Baixe Resumão - Geometria I e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Geonietria sisnificamedida da Terra: Os povos antigos usavam” seus Conficcimentos de: geometria: para” constniir esténdas; templos, pirâmidos c sistemas. de irrigação. Hoje, os estados: mais formais da geOmeiria visam raciocínios lógicas, mais do que rmdidas. Euclides (sóculo-11[ 4.€.) compilou a geometria gregá em uma coleção de 13 volumes intitulada Os Elementos. na qual cle.chegou às relições geométricas por dedição. Por. isso, a geormetrid quo estidamos afualmiente costuma ser chamiada. de geometria oucliciara ou, airida, geoimeiriá plana, bois trabálha: com relações emisupefticies planas. A geometria têm termos definidos é indefinidos, postuládes (conieetizas que hão fôra provadas, mas gue “fmicionann” há milhares dé anos) teoremas, trelações que forara provadas pel lógica matémática): Périmeiro:. 6. perimotro: dompiimento diodos 68.9 j aço de a da: siri combiinão ne oi is figa que possui núfiero de unidos Frea do Teiângulo: bx h/p; se ho8 eba onda: é unidades quadiádes: DESCRIÇÃO DOS TERMOS PRIMITIVOS Uri ponto: podes ser descrito como: amê localizaç : dent cbmiprimento; lárgura ou proflindidade | -B. Orioino dé tim pontó é Sempre uia letrá maiúscula” Ele -costumia'ér determinado pelo desenho de:um ponto, más, a rigor, um ponto não, poderia: ser desenhádo, pois não tem dibensães. | Bxemnplo;:4 (dica palito 4) A Umia reta é um Conjunto de pontos.qué seguem infir =. mitamente 'ém das direções. opostas. So os! pontos “/ não formarem uma linha tetilínea, não constituirão tê; mas Sim-uma Curvai-A, reta tem Compri- mento, mas não profundidade cin largura, é porisso, aigor, não podé ser desenhada: A reta é representada. *. porsginia linha reta coni urtiajseta emi Cada; porta; as... quais indicam que ela não-tém fim Às tetas podem ser ftidicadas de dois tados: A Teia: que contém os pontas K.€ M pode; ser indicada; o : Pélaicombinação dé dois:te nunca ifiais quê dois) pontos da feta'com sita; indicação; sobré.eles, por exemplo; EM-ou- MH: (à order dos pontos hão im” “porta)ro indicador de ret: sobre: às feiras mais. | cúlas dos pontas sérmpre fica-na iórizótital; Ereal localização dos: dois pantos no espaça: que: deter” iniga à localização e direção da teti” real, é não a “direção do indicador Sobre 0 nomé-dos potitos;ou Pelo uso da letra /conm Limentmêro subscrito; por: vp) CE Oni E oooritênadas douiibiicis os pontos podeim. fervalores.e; assi, Pode-se determina: a equeição - méoiê plana “que se esterno não tém espessura aleil dois pontos desse plano pertenestem: d “os-pontos'de tal. rota-farão parte. mesmo :planiós j tim plano pade ser chamado dé:“blano:,: ou “plano: ÁBO (quaisquer és pontos depiáiio qu em uma: mesima reta)” ouso plano Gr (gualquer coisa em questão)", Os planos não podem ser. .desenhados; no entanto. costumam, "ser. - fepresentados por. paralelogiainios, corh. ou Sem & setas que inca, que eles não tera fim Eee “plano 72% Postalados são; afirmações: ácéiias exusadas: há é centenas” dê ânos; Sen que. no; cutanto; tenham sido -. provadas formalniente: Por exemplo: «: AL JUma reta conténtracimnas dóis pontós, e quaisquer dois pontas unem-se por uma reta, locilizando a. EXCLUSIVO! APRENDA FÁCIL, CONSULTE RÁPIDO :B, Umiplano' contêm pelo; menos três pónios que: não fázem parte de imia-mésma reta, é quaisquer três pon- tos que não Façam parte de uima mesma retá: formam um pláno; localizando-o. Portanto, tima-teta cum pon to fora dela formem um-pláno. C- Quaisquer três pontos foimám qo “menos um plano; Mais de in plário, tim plano, “quando; os três pôntas não”. guando-os três pi eua mst é estão-em unid mesa reta D, Sé dois pontos de uma reta estão em bh Imesimo plario, então toda a reta' está. neste plano; ou, se dois pontos pertencem ao plano, então a rera que os iinc também pertêncc'a tal-plano, . - NB fay imetseção com orplano 2; mas nãó está”: -sontdeno pio. plario six, pois tanto; Esscdois. gláhôs face intérseção então à interseção é unareta, O'planomee oplantja fazem interseção: em RB: : Obg 7 /As destriçads dé pobtos rita :|:5) 5 plano acima apresentados É coterevêr ao leitor : derm pensámento geoméético: ans = al Há muitos termos definidos em geometria plana. A definição de tais termos será dada de forma dispersa em diversos tópicos deste guia de referência e não de forma agrupada em uma só lista Obs, Postulados (ou axiomas) são relações e afir- muções que fincionam há séculos, mas que nunca Joram provadas matemanicamente. Teoremas cons- situem relações e afirmações que foram provadas matematicamente. Vários postulados e teoremas se- vão descritos ao longo deste guia. Eles também apa- reverão em diversos tópicos de geometria, podendo receber a título “postulado” ou “teorema” ou sim- plesmente ser apresentados sem título. É o conjunto de todos os pontos. Segue infinitamente em todas as direções, com comprimento, profun- didade e largura. O espaço não possui notações especiais e contém pelo menos quatro pontos, que não estão em um mesmo plano. pe Gi A.E ou formas congruentes têm a mesma forma c tamanho; portanto, movimentando-as, pode-se ençaixá-las exatamente uma sobre a outra. Obs.: As partes correspondentes de polígonos con- gruentes são congruentes: ou seja, do mover as po- lígonos é encaixá-los, as partes que combinarem fcorresponderem) serdo congruentes. Resumão Jbserve os nomes dos ângulos é retas dos exemplos. L 5 “entágono ABCDE = Pentágono MNPRS, de modo que sens lados correspondentes têm o mesmo comprimento 205 ângulos correspondentes têm a mesena media seo lado AB = 2 metros, então o lado PR = 2 metros. s partes correspondentes MS FA=SRZA=AR; sBExPxCSgNaD=xMZESAs - ou formas semelhantes têm o mesmo formato, mas tamanhos diferentes; assim, formas congruentes são também semelhantes, mas as formas semelhantes não são sempre congruentes. Ofs.: Duas ou mais formas semelhantes têm os ângulos interiores corresponden- tes de um poligono congruentes aos ângulos interio- ves correspondentes de qutro, mas os lados corres- pondentes são proporcionais e não congruentes, B c D Quadritítero ABCD - Quaelriátero ERG portanto s dogulos correspondentes têm a mesma cedida e as dos correspondentes têm medidas proporcionais Por exemplo; se à então PG = 3,5; ou seja, exsBxExBEZE s6E nt igual pode ser usado para conjuntos que são idênticos ou para medidas numéricas que têm cxatamente o mesmo valor numérico. > U ou união significa reunir todos os pontos c descrever o resuitado. : Mou interseção significa descrever apenas os pontos que são comuns aos conjuntos em questão ou pontos oude certas formas se encontrans. “reta” não tem uma definição formal, mas á alguns termos específicos para se referir às relações vc envolvem retas. 1. Pontos eolineares são pontos de uma mesma reta. fados Os pontos 4, Be colineares. Os pontos D, Ee são não-colineares. 3. Pontos não-colineares são pontos que não estão na mesma reta, Quaisquer três pontos não-colincares, no entanto, encontram-se em um mesmo plano e são coplanares. Os pontos M, Ne são go-colincares, tas estão em um mesmo plano e são coplanaves 3. Tipos de retas +» Retas concorrentes a. Retas concorrentes têm um c somente um ponto em comum. ABAt-s as cha retas fazem interseção no ponto E. b. Retas concorrentes são de um mesmo plano. fre Fazem interseção no ponto O é ficam no pfano 2. Retas perpendiculares a. As retas perpendiculares são aquelas que se cortam formando ângulos adjacentes iguais, cada um de 90º. Os ângulos de 96º são indicados num diagrama por um pe- ueno quadrado no canto em que está o vérice do ângulo. SE 'é perpendicular a “TD, de modo que x ABC = 00" b. A partir de um ponto fora da reta, pode-se traçar uma única perpendicular à reta. Se o ponto K não está marea 1 há apenas uma reta que fi passa pelo ponto Ke é perpendicular a /1, EM. e. 4 significa “é perpendicular a”; desse modo, 4 1 7 lê-se "a reta um é perpendicular à reta dois”. d. itorema: A menor distância de um ponto à uma reta qu a um plana é a distância perpendicular. A menor distância entre o ponto K e a rea /2 é a distância envekcB. 3. Retas transversais a. Uma transversal é uma reta que faz intorseção com duas ou mais retas coplanares em pontos diversos. £ 3 € uma transversal, pois faz interseção com ass retas Z1 no ponto à e £2 no ponto B. 4, Retas paralelas a. Retas paralelas ficam em um mesmo plano (coplanares) e não têm nenhum ponto em comum, ou seja, não fazem interseção. AA g E dg E 5 4 bs, N B b F Vê tudiss b. Retas paralelas correm para a mesma direção, mas nunca se encontram c sempre ficam separadas pela mesma distância. A partir de um ponto fora de uma teta, pode-se tra- ar exatamente tra única paralela ii significa “é paralela a”: portanto, 4, | 4 lê-se “a reta um é parafeta à rota dois”. Teorema: Se três ou mais retas paralelas são cortadas por segmentos iguais em umia transversal, elas formam segmentos iguais nas transversais que compartilham. e se tillga ga 1/4 ese AB = BC = CD enão Rr = PG = GH eJ=K=M Obs.: Os ângulos formados quando duas ou mais retas são cortadas por uma transversal são discutidos no item sobre ângulos. - Planos: *: 5, Retas reversas a. Retas reversas não fazem parte de um mesmo plano e nunca se tocam. Elas correm em direções diversas. g f A palavra “plano” não tem uma defini mas Os seguintes termos, sim: A, Coplanar significa no mesmo plano; portanto, pon- tos coplanares ficam em um mesmo plano. B. Não-coplanar significa não no mesmo plano. Não existem três pontos não-coplanares, pois há sempre um plano que contém quaisquer três pontos. O menor múmero de pontos não-coplanares é quatro. Os pontos B, Ce D são coplanart são não-coplanares Mas 08 pontos 84, C, De A €. Uma reta e um plano são paralelos se não sc encon- tram ou não fazem interseção. D. Dois ou mais planos são paralelos se não sc encontrám ou não fazem interseção. Os plemos se a são paralelos, Os planos 2 e vo fazem interseção em JB. Os ptamos x lazem imerseção em TD) Note que AB [TED pois o pluma 2» é paralelo ao plano 4 E. Teorema: Se dois pfanos paralelos fuzem interseção com uam reto plano, as na da intisoção são paleta, Segmentosde Reta A. Um segmento de reta é um conjunto de dois pontos de uma reta (pontos da extremidade do segmento) c todos as pontas colincares que estão entre os dois extremos. O segmento de reta leva o nome dos dois pontos extremos com uma linha sobre cles. Exemplo:PR inclui os pontos extremos ? c Re todos os pontos calincares entre eles. Obs.: FR = RP pois ambos referem-se exatamente aos mesmos pontos a A 4— q B. A união de dois segmentos de reta depende da localização deles. Por oxemplo, as situações abaixo são passíveis: à. Eles não se encontram, então à JB U CD = (todos os pontos em Af mais todos os pontos em CD) PR 2. Eles se encontram cm um ponto; então Fi los es pontos em FF e todos os pontos em Hi es é 3, Eles se encontram em mais de um ponto: então 4 » q 4 st H 4UCTD 6 AB U TD = AB quando TD stá contido em AB. EFU GH = TR quando EF e li têm pontos de interseção.