Transformada de Fourier

A transformada de Fourier é uma ferramenta matemática que realiza a transição entre as variáveis tempo e freqüência de sinais. Ela pode ser descrita da seguinte maneira: Sendo uma função f(x), absolutamente integrável, denotada por F(w), é definida para como:

Para que uma Transformada de Fourier exista, deve-se ter algumas condições suficientes para tal:

Seja f uma função, onde f(x) e f’(x) são seccional mente contínuas num intervalo finito e converge.

Como se sabe, o teorema Integral de Fourier diz:

Mas deve-se lembrar que a equação I é válida se não houver pontos de descontinuidade. Caso contrário, substitui f(x) por .

Transformada de Fourier Discreta

A Transformada Discreta de Fourier atua em vários campos da ciência, como processamento digital de sinais, que será demonstrado ao decorrer deste relatório, resolução de equações diferenciais parciais, e também multiplicação rápida de polinômios.

Podemos definir a essa transformada, da seguinte maneira: Considerando-se N amostras do sinal no domínio do tempo, denotadas por f(k), k=0,1,2,3,...,N-1, ela transforma esse sinal do domínio do tempo para o domínio da freqüência, sendo denotadas por F(n), n=0,1,2,3,...,N-1, onde

Os números complexos f(k) representam a amplitude e a fase dos diversos componentes da entrada do sinal. Pode-se dizer então que f(k)↔F(n) formam um par de transformada, e para determinar o sinal no domínio do tempo a partir do domínio da freqüência, deve apenas calcular a Transformada Inversa de Fourier Discreta.

A Transformada de Fourier Discreta requer uma função de entrada que seja discreta e cujos valores não nulos tenham uma duração finita. Essas entradas são muitas vezes determinadas a partir de amostragens de uma função contínua. A transformada pode ser calculada de forma eficaz utilizando a Transformada de Fourier Rápida.

Podemos dizer também que a Transformada Discreta de Fourier é uma função que transforma coordenadas num espaço vetorial com N dimensões, trabalhando com os números complexos.

Essa transformada possui algumas propriedades que são similares a Transformada de Fourier, sendo:

  • Integralidade;

  • Ortogonalidade;

  • Periodicidade;

  • Simetria;

  • Teorema de Parseval.

Cálculo direto da Transformada de Fourier Discreta

O cálculo direto da Transformada de Fourier Discreta pode ser feito utilizando a seguinte equação:

Onde:

constitui a função complexa. Estes são periódicos e definem pontos no circulo unitário no plano complexo.

No caso de Xn ser complexo, as partes real e imaginária são denotadas por Xn e Yn, respectivamente, e as partes real e imaginária da transformada como Ak e Bk. Desta forma, a transformada fica:

Onde:

A quantidade de processamento aritmético requerido por um algoritmo é um excelente parâmetro para a definição da sua qualidade. Como o cálculo dos valores de seno e cosseno são grandes impactantes no desempenho do algoritmo, utilizado no desenvolvimento da transformada, é efetuada uma otimização bastante eficiente. Mas ela acaba consumindo mais memória, através da construção de uma tabela de valores de senos e cossenos em uma matriz especialmente destinada para o cálculo.

Comparação entre a Transformada Contínua e a Discreta de Fourier

TEM Q ARRUMAR, NÃO SEI A DIFERENÇA

Podemos fazer uma comparação entre a Transformada Contínua e a Discreta de Fourier. A Transformada de Fourier Contínua decompõe uma função x(t) infinita e contínua (-∞<t<∞) num número infinito de ondas senoidais. E quando se faz os cálculos analíticos, a transformada tem uma série de propriedades atraentes. Mas sabe-se que no mundo real os dados não são infinitos e muito menos contínuos.

Já a Transformada de Fourier Discreta, é capaz de decompor o sinal em N ondas senoidais, e fazer o cálculo delas.

Transformada de Fourier Rápida

São várias as formas de se calcular a Transformada de Fourier Discreta, como por exemplo, utilizando a Transformada de Fourier Rápida. É bom ressaltar que essa transformada não se trata de um tipo diferente de transformada, e sim uma técnica mais econômica e simples para o cálculo.

O cálculo da Transformada de Fourier Rápida é determinado, na maioria, dos casos por softwares, como o MaTLAB, e não por sua definição. Mas é bom lembrar que o cálculo a partir de sua definição terá o mesmo resultado, mas podendo ocorrer erros.

O número de operações realizadas no cálculo da Transformada de Fourier Discreta através da definição é proporcional à N², isto é, para cada dos N valores de w, a expansão de F(w) requer N multiplicações complexas de x(n) pela função, além de (N-1) adições dos resultados.

Podemos também calcular a Transformada Rápida de Fourier Inversa, através do seguinte procedimento:

  • Trocar a parte real e imaginária da matriz de entrada;

  • Executar uma Transformada de Fourier Discreta direta;

  • Trocar as partes reais e imaginárias do resultado;

  • Multiplicar todos os termos por 1/N

Abaixo se encontra uma tabela de comparação entre o cálculo da Transformada Discreta de Fourier pela definição e utilizando a transformada rápida.

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