Dinâmica dos corpos rígidos - Apostilas - Engenharia Mecânica Part1, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

Baixe Dinâmica dos corpos rígidos - Apostilas - Engenharia Mecânica Part1 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS Z z y xX Y O ψ& φ& θ θ φ zG mg Celso Pupo Pesce Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Dinâmica dos corpos rígidos 2 DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS Celso Pupo Pesce Departamento de Engenharia Mecânica Escola Politécnica da Universidade de São Paulo São Paulo, novembro de 2004 Dinâmica dos corpos rígidos 5 Sumário 1. PRELIMINARES 9 1.1. Fundamentos da Cinemática de um C.R. 11 2. MOVIMENTO DO BARICENTRO 15 2.1. Baricentro 15 2.2. Teorema do Movimento do Baricentro 16 2.3. Adoção de um referencial fixo na Terra 19 3. ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO 21 3.1. Energia Cinética de um Corpo Rígido e a Matriz de Inércia 21 3.2. Matriz de Inércia 25 3.2.1. Momentos e Produtos de Inércia 26 3.2.2. Transformação de Base e Eixos Principais de Inércia 28 3.2.3. Propriedades da Matriz de Inércia 33 3.2.4. Elipsóide de Inércia 38 3.3. Teorema da Variação da Energia Cinética 40 4. MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO 60 4.1. Momento Angular e a Matriz de Inércia 60 4.2. Teorema do Momento Angular 66 4.2.1. Casos Particulares 70 4.2.2. Notação Matricial Alternativa 72 4.2.3. Relação entre Energia Cinética e Quantidade de Movimento 73 4.2.4. Binário Giroscópico 76 4.2.5. Suplemento: Adoção do Referencial Terrestre 78 5. ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO E BALANCEAMENTO 92 5.1. Equacionamento e Reações 92 5.2. Balanceamento 101 5.2.1. Medida do desbalanceamento 101 5.2.2. Balanceamento 106 6. MOVIMENTO EM TORNO DE UM PONTO FIXO 111 6.1. Ângulos de Euler 112 6.2. Aplicação do Teorema do Momento Angular 115 Dinâmica dos corpos rígidos 6 6.2.1. Casos que exibem axi-simetria de distribuição de massa 116 6.3. Energia Cinética de um C.R. em Movimento em Torno de um Ponto Fixo 121 6.4. O Giroscópio 123 6.4.1. Precessão estacionária ou regular 124 6.4.2. Precessão livre 126 6.4.3. Movimento geral sob ação de torque em torno da linha dos nós. 126 6.5. O Problema do Pião 128 6.5.1. Precessão estacionária 129 6.5.2. Movimento geral 131 6.5.3. Notas Suplementares sobre Precessão Pseudo-Regular 132 7. BIBLIOGRAFIA 145 8. ANEXO - SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS 147 8.1. Exercício de Simulação #1. Proposição. 149 8.1.1. Modelagem do sistema dinâmico, deduzindo as equações do movimento. 150 8.1.2. Modelagem do sistema através de simulador. 150 8.1.3. Simulação do modelo computacional 151 8.2. Exercício de Simulação # 1. Exemplo de análise. 152 8.3. Exercício de Simulação 2. Proposição. 159 8.3.1. Modelagem do sistema dinâmico; deduzindo as equações do movimento. 159 8.3.2. Modelagem do sistema através de simulador. 160 8.3.3. Simulação do modelo computacional 160 8.4. Exercício de Simulação # 2. Exemplo de análise. 161 8.5. Exercício de Simulação # 3. Proposição. 166 8.5.1. Modelagem do sistema dinâmico; deduzindo as equações do movimento. 167 8.5.2. Modelagem do sistema através de simulador. 167 8.5.3. Simulação do modelo computacional 167 8.6. Exercício de Simulação # 3. Exemplo de análise. 168 8.7. Exercício de Simulação # 4. Proposição. 173 8.7.1. Modelagem do sistema dinâmico, deduzindo as equações do movimento. 174 8.7.2. Modelagem do sistema através de simulador 175 8.7.3. Simulação do modelo computacional 175 8.8. Exercício de Simulação # 4. Exemplo de análise. 176 Dinâmica dos corpos rígidos 7 1. PRELIMINARES Do ponto de vista cinemático, um Corpo Rígido (C.R.) pode ser definido como um corpo material que guarda a propriedade de invariância de distância relativa entre quaisquer pontos que o constituam. Esta é a propriedade fundamental de um C.R.. Trata-se, obviamente, de uma idealização, um modelo da realidade, porquanto inexistem, senso estrito, corpos materiais totalmente indeformáveis. Um sólido admitido indeformável concretiza o conceito de um C.R.. A hipótese de indeformabilidade é, no entanto, plausível quando os deslocamentos relativos são física e matematicamente desprezíveis face a escalas de comprimento outras que caracterizam o problema em estudo; por exemplo, escalas do movimento do corpo como um todo. Embora aparentemente bastante restritiva, a hipótese de C.R. encontra aplicações práticas de grande relevância. O estudo dos movimentos de um navio quando sujeito à ação das ondas do mar, por exemplo, é em geral conduzido dentro da premissa de C.R.. No entanto quando o foco das atenções recai sobre fenômenos de vibração estrutural da embarcação, esta hipótese não mais é aplicável. O mesmo pode ser dito quando do estudo do vôo de areonaves e naves espaciais, do movimento de veículos automotores, rotores e mecanismos flexíveis em geral. O princípio da solidificação é então aplicado, e o movimento é estudado, sob hipótese de pequenos deslocamentos relativos, como composto por um movimento de corpo rígido atuado por forças e momentos de força associados a tais deslocamentos; ver, p.ex., Meirovitch, página 483. O tratamento completo do tema, embora clássico, é objeto de textos mais avançados (ver, também, p. ex., Sommerfeld, Mechanics of Deformable Bodies, 1950) e foge, portanto, do escopo do presente livro. Este texto fica restrito a aplicações onde a hipótese de C.R. for aplicável. Permeia definições, conceitos e enunciados de teoremas gerais. O tratamento, embora algo Dinâmica dos corpos rígidos 10 repetidas vezes, nas diversas deduções e teoremas que seguirão. Através do vínculo cinemático de C.R., basta o conhecimento da velocidade de um ponto pertencente ao corpo em estudo, ponto este arbitrariamente escolhido, e do vetor de rotação deste mesmo corpo, para que todo o campo de velocidades esteja univocamente determinado. x y z O Pi Pj vi vj Figura 1 C.R. e propriedade fundamental. Seja )( ji PP − o vetor de posição relativa entre dois pontos quaisquer, ji PP e , de um mesmo C.R. Então constante)( 2 2 ==− ijji rPP , de tal forma que [ ] 0)()(2)()()( 2 =−⋅−=−⋅−=− jijijijiji PPPPPPdt d PP dt d vv , (1.1) onde iv é o vetor de velocidade de um ponto iP do C.R. medida em relação a um referencial abitrariamente escolhido. A relação (1.1) demonstra que a velocidade relativa de dois pontos pertencentes ao mesmo C.R. é perpendicular à reta que os une (ou, seja, perpendicular ao vetor de posição relativa). De equação (1.1) mostra-se também (ver, p.ex., França e Matsumura, 2001) que existe uma relação unívoca entre os vetores de velocidade de dois pontos de um mesmo C.R. Esta relação é dada por, )( jiji PP −∧+= Ωvv , (1.2). Dinâmica dos corpos rígidos 11 e constitui a já mencionada fórmula fundamental da cinemática do C.R., ou ainda, vínculo cinemático de um C.R. O vetor Ω é o vetor de rotação do corpo rígido, único para cada instante considerado. Assim, uso será sistematicamente feito de (1.2). A derivada de (1.2) em relação ao tempo fornece o campo de aceleração de um C.R. [ ])()( jijiji PPPP −∧∧+−∧+= ΩΩΩ&aa . (1.3) Vem também de (1.2) que, 0u uvuv ≠= ==⋅=⋅ ΩΩΩω ωωω ; constante;vji , (1.4) invariante, portanto, com respeito a todo ponto pertencente ao C.R, onde ωu é um versor que orienta Ω . Em palavras, a componente ωω uv vE = , do vetor de velocidade de qualquer ponto de um mesmo corpo rígido, na direção de seu vetor de rotação, independe do ponto considerado. Pode-se mostrar então que, a cada instante, existe um lugar geométrico (L.G.) de pontos que tem o vetor de velocidade paralelo ao vetor de rotação. Este vetor é o mesmo para todos os pontos deste L.G. e tem módulo mínimo. O L.G. é uma reta, denominado "eixo helicoidal instantâneo" e é paralelo ao vetor de rotação. De fato, seja E um ponto genérico do C.R., pertencente a este L.G., e O um ponto qualquer do mesmo C.R.. Então ωΩβ uv wE v== . Segue então de (1.2) que ωωΩ uvv vOEOE =−∧+= )( (1.5) e portanto, ωωΩ uv vOE O −=∧− )( , de onde, ℜ∈+ ∧ =− γΩγ Ω Ω ; )( 2 OOE v , (1.6) que é a equação vetorial de uma reta paralela a Ω . Ou seja, a cada instante o movimento geral de um C.R. pode ser interpretado como um "ato de movimento helicoidal", i.e., a combinação de um "ato de movimento translatório, paralelo ao vetor de rotação" com um Dinâmica dos corpos rígidos 12 "ato de movimento de rotação", em torno do "eixo helicoidal instantâneo", expresso por (1.6). De (1.4) e (1,5) segue também que Ev é mínimo. Um caso particular é o de movimento plano. Neste caso o campo de velocidades é perpendicular ao vetor de rotação e o "eixo helicoidal instantâneo" é sempre perpendicular ao plano do movimento. O traço deste eixo com o plano de movimento considerado é denominado, então, de Centro Instantâneo deRotação (CIR). Por fim, dados três pontos distintos e não alinhados ( BAO ,, ), do mesmo C.R. (i.e. 0≠−∧− )()( OBOA ), cujas velocidades, BAO vvv , , , são conhecidas e, portanto, obedecem, duas a duas, a relação (1.1), o vetor de rotação ),,( zyx ΩΩΩΩ = , deste C.R., pode ser prontamente determinado de (1.2), e expresso na base solidária ao corpo ),,( kji , na forma, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BAAB AOyByBOyAy z BAAB AOxBxBOxAx y BAAB AOzBzBOzAz x xyxy zvvzvv zxzx yvvyvv yzyz xvvxvv − −−− =Ω − −−− =Ω − −−− =Ω , (1.7) onde kjiv kjiv kjiv BzByBxB AzAyAxA OzOyOxO BBB AAA vvv vvv vvv zyxOB zyxOA ++= ++= ++= =− =− ),,()( ),,()( . Dinâmica dos corpos rígidos 15 onde df é a resultante das forças agentes sobre o elemento de massa. A expressão acima se integrada em todo o domínio ocupado pelo corpo, considerando o sistema de forças internas equivalente a zero, consequência do usual princípio de ação e reação da mecânica, conduz a R a= ∫ dm Corpo , (2.5) onde R é a resultante do sistema de forças externas agentes sobre o corpo. Segue então que, ( ) ( ) ( )R = − = − = −∫ ∫ d dt P O dm d dt P O dm m d dt G O Corpo Corpo 2 2 2 2 2 2 , (2.6)4 e, portanto, R a= m G (2.7) A expressão acima constitui-se no Teorema do Movimento do Baricentro, válida para um corpo material genérico, sob a hipótese de invariância de massa. Em palavras: o movimento do baricentro corresponde ao movimento de um ponto material de mesma massa do corpo considerado, caso sobre ele agisse a resultante do sistema de forças externas que propulsiona este corpo. Note que nada foi assumido até o presente momento, no que concerne à hipótese de indeformabilidade. O campo cinemático que caracteriza um C.R. será agora suposto válido. 4 Estamos tratando de um domínio de integração que contém, sempre, a mesma quantidade de matéria. Daí a possibilidade de inverter a ordem de aplicação dos operadores linerares de diferenciação e integração. Não devemos aqui confundir o domínio de integração com o usual conceito de volume de controle, por sua vez presente na dedução das equações de movimento de massas fluidas, e através do qual pode existir fluxo de massa (ver, p.ex., Meirovitch, página 483). Dinâmica dos corpos rígidos 16 Sejam então P um ponto genérico deste corpo que posiciona o elemento de massa dm e Q, um ponto específico que executa um 'movimento rígido' solidário ao corpo (em particular, um ponto do próprio corpo). Do vínculo cinemático de C.R., a aceleração a de P será dada por ( ) ( ) ( ) ( ) a a v v v v = + ∧ − + ∧ − − = ∧ − Q Q Q P Q P Q &Ω Ω Ω com , (2.8) onde Ω é o vetor de rotação do corpo. Se substituída em (2.5), a expressão acima conduz a, ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R a v v a v v a = + ∧ − + ∧ − = = + ∧ − + ∧ − = = + ∧ − + ∧ ∧ −       ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Q Q Corpo Q Corpo Corpo Q Corpo Q Corpo Corpo P Q dm dm P Q dm dm m P Q dm P Q dm & & & Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω . (2.9) Segue, então, de (2.1) que, ( ) ( )( )( )R a= + ∧ − + ∧ ∧ −m G Q G QQ &Ω Ω Ω . (2.10) Caso o ponto Q escolhido seja o próprio centro de massa G, a expressão acima fica simplificada na forma geral (2.7). Note que, alternativamente, e partindo desta expressão geral, a equação (2.10) seria prontamente recuperada, aplicando-se o vínculo cinemático de corpo rígido entre os pontos G e Q. Dinâmica dos corpos rígidos 17 2.3. ADOÇÃO DE UM REFERENCIAL FIXO NA TERRA O referencial terrestre é em geral a escolha mais natural. Este referencial é, estritamente, não-inercial, posto que apresenta rotação. A segunda lei de Newton é válida para referenciais Newtonianos ou inerciais, no entanto. Assim, a equação (2.7) deve ser reinterpretada, se o refencial adotado é fixo na Terra. Note, em primeiro lugar, que qualquer tentativa de medição da ação gravitacional, espelhará não apenas a própria atração gravitacional, mas também a 'força de inércia' conhecida como “força centrífuga”. Ou seja, se denominarmos F, a força de gravitação e C a "força centrífuga" decorrente da rotação da Terra, a força peso P que efetivamente estará sendo medida é , na realidade a resultante de F e C, F C P+ = , (2.11) com ( )( )C = − ∧ ∧ − ′m G Oe eΩ Ω ( , (2.12) onde Ω e é o vetor de rotação do referencial terrestre, G o centro de massa do corpo considerado e O’ a origem deste referencial, assumida em algum ponto de seu eixo de rotação. Assim, sendo R a resultante das forças externas agentes sobre o corpo, cujo movimento é objeto de estudo, designando ′F , as forças externas outras que não de origem gravitacional, sobre ele agentes, pode-se então escrever, R F F P C F= + ′ = − + ′ . (2.13) Por outro lado, a aceleração do centro de massa do corpo é dada por, Dinâmica dos corpos rígidos 20 dT dm= 1 2 2v . (3.1) A energia cinética do corpo, como um todo, fica então escrita, T dm Corpo = ∫ 1 2 2v . (3.2) Seja ′ = − ′r ( )P O o vetor de posição relativa do elemento diferencial de massa dm ao ponto O’, pertencente ao corpo (ou que executa um 'movimento rígido' solidário ao corpo). Da fórmula fundamental da cinemática de um C.R., equação (1.2), vem v v r= + ∧ ′′O Ω , (3.3) e, portanto, ( ) ( ) ( ) ( ) T dm dm dm dm dm dm dm O Corpo O Corpo O Corpo Corpo O Corpo O Corpo Corpo = + ∧ ′ = + ⋅ ∧ ′ + ∧ ′         = = + ⋅ ∧ ′ + ∧ ′         ′ ′ ′ ′ ′ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 v r v v r r v v r r Ω Ω Ω Ω Ω . (3.4) A integral no primeiro termo é facilmente identificável como a massa do corpo. Da definição de centro de massa, equação (2.1), por sua vez, a integral do segundo termo pode ser escrita, ′ = ′ = − ′∫ r rdm m m G O Corpo G ( ) . (3.5) Dinâmica dos corpos rígidos 21 Denotando, ainda, ( ) ),,( e ,, zyxzyx ′′′=′= ′′′ rωωωΩ , o leitor poderá verificar que o terceiro termo fica, ( ) ( ) ( ) ( )Ω ∧ ′ = ′ + ′ + ′ + ′ + ′ + ′ + − ′ ′ − ′ ′ − ′ ′ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dm y z dm z x dm x y dm y z dm z x dm x y dm Corpo x Corpo y Corpo z Corpo y z Corpo z x Corpo x y Corpo ω ω ω ω ω ω ω ω ω , (3.6) que também pode ser escrito, compactamente, na forma matricial, ( ) { } [ ]{ }1 2 1 2 2Ω Ω Ω∧ ′ =∫ ′r dm Corpo t OJ (3.7) 6 onde a matriz quadrada de ordem três, [ ] ( ) ( ) ( ) J ′ = ′ + ′ − ′ ′ − ′ ′ − ′ ′ ′ + ′ − ′ ′ − ′ ′ − ′ ′ ′ + ′                   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ O Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo Corpo y z dm x y dm x z dm y x dm z x dm y z dm z x dm z y dm x y dm 2 2 2 2 2 2 (3.8) constituída por ‘momentos de massa de segunda ordem’, é denominada ‘matriz de inércia’ do corpo em relação ao sistema considerado. Os termos da diagonal principal são denominados ‘momentos de inércia em relação aos eixos ( , , )′ ′ ′x y z ’, respectivamente e aqui serão denotados por J J Jx y z′ ′ ′, , . Os termos fora da diagonal são denominados 6 O super-escrito t indica a operação de transposição. Dinâmica dos corpos rígidos 22 ‘produtos de inércia’ e aqui serão denotados por J J Jx y y z z x′ ′ ′ ′ ′ ′, , . Note que, por construção, a matriz de inércia é simétrica. A matriz de inércia é uma entidade física de extrema importância, pois ‘mede’ a distribuição de massa de um corpo em relação a um dado sistema de coordenadas. Goza de diversas propriedades e é fundamental ao equacionamento do movimento de um corpo rígido. Estas propriedades serão apresentadas e estudadas mais adiante. Voltando a atenção à energia cinética e substituindo as expressões (3.5) e (3.7), a equação (3.4) fica escrita na forma, { } [ ]{ }T m m G OO O t O= + ⋅ ∧ − ′ +′ ′ ′ 1 2 1 2 2v v Ω Ω Ω( ) J . (3.9) O primeiro termo está associado à translação do corpo; o segundo termo à translação e à rotação; o terceiro termo, apenas à rotação. Se a escolha for tal que ′ ≡O G , a expressão da energia cinética ficará simplificada na forma, { } [ ]{ }T m G t G= + 1 2 1 2 2v Ω ΩJ . (3.10) Ou seja, ‘a energia cinética de um corpo em movimento rígido, medida em relação a um dado referencial, pode ser decomposta em duas parcelas: a primeira associada apenas ao movimento do centro de massa e a segunda associada à rotação’. Outro caso particular merece especial atenção dada sua importância conceitual e prática. • Se O’ for um ponto fixo Neste caso tem-se, a expressão da energia cinética reduzida apenas à parcela associada à rotação, { } [ ]{ }T OT O= ′′ 1 2 Ω ΩJ ; um ponto fixo (3.11) Dinâmica dos corpos rígidos 25 ( ) ( ) ( ) J y z dm J z x dm J x y dm x Corpo y Corpo z Corpo = + = + = + ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 (3.16) O momento polar de inércia em relação ao pólo O fica escrito na forma, ( )I x y z dmO Corpo = + +∫ 1 2 2 2 2 , (3.17) Definem-se7, por outro lado os produtos de inércia com respeito aos eixos ( , ),( , ),( , )x y x z y z , como os escalares J xydm yxdm J J xzdm zxdm J J xydm yxdm J xy Corpo Corpo yx xz Corpo Corpo zx yz Corpo Corpo yx = − = − = = − = − = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (3.18) A matriz de inércia pode então ser definida, [ ]           = zzyzx yzyyx xzxyx O JJJ JJJ JJJ J (3.19) 7 O sinal positivo é, por vezes, preferido na definição. Dinâmica dos corpos rígidos 26 3.2.2. Transformação de Base e Eixos Principais de Inércia Considere,conforme a figura abaixo, e alterando um pouco a notação, dois sistemas de coordenadas, ( , , ) ( , , )x x x x x x1 2 3 1 2 3 e ′ ′ ′ , ambos com origem em O e orientados pelas bases canônicas ( ) ( )i j k i j k, , , , e ′ ′ ′ x’2 α11 x1 x2 x3 x’3 x’1 α21 α31 α33 α23 α13 α22 α32 α12 Figura 3 Mudança de base e transformação de coordenadas Um vetor genérico ( )r = x x x1 2 3, , é dado por ( )′ = ′ ′ ′r x x x1 2 3, , , se representado na base ( )′ ′ ′i j k, , . Sejam α ij os ângulos formados entre os eixos ′x xi j e . Note que, em geral, α αij ji≠ . As coordenadas ( )x x x1 2 3, , e ( )′ ′ ′x x x1 2 3, , se relacionam entre si através das expressões, Dinâmica dos corpos rígidos 27 ′ = = ∑x xi ij j j cosα 1 3 . (3.20)8 Ou, em forma mais compacta, { } [ ]{ }′ =r B r (3.21) onde, [ ] [ ]B = =cos ; , , ,α ij i j 1 2 3 (3.22) é a denominada matriz de mudança de base, formada pelos cossenos diretores ijαcos . Explicitamente, [ ]B =           cos cos cos cos cos α α α α α α α α α 11 12 13 21 22 23 31 32 33 cos cos cos cos (3.23) Considere agora dois vetores p e q relacionados entre si por uma matriz [A]. Em notação matricial, { } [ ]{ }p A q= . (3.24) Cabe aqui determinar a matriz [A’] correspondente à transformação de base. Pré- multiplicando a expressão (3.24) pela matriz [B] e introduzindo a matriz identidade de ordem 3, [I], entre [A] e {q}, vem que [ ]{ } [ ][ ][ ]{ }B p B A I q= . 8 cosα ij são os denominados cossenos diretores. Dinâmica dos corpos rígidos 30 Exemplo 2.1 - Dada a matriz de inércia I I I I 11 12 21 22       da figura plana abaixo nos eixos Ox1x2 calcule a matriz segundo os eixos Ox’1x’2 . Em seguida, calcule θ para que o sistema Ox’1x’2 seja de eixos principais. x1 x1’ x2 x2’ θ α12 α21 O Como: 212 211 cos cos xxsenx xsenxx θθ θθ +−=′ +=′ logo, [ ]B = −      cos sen sen cos θ θ θ θ . Pode-se então escrever: [ ] [ ] [ ][ ]′ =I B I BO T O Realizando as multiplicações, obtêm-se: 21 2 21 2 12221112 121 2 22 2 1122 12 2 22 2 1111 coscoscos cos2cos cos2cos IsenIIsenIsenII senIIsenII senIsenIII ′=−++−=′ −+=′ ++=′ θθθθθθ θθθθ θθθθ Para que os eixos sejam principais: I I I I12 2 2 12 11 220= ⇒ − = −(cos sen ) sen cos ( )θ θ θ θ tan2 2 12 11 22 θ = − I I I , que fornece o ângulo que orienta os eixos principais. Dinâmica dos corpos rígidos 31 3.2.3. Propriedades da Matriz de Inércia A matriz de inércia goza de diversas propriedades. • Simetria A matriz de inércia é simétrica. De fato, a própria definição dos produtos de inércia (3.18) e a propriedade comutativa da operação de multiplicação demonstram este fato. • Invariância do traço O traço da matriz de inércia é invariante com respeito à mudança de base. De fato, de (3.16) e (3.17) segue que, J J J Ix y z O+ + = 2 (3.32) qualquer que seja o sistema ( )O x y z, , , escolhido. • Positividade A matriz de inércia é definida positiva. De fato, os momentos de inércia são formas quadráticas e portanto, excetuando-se o caso (idealizado) em que todos os pontos se distribuam sobre o mesmo eixo, são sempre positivos. Por outro lado a matriz de inércia pode ser diagonalizada e, como o traço da matriz é invariante, seu determinante será sempre maior ou igual a zero. • Composição Considere uma partição do corpo em N sub-conjuntos. Da definição dos momentos e produtos de inércia (3.16) e (3.18) e da propriedade associativa da operação de integração é possível decompor estas grandezas de forma correspondente à partição considerada. De fato, Dinâmica dos corpos rígidos 32 ( ) ( )J y z dm y z dm J xydm xydm x Corpo Cjj N xy Corpo Cjj N = + = + = − = − ∫ ∫∑ ∫ ∫∑ = = 2 2 2 2 1 1 (3.33) onde C j indica a j-ésima partição do corpo. A expressão acima obviamente vale, de forma análoga, para os demais momentos e produtos de inércia. Decorre, também, a propriedade subtrativa. Isto é, definindo o corpo de interesse CA a partir da decomposição de um corpo C tal que C C CA B= ∪ segue, por exemplo, que J J Jx C x C x CA B= − , (3.34) o mesmo valendo para os demais elementos da matriz de inércia. • Translação de Eixos Considere um corpo e dois sistemas de coordenadas cartesianas ( , , ) ( , , )x y z x y z e ′ ′ ′ , paralelos entre si, com origem O e O’ respectivamente. Seja ( ) ( , , )′ − =O O a b c o vetor de posição relativa, expresso na base que orienta ambos os sistemas de coordenadas. Tomando o momento de inércia do corpo em relação ao eixo ′ ′O x , por exemplo, segue então, da definição que, ( )J y z dm y b z c dm y z dm b c dm b ydm c zdm x CorpoCorpo Corpo Corpo Corpo Corpo i′ = ′ + ′ = − + − = = + + + − − ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3.35) Por outro lado, da definição da posição do centro de massa, calculada em relação ao ponto O , Dinâmica dos corpos rígidos 35                 + ρ= 12 00 0 12 0 00 12 22 2 2 int ba a b ab][J G , sendo ρ a densidade superficial de massa da chapa. Para o disco 1, superior à direita, o cálculo de sua matriz de inérci, envolve a translação do sistema de eixos, do sistema que contém seu baricentro (G1) para o , em relação a Gxyz. Logo: [J ] [J ] G Disco1 G Disco1 =                 + − −           = + − − +                 ρ π ρ π ρ π d d d d d v uv uv u d d v uv uv d u d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 16 0 0 0 16 0 0 0 8 4 0 0 0 0 0 4 16 0 16 0 0 0 8 Analogamente para os discos 2,3 e 4 temos: [J ] [J ] [J ] G Disco2 G Disco3 G Disco = + +                 = + − − +                 = + +                 ρ π ρ π ρ π d d v uv uv d u d d d v uv uv d u d d d v uv uv d u d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 16 0 16 0 0 0 8 4 16 0 16 0 0 0 8 4 16 0 16 0 0 0 8 Dinâmica dos corpos rígidos 36 Assim, pode-se cacular a matriz de inércia total. Notar que esta será diagonal, ou seja, os produtos de inércia serão nulos (lembrar da simetria). 3.2.4. Elipsóide de Inércia Considere, novamente, um eixo Ou , orientado pelos cossenos diretores de u, i.e., u i j k= + +cosα β γcos cos . Deseja-se expressar o momento de inércia do corpo em relação ao eixo Ou . Para tanto, calculando ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P O x y z cos y z z x x y − ∧ = + + ∧ + + = = − + − + − u i j k i j k i j k α β γ γ β α γ β α cos cos cos cos cos cos cos cos (3.42) o quadrado da distância de um ponto genérico P a este eixo fica dado por, ( ) ( ) ( ) ( )d P O y z z x x yu2 2 2 2 2= − ∧ = − + − + −( ) cos cos cos cos cos cosu γ β α γ β α (3.43) que pode ser reescrito na forma, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d y z z x x y xy zx yz u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + + − − − − cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos cos cos cos cos cos α β γ α β α γ β γ . (3.44) Assim, substituindo (3.44) em (3.14), ( ) ( ) ( )J y z dm z x dm x y dm xydm xzdm yzdm u Corpo Corpo Corpo corpo corpo corpo = + + + + + + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 α β γ α β α γ β γ Ou seja, Dinâmica dos corpos rígidos 37 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J J J J J J J u x y z xy xz yz = + + + + + + cos cos cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 α β γ α β α γ β γ . (3.45) Sejam então as variáveis, ξ α ψ β ζ γ = = = cos cos cos J J J u u u (3.46) A equação (3.45) pode ser escrita na forma, J J J J J Jxx yy zz xy xz yzξ ψ ζ ξψ ξζ ψζ 2 2 2 2 2 2 1+ + + + + = (3.47) que é a equação de um elipsóide, nas variáveis ( )ξ ψ ζ, , . Este elipsóide recebe o nome de elipsóide de inércia. Em particular, se ( )x y z, , forem eixos principais de inércia ( J J Jxy xz yz= = = 0 ), a equação se reduz a, J J Jxx p yy p zz pξ ψ ζ2 2 2 1+ + = . (3.48) Dinâmica dos corpos rígidos 40 ( ) ( ) ( ) ( )( ) τ δ δ δ δ int int Corpo t int Corpo N ij i j i N i N N ij i j j i N i N N ij i j i j i j j i N i N N ij i j i j j i N i N t t d dt dP d P P P f P P P P P P f P P P P ( ; ) lim lim lim lim 0 0 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 = ⋅       = ⋅ = ⋅ = = ⋅ − = − − ⋅ − = = − − ∫∫ ∫ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ →∞ ≠= →∞ ≠= →∞ ≠= →∞ ≠= v F F f f , onde o processo limite N → ∞ deve ser entendido simultaneamente a δV → 0 , onde δV é o volume do elemento de massa considerado. Da propriedade fundamental de um C.R., pela qual a distância relativa entre dois pontos quaisquer deste corpo é invariante, ou seja, ( )P P ctei j− =2 , segue a assertiva proposta, i.e., τ int t t( ; )0 0= . (3.55) Exemplo 2.3 - Um disco homogêneo de massa m e raio R rola sem escorregar em um plano inclinado. No instante inicial ele possuia velocidade angular ω0 e estava na posição x0. Calcule a velocidade angular ω em função da posição x, a aceleração angular &ω e as forças externas que agem sobre o disco. α O i j x vG ω Dinâmica dos corpos rígidos 41 Cinemática Ω = −ωk iv v jvv R R G O OG ω Ω = = ∧+= 0 como )( Cálculo da Energia Cinética T T m JG T G= + 1 2 1 2 2v { } [ ]{ }Ω Ω [JG] é o tensor de inércia do disco em relação a eixos que passam por G e paralelos a i,j k. Como tais eixos são principais (simetria) tem-se: [ ]J J J J G x y z =           0 0 0 0 0 0 Utilizando as equações acima obtém-se: T mR JZ= + 1 2 2 2ω ( ) Para um disco homogêneo J mR z = 2 2 , assim: T mR= 3 4 2 2ω Cálculo do trabalho das forças externas Dinâmica dos corpos rígidos 42 A única força que realiza trabalho é o peso. A força de atrito atua sobre um ponto com velocidade nula e a força normal é perpendicular ao deslocamento. Assim: τ αext mg x x= −( )sen0 Teorema da Variação da Energia Cinética T T ext− =0 τ ω ω α2 0 2 2 0 4 3 = + − g R x x( )sen Derivando a equação acima e observado que &x v RG= = ω : 2 4 3 2 ωω α& & sen= g R x & senω α= 2 3 g R Cálculo das reações Utilizando o teorema do baricentro: m G exta F= ∑ como a iG R= &ω : ( sen ) ( cos ) &mg fat N mg mRα α ω− + − =i j i N mg fat mg = = cos sen α α 1 3 Dinâmica dos corpos rígidos 45 Exemplo 2.5 - O pêndulo composto abaixo possui massa m e momento de inércia JG e parte do repouso da posição θ 0 . Calcule: a) ω em função de θ b) comprimento efetivo do pêndulo (lef) y x G aO θ C mg ω a) Sendo ρG GJ m 2 = o raio de giração do corpo, tem-se: T J J ma m aO G G= = + = + 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2ω ω ρ ω( ) ( ) τ τ θ θ β β θ θ θ ( , ) ( , ) sen (cos cos )0 0 0 0 t mg d mga= = − = −∫ Pelo Teorema da Variação da Energia Cinética: T T− =0 0τ θ θ( , ) Das condições iniciais θ θ( )0 0= e & ( )θ 0 0= segue que: ω ρ θ θ2 2 2 0 2 = + − ga aG( ) (cos cos ) Dinâmica dos corpos rígidos 46 b) Para um pêndulo simples, sabe-se que ω θ θ2 0 2 = − g l (cos cos ) . Por analogia, o comprimento efetivo de um pêndulo composto é o comprimento que um pêndulo simples deveria ter para se comportar da mesma maneira. Assim: l a a a aef G G= + = + ρ ρ2 2 2 Pela equação acima pode-se verificar que tanto faz o pêndulo ser suspenso por um ponto O que dista a de G quanto por um ponto C que dista ρ G a 2 ; o comprimento efetivo seria o mesmo, logo, teriam o mesmo comportamento. Exemplo 2.6 - Calcule a energia cinética de uma engrenagem cônica de um diferencial girando com velocidade angular ω em torno de seu eixo. A engrenagem possui massa m e suas dimensões estão indicadas na figura. r2 r1 l ω i j k O Cinemática Ω = ωj Energia Cinética Dinâmica dos corpos rígidos 47 Tomando como pólo para cálculo da energia cinética qualquer ponto do eixo de rotação da engranagem, tem-se: T Jt O= 1 2 { } [ ]{ }Ω Ω na qual [Jo] é a matriz de inércia com relação à (O,i,j,k) indicados na figura. A fórmula acima é válida pois o ponto O tem velocidade nula. Observando que (O,i,j,k) são eixo principais de inércia (simetria) (3.12) se reduz a: T Jz= 1 2 2ω dx r(z) 0 l z Para o cálculo de Jz, deve-se observar que a engrenagem é composta por uma infinidade de discos de espessura diferencial dx e raio dado por: r z r z l r r( ) ( )= − −2 2 1 O momento de inércia de um disco em torno do eixo Oz é dado por dI dm r z z = . ( )2 2 Pela propriedade de composição da matriz de inércia, Jz da engrenagem é dado por: Dinâmica dos corpos rígidos 50 O r R A v Observando a figura acima: v R r v R r i i= + = + ( )ω ω v RA i i= ω Cálculo da Energia Cinética T J Mv mvz A= + + 1 2 1 2 1 2 2 2 2ω Utilizando as equações acima: T J MR R r m vz= + + +       1 2 2 2 2 ( ) Cálculo do trabalho das forças externas A única força que realiza trabaho é o peso da massa m. τ = −mg h h( )0 Teorema da Variação da Energia Cinética Dinâmica dos corpos rígidos 51 1 2 2 2 2 0 2 0 J MR R r m v v mg h hz + + +       − = −( ) .( ) ( ) a) Derivando a equação acima, com &h v= : & ( ) ( ) v mg R r J MR m R rz = + + + + 2 2 2 b) Utilizando as relações cinamáticas: & ( ) ( ) ω = + + + + mg R r J MR m R rz 2 2 c) mg T Para o contrapeso: mg T mv− = & Substituindo o valor de &v : T mg J MR J MR m R r z z = + + + + 2 2 2( ) Dinâmica dos corpos rígidos 52 Exemplo 2.8 - Um cilindro de massa m rola sem escorregar no interior de um tambor de raio R. O cilindro é liberado do repouso da posição θ0. Calcule a velocidade do cilindro em função de θ e a reação vertical em B. mg R r B C θ G Denotando ω a velocidade angular do cilindro e como não existe escorregamento, temos que v R r rG = − =& ( )θ ω . Do Teorema da Energia Cinética: T J mr mr mg R r d mg R r C= =     = = − − = − −∫ 1 2 1 2 3 2 3 4 2 2 2 2 2 0 0 ω ω ω τ θ θ θ θ θ θ sen ( ) ( )(cos cos ) como e =T T w v r v g R r G G − = = − − 0 2 0 4 3 τ θ θ( )(cos cos ) Dinâmica dos corpos rígidos 55 v i iC l l l l 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 = + + +( & cos & cos ) ( & sen & sen )θ θ θ θ θ θ θ θ Cálculo da Energia Cinética: T m J m JC Z C Z= + + + 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 2 2 2 2v v& &θ θ na qual Jz é tomado em relação ao centro de massa das barras. Como I ml z = 2 12 obtém-se, utilizando as relações acima: )cos( 2 )4( 6 21211 2 2 2 2 1 2 θ−θθθ+θ+θ= &&&& mlml T Cálculo do trabalho das forças externas: As reações nas articulações (supostas sem atrito) não realizam trabalho. As únicas forças que realizam trabalho são os pesos das barras. O trabalho realizado é igual à variação de energia potencial, tomando a posição inicial (inferior) como referência: ( )τ θ θ θ τ θ θ = − + − + − = − − mgl mgl mgl 2 1 2 1 2 1 2 4 3 1 2 1 1 2 ( cos ) cos .( cos ) ( cos cos ) Assim, a relação procurada é obtida pela aplicação do Teorema da Variação da Energia Cinética T T− =0 τ sendo T0 obtida substituindo as condições iniciais & &, ,θ θ1 0 2 0 e na expressão da energia cinética. Dinâmica dos corpos rígidos 56 Exemplo 2.10 - Um disco excêntrico rola sem escorregar num plano horizontal. Sendo dados o raio R, excentricidade e, massa m, momento de inércia JO e θ π 0 2 = calcule: a) velocidade angular em função de θ b) aceleração angular em função de θ e N Fat i jmg R θ C O G a) Energia Cinética: ( )( ) ( )( ) ( )( ) T J J m R e eR T J me m R e eR T J m R eR C G O O = = + + − = − + + − = + − 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ω θ ω θ ω θ ω cos cos cos A única força que realiza trabalho é o peso: τ β β θ θ θ θ = − = −∫ mge d mgesen (cos cos ) 0 0 Pelo Teorema da Energia, considerando que θ π ω( ) ( )0 2 0 0= = e : T T mge J mR meRO − = = + − 0 0 2 2 2 2 τ θ θ ω θ θ ( , ) cos cos b) Derivando a expressão acima em relação ao tempo Dinâmica dos corpos rígidos 57 & sen ( ) ( cos ) ω θ θ = − + + − mge J mR J mR meR O O 2 2 22