regra de l'hôpital, Notas de estudo de Química Industrial

Baixe regra de l'hôpital e outras Notas de estudo em PDF para Química Industrial, somente na Docsity! Aula 13 Limites indeterminados e as regras de L'Hopital Nesta aula, estaremos apresentando as regras de L'Hopital, regras para calcular limites indeterminados, da forma 0=0 ou 1=1, usando derivadas. Estaremos tamb¶em exami- nando gr¶a¯cos de fun»c~oes envolvendo fun»c~oes exponenciais. Diremos que o limite lim x!a f(x)=g(x) tem a forma indeterminada 0=0, se o quociente de fun»c~oes reais f(x)=g(x) est¶a de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f(x) e g(x) s~ao cont¶³nuas e deriv¶aveis para x6= a, e lim x!a f(x) = lim x!a g(x) = 0. Diremos que o limite lim x!a f(x)=g(x) tem a forma indeterminada1=1, se o quociente de fun»c~oes reais f(x)=g(x) est¶a de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f(x) e g(x) s~ao cont¶³nuas e deriv¶aveis para x6= a, e lim x!a f(x) = §1, lim x!a g(x) = §1. Os mesmos conceitos s~ao de¯nidos analogamente se tivermos x! a+ ou x! a¡, ou ainda se a = §1. S~ao duas as chamadas regras de L'Hopital. Uma para formas indeteminadas 0=0 e outra para formas indeterminadas 1=1. Ambas podem ser enunciadas conjuntamente em um ¶unico teorema (que n~ao demonstraremos). Teorema 13.1 (Regras de L'Hopital) Se lim x!a f(x)=g(x) tem uma forma indeter- minada 0=0 ou 1=1, ent~ao lim x!a f(x) g(x) = lim x!a f 0(x) g0(x) caso o limite lim x!a f 0(x)=g0(x) exista (sendo ¯nito ou in¯nito). O mesmo vale se a ¶e substitu¶³do por a+ ou a¡, ou se a = +1 ou ¡1. 108 Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 109 Exemplo 13.1 Calcular lim x!2 x2 ¡ x¡ 2 3x2 ¡ 5x¡ 2 Solu»c~ao. Um c¶alculo direto nos d¶a a forma indeterminada 0=0. Pelo m¶etodo tradicional, usando fatora»c~oes, fazemos lim x!2 x2 ¡ x¡ 2 3x2 ¡ 5x¡ 2 = limx!2 (x¡ 2)(x+ 1) (x¡ 2)(3x+ 1) = limx!2 x+ 1 3x+ 1 = 3=7 Aplicando regras de L'Hopital, n~ao necessitamos da fatora»c~ao: lim x!2 x2 ¡ x¡ 2 3x2 ¡ 5x¡ 2 = limx!2 (x2 ¡ x¡ 2)0 (3x2 ¡ 5x¡ 2)0 = limx!2 2x¡ 1 6x¡ 5 = 3=7 No caso de quociente de polinômios, n~ao precisamos das regras de L'Hopital, mas µas vezes as regras de L'Hopital s~ao nosso ¶unico recurso para o c¶alculo de um limite: Exemplo 13.2 Calcular lim x!0 x¡ senx x3 O limite ¶e indeterminado, da forma 0=0, a agora n~ao podemos colocar em evidência nenhuma potência de x. Aplicando L'Hopital, temos lim x!0 x¡ senx x3 = lim x!0 (x¡ senx)0 (x3)0 = lim x!0 1¡ cosx 3x2 (= 0=0, aplicamos novamente L'Hopital) = lim x!0 senx 6x = 1=6 (usando lim x!0 senx x = 1) Exemplo 13.3 Calcular lim x!+1 e2x x3 Aqui temos uma indetermina»c~ao da forma 1=1. Aplicando L'Hopital, temos lim x!+1 e2x x3 = lim x!+1 (e2x)0 (x3)0 = lim x!+1 2e2x 3x2 (=1=1, aplicamos novamente L'Hopital) = lim x!+1 (2e2x)0 (3x2)0 = lim x!+1 4e2x 6x (=1=1, aplicamos novamente L'Hopital) = lim x!+1 8e2x 6 = +1 6 = +1 Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 112 lim x!0 ln(1 + sen 2x) x = lim x!0 [ln(1 + sen 2x)]0 (x)0 = lim x!0 1 1 + sen 2x ¢ 2 cos 2x = 2. Portanto lim x!0 (1 + sen 2x)1=x = e2. As regras de L'Hopital, nos casos de indetermina»c~ao 0=0 e 1=1, dizem que lim x!a f(x)=g(x) = lim x!a f 0(x)=g0(x), mas somente quando este ¶ultimo limite ¶e efetivamente comput¶avel. No exemplo abaixo, temos uma indetermina»c~ao 1=1 para a qual a regra de L'Hopital n~ao se aplica porque o limite lim x!a f 0(x)=g0(x) n~ao existe, mas o limite lim x!a f(x)=g(x) ¶e calcul¶avel. Exemplo 13.7 Calcular lim x!+1 x+ senx x . Solu»c~ao. Temos senx ¸ ¡1, da¶³ x+ senx ¸ x¡ 1 para todo x 2 R. Logo lim x!+1 (x+ senx) ¸ lim x!+1 (x¡ 1) = +1. Assim sendo, lim x!+1 (x+ senx) = +1, e o limite lim x!+1 x+ senx x ¶e indeterminado na forma 1=1. Aplicando L'Hopital, consideramos lim x!+1 (x+ senx)0 (x)0 = lim x!+1 (1 + cosx). Este limite n~ao existe (n~ao ¶e ¯nito nem in¯nito) pois quando x cresce inde¯nidamente, cosx ¯ca oscilando inde¯nidamente entre ¡1 e +1. Entretanto lim x!+1 senx x = 0, pois, sendo x > 0, como ¡1 · senx · 1, ¡1 x · senx x · 1 x Como lim x!+1 1 x = 0, temos 0 · lim x!+1 senx x · 0, e portanto lim x!+1 senx x = 0. Assim, lim x!+1 x+ senx x = lim x!+1 ³ 1 + senx x ´ = 1 + 0 = 1 13.2 Novos casos de gr¶a¯cos envolvendo fun»c~oes ex- ponenciais. Dois exemplos Exemplo 13.8 Esbo»car o gr¶a¯co de f(x) = 2xe¡x 2 . Solu»c~ao. Temos D(f) = R = ]¡1;+1[, e f 0(x) = 2e¡x2¡4x2e¡x2 = 2e¡x2(1¡2x2). Os pontos cr¶³ticos de f s~ao §p2=2. Lembremo-nos de que, por deriva»c~ao em cadeia, (eu)0 = eu ¢ u0. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 113 Assim, Temos f 0(x) > 0 se ¡p2=2 < x < p2=2, e f 0(x) < 0 se x > p2=2 ou se x < ¡p2=2. Portanto f ¶e crescente em [¡p2=2;p2=2], e decrescente em cada um dos intervalos [ p 2=2;+1[ e ]¡1;¡p2=2]. x1 = ¡ p 2=2 ¶e um ponto de m¶³nimo local de f , e x2 = p 2=2 ¶e um ponto de m¶aximo local de f . Temos f(¡p2=2) = ¡p2e¡1=2 e f(p2=2) = p2e¡1=2. Para o esbo»co do gr¶a¯co, usaremos p 2e¡1=2 ¼ 1; 4 ¢ 0; 6 = 0; 84 f 00(x) = ¡12xe¡x2 + 8x3e¡x2 = 4e¡x2(2x3 ¡ 3x) = 4e¡x2x(2x2 ¡ 3). f 00(x) = 0 se e somente se x = §p6=2 ou x = 0. A varia»c~ao de sinais de f 00, com a correspondente an¶alise das concavidades do gr¶a¯co de f , ¶e dada no diagrama abaixo. y'' _ xy = f(x) + _ √6/2√6/2- + 0 S~ao pontos de in°ex~ao do gr¶a¯co os pontos P1 = (¡ p 6=2;¡p6e¡3=2), P2 = (0; 0) e P3 = ( p 6=2; p 6e¡3=2). Temos, p 6=2 ¼ 1; 3, f(¡p6=2) = ¡p6e¡3=2 ¼ ¡2; 5 ¢ 2; 2 ¼ ¡0; 6, f(0) = 0 e f(p6=2) = p6e¡3=2 ¼ 0; 6. Pesquisando a existência de ass¶³ntotas do gr¶a¯co temos lim x!§1 2xe¡x 2 = §1 ¢ e¡1 = §1 ¢ 0. Para evitarmos a indetermina»c~ao, fazemos lim x!§1 2xe¡x 2 = lim x!§1 2x ex2 (= 1 1). Aplicando regras de L'Hopital, temos lim x!§1 2x ex2 = lim x!§1 (2x)0 (ex2)0 = lim x!§1 2 2xex2 = 2 §1 = 0. Assim, a reta y = 0 (eixo x) ¶e ass¶³ntota horizontal do gr¶a¯co de f . Com base nos elementos estudados, o gr¶a¯co de f ¶e esbo»cado na ¯gura 13.1. 2 x y 1 1 -1 Figura 13.1. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 114 Exemplo 13.9 Esbo»car o gr¶a¯co de f(x) = xx, x > 0. Solu»c~ao. Do exemplo 13.5, temos lim x!0+ xx = 1. Esta ¶e uma informa»c~ao relevante para esbo»carmos o gr¶a¯co de f nas proximidades de 0. No exemplo 10.1, da aula 9, obtivemos f 0(x) = xx(1 + lnx). Assim, f 0(x) = 0 se e somente se lnx = ¡1, isto ¶e, x = e¡1 = 1=e. Como lnx = loge x tem base e > 1, a fun»c~ao ln ¶e crescente, e portanto f 0(x) > 0 quando lnx > ¡1, logo para x > e¡1 = 1=e, e f 0(x) < 0 para x < 1=e. Da¶³, a fun»c~ao xx ¶e decrescente no intervalo ]0; 1=e] e crescente no intervalo [1=e;+1[, sendo 1=e um ponto de m¶³nimo local (e absoluto) de f . Temos ainda f(1=e) = (1=e)1=e ¼ 0; 7. Finalmente, f 00(x) = xx ¢ [(1=x)+(1+lnx)2], e assim f 00(x) > 0 para todo x > 0, e ent~ao o gr¶a¯co de f tem concavidade sempre voltada para cima. Obviamente lim x!+1 xx = +1. O gr¶a¯co de f ¶e esbo»cado na ¯gura 13.2. 2 y 1 1 4 x 0 1/e Figura 13.2. Al¶em disso, lim x!+1 f(x) x = lim x!+1 xx x = lim x!+1 xx¡1 = +1 e portanto o gr¶a¯co de f n~ao tem ass¶³ntotas. 13.3 Problemas 1. Calcule os seguintes limites, aplicando regras de L'Hopital se necess¶ario.