 4 0.5*6.1 1 2 = −= − M = M’ = mT L a L aLPo .48.2 5 2 5 2 21 12 25*6.1 21 12 32322 = + −= + − V’ V M M’ 2.5 m L = 5.0 m