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Números Complexos.pdf, Notas de estudo de Engenharia Aeronáutica

Números Complexos

Tipologia: Notas de estudo

2011
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Compartilhado em 16/11/2011

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Baixe Números Complexos.pdf e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Aeronáutica, somente na Docsity! PROF.: BRUNO VIANNA 1 COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE TIJUCA II LISTA DE MATEMÁTICA I - 3º TRIMESTRE (3º ANO) Professor: Bruno Vianna Turma: _______ _____º turno Nome: __________________________________________________ nº _____ NÚMEROS COMPLEXOS Introdução Em 1545, Jerônimo Cardano (1501 – 1576), em seu livro “Ars Magna” (A Grande Arte), mostrou o método para resolver equações do 3º grau que hoje é chamado de Fórmula de Cardano. Aplicando a fórmula de Cardano, seu discípulo Bombelli (1526 – 1572) obteve em seu trabalho “Álgebra” raízes quadradas de números negativos. Embora não se sentisse completamente a vontade em relação a essas raízes quadradas, Bombelli e outros matemáticos da época operavam livremente com elas, aplicando regras usuais da época. Apenas no século XIX, quando Gauss (1787 – 1855), o grande matemático da época, divulga a representação geométrica dos números complexos (utilizando a i1 como unidade imaginária) é que a tal sensação de desconforto desaparece. Definição Denomina-se número complexo z toda expressão da forma z = a + bi, onde “a” e “b” são números reais e i2 = – 1. Obs.: i é denominada unidade imaginária.  Forma Algébrica       IR)zIm(b IR)zRe(a biaz Em que: “a” é a parte real de “z” e “b” é a parte imaginária de “z”.  Igualdade       db ca dicbiazz 21  Adição i)db()ca()dic()bia(   Multiplicação i)bcad()bdac()dic()bia(   Conjugado Sendo biaz  um número complexo, define-se como complexo conjugado de “z” o complexo biaz  .  Divisão 22 21 2 1 zz zz z z     Potências de “i” Para n  IN, temos: i4n = 1 i4n+1 = i i4n+2 = – 1 i4n+3 = – i  Representação Geométrica Todo número complexo z = a + bi pode ser associado a um ponto P ( a ; b ) do plano cartesiano. O ponto “P” é denominado afixo ou imagem de “z”.   P ( a , b ) Im b O a Re 1º TRIM -MATEMÁTICA PROF.: BRUNO VIANNA 2 A distância “” de “P” até a origem “O” é denominada módulo de “z” e indicamos: 22 babiaz  Denomina-se argumento do complexo “z” a medida do ângulo “”, formado pelo semi-eixo real positivo Ox com OP, medido no sentido anti-horário, conforme indicado na figura: )zarg(  Forma Trigonométrica ou Polar )seni(cosz  onde “” é o módulo e “” é o argumento de “z”.  Multiplicação  )sen(i)cos(zz 21212121   Divisão  )sen(i)cos( z z 2121 2 1 2 1      Potenciação (Fórmula de Moivre)  )n(seni)n(cosz nn  Abraham de Moivre (1667 – 1754)  Radiciação           n k2 seni n k2 cosz nn As raízes n-ésimas de “z” têm módulo igual a n  e seus argumentos são obtidos da expressão n k2  , substituindo k por números inteiros de 0 até n – 1 . EXERCÍCIOS 01) Resolva a equação x2 + 16x + 96 = 0 , no conjunto dos números complexos. 02) O valor de i1 i21   é: (A) i 2 1 2 3  (B) i 2 1 2 3  (C) i 2 1 2 3  (D) i 2 1 2 3  (E) 3 03) O valor de i80 é: (A) -1 (B) 1 (C) i (D) -i 04) (Cesgranrio) O valor de i i 2 é igual a: (A) -1 (B) 1 (C) i (D) -i 05) (RURAL-99) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 - 3i , o valor de a b é: (A) 3 (B) 2 (C) 5 (D) 2 2 (E) 1 + 2 06) A solução da equação x2 + 4 = 0 em C representa dois números complexos cuja suas formas trigonométricas são: (A) z1 = 4 cis 0º e z2 = 4 cis 180º (B) z1 = 2 cis 90º e z2 = 2 cis 270º (C) z1 = cis 0º e z2 = cis 180º (D) z1 = 2 cis 0º e z2 = 2 cis 180º (E) z1 = 4 cis 135º e z2 = 4 cis 45º 07) O número complexo z = -4 , escrito na forma trigonomética, é igual a: (A) 4 cis 180º (B) 4 cis 360º (C) cis 180º (D) cis 360º (E) 2 cis 360º 08) (UNI-RIO) A forma algébrica do número complexo z = 2 cis 135º (A) 2 + 2i (B)  2 2i (C) -1 + 3i (D) -2 (E) 2 2 2 2  i 09) (UFMG) A forma trigonométrica do número complexo z = 4 3 4 i é: (A) 8 (cos 30º + i sen 30º) (B) 8 (cos 45º + i sen 45º) (C) 8 (cos 60º + i sen 60º) (D) 8 (cos 120º + i sen 120º) (E) 8 (cos 150º + i sen 150º) 10) (UFBA) - A fração 301316 351723 iii iiii   corresponde ao número complexo: (A) 1 + I (B) – 1 + i (C) – 1 – i (D) 1 – I (E) 2 + i 1º TRIM -MATEMÁTICA PROF.: BRUNO VIANNA 5 25) (IME 2011) Sejam z1 = 10 + 6i e z2 = 4 + 6i , onde i é a unidade imaginária, e z um número complexo tal que, 4 arg 2 1         zz zz , determine o módulo do número complexo (z – 7 – 9i). Obs: arg(w) é o argumento do número complexo w Gabaritos: 01) z1 = i248 e z2 = i248 02) A 03) B 04) D 05) B 06) B 07) A 08) B 09) A 10) B 11) B 12) C 13) B´ = 1  3i 14) zero 15) t = i 3 16) a) (16,16) b) 216 17) n = 12 18)                   izeizz 2 3 2 1 4 2 3 2 1 4;4 33 3 2 3 1                   izeizz 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2;2 36 3 5 3 4 19) 9 8   20) B 21) B 22) C 23) E 24) 25) 23 Resolução de Algumas Questões Questão 13) Questão 14) 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 = 0 Note que 1, z, z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 estão em PG. Logo, como a razão z não é igual a 1, temos que: 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 = 0 1 11 1 17       zz z Questão 15) Como wtzeciswcisz  º2404,º302 , segue que:         it isenit senit seni seni z w t               3 2 1 2 3 2º210º210cos2 )º30º240()º30º240cos(2 º30º30cos2 º240º240cos4 Logo o tiro certeiro é t = i 3 1º TRIM -MATEMÁTICA PROF.: BRUNO VIANNA 6 Questão 16) a)               i12ii1i1i1i1i1iyx 44 289 11    16i16i1 16iyx 11     1616, 11 yx , b) 216d Questão 17) Escrevendo o número complexo iz  3 na forma trigonométrica, temos:        66 cos2  seniz Portanto,        66 cos2  n seni n z nn Para que zn seja um número real positivo, devemos ter 0 6 cos0 6   n e n sen para que isso ocorra O ângulo só poder ser zero ou 360º, logo:n = 12 Questão 18) Questão 19) Substiui-se z3 por y na equação z6 + z3 + 1 = 0: iyouiy yyy 2 3 2 1 2 3 2 1 2 31 1.2 1.1.411 01 21 2 2       Para determinar as raízes cúbicas de um número complexo:   seniw  cos , usa-se a seguinte relação:  2,1,0, 3 2 33 2 3 cos3                    k k seni k wk   Portanto, as raízes cúbicas do número complexo        3 2 3 2 cos1 2 3 2 1 1  seniy São determinadas por:                                                          9 14 9 14 cos ; 9 8 9 8 cos ; 9 2 9 2 cos 2 1 0    seniw seniw seniw Analogamente, as raízes cúbicas do número complexo        3 4 3 4 cos1 2 3 2 1 2  seniiy São determinadas por:                                                          9 16 9 16 cos ; 9 10 9 10 cos ; 9 4 9 4 cos 2 1 3    seniw seniw seniw Como )arg( 9 8 , 2 1w           1º TRIM -MATEMÁTICA PROF.: BRUNO VIANNA 7 Questão 23) Questão 24) Questão 25) 1º TRIM -MATEMÁTICA PROF.: BRUNO VIANNA 10 04) Mostre que o polinômio P(x) = x4 – 16 é divisível por (x + 2i) . (x – 2i) 05) (UFF) Na decomposição de um polinômio P(x), um aluno utilizou o algoritmo conhecido como BRIOT- RUFFINI, conforme indicado abaixo: 1 1 -4 -2 4 1 1 2 -2 -4 0 -2 1 0 -2 0 Com base nos dados acima, determine o polinômio P(x) e todas as suas raízes. 06) (PUC-2010) O polinômio p(x) = x3 - 2x2 - 5x + d, é divisível por (x - 2). a) Determine d. b) Calcule as raízes de p(x) = 10. 07) (PUC-2010) Considere a função real g(x) = x4  40x2 + 144 e a função real f(x) = x(x  4) (x + 4). a) Para quais valores de x temos f(x) < 0? b) Para quais valores de x temos g(x) < 0? c) Para quais valores de x temos f(x) . g(x) > 0? 08) (FGV-2007) Considere a função polinomial definida por P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, com a, b, c, d sendo números reais, e cuja representação gráfica é dada na figura. É correto afirmar que (A) –1 < a + b + c + d < 0. (B) 0 < d < 1. (C) para –1 ≤ x ≤ 1, P(x) > 0. (D) o produto de suas raízes é menor que –6. (E) há uma raiz de multiplicidade 2. 09) (FGV-2007) Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto da divisão de 5x3 + (m – 12)x2 + (m2 – 2m)x – 2m2 + p + 9 por x – 2, respectivamente. Permutando-se os coeficientes de Q(x) obtém-se o polinômio Q’(x) tal que Q’(x) = R(x) para qualquer x ϵ IR. Se m e p são constantes reais positivas, então, m + p é igual a (A) 8. (B) 7. (C) 6. (D) 5. (E) 4. 10) (FGV-2009)O conhecimento que temos da matemática na Antigüidade vem, em boa parte, de textos matemáticos redigidos por escribas, propondo problemas para os alunos ou outros escribas resolverem. Leia com atenção esta adaptação do texto “Sou o escriba, o chefe dos trabalhadores”, e resolva o problema que o autor propõe como um desafio a outro escriba: a) Temos de resolver um problema e calcular certa taxa de juro. Um velho mercador emprestou um capital de 8 moedas de ouro, a certa taxa anual de juro composto, durante três anos. Passado esse tempo, o velho mercador ficou muito contente: somente de juros, ele recebeu 19 moedas de ouro! Os escribas estarão todos reunidos para descobrir a taxa de juro da aplicação, mas nenhum saberá como fazê-lo. Voltar-se-ão para ti e te dirão: “Tu és um escriba hábil, meu amigo! Responde rápido para nós, honra tua reputação, para que não se possa dizer que existe alguma coisa que o chefe dos escribas não saiba: a que taxa anual de juro composto o mercador aplicou o seu dinheiro?” b) Para encontrar a taxa de juro, você resolveu uma equação polinomial do terceiro grau. Quais são as outras duas raízes dessa equação? 11) (FGV-2010) Ao copiar da lousa uma equação polinomial de 3º grau e de coeficientes inteiros, Carlos escreveu errado o termo em x e o termo que não tem fator x. Resolvendo-a, duas das raízes que encontrou foram –i e 2. A professora já havia adiantado que uma das raízes da equação original era 2i. a) Qual é a equação original? b) Quais são as outras duas raízes da equação original? 12)(FGV-2010) A função polinomial     242421)( 23  xxxxP é crescente em todo o conjunto dos números reais. Podemos afirmar que: (A) O polinômio tem uma única raiz real negativa. (B) A soma das raízes vale 21 . (C) O polinômio tem três raízes complexas não reais. (D) O produto das raízes vale 24 . (E) O polinômio tem três raízes reais distintas. 1º TRIM -MATEMÁTICA PROF.: BRUNO VIANNA 11 13) (FGV-2011) O polinômio 4535)( 234  xxxxxP tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a: (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1 14) (AFA-00) A soma dos quadrados das raízes da equação x3 – 2x2 – 4x + 1 = 0 é (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 14 15) (UFRJ-2001-PE) Determine todas as raízes de x 3 + 2x 2 - 1 = 0 16) (UERJ-93-2ª FASE) Sabendo-se que k é um número real e que uma das raízes da equação x3 - 4x2 + 6x + k = 0 é 1+ i, a) Calcule k b) Determine as demais raízes da equação. 17) A figura representa parte do gráfico da função polinomial P(x) = 1 6 (x + a).(x + b).(x + 2).(x + 3), onde a e b são constantes reais. O valor de a + b é: (A) 2 (B) –2 (C) 1 (D) –1 (E) zero 18) (UERJ-99-2ªfase) A figura abaixo representa o polinômio P definido por P(x) = x3 – 4x a) Determine as raízes desse polinômio. b) Substituindo-se, em P(x), x por x – 3, obtém-se um novo polinômio definido por y = P(x – 3). Determine as raízes desse novo polinômio. 19) (UERJ-2009-ESP) Uma seqüência de três números não nulos (a, b, c) está em progressão harmônica se seus inversos       cba 1 , 1 , 1 , nesta ordem, formam uma progressão aritmética. As raízes da equação a seguir, de incógnita x, estão em progressão harmônica. 0251523  xmxx Considerando o conjunto dos números complexos, apresente todas as raízes dessa equação. 20) (UFRJ-2007-PE) Considere a equação x3 + 3x3 + 9x + 9 = 0. a) Fazendo x = y − 1, obtenha uma equação equivalente tendo y como incógnita. Em seguida, faça z zy 2  e obtenha uma nova equação em z. b) Calcule todas as soluções para a equação em z obtida no item a. 21) (ITA-2011) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação x4 + x2 + ax + b = 0, com a,b ϵ R, então a2 – b3 é igual a (A) – 64. (B) – 36. (C) – 28. (D) 18. (E) 27. 22) (AFA-08) Sabendo-se que 20 210 2 3 2 1 3,          ixexix são raízes de P(x) = x6 – 3x5 + x4 – 4x3 + 3x2 – ax + 3, onde i é a unidade imaginária e a é número real, marque a alternativa FALSA. (A) O número a também é raiz de P(x) (B) A soma das raízes reais de P(x) é um número par. (C) O produto das raízes imaginárias de P(x) é diferente de a (D) P(x) é divisível por x2 + x + 1 23) (UENF-2ªF) O gráfico abaixo é a representação cartesiana do polinômio y = x3  3x2  x + 3. a) Determine o valor de B. b) Resolva a inequação x3  3x2  x + 3 > 0. 1 1 0 x P(x) 1º TRIM -MATEMÁTICA PROF.: BRUNO VIANNA 12 24) (UERJ-2005-2ªF) As figuras abaixo representam as formas e as dimensões, em decímetros, de duas embalagens: um cubo com aresta x e um paralelepípedo retângulo com arestas x, x e 5. A diferença entre as capacidades de armazenamento dessas embalagens, em dm3, é expressa por x3  5x2 = 36. Considerando essa equação, a) demonstre que 6 é uma de suas raízes; b) calcule as suas raízes complexas (não reais). 25) (UERJ-2008-2ªF) Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papelão de espessura desprezível e 8 dm de lado, do qual foram recortados e retirados seis quadrados menores de lado x. Observe a ilustração Em seguida, o papelão foi dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma de um paralelepípedo retângulo, de altura x, como mostram os esquemas. Quando x = 2 dm, o volume da caixa é igual a 8 dm³. Determine outro valor de x para que a caixa tenha volume igual a 8 dm³. 26) (UFRJ-2000-PE) O polinômio d  R, é divisível por (x - 2). a) Determine d. b) Calcule as raízes da equação P(x) = 0. 27) (UNIRIO-2008-2ª F) Determine o valor dos coeficientes reais a, b e c do polinômio cbxaxxxP  23)( , sabendo que as raízes deste polinômio estão em progressão geométrica de razão 2 e que P(0) = 8 28) (UFF-2006-2ªF-IJ) Considere o polinômio p(x) = x3 - 1. a) Encontre, em C , todas as raízes do polinômio p(x). b) Calcule a área do polígono cujos vértices são os pontos que representam as raízes do polinômio p(x), no plano complexo. c) Sejam z1 e z2 as raízes complexas, não reais, do polinômio p(x). Determine o valor de   3000230001 zz  29) (UFF-2010-2ªF-IJ) Considere o polinômio p(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 2. a) Verifique se o número complexo i é raiz de p(x). b) Calcule todas as raízes complexas de p(x). 30) (UNICAMP – 2003) Seja a um número real e seja: p(x) = det            x140 1xa0 21x3 A) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0. B) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tem uma única raiz real. GABARITO 01) C 02) D 03) E 04) Dem 05) P(x) = x 4 + x 3 – 4x 2 – 2x + 4 S={ 2,2,2,1  } 06) a) d=10 b) x = 0 ou x = 61 2 242   07) a) x <−4 ou 0 < x <4 b) 6 < x < −2 ou 2 < x < 6 c) - 6 < x < - 4 ou - 2 < x < 0 ou 2 < x < 4 ou x > 6 08) A 09) E 10) a) 50% b) 11) a) x 3 – 2x 2 + 4x – 8 = 0 b) 2i, –2i e 2. 12) A 13) A 14) C 15) 16) a) k= –4 b) 1+i , 1 – i e 2 17) B
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