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Controle e Servomecanismos - UNICAMP, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

Apostila Completíssima de controle e servomecanismos (Servo motores) Tudo sobre, muito boa!

Tipologia: Notas de estudo

2011
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Compartilhado em 13/05/2011

jose-caetano-de-souza-neto-12
jose-caetano-de-souza-neto-12 🇧🇷

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Baixe Controle e Servomecanismos - UNICAMP e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! 1 Universidade Estadual de Campinas Faculdade de Enga Elétrica & Computação Departamento de Telemática NOTAS DE AULAS DE EA721 PRINCÍPIOS DE CONTROLE & SERVOMECANISMOS Paulo Augusto Valente Ferreira Fevereiro de 2006 www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 2 Aula 1 Introdução ao Controle Automático Terminologia básica Malha aberta × malha fechada Exemplos ilustrativos Terminologia básica 1. Certos termos utilizados para descrever variáveis e configurações relacionadas a sistemas de controle tornaram-se padrões com o passar do tempo. Apresentamos a seguir alguns termos básicos. Termos mais especı́ficos surgirão no transcorrer do curso. Sistema. O termo sistema designa um arranjo, conjunto ou coleção de compo- nentes conectados ou relacionados de maneira a formar ou agir como uma uni- dade. Um sistema não é algo necessariamente fı́sico. O termo pode ser usado em referência a sistemas econômicos, biológicos ou mecânicos, entre outros; Controle. O termo controle é usualmente empregado no sentido de regulação, direcionamento ou comando. Um sistema de controle seria um arranjo de com- ponentes conectados ou relacionados de maneira a se auto-regular (direcionar, co- mandar), ou regular (direcionar, comandar) um outro sistema. 2. As definições acima são suficientemente gerais para que, num sentido mais abs- trato, qualquer objeto fı́sico possa ser considerado um sistema de controle. Uma simples superfı́cie refletora controla raios de luz, refletindo-os de acordo com os seus ângulos de incidência. Qualquer coisa controla o ambiente a sua volta, pas- siva ou ativamente. Em Engenharia, sistema de controle adquire um sentido mais restrito, designando sistemas utilizados para controlar (ativamente) variáveis como temperatura, pressão e vazão em processos quı́micos, tensão e freqüência em sis- temas de geração e distribuição de energia, posição e velocidade angulares de mo- tores, trajetória de veı́culos, etc. Planta. O termo planta (ou processo, ou sistema controlado) é usado para de- signar o sistema que é objeto da ação do sistema de controle. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 5 de que a saı́da y é medida e comparada com a saı́da desejada, indicada através da referência r, para processamento através do controlador e a consequente definição da ação de controle u. 9. Dois novos componentes são introduzidos na Figura 1.3. A saı́da do sistema é medida através do componente representado no bloco Sensor. Em seguida, a referência é comparada com o valor medido, no bloco Comparador. A saı́da do comparador será denotada por e. Em geral, a saı́da do comparador é simplesmente o erro entre a referência e o valor medido, isto é, e = r − y. 10. Exemplos. No controle de posição do motor DC mencionado anteriormente, o sistema de controle encontra-se em malha aberta, uma vez que a tensão definida pelo controlador não depende da posição angular do eixo. O mesmo ocorre no con- trole de temperatura do tanque: a quantidade de calor definida pelo controlador não depende da temperatura da água. Nas versões em malha fechada desses sistemas, as variáveis de saı́da seriam medidas através de sensores apropriados e compara- das com os valores desejados. Os erros resultantes seriam então processados pelos respectivos controladores para os ajustes necessários (realimentação). 11. Às vezes torna-se conveniente explicitar a parte do sistema de controle res- ponsável pela atuação na planta, como na Figura 1.4, através do bloco Atuador. Em sistemas fı́sicos, o atuador é o componente que gera a potência necessária para produzir a saı́da do sistema. A descrição do atuador pode ser incorporada à do controlador ou à da planta. Neste curso, optamos por designar de controlador ape- nas a parte do sistema que é efetivamente projetável, sendo o atuador geralmente considerado como parte integrante da planta. PSfrag replacements + − r ye PlantaControlador Sensor Atuador Figura 1.4: Sistema explicitando o atuador. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 6 12. Idealmente, se fosse possı́vel representar a planta, o controlador e o ambiente no qual o sistema de controle está inserido com precisão infinita, não seria ne- cessário utilizar sistemas de controle em malha fechada; sistemas em malha aberta seriam suficientes. A principal razão para a utilização de um sistema de controle em malha fechada é a eventual presença de distúrbios agindo sobre o sistema. Distúrbio. O termo distúrbio designa genericamente qualquer evento que tenda a afetar o funcionamento do sistema de controle de forma adversa. Pode ser gerado internamente ou externamente ao sistema de controle. 13. Exemplos. Um sensor descalibrado ou sujeito a ruı́dos gera medidas que não refletem os valores da saı́da, gerando um distúrbio interno. Os valores medi- dos incorretamente serão realimentados, afetando o funcionamento do sistema. Se parte da descrição da planta é omitida na etapa de modelagem do sistema, a parte não-modelada pode agir como distúrbio interno. A velocidade do vento representa um distúrbio externo para os sistemas de controle de trajetória de veı́culos. A força e a amplitude das ondas representam distúrbios externos para os sistemas de estabilização de plataformas marı́timas. PSfrag replacements + − r u ye w v PlantaControlador Sensor Figura 1.5: Sistema em malha fechada sujeito a distúrbios. 14. A tradução de distúrbios em termos de variáveis está diretamente ligada às caracterı́sticas da planta, do sensor e do ambiente no qual o sistema em malha fe- chada opera. A Figura 1.5 ilustra um sistema de controle em malha fechada no qual variáveis de distúrbio agindo na planta e no sensor são explicitamente con- www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 7 sideradas. O diagrama da Figura 1.5 involve dois grupos de três variáveis com caracterı́sticas distintas. As variáveis r, w e v são entradas externas (independen- tes), no sentido de que afetam, mas não são afetadas pelas variáveis e, u e y. As variáveis e, u e y representam saı́das controladas (dependentes). 15. Do ponto de vista de implementação fı́sica, classificamos um sistema de con- trole em malha fechada como manual ou automático. Controle manual. Tipo de controle em malha fechada no qual a realimentação é implementada através de um operador humano, que realiza uma ou mais das funções de comparador, controlador ou sensor. Controle automático. Tipo de controle em malha fechada no qual as funções de comparador, controlador e sensor são executadas sem a intervenção humana, através de sistemas eletrônicos, hidráulicos ou pneumáticos, por exemplo. 16. Uma caracterı́stica inerente ao desenvolvimento da área de sistemas de con- trole é a progressiva substituição de sistemas de controle manuais por sistemas automáticos, particularmente em atividades que demandem assistência constante, ações repetitivas ou que possam ser potencialmente perigosas para a integridade fı́sica dos operadores. Sistemas de controle automáticos são geralmente capazes de executar suas funções com maior precisão e rapidez do que seria possı́vel através de controle manual. 17. Do ponto de vista da função a ser executada, classificamos um sistema de controle em malha fechada como sendo do tipo servomecanismo ou regulação. Servomecanismo. O termo servomecanismo surgiu no contexto do desenvolvi- mento de certos mecanismos de controle de posição. O termo problema do servo- mecanismo serve atualmente para designar o problema de fazer a saı́da do sistema seguir (acompanhar, rastrear) uma referência especificada. Regulação. O termo regulação é empregado para designar a função de controle que visa manter a saı́da do sistema razoavelmente próxima à uma referência espe- cificada. O termo problema da regulação designa o problema de regular a saı́da do sistema. 18. Exemplo. No controle em malha fechada do motor DC, o problema de levar o eixo do motor da sua posição inicial até a posição desejada (isto é, fazer a posição www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 10 O sinal de erro de posição é transmitido ao amplificador, o qual por sua vez gera uma entrada de controle para um motor DC de imã permanente, responsável pelo posicionamento do braço da leitora. PSfrag replacements + − Amplificador Motor e Braço PosiçãoPosição Desejada Leitura Sensor Figura 1.7: Sistema de controle da posição de leitura. 26. As especificações de desempenho para o sistema de controle em malha fechada são bastante rı́gidas: o erro entre a posição desejada e a posição final da cabeça de leitura deve ser da ordem de ±1 µm; a cabeça deve mover-se entre duas trilhas quaisquer do disco num intervalo de 50 ms. Biomedicina 27. O uso de conceitos e técnicas de controle automático na área de biomedicina pode ser ilustrado através da discussão de um sistema automático para administração de insulina, um hormônio produzido no pâncreas. 28. A maioria dos alimentos que ingerimos é transformada em glicose, uma forma de açúcar que é transformada pelo corpo humano em energia. A insulina ajuda a glicose de origem alimentar a penetrar nas células, de forma a que estas produzam energia. Na ausência de insulina, a glicose se acumula no corpo ao invés de ser ab- sorvida pelas células. O diabetes se manifesta quando o corpo não produz insulina suficiente ou é incapaz de utilizar eficientemente a insulina que produz. 29. A Figura 1.8 ilustra os perfis de produção de glicose e insulina de uma pessoa saudável, os quais servem de referência para um sistema automático para adminis- tração de insulina a ser implantado num paciente diabético. O sistema de controle representado na Figura 1.9 é do tipo malha aberta porque a tecnologia atual ainda não permite miniaturarizar um sensor para nı́veis de glicose. Um sistema composto por um reservatório de insulina, motor, bomba e válvula administra uma taxa de www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 11 insulina como pré-programado num gerador de sinal. PSfrag replacements Insulina Glicose Concentração Café Almoço Jantar tempo Figura 1.8: Perfis normais de glicose e insulina. PSfrag replacements Gerador de Sinal (Programado) Motor, Bomba e Vávula v(t) (tensão) u(t) Taxa de Insullina Figura 1.9: Controle em malha aberta de glicose. 30. Avanços na área de miniaturarização de sensores deverão viabilizar sistemas em malha fechada implantados para controle do nı́vel de glicose no sangue, pressão sangüı́nea e taxa de batimento cardı́aco, entre outros. Economia 31. Tentativas no sentido de modelar alguns processos no campo das ciências so- ciais como sistemas de controle têm sido realizadas com relativo sucesso. Embora a Sociedade, como um sistema, possua inúmeros componentes e muitas malhas de controle, certas relações de causa-e-efeito básicas em Economia, por exemplo, podem ser representadas de forma simplificada. 32. O Produto Interno Bruto (PIB) anualizado de um paı́s é a soma dos va- lores de todos os produtos e serviços produzidos no paı́s no perı́odo de um ano. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 12 Um dos objetivos da ação governamental é promover e controlar o crescimento do PIB, nos moldes de um sistema de controle como o ilustrado na Figura 1.10. A principal variável de controle do governo, oriunda da coleta de impostos, são seus investimentos na atividade econômica, a qual também recebe entradas na forma de investimentos privados e gastos dos consumidores. PSfrag replacements PIBPIB Desejado Governo Investimentos Privados Atividade Econômica Impostos Consumidores Medida + + + ++ − − Figura 1.10: PIB como um sistema realimentado. 33. Embora bastante simplificado, o diagrama de blocos ajuda a entender os meca- nismos básicos do comportamento do PIB numa economia nacional (capitalista). Dentre as malhas de controle não-evidenciadas, encontra-se a responsável pelo controle de deficit, isto é, da diferença entre o que é investido e o que é arrecadado pelo governo. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 15 através do chamado Teorema do Valor Final: lim t→∞ y(t) = lim s→0 sY (s), = lim s→0 sG(s)U(s). Supomos implicitamente que y possui um valor final, isto é, que y converge para algum número real quando t tende para o infinito. Se u(t) = A, t ≥ 0 (degrau unitário de amplitude A), então U(s) = A/s e lim t→∞ y(t) = lim s→0 sG(s) A s , = lim s→0 G(s)A. Se y possui um valor final, o limite indicado existe e o valor final de y é G(0)A. Entretanto, o limite pode existir, sem significado fı́sico, mesmo que y não possua valor final. O valor G(0) é chamado de ganho DC ou ganho de regime do sistema para uma entrada constante, em analogia ao termo utilizado para descrever sinais elétricos constantes. Sistemas de primeira ordem 5. Modelos de primeira ordem são utilizados para descrever um grande número de processos simples, como a velocidade de uma massa, a temperatura de um reator, o nı́vel de um tanque ou a tensão num circuito RC série. Sistemas de primeira ordem assumem a seguinte forma padrão: G(s) = Y (s) U(s) = k τs + 1 , (1) na qual k e τ são o ganho e a constante de tempo do sistema, respectivamente. 6. Resposta ao degrau unitário. Se U(s) = 1/s, então Y (s) = G(s)U(s) = k s(τs + 1) = k/τ s(s + 1/τ) , = k s − k s + (1/τ) . A anti-transformada de Y (s) (resposta ao degrau) é y(t) = k − ke−t/τ = k(1− e−t/τ ), t ≥ 0. (2) www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 16 O termo k da resposta ao degrau unitário (2) é devido ao pólo na origem de U(s), e é chamado de resposta forçada ou resposta em regime do sistema, porque o termo permanece quando t tende ao infinito. O termo ke−t/τ é devido ao pólo de G(s), e é chamado por sua vez de resposta transitória ou resposta natural do sistema, porque o termo desaparece quando t tende ao infinito. A Figura R1.1 ilustra a resposta tı́pica de um sistema de primeira ordem à entrada degrau unitário. Para obter a resposta a um degrau de amplitude A, basta multiplicar a saı́da por A. Time (sec.) A m pl itu de Step Response 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 From: U(1) T o: Y (1 ) Figura R1.1: Resposta ao degrau unitário (k = 1, τ = 0.5 s). 7. A tabela abaixo indica como a exponencial e−t/τ decai em função de múltiplos da constante de tempo τ . Observamos que após quatro constantes de tempo o valor da exponencial é inferior a 2% do valor inicial. Consequentemente, após t = 4τ s (qualquer que seja τ ) o valor da resposta é superior a 98% do seu valor final, k. t e−t/τ 0 1 τ 0.3679 2τ 0.1353 3τ 0.0498 4τ 0.0183 5τ 0.0067 8. O ganho DC do sistema de primeira ordem é G(0) = k. Se a amplitude do degrau for A, então o valor final da saı́da será kA. O valor DC de um sistema pode ser calculado mesmo que a entrada não seja constante. Na prática, se a entrada www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 17 permanecer igual a A por um perı́odo superior a 4τ s, o valor da saı́da tenderá à constante G(0)A. 9. Resposta à rampa unitária. Se U(s) = 1/s2, então Y (s) = k s2(τs + 1) = (k/τ) s2(s + 1/τ) , = −kτ s + k s2 + kτ s + (1/τ) . A anti-transformada de Y (s) (resposta à rampa) é y(t) = kt + kτe−t/τ − kτ, t ≥ 0. O fator que multiplica a exponencial agora depende de τ . Quanto maior τ , mais prolongada será a resposta transitória do sistema. A resposta em regime à rampa unitária, isto é, a parte da resposta à rampa que permanece quando t tende ao infinito, é y(t)re = kt− kτ (t→∞). Observamos que a resposta à rampa tende a uma reta de inclinação k. A Figura R1.2 ilustra a resposta tı́pica de um sistema de primeira ordem à entrada rampa unitária. Do mesmo modo, para obter a resposta a uma rampa de inclinação A (s−1), basta multiplicar a saı́da por A. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 PSfrag replacements t (s) u y Figura R1.2: Resposta do sistema à rampa unitária (k = 1, τ = 0.5 s). Sistemas de segunda ordem www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 20 y(t) = 1 + ωn 2 √ ξ2 − 1 [ es1t s1 − e s2t s2 ] , t ≥ 0, na qual s1,2 = −ξωn ± ωn √ ξ2 − 1, sendo chamada de super-amortecida. Se |s1| << |s2|, então es2t decai muito mais rápido do que es1t e a resposta pode ser aproximada por y(t) ' 1 + ωn 2 √ ξ2 − 1 es1t s1 , t ≥ 0. Dizemos que a raı́z s1 é dominante em relação a s2. A resposta obtida é tipicamente a de um sistema de primeira ordem. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 21 Revisão 2 Resposta Temporal Sistemas de segunda ordem Caracterı́sticas da resposta ao degrau Ganho DC não-unitário Efeito da adição de um zero Sistemas de segunda ordem 1. Dado um sistema de segunda ordem na forma padrão, G(s) = Y (s) U(s) = ω2n s2 + 2ξωns + ω2n , seus pólos complexos conjulgados (ξ < 1), s1,2 = −ξωn ± jωd, ωd = ωn √ 1− ξ2, podem ser localizados no plano s como ilustra a Figura R2.1. PSfrag replacements Re s Im s +ωd −ωd ωn ξωn −ξωn θ 0 s1 s2 Figura R2.1: Localização dos pólos no plano s. Relações trigonométricas simples mostram que |s1| = |s2| = √ (ξωn)2 + ( ωn √ 1− ξ2 )2 = ωn, www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 22 isto é, que a distância de s1 (s2) à origem do plano s é igual a freqüência natural do sistema. Além disso, o ângulo θ indicado é tal que cos θ = ξωn ωn = ξ, implicando que ξ tende a 1 (ωd tende a 0) quando θ tende a 0, e que ξ tende a 0 (ωd tende a ωn) quando θ tende a π/2. A freqüência de oscilação forçada ωd aumenta com a diminuição de ξ ou com o aumento de ωn. Caracterı́sticas da resposta ao degrau 2. Respostas ao degrau unitário tı́picas de sistemas de segunda ordem sub-amor- tecidos (ξ < 1), criticamente amortecidos (ξ = 1) e super-amortecidos (ξ > 1) são ilustradas na Figura R2.2. Dentre as respostas não-oscilatórias (ξ ≥ 1), a que mais rápido se aproxima da referência degrau unitário é a correspondente ao caso criticamente amortecido. Excetuando-se casos onde oscilações não possam ser toleradas, como em determinadas aplicações em Robótica, é desejável que a resposta transitória seja suficientemente rápida e amortecida, o que implica em fatores de amortecimento entre 0.4 e 0.8. Time (sec.) A m pl itu de Step Response 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 From: U(1) T o: Y (1 ) PSfrag replacements ξ = 0.1 .2 .3 .4 1 2 Figura R2.2: Respostas ao degrau em função de ξ (ωn = 1). 3. A resposta sub-amortecida de um sistema de segunda ordem pode ser expressa www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 25 Tempo de pico: tp = π 1.73 = 1.81 s; Tempo de acomodação: ts = 4 0.5× 2 = 4.00 s. 6. Em Controle estamos frequentemente interessados em sintetizar um sistema de segunda ordem, isto é, construir um sistema de segunda ordem que apresente caracterı́sticas desejadas de resposta ao degrau, especificadas através de tr, ts e Mp, principalmente. Construir o sistema significa, é claro, determinar os valores de ξ e ωn que satisfazem as especificações formuladas. 7. Exemplo. Considere o problema de sintetizar um sistema de segunda ordem, ou seja, determinar ξ e ωn, tal que Mp ≤ 10 %, tr ≤ 1 s, ts ≤ 3 s. Gráficos Mp × ξ são apresentados na maioria dos livros introdutórios de Con- trole. Veja, por exemplo, Ogata, pg. 155. Para que Mp ≤ 10%, devemos impor ξ ≥ 0.6. O tempo de subida impõe uma restrição à freqüência natural: tr = 1.8 ωn ≤ 1 ⇒ ωn ≥ 1.8 rad/s. O tempo de acomodação impõe uma restrição adicional, agora sobre o valor de ξωn: ts = 4 ξωn ≤ 3 ⇒ ξωn ≥ 4 3 Os valores mı́nimos ξ = 0.6 e ωn = 1.8 rad/s não satisfazem a especificação relativa ao tempo de acomodação. A solução mais simples é aumentar ωn. Se ωn = 2.3 rd/s, então ts = 2.9 s. O sistema que sintetiza a resposta desejada é G(s) = ω2n s2 + 2ξωns + ω2n = 5.29 s2 + 2.76s + 5.29 . 8. A dependência da resposta de um sistema de segunda ordem ao degrau em relação aos parâmetros ξ e ωn sugere ser possı́vel delimitar regiões do plano s www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 26 que caracterizem determinados tipos de resposta. Em outras palavras, uma dada localização de pólos – alocação de pólos no problema de sı́ntese – implica numa resposta ao degrau descrita em termos de tr, ts e Mp, como ilustra a Figura R2.4. Em particular, • Uma sobre-elevação máxima Mp implica um fator de amortecimento mı́ni- mo ξ e um consequente ângulo máximo θ, o que cria um setor no semi-plano esquerdo; • Um tempo de subida máximo t̄r implica uma freqüência natural mı́nima ωn, o que exclui o interior de um semi-cı́rculo de raio ωn; • Um tempo de acomodação máximo t̄s implica uma parte real dos pólos ξωn mı́nima ξωn, o que exclui a região à esquerda de ξωn. Um sistema de segunda ordem com pólos complexos conjulgados pertencentes à interseção das três regiões acima (região hachurada na Figura R2.4) será tal que Mp ≤Mp, tr ≤ t̄r e ts ≤ t̄s. PSfrag replacements Re s Im s ts ≤ t̄s Mp ≤Mp tr ≤ t̄r Região de alocação 0 Figura R2.4: Especificações em termos de regiões no plano s. Ganho DC não-unitário 9. Pode ocorrer do sistema de segunda ordem se apresentar na forma G(s) = Y (s) U(s) = kω2n s2 + 2ξωns + ω2n , www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 27 na qual k é um ganho qualquer, não necessariamente unitário. Neste caso, o ganho DC do sistema passa a valer G(0) = k e a resposta ao degrau do sis- tema é simplesmente multiplicada por k. Em particular, o valor final de y será y(∞) = limt→∞ y(t) = k. Uma modificação conveniente para máxima sobre- elevação quando y(∞) 6= 1 é Mp = y(tp)− y(∞) y(∞) × 100. Efeito da adição de um zero 10. O sistema de segunda ordem G(s) = Y (s) U(s) = (ω2n/a)(s + a) s2 + 2ξωns + ω2n possui um zero adicional em s = −a. Observamos que o ganho k = ω2n/a foi definido de tal maneira que G(0) = 1 qualquer que seja a, facilitando a análise a seguir, no sentido de que todas as respostas tenderão ao valor final 1. Para uma análise do comportamento tı́pico do sistema após a introdução do zero, suponha ξ = 0.7, ωn = 2 rad/s e os seguintes valores para a: 5, 2, 1 e 0.5. As respostas ao degrau correspondentes são apresentadas na Figura R2.5. Time (sec.) A m pl itu de Step Response 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 From: U(1) T o: Y (1 ) PSfrag replacements 5.0 2.0 1.0 0.5 Figura R2.5: Efeito da introdução de um zero. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 30 4. Para obter yR(t) é necessário anti-transformar a expressão YR(s) = α s− jω + ᾱ s + jω , na qual α e ᾱ (complexo conjulgado de α) são os resı́duos associados aos pólos de R(s) (s = jω, s = −jω). Observamos que os resı́duos de YR(s) dependem de G(s). De fato, α = (s− jω)G(s)R(s)|s=jω, = G(jω) Aω 2jω , = AG(jω) 2j . ᾱ = (s + jω)G(s)R(s)|s=−jω, = G(−jω) Aω−2jω , = −AG(−jω) 2j . Podemos expressar o número complexo G(jω) na forma exponencial G(jω) = |G(jω)|ejφ(jω), (4) na qual |G(jω)| é a magnitude (ganho) e φ(jω) é a fase (ângulo) de G(jω) na freqüência ω. Representamos alternativamente a fase como 6 G(jω). O fato de G(jω) ser uma função racional em jω garante as seguintes propriedades: |G(jω)| = |G(−jω)|, (5) φ(−jω) = −φ(jω). (6) A resposta em regime do sistema é y(t) = αejωt + ᾱe−jωt, = AG(jω) 2j ejωt − AG(−jω) 2j e−jωt. Usando a representação (4), as propriedades (5)-(6) e denotando por simplici- dade φ = φ(jω), obtemos www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 31 y(t) = A 2j |G(jω)|ej(ωt+φ) − A 2j |G(−jω)|e−j(ωt+φ), = A|G(jω)| [ ej(ωt+φ) − e−j(ωt+φ) 2j ] . Finalmente, y(t) = A|G(jω)| sen (ωt + φ) (t→∞). (7) A resposta em regime do sistema G(s) a uma entrada senoidal r(t) = A sen ωt, t ≥ 0, é também senoidal, da mesma freqüência ω da entrada, porém defasada de φ (dependente de ω) em relação à entrada. A amplitude da resposta senoidal é A|G(jω)|, sendo a quantidade |G(jω)| chamada de ganho de regime do sistema na freqüência ω. Dizemos que o sistema G(s) amplifica ou atenua a entrada r(t) = A sen ωt, t ≥ 0, quando |G(jω)| > 1 ou |G(jω)| < 1, respectivamente. 5. Exemplo. Considere o sistema de primeira ordem G(s) = 5 s + 2 , r(t) = 7sen 3t (A = 7, ω = 3 rad/s). Na freqüência ω = 3 rad/s, G(s)|s=j3 = 5 j3 + 2 , |G(j3)| = 1.39, 6 G(j3) = −56.3o. A resposta em regime do sistema é y(t) = A|G(jω)| sen (ωt + φ), = 7× 1.39× sen (3t− 56.3o), = 9.71 sen (3t− 56.3o) (t→∞). Diagramas de Bode 6. Suponha que os valores de |G(jω)| e 6 G(jω) sejam conhecidos para toda freqüência ω no intervalo 0 < ω < ∞. Como |G(jω)| e 6 G(jω) caracterizam completemente G(jω), dizemos conhecer a resposta em freqüência do sistema modelado por G(s). Os diagramas (gráficos) |G(jω)| × ω e 6 G(jω)× ω www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 32 são chamados de diagrama de magnitude e diagrama de fase de G(jω), respec- tivamente. Quando os diagramas são apresentados na forma log |G(jω)| × log ω e 6 G(jω)| × log ω, recebem a denominação particular de diagramas de Bode. Normalmente a magnitude é representada em dB (decibél): |G(jω)|dB = 20 log |G(jω)|, na qual log significa logaritmo na base 10. A fase 6 G(jω) é representada em graus. Utilizamos escalas lineares para representar a magnitude e a fase de G(jω) e escala logaritmica para representar a freqüência ω. 7. A obtenção dos diagramas de Bode de uma dada função G(jω) seria uma ta- refa mais árdua não fosse a possibilidade de construirmos diagramas assintóticos para G(jω) a partir da sua decomposição em fatores mais simples. O procedi- mento geral para se obter os diagramas assintóticos de uma dada função G(jω) será discutido através de um exemplo. Considere G(s) = 10(s + 3) s(s + 2)(s2 + s + 2) . • Fazendo s = jω, obtemos G(jω) = 10(jω + 3) jω(jω + 2)[(jω)2 + jω + 2] ; • Os diversos fatores de G(jω) são colocados na forma padrão ou forma de Bode, na qual os coeficientes constantes são todos iguais a 1: G(jω) = 7.5 ( jω 3 + 1 ) jω ( jω 2 + 1 )[ (jω)2 2 + jω 2 + 1 ] ; • As freqüências de corte de G(jω) são ω = 3 (zero em s = −3), ω = 2 (pólo em −2) e ω = ωn = √ 2 (ωn é a freqüência natural dos pólos complexos conjulgados); • Magnitude de G(jω) em dB: |G(jω)|dB = 20 log |G(jω)| = 20 log 7.5+ + 20 log √(ω 3 )2 + 1− 20 log ω − 20 log √(ω 2 )2 + 1− − 20 log √ (ω 2 )2 + ( 1− ω 2 2 )2 ; www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 35 9. Uma análise similar revela que a inclinação da assı́ntota de alta freqüência de um fator de segunda ordem (zeros ou pólos complexos conjulgados) é de ±40 dB/dec. A Figura R3.1 apresenta os fatores assintóticos (linhas tracejadas), o diagrama as- sintótico (linha traço-ponto) e o diagrama de magnitude exato (linha sólida) de G(s) = 10(s+3)/[s(s+2)(s2+s+2)]. Obtemos o diagrama assintótico somando ao fator constante as inclinações dos fatores assintóticos nas suas freqüências de corte, o que é possı́vel devido à representação logaritmica da magnitude. 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 Figura R3.1: Diagramas de magnitude de G(jω) - assintóticos e exato. 10. A magnitude exata do fator de segunda ordem na interseção das assı́ntotas de baixa (inclinação 0 dB/dec) e alta freqüências, em ω = ωn, depende de ξ. De fato, a magnitude de um fator de segunda ordem genérico seria ±20 log √( 2ξ ω ωn )2 + ( 1− ω 2 ω2n )2 . No exemplo ilustrativo, ξ ' 0.35. Os diagramas da Figura R3.2 são relativos ao fator de segunda ordem com ωn = √ 2 e ξ igualmente espaçado de 0.1 a 1.0. A medida que o fator de amortecimento ξ diminui, o pico da magnitude do fator de segunda ordem aumenta, assim com a rapidez com que a fase varia. Em ω = ωn a fase é sempre igual a −90o (não depende de ξ). www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 36 10 −1 10 0 10 1 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 Mag. (dB) 10 −1 10 0 10 1 −180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 Fase (graus) PSfrag replacements ξ = 0.1 ξ = 0.1 ξ = 1.0 ξ = 1.0 Figura R3.2: Magnitude e fase do fator de segunda ordem em função de ξ. 11. A freqüência na qual |G(jω)| apresenta seu pico, chamada de freqüência de ressonância, ωr, e a magnitude correspondente, chamada de pico de ressonância, Mr, são, respectivamente, ωr = ωn √ 1− 2ξ2 e Mr = |G(jωr)| = 1 2ξ √ 1− ξ2 , 0 ≤ ξ ≤ √ 2/2. Não ocorre ressonância se ξ > √ 2/2 ' 0.71. Quando ξ tende a zero, a freqüência de ressonância tende a ωn e Mr tende ao infinito. Se um sistema G(jω) tal que ξ = 0 for excitado na freqüência ωn, a magnitude |G(jωn)| torna-se infinita. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 37 Aula 2 Representação de Sistemas Modelagem Linearização Função de transferência Diagrama de blocos Modelagem 1. Os métodos tradicionais de análise e projeto de sistemas de controle partem da representação os componentes do sistema através de modelos matemáticos. A mo- delagem quase sempre é baseada em leis fı́sicas aplicáveis ao sistema de interesse. 2. Considere o problema de modelar a velocidade de um automóvel, representado na Figura 2.1. O automóvel, de massa total m, trafega a uma velocidade v = v(t) movido pela força u = u(t) produzida pelo motor. Assuma que o automóvel é um corpo rı́gido e que no seu movimento retilı́neo não sofre forças de reação. Neste caso, a segunda lei de Newton determina que m v̇ = u. (9) PSfrag replacements v m u Figura 2.1: Modelo linear do automóvel. 3. Obtemos a velocidade do automóvel em qualquer instante t ≥ 0 (t = 0 é o instante inicial de referência) resolvendo a equação diferencial linear de pri- meira ordem a coeficientes constantes (9), uma vez especificada a condição inicial v(0) = v0. Em Controle dizemos que o modelo obtido é linear (equação diferen- www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 40 8. A linearização é geralmente baseada na expansão do modelo não-linear em Série de Taylor. Os dois primeiros termos (aproximação linear) de uma função f qualquer de v, w e u em torno do ponto (v0, w0, u0) seria f(v, u, w) = f(v0, u0, w0) + fv(v 0, u0, w0)(v − v0)+ fw(v 0, u0, w0)(w − w0) + fu(v0, u0, w0)(u− u0). na qual fx representa a derivada parcial de f em relação a uma variável genérica x. Representando o lado direito de (10) como f(v, w, u), computamos o valor nominal u0 correspondente a v0 e w0 resolvendo a equação 0 = f(v0, w0, u), pois na condição nominal, v̇ = 0. Obtemos assim a entrada nominal de controle u0 = k(v0)2 + µ mg cos w0 + mg sen w0, e consequentemente f(v0, w0, u0) = 0. Introduzindo as variáveis de desvio (em relação aos valores nominais) δv = v−v0, δw = w−w0 e δu = u−u0, chegamos então ao seguinte modelo linearizado para a velocidade do automóvel (observe que v̇ = δ̇v): δ̇v = −aδv + b1δu + b2δw, (11) na qual a = 2kv0/m, b1 = 1/m e b2 = µ g sen w0 − g cos w0. Função de transferência 9. Modelos lineares invariantes no tempo podem ser representados no domı́nio da freqüêcia complexa s através do conceito de função de transferência. Uma função de transferência é obtida quando se divide a transformada de Laplace (L) de uma variável de saı́da pela transformada de Laplace de uma variável de entrada. 10. Num sistema de controle em malha fechada para regular a velocidade do au- tomóvel, a variável de saı́da é a velocidade do automóvel, y = v, e as variáveis de entrada (variáveis independentes) são a força produzida pelo motor, u, e o distúrbio externo introduzido pela inclinação da superfı́cie, w. 11. O modelo linearizado (11) relaciona a variação da saı́da às variações na entrada controlada e na entrada de distúrbio relativamente aos seus valores nominais. To- mando a transformada de Laplace de (11) com condição inicial y(0) = 0 (variação www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 41 inicial zero), obtemos s∆Y (s) = −a∆Y (s) + b1∆U(s) + b2∆W (s), (12) em que ∆Y (s) = L[δy(t)] e assim por diante. A equação (12) pode ser rearran- jada de forma a se explicitar a variação da saı́da δy como uma soma de variações produzidas pelas entradas δu e δw: ∆Y (s) = b1 s + a ∆U(s) + b2 s + a ∆W (s), = Pyu(s)∆U(s) + Pyw(s)∆W (s), = ∆Yu(s) + ∆Yw(s), na qual Pyu(s) e Pyw(s) são as funções de transferência das entradas δu e δw para a saı́da δy, respectivamente. Pelo Princı́pio da Superposição, se δyu e δyw são as saı́das devidas as ações das entradas δu (com δw = 0) e δw (com δu = 0), respectivamente, então a saı́da devida a ação conjunta das entradas δu e δw é δy = δyu + δyw. 12. Num sistema de controle em malha fechada para regulação de velocidade, a variação de velocidade medida, δy, é comparada com a referência r = 0 (r(t) = 0, t ≥ 0), pois deseja-se variação nula (velocidade nominal) em regime (isto é, quando t→∞). O erro resultante serve de entrada para um controlador represen- tado pela função de transferência C(s). A saı́da de C(s) é a variação da entrada, δu, necessária para compensar a variação da saı́da do sistema, δy. 13. A Figura 2.3 apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle em malha fechada que poderia ser utilizado para resolver o problema da regulação de velocidade do automóvel. O esquema de controle deve ser entendido da seguinte forma: numa primeira etapa, o automóvel é levado à condição nominal desejada (y0, w0), quando então o controle assume o valor u0. Em seguida o sistema da Figura 2.3 passa a funcionar para manter a velocidade em y0. Observemos que os valores efetivos da saı́da, do controle e do distúrbio são y0+δy, u0+δu e w0+δw, respectivamente. 14. Num diagrama de blocos como a da Figura 2.3 indicamos as variáveis no domı́nio do tempo, deixando implı́cito que δu(t) = L−1[C(s)E(s)]. Uma das principais funções do controlador C(s) no sistema de controle em malha fechada representado na Figura 2.3 é a de rejeição de distúrbios: a variação de velocidade www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 42 (δy) eventualmente produzida pela variação na inclinação da superfı́cie (δw) deve teder a zero (em regime) pela ação da variação no controle (δu). PSfrag replacements + + +− r = 0 δu δw δye b1 s + a b2/b1 Planta C(s) Figura 2.3: Regulação de velocidade do automóvel. 15. Projetamos controladores para atender a especificações de desempenho como a rejeição de distúrbios. Outras especificações poderiam restringir o comporta- mento transitório da saı́da após a ocorrência de distúrbios, como ao se especificar um intervalo de tempo máximo para o retorno da saı́da ao seu valor nominal. 16. Na prática, projetar um controlador significa determinar os coeficientes da função de transferência C(s) de forma a que todas as especificações de desempe- nho sejam atendidas. Mostraremos mais tarde que um distúrbio do tipo degrau na velocidade do automóvel, produzido, por exemplo, quando a inclinação w muda subitamente de valor, um controlador do tipo PI (Proporcional + Integral), dado por C(s) = kp + ki s = skp + ki s , seria adequado. Projetar o controlador, neste caso, significaria determinar os ga- nhos kp (proporcional) e ki (integral) necessários para rejeitar o distúrbio e ao mesmo tempo atender outras eventuais especificações de desempenho. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 45 (Las + Ra)Ia(s) = Va(s)− Vf (s), Vf (s) = kfsΘ(s), (15) e (Js2 + Bs)Θ(s) = T (s) = kt Ia(s). (16) 5. No diagrama de blocos apresentado na Figura 3.2, correspondente às equações (15) e (16), o sistema eletromecânico é visto como composto por dois subsistemas: elétrico (circuito de armadura) e mecânico (motor, carga e engrenagens). Observa- mos também a existência de uma realimentação interna (natural) no motor DC. Podemos simplificar o diagrama da Figura 3.2 e apresentar a relação entre a tensão de armadura e o deslocamento angular do eixo como na Figura 3.3. PSfrag replac ments va ia T vf θ 1 Las + Ra kt 1 Js2 + Bs kfs S. Elétrico S. Mecânico + − Figura 3.2: Diagrama de blocos do motor DC. PSfrag replacements va θkt JLas3 + (LaB + RaJ)s2 + (RaB + kfkt)s Figura 3.3: Diagrama simplificado do motor DC. A função de transferência entre va e θ é de terceira ordem. (Notamos que a função de transferência entre va e θ̇, a velocidade angular do motor, é de se- gunda ordem.) Em alguns motores DC, a indutância de armadura é muito pequena. Quando a indutância é desprezada (La ≈ 0), obtemos um modelo reduzido de segunda ordem, na forma P (s) = Θ(s) Va(s) = k s(τs + 1) , www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 46 sendo k e τ , respectivamente, o ganho e a constante de tempo do motor, os quais são completamente caracterizados pelos parâmetros do modelo: k = kt RaB + ktkf , τ = RaJ RaB + ktkf . 6. Suponha que uma referência angular a ser seguida pelo eixo do motor é conver- tida de radianos em volts através de um potenciômetro de ganho ks (V/rad), e que outro potenciômetro com a mesma escala se encontra conectado ao eixo do motor, fornecendo uma tensão proporcional ao deslocamento produzido. Neste caso, um sistema de controle com realimentação unitária para a posição angular do eixo do motor DC poderia assumir a estrutura apresentada na Figura 3.4. PSfrag replacements + − ka r (rad) θ (rad)Amplificador Controlador Motor DC ksk s(τs + 1) Figura 3.4: Sistema de controle em malha fechada. Podemos mostrar que a ação proporcional produzida pelo amplificador (con- trolador), combinada com a ação integral produzida pelo pólo do motor na origem, é suficiente para que a saı́da passe a seguir qualquer referência constante. Instabilidade: pêndulo invertido 7. Uma das principais aplicações de sistemas de controle é na estabilização de sistemas naturalmente instáveis em malha aberta. A Figura 3.5 ilustra um sistema composto por um pêndulo invertido montado sobre um carro, o qual pode ser movimentado em linha reta através de um motor DC. O objetivo do sistema de controle seria manter o pêndulo na posição vertical. O pêndulo invertido modela problemas de controle importantes em Engenharia, como o controle de atitude (posição) de um veı́culo lançador de satélites. Um problema com caracterı́sticas similares é o da levitação magnética, presente em aplicações como o controle de trens de alta velocidade. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 47 PSfrag replacements u x y l mg M θ 0 Figura 3.5: Pêndulo invertido. 8. Modelagem. O sistema da Figura 3.5 é instável, no sentido de que o pêndulo tende a se afastar da posição vertical por menor que seja a força aplicada ao carro. O modelo linearizado do pêndulo invertido em torno da posição de equilı́brio instável (θ = 0, x = 0) é (M + m) d2x dt2 + ml d2θ dt2 = u, (17) ml2 d2θ dt2 + ml d2x dt2 = mglθ, (18) Os parâmetros e variáveis presentes no esquema da Figura 3.5 encontram-se definidos a seguir. θ : ângulo formado pelo pêndulo com a vertical; l : comprimento do pêndulo; m : massa do pêndulo (concentrada na extremidade); M : massa do carro; u : força aplicada ao carro; x : deslocamento linear do carro; g : aceleração da gravidade. Adotando a notação compacta para derivadas e eliminando a derivada segunda www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 50 x2 = θ̇, x3 = x e x4 = ẋ. Com essas definições, obtemos ẋ1 = x2, ẋ2 = −αx1 − βu, ẋ3 = x4, ẋ4 = −γx1 + ρu, y = x1, em que α = (M + m)g Ml , β = 1 Ml , γ = m M e ρ = 1 M . 13. As equações diferenciais envolvendo os estados são chamadas de equações de estado. A equação algébrica envolvendo a saı́da é chamada de equação de saı́da. Um importante subproduto da representação de sistemas por variáveis de estado é a possibilidade de empregarmos uma poderosa notação matricial para as equações de estado e de saı́da. Como exemplo, o modelo do pêndulo invertido poderia ser descrito em termos matriciais da seguinte forma:   ẋ1 ẋ2 ẋ3 ẋ4   =   0 1 0 0 −α 0 0 0 0 0 0 1 −γ 0 0 0     x1 x2 x3 x4  +   0 −β 0 ρ  u, y = [ 1 0 0 0 ]   x1 x2 x3 x4   . Se a saı́da tivesse sido definida como sendo a aceleração angular, ẋ2 = θ̈, então a equação de saı́da assumiria a forma y = −αx1 − βu = [ −α 0 0 0 ]   x1 x2 x3 x4  + [−β]u, e obterı́amos também D = [−β] (escalar). Definindo x =   x1 x2 x3 x4   , ẋ =   ẋ1 ẋ2 ẋ3 ẋ4   , A =   0 1 0 0 −α 0 0 0 0 0 0 1 −γ 0 0 0   , B =   0 −β 0 ρ   , www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 51 C = [ −α 0 0 0 ] e D = [−β], podemos representar o pêndulo invertido (e qualquer outro sistema linear invariante no tempo) na forma matricial compacta ẋ = Ax + Bu, y = Cx + Du. Uma representação ainda mais geral é ẋ = Ax + Bu + Bww, y = Cx + Du + Dvv. na qual as matrizes Bw e Dv (escalar) indicam como os distúrbios w e v afetam as variáveis de estado e de saı́da do sistema. Exemplo: no modelo do pêndulo inver- tido, uma força de distúrbio w contrária ao movimento do carro seria transmitida aos estados através de Bw =   0 β 0 −ρ   . Limitações dos modelos matemáticos 14. Qualquer modelo matemático, independentemente da representação adotada, é uma aproximação do sistema dinâmico de interesse. Em princı́pio, a validade dos modelos lineares invariantes no tempo (LIT’s) utilizados neste curso é ques- tionável, se considerarmos que todo sistema dinâmico é, em geral, não-linear e variante no tempo. A validade dos modelos LIT’s no contexto de sistemas de con- trole é em grande parte conseqüência da realimentação, como argumentado abaixo. Não-linearidade. O modelo não-linear, mais fiel à planta, pode ser linearizado num ponto de operação desejado, como θ = 0, x = 0, no caso do pêndulo inver- tido. O modelo linearizado é valido apenas no entorno desse ponto. Entretanto, se convenientemente projetado, o sistema de controle em malha fechada faz com que a planta (e seus modelos não-linear e linear) não se afaste do ponto de operação, assegurando desta forma a validade do modelo linear; www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 52 Variação no tempo. Os valores dos parâmetros de um sistema dinâmico ge- ralmente sofrem variações ao longo do tempo devido aos efeitos de envelheci- mento e desgaste. Um sistema de controle em malha fechada é capaz de compen- sar variações paramétricas se essas variações forem muito mais lentas do que a dinâmica do sistema de controle. A maioria dos sistemas dinâmicos industriais sa- tisfaz essa premissa e tudo se passa, na prática, como se o sistema fosse invariante no tempo. 14. Duas outras possı́veis fontes de problemas para a operação de sistemas de controle são dinâmicas não-modeladas e incertezas paramétricas. Dinâmica não-modelada. Ao desprezarmos a indutância de armadura no modelo do motor DC para passar de um modelo de terceira ordem para um de segunda ordem, estamos também desprezando a dinâmica do circuito de armadura. Admi- timos implicitamente que o modelo de segunda ordem é válido porque o sinal de entrada do circuito de armadura (Figura 3.2) não consegue excitar o modo elétrico do sistema, cuja constante de tempo (freqüência de corte) é muito menor (maior) do que a contante de tempo (freqüência de corte) do modo mecânico. Desde que os sinais presentes no sistema de controle em malha fechada não excitem dinâmicas não-modeladas, podemos deixar essas dinâmicas fora do modelo; Incerteza paramétrica. Mesmo admitindo que os parâmetros do sistema não va- riam com o tempo, podemos ter um conhecimento apenas aproximado dos seus valores. Em alguns casos, conhecemos os valores nominais e as tolerâncias em relação aos valores nominais dos parâmetros. Quando dizemos que a resistência de armadura de um motor é Ra com tolerância de ±10%, estamos querendo dizer que qualquer valor de resistência entre 0.9Ra e 1.1Ra é possı́vel. Mais uma vez, a realimentação pode compensar nossa incerteza com relação aos parâmetros, desde que o sistema de controle em malha fechada seja projetado para ser robusto, isto é, para produzir o desempenho desejado independentemente dos valores reais dos parâmetros. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 55 a respeito do funcionamento do sistema. 4. Cada variável de saı́da é uma função simultânea das três variáveis de entrada. Denotando uma função de malha fechada genérica como Tzx(s), sendo x a en- trada e z a saı́da, e aplicando o Princı́pio da Superposição ao diagrama da Figura 4.1, obtemos as saı́das como funções das entradas no domı́nio da transformada de Laplace: E(s) = Ter(s)R(s) + Tew(s)W (s) + Tev(s)V (s), (19) U(s) = Tur(s)R(s) + Tuw(s)W (s) + Tuw(s)V (s), (20) Y (s) = Tyr(s)R(s) + Tyw(s)W (s) + Tyv(s)V (s). (21) 5. Análise e projeto. Cada função de transferência de malha fechada é escrita em termos das funções de malha aberta C(s), P (s) e F (s). Se estas últimas são co- nhecidas, assim como R(s), W (s) e V (s) (as transformadas de r, w e v), podemos obter E(s), U(s) e Y (s), e em seguida e, u e y através de anti-transfomada de La- place. Podemos assim analisar o desempenho do sistema de controle em relação a determinadas entradas quando um dado controlador C(s) é utilizado. Se podemos analisar, podemos também projetar um sistema de controle, definindo um con- trolador C(s) que atenda a certas especificações de desempenho associadas aos atributos discutidos anteriormente. 6. Um dos objetivos do sistema de controle em malha fechada da Figura 4.1 é fazer a saı́da da planta rastrear uma dada entrada de referência. A resposta da planta à entrada de referência pode ser analisada a partir da função de transferência Tyr(s). Do diagrama de blocos da Fig. 4.1 e das transformadas de Laplace dos sinais r, e, u e y, obtemos sucessivamente E(s) = R(s)− F (s)Y (s), = R(s)− P (s)F (s)U(s), = R(s)− C(s)P (s)F (s)E(s). A função de tranferência de malha fechada entre a entrada de referência e o erro de rastreio é então dada por Ter(s) = E(s) R(s) = 1 1 + C(s)P (s)F (s) . A função de transferência de malha fechada entre a entrada de referência e a entrada de controle pode ser obtida da seguinte forma: Tur(s) = U(s) R(s) = E(s) R(s) U(s) E(s) = C(s) 1 + C(s)P (s)F (s) . www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 56 Finalmente, a função de transferência de malha fechada entre a entrada de re- ferência e a saı́da da planta é dada por Tyr(s) = Y (s) R(s) = U(s) R(s) Y (s) U(s) = C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)F (s) . 7. As demais funções de malha fechada podem ser obtidas de maneira análoga, manipulando o diagrama de blocos da Figura 4.1 de forma a eliminar variáveis in- termediárias entre a entrada e a saı́da desejadas. Os numeradores das funções de malha fechada são variáveis – dependem de C(s), P (s) e F (s) de formas diferen- tes – mas o denominador é sempre o mesmo: 1 + C(s)P (s)F (s). Neste sentido, dizemos que o sistema de controle da Figura 4.1 é do tipo um-grau-de-liberdade, pois uma vez definida a função de transferência do controlador C(s), todas as de- mais funções ficam automaticamente caracterizadas. Estabilidade entrada-saı́da 8. O comportamento do sistema de controle em malha fechada da Figura 4.1 é enormemente influenciado pela função 1 + C(s)P (s)F (s). Definimos a equação caracterı́stica do sistema em malha fechada como 1 + C(s)P (s)F (s) = 0. (22) As raı́zes da equação caracterı́stica determinam muito do comportamento dinâ- mico do sistema em malha fechada e serão melhor explicitadas através das repre- sentações de C(s), P (s) e F (s) na forma polinomial: C(s) = NC(s) DC(s) , P (s) = NP (s) DP (s) , F (s) = NF (s) DF (s) . Os graus do numerador (N ) e do denominador (D) de uma função de trans- ferência qualquer serão denotados por m e n, respectivamente. Assumimos que m ≤ n, e que, sem perda de generalidade, o coeficiente de grau n do denominador é unitário. Na discussão a seguir tomamos uma função de malha fechada genérica T (s). Na notação polinomial, T (s) = NT (s) DT (s) = NT (s) DC(s)DP (s)DF (s) + NC(s)NP (s)NF (s) , (23) na qual NT (s) é qualquer dos numeradores das funções de malha fechada. Exem- plo: se T (s) = Try(s), então NT (s) = NC(s)NP (s)DF (s) (verifique). A ordem www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 57 de T (s) é nT = nC + nP + nF . e a equação caracterı́stica (22) é equivalente a equação polinomial DT (s) = DC(s)DP (s)DF (s) + NC(s)NP (s)NF (s) = 0. (24) Se não houver cancelamentos entre as mT raı́zes de NT (s) = 0 e as nT raı́zes de DT (s) = 0, então as primeiras são os zeros e as segundas os pólos da função de transferência de malha fechada T (s). 9. Dizemos que um sinal qualquer x é limitado se existe uma constante M > 0 tal que |x(t)| < M para todo t ≥ 0. O degrau de amplitude A é um exemplo de sinal limitado. Um sinal do tipo rampa de inclinação A s−1 é ilimitado, pois qualquer que seja M > 0, sempre existirá um tempo t > 0 tal que |At| ≥ M . Observamos que a soma de sinais limitados é também um sinal limitado. 10. Recordemos que um sistema dinâmico é estável do ponto de vista entrada- saı́da, ou BIBO-estável (do inglês, Bounded-Input-Bounded-Output), se a res- posta do sistema a qualquer entrada limitada é também limitada. Supondo que x (transformada X(s)) é qualquer entrada limitada, desejamos estabelecer as condições sob as quais a saı́da z (transformada Z(s)) do sistema modelado por T (s) será também limitada. No presente contexto, x representa genericamente r, w ou v, enquanto que z representa genericamente e, u ou y. 11. Passamos então a analisar a anti-transformada de Z(s) = T (s)X(s), isto é, a resposta de T (s) à entrada X(s). Para obter a expansão em frações parciais de Z(s) é necessário determinar os pólos de T (s) e de X(s). Os pólos de T (s) são as raı́zes de DT (s) = 0; os pólos de X(s) = NX(s)/DX(s) são as raı́zes de DX(s) = 0. 12. Exemplo. Considere x(t) = sen t, t ≥ 0 (entrada senoidal, limitada). Então X(s) = NX(s) DX(s) = 1 s2 + 1 , e os pólos de X(s) são as raı́zes de s2 + 1 = 0, iguais a x1 = j e x2 = −j. A expansão em frações parciais de X(s) é X(s) = α s− j + ᾱ s + j , na qual α e ᾱ são os resıı́duos complexos conjulgados de x1 e x2. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 60 repostas individuais nas expressões (19)-(21) são todas limitadas, assim como as somas que definem e, u e y. Logo, as saı́das e, u e y serão também limitadas. Dizemos então que o sistema de controle da Figura 4.1 é internamente estável. 17. Como os pólos do sistema em malha fechada são as raı́zes da equação carac- terı́stica 1 + C(s)P (s)F (s) = 0, as quais por sua vez dependem da escolha do controlador C(s) para P (s) e F (s) dadas, devemos antes de tudo escolher o con- trolador de forma que Re{pi} < 0 para todo i = 1, 2, . . . , nT , o que garante que o sistema em malha fechada será (internamente) estável. 18. Exemplo. Considere a função de transferência do motor DC controlado pela armadura, P (s) = Y (s) U(s) = k s(τs + 1) , em que k e τ são o ganho e a constante de tempo do motor, respectivamente. A planta é marginalmente estável, pois uma entrada (tensão de armadura) do tipo degrau unitário, por exemplo, torna a saı́da (posição angular do eixo) ilimitada. Supondo C(s) = kc (controle proporcional) e F (s) = ks (V/rad), obtemos a equação caracterı́stica (verifique) τs2 + s + kcksk = 0, cujas raı́zes (pólos do sistema em malha fechada) são sempre reais negativas ou complexas conjulgadas com parte real negativa, quaisquer que sejam kc, ks, k e τ positivos. Conseqüentemente, o sistema de controle em malha fechada é sem- pre estável e a saı́da permanece limitada, mesmo que existam distúrbios limitados agindo no sistema. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 61 Aula 5 Erros de Regime Realimentação unitária Tipos de sistemas de controle Erros de regime: entradas degrau, rampa e parábola Realimentação unitária 1. Considere o diagrama de blocos de um sistema de controle em malha fechada da Figura 5.1, no qual eventuais distúrbios agindo no sistema não são explicitamente representados. A entrada r serve de referência para a saı́da da planta, y. As funções de transferência (malha aberta) do controlador, da planta e do sensor são C(s), P (s) e F (s), respectivamente. PSfrag replacements r ye u+ − C(s) P (s) F (s) Figura 5.1: Sistema de controle em malha fechada. 2. Em muitas situações práticas, a resposta do sensor é muito mais rápida do que as respostas dos demais componentes do sistema. Nestes casos podemos desprezar a dinâmica do sensor, aproximar F (s) por um ganho constante e obter um diagrama de blocos equivalente ao da Figura 5.1, mas com realimentação unitária. Para efeito de exposição, suponha que F (s) mede temperatura e que F (s) = ks, em que ks transforma oC em volts. Observamos que unidade da variável de referência deve ser volts para que o erro entre a referência e a saı́da faça sentido. 3. Assuma que a saı́da do sistema deva rastrear a temperatura de 100 oC. Em princı́pio, r(t) = 100, t ≥ 0 (oC) (degrau de amplitude 100). Na prática, para dar www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 62 sentido ao erro, a referência deve ser especificada em volts: r(t) = 100k−1s , t ≥ 0 (V). O diagrama de blocos da Figura 5.2 é equivalente ao diagrama de Figura 5.1, na medida em que a relação entre r e y permanece inalterada. Entretanto, no diagrama da Figura 5.2, a referência na entrada do somador possui a mesma unidade da saı́da do sistema, oC. PSfrag replacements r (V) r (oC) y ksk −1 s oC + − C(s) P (s) Figura 5.2: Diagrama de blocos equivalente (F (s) = ks). 4. Se a referência for especificada em graus e o ganho do sensor for incorporado ao controlador ou à planta, obtemos o sistema de controle com realimentação unitária representado na Figura 5.3. Sistemas de controle com realimentação unitária são mais simples de analisar e projetar. PSfrag replacements r ye+ − C(s) P (s) Figura 5.3: Sistema de controle com realimentação unitária. 5. Assumimos que o sistema de controle em malha fechada da Figura 5.3 é estável. A transformada de Laplace do erro entre a referência r e a saı́da y é E(s) = R(s)− Y (s), = R(s) 1 + C(s)P (s) . O erro de regime (ou de estado estacionário) do sistema, pode ser calculado www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 65 denota a chamada constante velocidade do sistema, pois estamos interessados em controlar a variação da saı́da do sistema. Se N = 0, então kv = 0 e er = ∞. Se N = 1, então kv é uma constante, assim como er. Se N ≥ 2, então kv = ∞ e er = 0. O erro de regime de um sistema do tipo 2 ou superior para entrada rampa é zero. A Figura 5.4 ilustra os erros de regime para entrada rampa em função do tipo do sistema. Erros para entrada parábola. Se R(s) = 1/s3, obtemos ep = lim s→0 1 s2 + s2C(s)P (s) = 1 lims→0 s2C(s)P (s) = 1 ka , em que ka = lim s→0 s2C(s)P (s) (s−2) denota a chamada constante de aceleração do sistema, pois agora estamos inte- ressados em controlar a aceleração da saı́da do sistema. Se N ≤ 1, então ka = 0 e ep = ∞. Se N = 2, então ka é uma constante, assim como ep. Se N ≥ 3, então ka = ∞ e ep = 0. O erro de regime de um sistema do tipo 3 ou superior para entrada parabólica é zero. 8. A tabela abaixo resume os valores dos erros de regime e das contantes de posição, velocidade e aceleração para as entradas degrau, rampa e parábola em função do tipo do sistema. N 1/s 1/s2 1/s3 Constantes 0 1 1 + kp ∞ ∞ kp = lim s→0 C(s)P (s) 1 0 1 kv ∞ kv = lim s→0 sC(s)P (s) 2 0 0 1 ka ka = lim s→0 s2C(s)P (s) Genericamente, para que os erros de regime devidos a entradas R(s) = 1/sm de ordens m = 1, 2, . . . , n sejam nulos, é necessário que N ≥ m. Se a amplitude www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 66 da entrada for A, o erro de regime é simplesmente multiplicado por A. (Note que R(s) = 1/s3 é a transformada de Laplace de r(t) = t2/2, t ≥ 0.) 9. Se um sistema de controle responde bem a entradas simples como degrau, rampa, parábola, etc., então é razoável imaginar que o sistema também responderá bem a entradas mais gerais que possam ser escritas como combinações dos termos 1, t, t2/2, . . .. Todo sinal de entrada r bem comportado pode ser aproximado por um polinômio na forma r(t) ' c1 + c2t + c3t 2 2 + · · · , t ≥ 0, o que justifica ainda mais nosso interesse pelos erros de regime para entradas de- grau, rampa e parábola. 10. Como o tipo do sistema é função do número de pólos de C(s)P (s) na origem e a função de transferência da planta é dada, o tipo do sistema varia de acordo com a escolha do controlador. Suponha, por exemplo, que P (s) não tenha pólos na origem. Ainda assim o erro de regime para entrada degrau será nulo se o con- trolador tiver pelo menos um pólo na origem (sistema tipo 1), como os chamados controladores PI’s: C(s) = kP s + kI s , nos quais kP e kI são os ganhos (ajustáveis) proporcional e integral, respectiva- mente. Parece então natural incorporar a C(s) tantos integradores quantos sejam necessários para anular erros de regime. Essa prática, entretanto, torna a estabiliza- ção do sistema em malha fechada muito difı́cil, como será constatado futuramente. PSfrag replacements r y+ − kc 10 s(0.1s + 1) 0 Figura 5.5: Controle de posição de um motor DC. 11. Exemplo. Considere o diagrama de blocos da Figura 5.5, que representa o sistema de controle de posição de um motor DC. Como a constante de tempo www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 67 do motor é τ = 0.1 s, a velocidade do motor atinge seu valor de regime após aproximadamente 4τ = 0.4 s, quando operado em malha aberta. Como C(s)P (s) = 10kc s(0.1s + 1) , o tipo do sistema é N = 1. As constantes e erros de regime para as diferentes entradas são: kp = lim s→0 10kc s(0.1s + 1) =∞, ed = 1 1 + kp = 0, kv = lim s→0 s 10kc s(0.1s + 1) = 10kc, er = 1 kv = 1 10kc , ka = lim s→0 s2 10kc s(0.1s + 1) = 0, ep = 1 ka =∞. Se a unidade da saı́da for radiano e kc = 10, por exemplo, então o erro de regime para entrada rampa seria de 0.01 rad/s. Nada se pode dizer a priori sobre o tempo necessário para o sistema chegar à situação de regime. 12. Exemplo. O diagrama de blocos da Figura 5.6 representa um sistema de controle de temperatura. PSfrag replacements r (V) y (oC)+ − C(s) 5 s + 0.1 0.05 Figura 5.6: Sistema de controle de temperatura. Como o sistema não se encontra na configuração de realimentação unitária, não é possı́vel calcular diretamente os erros de estado estacionário. Incorporando o ganho do sensor (ks = 0.05 V/oC) à planta, chegamos ao sistema de controle com realimentação unitária da Figura 5.7. Supondo C(s) = kc, obtemos C(s)P (s) = 0.25kc s + 0.1 , www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 70 3. Para efeito de interpretação em termos dos conteúdos espectrais dos sinais en- volvidos, considere o sistema T (s) = Y (s)/R(s). A energia do sinal de entrada na freqüência ω é dada por ER(ω) = 1 π |R(jω)|2, e como todo sinal fı́sico ER(ω) tende a zero quando ω tende ao infinito. A energia do sinal de saı́da é EY (ω) = 1 π |Y (jω)|2 = 1 π |R(jω)T (jω)|2, = 1 π |R(jω)|2|T (jω)|2. A energia do sinal de entrada na freqüência ω é transmitida para a saı́da apenas se a magnitude do sistema na freqüência ω é significativa. Se a magnitude |T (jω)| for significativa na faixa de freqüências na qual a energia do sinal de entrada se concentra, o sinal de entrada será satisfatoriamente transmitido para a saı́da do sistema. Na terminologia própria da área de sistemas de controle, diz-se que a saı́da rastreia (segue, acompanha) a entrada. 4. A faixa de passagem de um sistema de controle T (s) pode ser definida como a faixa de freqüências dentro da qual a magnitude |T (jω)| não cai mais do que 3 dB em relação ao valor |T (j0)| (valor DC). É possı́vel definir a freqüência de referência ω = 0 porque sistemas de controle são essencialmente filtros passa- baixas. PSfrag replacements 3 dB 0← ω |T (jω)|dB w, rad/s ωFP Figura 6.2: Resposta tı́pica de um sistema de controle. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 71 A faixa de passagem do sistema ilustrado na Figura 6.2 é numericamente igual à freqüência ωFP tal que |T (jωFP )|dB = |T (j0)|dB−3 dB. Geralmente exige-se que |T (j0)|dB = 0 (|T (j0)| = 1), de forma que o sistema de controle seja capaz de rastrear entradas constantes sem erros de regime. 5. Um dos objetivos do projeto de sistemas de controle é limitar a faixa de passa- gem do sistema à faixa de freqüências necessária para que a saı́da rastreie a entrada. Desta forma, ruı́dos (energia espúria, não-desejada) fora da faixa delimitada pela faixa de passagem serão substancialmente atenuados pelo sistema de controle. Ou- tro efeito importante da limitação da faixa de passagem é impedir que determinadas dinâmicas não-modeladas, usualmente caracterı́sticas da planta em freqüências mais elevadas suprimidas no modelo adotado, sejam excitadas por componentes do sinal de entrada nessas freqüências. 6. A faixa de passagem do sistema em malha fechada é determinada pela escolha do controlador, uma vez que T (s) é função de C(s): T (s) = Y (s) R(s) = C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)F (s) Para efeito de ilustração, considere C(s) = kc, P (s) = 1 τs + 1 , e F (s) = 1. A faixa de passagem do sistema em malha aberta, C(s)P (s) = kc/(τs + 1), é igual a freqüência de corte da planta: ωFP = 1/τ . (A magnitude em ωFP = 1/τ cai 3 dB em relação à assı́ntota de baixa freqüência). Por outro lado, a faixa de passagem do sistema em malha fechada T (s) = kc τs + (1 + kc) é ωFP = (1 + kc)/τ (verifique), e agora depende do ganho do controlador. Menor ganho, menor faixa de passagem e vice-versa. Se τ = 0.1 s e kc = 1, então ωFP = 20 rad/s. A faixa de passagem de um sistema de segunda ordem na forma padrão com fator de amortecimento ξ = 0.5 é ωFP = ωn. Sensibilidade 7. Um controlador projetado a partir das funções de transferência nominais da planta e do sensor deve ser capaz de manter o desempenho especificado para o www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 72 sistema de controle em malha fechada a despeito de possı́veis variações nas funções de transferência envolvidas. 8. Considere uma função de transferência genérica G(s). Desejamos analisar a variação de G(s) quando um dado parâmetro p de G(s) varia. (Uma notação mais formal seria G(s, p)). Suponha que G(s) e p representam valores nominais e que ∆G(s) e ∆p representam variações em relação aos valores nominais. A razão entre a variação percentual de G(s) e a variação percentual de p é S(s) = ∆G(s) G(s) ∆p p = ∆G(s) ∆p p G(s) . A função de sensibilidade de G(s) em relação a p é definida como SGp (s) = lim ∆p→0 ∆G(s) ∆p p G(s) = ∂G(s) ∂p p G(s) . 9. Generalização. A função de sensibilidade de uma função de transferência G(s) em relação a outra função de transferência Q(s) é dada por SGQ(s) = ∂G(s) ∂Q(s) Q(s) G(s) . A resposta em freqüência de SGQ(s) expressa como a resposta em freqüência de G(s) varia percentualmente quando a resposta em freqüência de Q(s) varia percentualmente. Sensibilidade do sistema em malha aberta 10. Suponha que G(s) = C(s)P (s) é a função de transferência do sistema de con- trole em malha aberta. Neste caso, a sensibilidade de G(s) em relação à variação de P (s) é SGP (s) = ∂G(s) ∂P (s) P (s) G(s) = C(s) P (s) C(s)P (s) = 1, expressando o fato de que qualquer variação na planta será integralmente refletida na função de transferência do sistema em malha aberta, independentemente do www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 75 guintes componentes: C(s) = kc, P (s) = k s + 0.1 e F (s) = 0.05. Desejamos analisar a influência do ganho do controlador, kc, na sensibilidade de T (s) em relação ao ganho da planta, k. Supomos que o valor nominal de k é 5. A função de malha fechada é T (s) = C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)F (s) = kck s + (0.1 + 0.05kck) . Logo STk (s) = ∂T (s) ∂k k T (s) = = [s + (0.1 + 0.05kck)]kc − (0.05kc)(kck) [s + (0.1 + 0.05kck)]2 [s + (0.1 + 0.05kck)] kc . Em k = 5, STk (s) = s + 0.1 s + (0.1 + 0.25kc) . A resposta em freqüência de STk (s) é STk (jω) = jω + 0.1 jω + (0.1 + 0.25kc) = 0.1 0.1 + 0.25kc ( jω 0.1 + 1 ) ( jω 0.1 + 0.25kc + 1 ) . Observamos que a magnitude da sensibilidade STk (jω) decresce com o au- mento do ganho do controlador. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 76 Aula 7 Rejeição de distúrbios Rejeição de distúrbios Controle da resposta transitória Controle da resposta em freqüência Rejeição de distúrbios 1. Distúrbios são entradas independentes que tendem a afetar de forma adversa o funcionamento do sistema de controle. Entradas de distúrbio podem ser usadas para modelar a variação de algum componente do sistema, ou para modelar o efeito do ambiente sobre o sistema de controle. A Figura 9.1 ilustra um sistema de con- trole no qual a entrada de distúrbio, w, é refletida na entrada da planta (atuação). A entrada de distúrbio pode estar refletida na saı́da da planta, como na Figura 9.2. PSfrag replacements r y w + + + − C(s) P (s) F (s) Figura 9.1: Sistema de controle sujeito a um distúrbio na atuação. PSfrag replacements r y w + + + − C(s) P (s) F (s) Figura 9.2: Sistema de controle sujeito a um distúrbio na saı́da. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 77 2. Certos distúrbios podem ser modelados como a saı́da de um filtro D(s) subme- tido a uma entrada w do tipo degrau, por exemplo. A Figura 9.3 ilustra a ação do distúrbio filtrado na saı́da da planta. PSfrag replacements r y w + + + − C(s) P (s) F (s) D(s) Figura 9.3: Sistema de controle sujeito a distúrbio filtrado na saı́da. 3. O efeito lı́quido do distúrbio indicado na Figura 9.1 é modificar o sinal de controle, tirando-lhe efetividade. Um distúrbio na saı́da da planta como ilustra a Figura 9.2 modifica o sinal a ser medido. Considere um distúrbio na saı́da da planta, como representado na Figura 9.3. Através do Princı́pio da Superposição, obtemos Y (s) = C(s)P (s) 1 + C(s)P (s)F (s) R(s) + D(s) 1 + C(s)P (s)F (s) W (s), = T (s)R(s) + G(s)W (s), em que G(s) = Y (s)/W (s). A primeira parcela da soma é a resposta do sistema de controle à entrada de referência r, enquanto que a segunda é a resposta do sistema ao sinal de distúrbio w. A resposta temporal do sistema é obtida anti- transformando Y (s): y(t) = yR(t) + yW (t), t ≥ 0 O sistema de controle não pode evitar que a saı́da seja transitoriamente afetada pela ação do distúrbio w, mas pode evitar a ação do distúrbio em regime, fazendo com que yW (t) tenda a zero (y(t) tenda a yR(t)) quando t tender ao infinito. Neste caso, dizemos que ocorre a rejeição do distúrbio pelo sistema de controle. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 80 T (s) = Y (s) R(s) = NT (s) DT (s) = NT (s) nT∏ i=1 (s− pi) em que nT é a ordem e pi, i = 1, 2, . . . , nT , são os pólos de T (s), respectivamente. Os zeros de T (s) são as raı́zes de NT (s). Assumindo por simplicidade que os pólos são todos distintos, a saı́da da planta pode ser representada na forma de frações parciais como Y (s) = T (s)R(s) = α1 s− p1 + α1 s− p2 + . . . + α1 s− pnT + YR(s), na qual YR(s) contém as frações relativas aos pólos de uma dada entrada R(s). A resposta temporal do sistema é obtida através da anti-trasformada de Laplace de Y (s): y(t) = α1e p1t + α2e p2t + · · ·+ α1epnT t + yR(t), t ≥ 0 Se o sistema em malha fechada for estável, isto é, se as partes reais de todos os pólos de T (s) forem negativas, então as exponenciais epit, i = 1, 2, . . . , nT ten- dem a zero quando t → ∞ e a resposta tende à resposta forçada ou resposta em regime, yR. A resposta natural ou resposta transitória do sistema é dada pela soma α1e p1t + α2e p2t + · · ·+ αnT epnT t, t ≥ 0. 7. Pólos dominantes. As exponenciais epit, i = 1, 2, . . . , nT são as vêzes chama- das de modos do sistema. A amplitude de cada modo é dada pelo resı́duo associado ao respectivo pólo: αj = NT (s)∏ i6=j (s− pj) R(s) |s=pi , j = 1, 2, . . . , nT , A contribuição de cada modo para a resposta transitória do sistema é função da sua amplitude, a qual por sua vez depende das localizações dos zeros e pólos de T (s) e de R(s), e da constante de tempo do pólo associado. Um pólo real possui constante de tempo τi = 1/|pi| (p1 < 0 se o sistema é estável). A constante de tempo de um par de pólos complexos conjulgados −ξωn ± jωn √ 1− ξ é dada por τi = 1/(ξωn). Se α1e p1t + α2e p2t + · · ·+ αnT epnT t ' αiepit, t ≥ 0, www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 81 dizemos que o pólo pi é o pólo dominante do sistema, que então responde como um sistema de primeira ordem. Se α1e p1t + α2e p2t + · · ·+ αnT epnT t ' αiepit + αjepjt, t ≥ 0, os pólos pi e pj (eventualmente pj = p̄i, αj = ᾱi) são o par de pólos dominantes do sistema, que então responde como um sistema de segunda ordem. 8. Exemplo. Considere a função de transferência de malha fechada de terceira ordem T (s) = Y (s) R(s) = 20 (s + 10)(s2 + 2s + 2) . Supondo uma entrada do tipo degrau unitário, os valores dos resı́duos asso- ciados aos pólos de Y (s) são os seguintes: p1 = −10, α1 = −0.0244, p2 = −1 + j, α2 = −0.4878 + j0.6098, p3 = −1 − j, α3 = −0.4878 − j0.6098 e p4 = 0, α4 = 1. A resposta do sistema a uma entrada degrau unitário pode ser expressa na forma Y (s) = −0.0244 s− (−10) + −0.4878 + j0.6098 s− (−1 + j) + −0.4878− j0.6098 s− (−1− j) + 1 s− 0 . A anti-transformada de Y (s) fornece a respota temporal do sistema à entrada de- grau unitário: y(t) = −0.0244e−10t − (0.4878− j0.6098)e(−1+j)t− − (0.4878 + j0.6098)e(−1−j)t + 1, t ≥ 0, que em termos de seno e cosseno assume a forma y(t) = −0.0244e−10t − e−t(0.9756 cos t + 1.2196 sen t) + 1, t ≥ 0. Observamos então que o modo relativo ao pólo p1 = −10 decresce rapidamente, o que aliado ao fato da sua amplitude (resı́duo) ser pequena, permite aproximar a resposta transitória por −e−t(0.9756 cos t + 1.2196 sen t), t ≥ 0. 9. Lembramos que os pólos pi, i = 1, 2, . . . , nT , são as raı́zes da equação carac- terı́stica 1 + C(s)P (s)F (s) = 0, www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 82 associada ao sistema de controle em malha fechada. Neste caso, a escolha do controlador C(s), dadas as funções de transferência da planta e do sensor, P (s) e F (s), é determinante para a localização dos pólos do sistema e para o tipo de resposta transitória que este exibirá. Muitas vêzes estamos interessados em pro- jetar C(s) de tal forma que a resposta transitória do sistema se assemelhe à res- posta de um sistema de segunda ordem com um par de pólos complexos conjulga- dos −ξωn ± jωn √ 1− ξ, porque é fácil relacionar especificações de desempenho tı́picas de resposta transitória, como máxima sobre-elevação (Mp), tempo de su- bida (tr), etc., com o fator de amortecimento ξ e a freqüência natural ωn dos pólos. Neste caso, o controlador deve ser projetado para que o sistema de controle em malha fechada apresente o par de pólos dominantes (complexos conjulgados) de- sejado. Controle da resposta em freqüência 10. Concluimos anteriormente que para obter erros de regime pequenos, baixa sensibilidade à variações de parâmetros e rejeição de distúrbios numa faixa de freqüências de interêsse, é necessário elevar o ganho de malha C(jω)P (jω)F (jω), o que normalmente é feito através da elevação do ganho do controlador. Por ou- tro lado, um ganho de malha muito elevado tende a tornar o sistema oscilatório (eventualmente, instável), comprometendo a sua resposta transitória. 11. Vários aspectos do comportamento entrada-saı́da de um sistema de controle podem ser analisadas através da resposta em freqüência da função de transferência de malha fechada T (s), caracterizada por T (jω) = C(jω)P (jω) 1 + C(jω)P (jω)F (jω) . Em particular, T (j0) (ω = 0 rad/s) representa o ganho DC do sistema em malha fechada, isto é, o ganho do sistema para uma entrada constante. 12. Se a magnitude de T (jω) for aproximadamente igual a 1 para freqüências variando de 0 até uma certa freqüência máxima, então o sistema será capaz de rastrear referências descritas (principalmente) por uma soma de senoides de até esta freqüência máxima, o que caracteriza a faixa de passagem do sistema, ωFP . 13. Podemos mostrar que se o comportamento do sistema em malha fechada é dominado por um par de pólos complexos conjulgados,−ξωn±jωn √ 1− ξ, então o produto ωFP · tr é aproximadamente constante. Portanto, o tempo de subida www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 85 2. Antes da sistematização da análise de estabilidade através do critério de Routh- Hurwitz, vamos inferir algumas propriedades sobre equações polinômiais de grau n que apresentam raı́zes com partes reais negativas. Considere inicialmente a equação de primeiro grau D(s) = a1s + a0 = 0, a1 6= 0. A raı́z da equação é s = −a0/a1, e se a raı́z é negativa, então a1 > 0 e a0 > 0 ou a1 < 0 e a0 < 0. Se a raı́z é negativa, os coeficientes possuem o mesmo sinal. 3. Considere agora a equação de segundo grau D(s) = a2s 2 + a1s + a0 = 0, a2 6= 0, e de maneira análoga, vamos impor que as raı́zes desta equação, dadas por s1 = −a1 + √ ∆ 2a2 e s2 = −a1 − √ ∆ 2a2 , com ∆ = a21 − 4a2a0, sejam reais negativas ou sejam complexas conjulgadas com parte real negativa. Suponha que ∆ ≥ 0, isto é, que as raı́zes sejam reais negativas. Então a2 > 0 implica que a1 > 0 pois, caso contrário, s1 não seria negativa. Neste caso, para que −a1 + √ ∆ = ( −a1 + √ a21 − 4a2a0 ) < 0, com a2 > 0 e a1 > 0, devemos ter a0 > 0. Por outro lado, a2 < 0 implica a1 < 0 e a0 < 0 através de raciocı́nio análogo envolvendo a raı́z s2. Suponha agora que ∆ < 0, isto é, que as raı́zes são complexas conjulgadas com parte real negativa, o que impõe que a2 e a1 tenham o mesmo sinal. Se a2 > 0 e a1 > 0, então a0 > 0 (para que ∆ < 0). Analogamente, se a2 < 0 e a1 < 0, então a0 < 0. A conclusão geral é que se uma equação de segundo grau possui raı́zes negativas ou com parte real negativa, então seus coeficientes possuem o mesmo sinal: a2 > 0, a1 > 0 e a0 > 0 ou a2 < 0, a1 < 0 e a0 < 0. 4. Um polinômio de terceiro grau sempre pode ser decomposto no produto de um polinômio de primeiro grau por um polinômio de segundo grau: D(s) = a3s 3 + a2s 2 + a1s + a0, a3 6= 0, = (α1s + α0)(β2s 2 + β1s + β0). www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 86 Se as raı́zes da equação de terceiro grau possuem partes reais negativas, então os coeficientes α1 e α0 são ambos positivos ou ambos negativos e os coeficientes β2, β1 e β0 são todos positivos ou todos negativos. Logo, se as raı́zes da equação de terceiro grau tiverem partes reais negativas, então os coeficientes a3, a2, a1 e a0 serão todos positivos ou todos negativos. 5. Dado que um polinômio de grau n qualquer sempre pode ser decomposto no produto de polinômios de primeiro e de segundo graus, concluimos que se um po- linômio de grau n possuir raı́zes com partes negativas, então seus coeficientes de- verão ser todos positivos ou todos negativos. Uma maneira conveniente de resumir esta propriedade é definindo os seguintes conjuntos: H, conjunto dos polinômios de grau n, cujas raı́zes possuem partes reais negativas, e C, conjunto dos polinômios de grau n, cujos coeficientes possuem o mesmo sinal. Acabamos de mostrar que H ⊂ C, isto é, que se D é um polinômio de grau n (qualquer) e D ∈ H, então D ∈ C, como ilustra o diagrama de Venn da Figura 8.1. PSfrag replacements H C Figura 8.1: Diagrama de Venn. 6. Observamos que D ∈ C não implica D ∈ H, em geral. Exemplo: as raı́zes do polinômio D(s) = s3 + s2 + 2s + 8, cujos coeficientes são todos positivos (D ∈ C) são p1 = −2, p2 = 1/2 + j √ 15/2 e p3 = 1/2 − j √ 15/2. As raı́zes complexas conjulgadas possuem parte real positiva, e portanto D 6∈ H. (O critério de Routh-Hurwitz permite mostrar que D ∈ C implica D ∈ H para n ≤ 2.) Uma importante conseqüência do estudo realizado é a de que se D 6∈ C, então D 6∈ H (Figura 8.1). Portanto, um sistema dinâmico cuja equação caracterı́stica apresenta pelo menos um coeficiente nulo ou negativo não pode ser estável, po- dendo entretanto ser marginalmente estável ou instável. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 87 Critério de Routh-Hurwitz 7. Um método direto para verificar se um dado sistema é ou não estável seria calcular as raı́zes da equação caracterı́stica associada através de softwares como o MATLAB. Entretanto, a estabilidade absoluta do sistema depende apenas do sinal das partes reais das raı́zes, o que torna o cálculo de raı́zes, no contexto de estabilidade absoluta, desnecessário. Além disso, muitas vêzes desejamos analisar a estabilidade do sistema em função de um ou mais parâmetros do seu modelo matemático sem recorrer a softwares de computação simbólica. 8. O Critério de Routh-Hurwitz é um critério algébrico simples para a análise da estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo. O critério de Routh- Hurwitz permite determinar quantas raı́zes de um polinômio dado possuem partes reais positivas, negativas ou nulas. Conclusões sobre a estabilidade de um sis- tema de interesse podem então ser obtidas aplicando-se o critério à equação cara- caterı́stica associada. 9. Considere o polinômio caracterı́stico genérico de grau n D(s) = ans n + an−1s n−1 + · · ·+ a1s + a0, an 6= 0, no qual, por hipótese, a0 6= 0. Se a0 = 0, uma das raı́zes da equação caracterı́stica é zero e o procedimento geral a seguir se aplicaria ao polinômio restante. O pri- meiro passo para a aplicação do Critério de Routh-Hurwitz é construir o chamado Array de Routh: sn an an−2 an−4 an−6 · · · sn−1 an−1 an−3 an−5 an−7 · · · sn−2 b1 b2 b3 b4 · · · sn−3 c1 c2 c3 c4 · · · ... ... ... s2 k1 k2 s1 l1 s0 m1 Apenas os aspectos operacionais da análise de estabilidade absoluta pelo Cri- tério de Routh-Hurwitz serão tratados. A teoria por trás da construção do array de Routh foge ao escopo do presente curso. As duas primeiras linhas do array referenciadas como sn e sn−1, respectivamente, são formadas pelos coeficientes de D(s), a primeira pelos coeficientes an, an−2, . . . , a segunda pelos coeficentes www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 90 d) Se houver trocas de sinal na primeira coluna somente se  > 0 ou  < 0, não existem raı́zes com partes reais positivas; o polinômio possui raı́zes ima- ginárias puras. 15. Exemplo. Considere o polinômio de quinto grau D(s) = s5 + 2s4 + 2s3 + 4s2 + 11s + 10 s5 1 2 11 s4 2 4 10 s3  6 s2 −12  10 s1 6 s0 10 Se  → 0+ ou  → 0+, ocorrem duas trocas de sinal na primeira coluna; D(s) = 0 possui duas raı́zes no semi-plano direito. No exemplo acima, o limite  → 0 foi tomado logo após a obtenção do primeiro elemento da linha s2, igual a (4− 12)/. Isto sempre pode ser feito e simplifica os cálculos. 16. Caso Especial II. Uma linha do array é inteiramente nula. Neste caso, os coefi- cientes da linha imediatamente acima definem (em ordem decrescente de potências de s) um polinômio auxiliar A(s), cujas raı́zes são também raı́zes do polinômio D(s). O polinômio auxiliar é um polinômio par, isto é, A(s) possui apenas potên- cias pares de s. A construção do array de Routh prossegue substituindo-se a linha nula pela derivada de A(s) em relação a s. 17. Exemplo. Considere o polinômio do terceiro grau D(s) = s3 + s2 + 2s + 2, e o array de Routh associado s3 1 2 s2 1 2 s1 0 A linha s1 torna-se nula. O polinômio auxiliar e sua derivada em relação a s são A(s) = s2 +2 e A′(s) = 2s+0, respectivamente. A linha s1 é substituı́da por por A′(s) e a construção do array prossegue: www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 91 s3 1 2 s2 1 2 s1 2 s0 2 18. As informações extraı́das do array de Routh no Caso Especial II são ligeira- mente diferentes: a) Se houver trocas de sinal na primeira coluna do array, o número de trocas é igual ao número de raı́zes com partes reais positivas; b) Se não houver trocas de sinal, não existem raı́zes com partes reais positivas; o polinômio possui raı́zes imaginárias puras; No exemplo anterior, as raı́zes imaginárias puras são as raı́zes de A(s) = s2 + 2 = 0, ou seja, s1 = j √ 2 e s2 = −j √ 2. Polinômios auxiliares 19. Um polinômio auxiliar (par) qualquer pode ser representado na forma A(s) = ams m + am−2s m−2 + · · ·+ a2s2 + a0, sendo m um número par. Suponha que s1 é uma raı́z de A(s) = 0, possivelmente uma raı́z complexa de A(s) = 0. Então s2 = s̄1 (s̄ é o complexo conjulgado de s) também é uma raı́z da equação, pois raı́zes complexas de polinômios com coeficientes reais aparecem em pares complexos conjulgados. Como A(s) possui apenas potências pares, s3 = −s1 e s4 = −s2 são também raı́zes de A(s) = 0. PSfrag replacements Re s Im s 0 s1 s2 s3 s4 Figura R4.1: Simetria das raı́zes de polinômios pares. www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 92 As raı́zes de um polinômio par aparecerão simetricamente em relação aos eixos real e imaginário do plano s, como ilustra a Figura R4.1. 20. Exemplos. O polinômio s2 − 1 é par e suas raı́zes são s1 = 1 e s2 = −1. Se o polinômio for s2 + 1, as raı́zes serão s1 = j e s2 = −j. O polinômio s4 +4 = (s2 +2s+2)(s2−2s+2) é par e suas raı́zes são s1 = 1+ j, s2 = 1− j, s3 = −1− j e s4 = −1 + j. O array de Routh associado a este último polinômio seria s4 1 0 4 s3 0 0 A linha s3 se anula e o polinômio auxiliar é A(s) = s4 + 4. A linha s3 é substituı́da por A′(s) = 4s3 + 0: s4 1 0 4 s3 4 0 s2 0 4 O primeiro elemento de s2 é 0, mas a linha não é nula. Substitui-se 0 por  (caso especial I) e a construção do array prossegue: s4 1 0 4 s3 4 0 s2  4 s1 −16/ s0 4 Após a conclusão do array, existem duas trocas de sinal independentemente do sinal de . Logo, s4 + 4 = 0 possui 2 raı́zes no semi-plano direito (s = 1± j). Aplicação em Controle 21. Considere o sistema de controle da Figura R4.2. A planta é estável em malha aberta (raı́zes no semi-plano esquerdo). Deseja-se saber para que valores de kP > 0 e kI > 0 o sistema será estável em malha fechada. A equação caracterı́stica do sistema em malha fechada é 1 + ( kP + kI s ) 1 (s + 1)(s + 2) = 0, www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 95 em que as partes real σ(t) e imaginária ω(t) são funções contı́nuas de t variando no intervalo real [a, b]. Os pontos de Cs descrevem um arco num determinado sentido (horário ou anti-horário), de acordo com valores crescentes de t. Adota-se a convenção de que o arco é percorrido no sentido horário, positivo. Uma curva fechada é todo arco cujas extremidades coincidem, isto é, s(a) = s(b). Princı́pio do Argumento. Seja F (s) uma função racional em s e Cs uma curva fechada no plano s. Seja ainda CF = {F (s), s ∈ Cs} o mapeamento da curva Cs no plano F (s). Assuma que 1. F (s) é analı́tica dentro e sobre Cs, exceto possivelmente num número finito de pólos, e 2. F (s) não possui zeros ou pólos sobre Cs. Então N = Z − P, sendo Z o número de zeros de F (s) em Cs, P é o número de pólos de F (s) em Cs e N é o número de vêzes que a curva CF envolve a origem do plano F (s), no sentido horário se N > 0, e anti-horário se N < 0. A Figura 8.1(a) ilustra uma curva fechada no plano s que satisfaz as hipóteses do Princı́pio do Argumento. Assume-se que F (s) possui três zeros (Z = 3) e um pólo (P = 1) no interior de Cs. Neste caso, a curva CF envolve a origem do plano F (s) duas vêzes no sentido horário (Figura 8.1(b)). PSfrag replacements Re s Im s Re F (s) Im F (s) 0 Cs CF (a) (b) Figura 8.1: Princı́pio do Argumento: (a) Cs, (b) CF . www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 96 Aplicação em controle 3. Considere a equação caracterı́stica F (s) = 1 + G(s) = 0, referente a um dado sistema de controle, onde G(s) representa o ganho de malha do sistema, isto é, G(s) é o resultado do produto das funções de transferência do controlador, da planta e do sensor. Assuma que G(s) se encontra na forma fatorada: G(s) = k nz∏ i=1 (s− zi) np∏ i=1 (s− pi) , onde os zi’s e pi’s são os nz zeros e np pólos de G(s). Para que o sistema seja estável em malha fechada, todos os zeros de F (s) (pólos do sistema em malha fechada) devem situar-se no semi-plano esquerdo do plano s. 4. Uma aplicação imediata do Princı́pio do Argumento na análise de estabilidade de um sistema de controle em malha fechada se daria da seguinte forma: 1. Escolhe-se uma curva fechada Cs envolvendo todo o semiplano direito do plano s; 2. Obtem-se a curva correspondente CF e determina-se N , o número de vêzes que CF envolve a origem do plano F (s); 3. O número de zeros de F (s) no semi-plano direito (interior de Cs) é igual a Z = N + P , onde P é o número de pólos de F (s) no semiplano direito. 5. É importante notar que os pólos de G(s) são também os pólos de F (s). De fato, F (s) = 1 + G(s) = 1 + k nz∏ i=1 (s− zi) np∏ i=1 (s− pi) = np∏ i=1 (s− pi) + k nz∏ i=1 (s− zi) np∏ i=1 (s− pi) . Portanto o valor de P é conhecido. O que não se conhece é Z, o número de zeros de F (s) (pólos do sistema em malha fechada) no semiplano direito. Para www.mecatronicadegaragem.blogspot.com EA721 / PAULO VALENTE / UNICAMP 97 obter Z seria necessário fatorar o numerador de F (s). O Princı́pio do Argumento permite determinar Z indiretamente através de N , o número de vêzes que a curva CF envolve a origem do plano F (s). Critério de estabilidade de Nyquist 6. A parte crı́tica da aplicação do Princı́pio do Argumento é a obtenção do ma- peamento CF = {F (s), s ∈ Cs}, para o que é conveniente expressar F (s) na forma exponencial F (s) = |F (s)|ejφ(s). As quantidades |F (s)| e φ(s) num ponto qualquer s são facilmente calculadas quando F (s) encontra-se na forma fatorada, mas isso exigiria fatorar o numerador de F (s). A solução é adaptar o Princı́pio do Argumento à função G(s), cuja forma fatorada é conhecida. O mapeamento alternativo CG = {G(s) = −1 + F (s), s ∈ Cs} nada mais é do que o mapeamento CF transladado de−1 (isto é, de−1+j0). As- sim sendo, se CF envolver N vêzes a origem do plano F (s), então CG (translação de CF ) envolverá N vêzes o ponto −1 + j0 no plano G(s), como ilustra a Figura 8.2. PSfrag replacements Re F (s) Im F (s) 0−1 CG CF Figura 8.2: Translação da curva CF para obtenção de CG. 7. Para que Z = N + P = 0, isto é, para que nenhum zero de F (s) (pólo do sistema em malha fechada) esteja no semiplano direito do plano s, e desta forma o sistema de controle em malha fechada seja estável, a curva CG deve envolver P www.mecatronicadegaragem.blogspot.com
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