MOMENTO ANGULAR

MOMENTO ANGULAR

Momento Angular

Objetivos

Verificação da Conservação do Momento Angular e estudo dos Torques externos aplicados sobre um giroscópio.

Introdução teórica

Giroscópio é um dispositivo constituído de um corpo rígido que pode girar em torno de um eixo móvel num referencial inercial. O giroscópio de três eixos é utilizado para demonstrar fenômenos como: estabilidade direcional (Conservação do Momento Angular); precessão, um possível movimento circular uniforme do eixo em um plano horizontal, combinado com o movimento de rotação do volante em torno desse eixo; e nutação (efeito da velocidade). O giroscópio é de extrema utilidade no estudo qualitativo da mecânica rotacional de corpos rígidos em geral.

O momento angular de um corpo pode ser algebricamente definido por:

(1)

Onde é o momento linear da partícula, e é definido como sendo:

(2)

Sendo assim, podemos derivar a equação (1) em relação ao tempo, e temos que essa relação é:

Como:

Temos que:

Onde é o torque externo aplicado ao sistema.

Na equação (3) temos ainda que , sendo o vetor momento angular do corpo rígido, I é o momento de inércia e é a velocidade angular de rotação. A equação (3) estabelece o princípio da conservação do momento angular, isto é, na ausência do torque externo, é uma constante no tempo. Como seja aplicado continuamente sobre o sistema, ocorrerá uma variação contínua de .

Caso no giroscópio aplicarmos inicialmente uma rotação do disco com ele em equilíbrio em torno de um eixo x, o sistema se mantém na horizontal e na posição inicial. Ao adicionar uma massa m do lado oposto, o eixo do giroscópio não tomba, mas gera um momento de precessão que ocorrerá no eixo xy. Se a velocidade angular de precessão for muito menor que a velocidade de rotação do disco do giroscópio o movimento de nutação ocorre.

O módulo do momento angular do disco do giroscópio é dado por , onde I é o momento de inércia do disco. Ao adicionar a massa m a uma distância r induz-se um torque externo M na direção y, que é igual à variação do momento angular no tempo, ou seja:

Devido a aplicação deste torque externo, a direção do vetor momento angular mudará na direção e fará um movimento de rotação acompanhado do movimento de precessão. Após um tempo dt o vetor momento angular rodará de um ângulo de sua posição inicial. Sendo assim pode-se escrever que:

ϕ (5)

A velocidade de precessão é dada por:

mas sendo a duração de uma volta do movimento de precessão. Desta forma podemos reescrever a equação (6) como:

Procedimento Experimental

Na primeira parte do experimento foi usado o giroscópio. Para isso foi-se ajustado o contrapeso de tal modo que o sistema ficasse em equilíbrio, então giramos o disco com o auxílio de um barbante. Nota-se que o eixo do giroscópio fica parado (sem movimento de precessão).

Com o eixo em repouso foi colocado uma massa no lado oposto do disco, mediu-se a velocidade angular do disco e soltou o eixo, que começou a girar (movimento de precessão). Assim começamos a marcar o tempo que o eixo levava para dar uma volta e mediamos as velocidades angulares do disco no início e no final de cada volta.

A segunda parte do experimento foi feito com outro giroscópio de maior escala para analisar os diferentes casos de movimento de precessão e os torques externos. Nessa parte giramos o volante (pneu de bicicleta) no sentido horário e no sentido anti-horário, em cada caso colocamos uma massa no lado oposto do volante e depois na frente do volante para verificar em cada caso o sentido do movimento de precessão.

Resultados e discussões

Dados:

- massa do disco: (1,3100 ± 0,00001)kg

- massa do corpo: (0,0705 ± 0,00001)kg

- diâmetro do disco: (0,2450 ± 0,0005)m

- braço do torque: (0,2700 ± 0,0005)m

- gravidade: kg.m/s2

Primeira parte:

Tabela I: Tabela

(Tempo ± 0,01)s

Primeira volta

12,98

41,92

40,14

Segunda volta

11,92

40,14

39,27

Terceira volta

13,64

39,27

37,23

Quarta volta

11,61

37,23

35,50

Quinta volta

12,34

35,50

33,91

Fonte: Laboratório de Física II

Após a montagem do aparelho e ter anotado os dados necessários, calcula-se o momento de inércia teórico do disco, utilizando a equação

Após isso, foi calculado o momento de inércia do disco através da equação (7), para comparação de dados. Sendo a média dos valores das velocidades angulares, que constam no gráfico (anexo 1).

Comparando os valores de , calcula-se o erro percentual:

Segunda parte:

Caso 1:

O volante é girado no sentido horário e é colocada uma massa m no lado oposto do eixo em relação ao volante. Nota-se que o sistema gira no sentido anti-horário Os vetores de momento angular do volante (, velocidade angular do volante (, velocidade angular de precessão ( e o torque ( são representados na figura abaixo.

Figura I. Ilustração do caso 1 com vetores esquematizados

Caso 2:

O volante é girado no sentido horário e é colocada uma massa m a frente do eixo em relação ao volante. Nota-se que o sistema gira no sentido horário. Os vetores de momento angular do volante (, velocidade angular do volante (, velocidade angular de precessão ( e o torque ( são representados na figura abaixo.

Figura II. Ilustração do caso 2 com vetores esquematizados

Caso 3:

O volante é girado no sentido anti-horário e é colocada uma massa m no lado oposto do eixo em relação ao volante. Nota-se que o sistema gira no sentido horário. Os vetores de momento angular do volante (, velocidade angular do volante (, velocidade angular de precessão ( e o torque ( são representados na figura abaixo.

Figura III. Ilustração do caso 3 com vetores esquematizados

Caso 4:

O volante é girado no sentido anti-horário e é colocada uma massa m a frente do eixo em relação ao volante. Nota-se que o sistema gira no sentido anti-horário. Os vetores de momento angular do volante (, velocidade angular do volante (, velocidade angular de precessão ( e o torque ( são representados na figura abaixo.

Figura IV. Ilustração do caso 4 com vetores esquematizados

Terceira parte:

Citando exemplos de aplicação dos conceitos que regem o giroscópio:

- Em 1915, foi projetado um giro-estabilizador para reduzir a oscilação dos navios, com um giroscópio de dois anéis. Além de dar mais conforto aos passageiros, o instrumento reduzia a pressão sobre a estrutura do casco e diminuía os danos à carga.

- O giroscópio é o elemento básico na confecção da agulha giroscópica, que tem, em relação à agulha magnética da bússola, a vantagem de não estar sujeita às anomalias magnéticas locais. Isso transforma o giroscópio num componente importante dos sistemas de orientação em navegação marítima e aérea, na construção de simuladores de vôo, nos horizontes artificiais, nos pilotos automáticos e girocompassos para aeronaves, estabilizadores do movimento de navios.

- Fabricação de sofisticadas miras para armas de artilharia.

Conclusão

Depois de realizado os cálculos e analisado seus resultados, concluiu-se que o momento angular do sistema foi conservado, pois a força realizada pela massa pendurada é constante e permanece na mesma posição (momento linear constante).

Os resultados obtidos do momento de inércia pelo experimento foi bem próximo do valor teórico, com um erro percentual de 1,12%.

Anexos

Anexo 1:

Referências bibliográficas

-Halliday, D.; Resnick, R. e Walker, J – Fundamentos de Física – Vol. I LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. 4ª Edição 1996 Rio de Janeiro/RJ Brasil

-Sears, F.; Zemansky, M.W. e Young H.D. – Física I Mecânica e Partícula dos Corpos

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