Baixe Gum 3ªed e outras Notas de estudo em PDF para Cultura, somente na Docsity! GUIA PARA A EXPRESSÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO Terceira Edição Brasileira Este Guia estabelece regras gerais, e aplicáveis, para a ava- liação e expressão da incerteza em medições que se preten- da aplicar a um largo espectro de medições. A base deste Guia é a Recomendação 1 (CI-1981) do “Comitê Internaci- onal de Pesos e Medidas (CIPM)”, aceitando a Recomenda- ção INC-1 (1980) do “Grupo de Trabalho sobre a Declara- ção de Incertezas”, convocado pelo Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), por solicitação do CIPM. A Re- comendação do CIPM é a única recomendação concernente à expressão da incerteza em medição adotada por uma or- ganização intergovernamental. Este Guia foi preparado por um grupo de trabalho, consistindo de peritos nomeados pelo BIPM, Comissão Eletrotécnica Internacional (IEC), Organização Inter- nacional de Normalização (ISO) e Organização Inter- nacional de Metrologia Legal (OIML). As sete seguin- tes organizações apoiaram o desenvolvimento deste Guia, o qual é publicado em seus nomes: BIPM Bureau Internacional de Pesos e Medidas IEC Comissão Eletrotécnica Internacional IFCC Federação Internacional de Química Clínica ISO Organização Internacional de Normalização IUPAC União Internacional de Química Pura e Aplicada IUPAP União Internacional de Física Pura e Aplicada OIML Organização Internacional de Metrologia Legal Os usuários deste Guia estão convidados a enviar seus comentários e pedidos de esclarecimento a quaisquer das sete organizações. Guia Para a Expressão da Incerteza de Medição Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial (INMETRO) Copyright 2003 by ABNT and INMETRO (In Brazil, ISO is represented by ABNT and BIPM by INMETRO) Todos os direitos em língua portuguesa reservados à Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) A duplicação ou reprodução desta obra, sob qualquer meio, só é permitida mediante autorização expressa da ABNT Autoria BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP e OIML Produção Editorial e Impressão SERIFA Comunicação Capa Ana Cláudia David de Andrade (Designer do Inmetro) CIP-Brasil. Catalogação na fonte. Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ ________________________________________________________________________________________________ Guia para a Expressão da Incerteza de Medição Terceira edição brasileira em língua portuguesa – Rio de Janeiro: ABNT, INMETRO, 2003 1211 p.: 2 il, (21x29,7)cm. Inclui anexos e bibliografia ISBN 1.Medição. 2.Incerteza de Medição. I.ABNT.II INMETRO. ________________________________________________________________________________________________ 2003 Diretoria de Metrologia Científica e Industrial (DIMCI) do Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial (INMETRO) Rua Santa Alexandrina, 416/5º andar, Rio Comprido 20261-232 Rio de Janeiro – RJ Tel.: 21-2563-2905 Fax: 21-2293-6559 e-mail: dimci@inmetro.gov.br Sumário Prefácio .............................................................................xv 0 Introdução ................................................................xvii 1 Finalidade.....................................................................1 2 Definições ....................................................................2 2.1 Termos metrológicos gerais...............................2 2.2 O termo “incerteza” ...........................................2 2.3 Termos específicos para este Guia ....................3 3 Conceitos básicos .........................................................4 3.1 Medição..............................................................4 3.2 Erros, efeitos e correções...................................5 3.3 Incerteza .............................................................5 3.4 Considerações práticas.......................................7 4 Avaliando a incerteza padrão........................................9 4.1 Modelando a medição........................................9 4.2 Avaliação da incerteza padrão do Tipo A .......10 4.3 Avaliação da incerteza padrão do Tipo B .......11 4.4 Ilustração gráfica da avaliação da incerteza padrão...............................................................14 5 Determinando a incerteza padrão combinada.............19 5.1 Grandezas de entrada não correlacionadas......19 5.2 Grandezas de entrada correlacionadas.............21 6 Determinando a incerteza expandida..........................23 6.1 Introdução ........................................................23 6.2 Incerteza expandida .........................................23 6.3 Escolhendo um fator de abrangência...............24 7 Relatando a incerteza..................................................25 7.1 Orientação Geral ..............................................25 7.2 Orientação específica.......................................25 8 Resumo do procedimento para avaliação e expressão da incerteza ................................................28 Anexos A Recomendações do grupo de trabalho e da CIPM .....................................................29 A.1 Recomendação INC (1980) .............................29 A.2 Recomendação 1 (CI-1981).............................30 A.3 Recomendação 1 (CI-1986).............................30 B Termos metrológicos gerais .......................................31 B.1 Fonte das definições ........................................31 B.2 Definições ........................................................31 C Termos e conceitos estatísticos básicos ......................36 C.1 Fonte das definições ........................................36 C.2 Definições ........................................................36 C.3 Elaboração de termos e conceitos....................39 D Valor “verdadeiro”, erro e incerteza ...........................42 D.1 O mensurando ..................................................42 D.2 A grandeza realizada........................................42 D.3 O valor “verdadeiro” e o valor corrigido ........42 D.4 Erro...................................................................43 D.5 Incerteza ...........................................................43 5 Expressão da Incerteza de Medição Sumário D.6 Representação gráfica ......................................44 E Motivação e base para a Recomendação INC-1 (1980) ..............................................................47 E.1 “Seguro”, “aleatório” e “sistemático” .............47 E.2 Justificativa para avaliações realistas da incerteza ......................................................47 E.3 Justificativa para tratar todos os componentes da incerteza identicamente...............................48 E.4 Desvios padrão como medidas de incertezas ..50 E.5 Uma comparação de duas abordagens da incerteza ......................................................51 F Guia prático para avaliação de componentes de incerteza...........................................53 F.1 Componentes avaliados a partir de observações repetidas: avaliação do Tipo A da incerteza padrão ...............................................53 F.2 Componentes avaliados por outros meios: avaliação do Tipo B da incerteza padrão.........55 G Graus de liberdade e níveis da confiança ....................61 G.1 Introdução ........................................................61 G.2 Teorema Central do Limite .............................62 G.3 A distribuição-t e os graus de liberdade ..........63 G.4 Graus de liberdade efetivos .............................63 G.5 Outras considerações .......................................65 G.6 Sumário e conclusões ......................................66 H Exemplos....................................................................70 H.1 Calibração de bloco padrão .............................70 H.2 Medição simultânea de resistência e reatância74 H.3 Calibração de um termômetro .........................78 H.4 Medição de atividade .......................................81 H.5 Análise de variância.........................................85 H.6 Medições numa escala de referência: dureza ..90 J Glossário dos principais símbolos ..............................93 K Bibliografia ................................................................96 Índice alfabético bilíngüe Inglês — Português ...........................................................98 Índice alfabético bilíngüe Português — Inglês .........................................................109 6 Sumário Expressão da Incerteza de Medição Prefacio 1... 7 Expressão da Incerteza de Medição Prefacio 1... quisitos anteriormente enumerados. Este não é o caso da maioria dos outros métodos em uso corrente. A Recomen- dação INC-1 (1980) foi aprovada e ratificada pelo CIPM em suas próprias Recomendações 1 (CI-1981) [3] e 1 (CI- 1986) [4]; as traduções destas Recomendações da CIPM estão reproduzidas no anexo A (ver A.2 e A.3, respectiva- mente). Uma vez que a Recomendação INC-1 (1980) é o fundamento sobre o qual este documento se baseia, a tradu- ção para a língua portuguesa está reproduzida em 0.7 e o texto em françês, o qual é oficial, está reproduzido em A.1. 0.6 Um resumo sucinto do procedimento especificado neste documento, para a avaliação e expressão de incerte- zas de medição, é dado no capítulo 8, e alguns exemplos são apresentados em detalhes no anexo H. Outros anexos tratam de termos gerais em metrologia (anexo B); termos e conceitos básicos de estatística (anexo C); valor “verda- deiro”, erro e incerteza (anexo D); sugestões práticas para avaliação dos componentes da incerteza (anexo F); graus de liberdade e níveis da confiança (anexo G); os principais símbolos matemáticos utilizados no documento (anexo J); e referências bibliográficas (anexo K). Um índice alfabéti- co conclui o documento. 0.7 Recomendação INC-1 (1980) Expressão de Incertezas Experimentais 1. A incerteza de um resultado de uma medição geral- mente consiste de vários componentes que podem ser agrupados em duas categorias, de acordo com o méto- do utilizado para estimar seu valor numérico: A. aqueles que são avaliados com o auxílio de mé- todos estatísticos; B. aqueles que são avaliados por outros meios. Nem sempre há uma simples correspondência entre a classificação nas categorias A ou B e o caráter “aleató- rio” ou “sistemático” utilizado anteriormente para clas- sificar as incertezas. A expressão “incerteza sistemáti- ca” é susceptível a induzir erros de interpretação e deve ser evitada. Toda descrição detalhada da incerteza deve consistir de uma lista completa de seus componentes e indicar para cada uma o método utilizado para lhe atribuir um valor numérico. 2. Os componentes classificados na categoria A são caracterizados pelas variâncias estimadas, si 2 , (ou os “desvios padrão” estimados si ) e o número de graus de liberdade, i . Nas situações em que for apropriado, as covariâncias devem ser fornecidas. 3. Os componentes classificados na categoria B de- vem ser caracterizados pelos termos u j 2 , que podem ser considerados como aproximações das variâncias cor- respondentes, cuja existência é suposta. Os termos u j 2 podem ser tratados como variâncias e os termos u j , como desvios padrão. Nas situações em que for apro- priado, as covariâncias devem ser tratadas de modo si- milar. 4. A incerteza combinada deve ser caracterizada pelo valor obtido, aplicando-se o método usual para a com- binação de variâncias. A incerteza combinada e seus componentes devem ser expressos na forma de “des- vios padrão”. 5. Se, para algumas aplicações, for necessário multi- plicar a incerteza combinada por um fator para se obter uma incerteza global, o valor do fator multiplicador deve ser sempre declarado. 10 0 Introdução Expressão da Incerteza de Medição 1 Finalidade 1.1 Este Guia estabelece regras gerais para avaliar e expressar a incerteza de medição que podem ser seguidas em vários níveis de exatidão e em muitos campos, desde o chão da fábrica até o da pesquisa fundamental. Os princí- pios deste Guia, portanto, são aplicáveis a um amplo es- pectro de medições, incluindo aquelas necessárias para: - manter o controle da qualidade e a garantia da qua- lidade na produção; - respeitar e fazer cumprir leis e regulamentos; - conduzir pesquisa básica, pesquisa aplicada e des- envolvimento na ciência e na engenharia; - calibrar padrões e instrumentos e executar ensaios, através de um sistema nacional de medição, de for- ma a obter a rastreabilidade até os padrões nacio- nais; - desenvolver, manter e comparar padrões físicos de referência nacional e internacional, incluindo mate- riais de referência. 1.2 Este Guia está primariamente relacionado com a expressão da incerteza da medição de uma grandeza física bem definida, o mensurando, que pode ser caracterizado por um valor essencialmente único. Se o fenômeno de in- teresse pode ser representado somente como uma distribu- ição de valores ou é dependente de um ou mais parâme- tros, tal como o tempo, então os mensurandos requeridos para sua descrição são o conjunto de grandezas que des- crevem aquela distribuição ou aquela dependência. 1.3 Este Guia é também aplicável à avaliação e expres- são da incerteza associada ao projeto conceitual e à análise teórica de experimentos, métodos de medição, componen- tes e sistemas complexos. Uma vez que o resultado de uma medição e sua incerteza podem ser conceituais e ba- seados inteiramente em dados hipotéticos, o termo “resul- tado de uma medição”, tal como é usado neste Guia, deve ser interpretado neste sentido mais amplo. 1.4 Este Guia fornece regras gerais para avaliar e ex- pressar a incerteza de medição ao invés de instruções deta- lhadas de tecnologia específica. Além disso, ele não discu- te como a incerteza de um determinado resultado de uma medição, uma vez avaliada, pode ser utilizada para dife- rentes finalidades, como, por exemplo, tirar conclusões so- bre a compatibilidade daquele resultado com outros resul- tados similares, estabelecer limites de tolerância em um processo de fabricação, ou decidir se uma determinada li- nha de ação poderá ser adotada com segurança. Pode, por- tanto, tornar-se necessário desenvolver normas específi- cas, baseadas neste Guia, que tratem dos problemas pecu- liares aos campos específicos de medição ou às várias uti- lizações das expressões quantitativas da incerteza. Essas normas podem ser versões simplificadas deste Guia mas deveriam incluir os detalhes que são apropriados ao nível de exatidão e complexidade das medições e utilizações vi- sadas. NOTA - Pode haver situações nas quais se acredita que o conceito de incerteza de medição não seja plenamente aplicável, tal como quando a precisão de um método de ensaio é determinada (ver refe- rência [5], por exemplo). 11 Expressão da Incerteza de Medição 1 Finalidade 2 Definições 2.1 Termos metrológicos gerais As definições de vários termos metrológicos gerais e rele- vantes para este Guia, tais como “grandeza mensurável”, “mensurando” e “erro de medição”, são dadas no anexo B. Essas definições são extraídas do “Vocabulário Internaci- onal de Termos Fundamentais e Gerais de Metrologia” (abreviado para VIM)[6]. Adicionalmente, o anexo C dá as definições de vários termos estatísticos básicos extraí- dos, principalmente, da Norma Internacional ISO-3534-1 [7]. Quando um desses termos metrológicos ou estatísticos (ou um termo estreitamente relacionado) é usado no texto pela primeira vez, começando no capítulo 3, ele é impres- so em negrito e o número do item no qual é definido é dado entre parênteses. Por causa da sua importância para este Guia, a definição do termo metrológico geral “incerteza de medição” é dada tanto no anexo B, como em 2.2.3 . As definições dos mais importantes termos específicos deste Guia são dadas de 2.3.1 a 2.3.6 . Em todos esses itens e nos anexos B e C, o uso de parênteses, em certas palavras de alguns termos, si- gnifica que as mesmas podem ser omitidas, se tal omissão não causar equívoco. 2.2 O termo “incerteza” O conceito de incerteza é discutido mais amplamente no capítulo 3 e no anexo D. 2.2.1 A palavra “incerteza” significa dúvida, e assim, no sentido mais amplo, “incerteza de medição” significa dú- vida acerca da validade do resultado de uma medição. Por causa da falta de palavras diferentes para este conceito ge- ral de incerteza e para as grandezas específicas que pro- porcionam medidas quantitativas do conceito, como, por exemplo, o desvio padrão, é necessário utilizar a palavra “incerteza” nestas duas acepções diferentes. 2.2.2 Neste Guia, a palavra “incerteza”, sem adjetivos, refere-se tanto ao conceito geral de incerteza como a qual- quer uma ou a todas as medidas quantitativas deste concei- to. Quando uma medida específica é visada, são usados os adjetivos apropriados. 2.2.3 A definição formal do termo “incerteza de medi- ção” desenvolvida para ser usada neste Guia e na edição do VIM [6](VIM definição 3.9) é a seguinte: incerteza (de medição) parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos valores que podem ser ra- zoavelmente atribuídos ao mensurando. NOTAS 1 O parâmetro pode ser, por exemplo, um desvio padrão (ou um múltiplo dele), ou a metade de um intervalo correspondente a um ní- vel da confiança estabelecido. 2 A incerteza de medição compreende, em geral, muitos compo- nentes. Alguns destes componentes podem ser estimados com base na distribuição estatística dos resultados de séries de medições e po- dem ser caracterizados por desvios padrão experimentais. Os outros componentes, que também podem ser caracterizados por desvios pa- drão, são avaliados por meio de distribuições de probabilidade su- postas, baseadas na experiência ou em outras informações. 3 Entende-se que o resultado da medição é a melhor estimativa do valor do mensurado, e que todos os componentes da incerteza, in- cluindo aqueles resultantes dos efeitos sistemáticos, como os com- ponentes associados com correções e padrões de referência, contri- buem para a dispersão. 2.2.4 A definição de incerteza de medição dada em 2.2.3 é uma definição operacional e focaliza o resultado da me- dição e sua incerteza avaliada. Entretanto, ela não é incon- 12 2 Definições Expressão da Incerteza de Medição (C.3.5). Tal substituição é considerada, neste Guia, apenas nos exemplos (ver H.2, H.3 e H.4). 3.2 Erros, efeitos e correções 3.2.1 Em geral, uma medição tem imperfeições que dão origem a um erro (B.2.19) no resultado da medição. Tra- dicionalmente, um erro é visto como tendo dois compo- nentes, a saber, um componente aleatório (B.2.21) e um componente sistemático (B.2.22) NOTA - Erro é um conceito idealizado e os erros não podem ser co- nhecidos exatamente. 3.2.2 O erro aleatório presumivelmente se origina de va- riações temporais ou espaciais, estocásticas ou imprevisí- veis, de grandezas de influência. Os efeitos de tais varia- ções, daqui para a frente denominados efeitos aleatórios, são a causa de variações em observações repetidas do mensurando. Embora não seja possível compensar o erro aleatório de um resultado de medição, ele pode geralmente ser reduzido aumentando-se o número de observações; sua esperança ou valor esperado (C.2.9, C.3.1) é zero. NOTAS 1 O desvio padrão experimental da média aritmética ou média de uma série de observações (ver 4.2.3) não é o erro aleatório da média embora ele assim seja designado em algumas publicações. Ele é, em vez disso, uma medida da incerteza da média devida a efeitos aleatórios. O valor exato do erro na média, que se origina destes efeitos, não pode ser conhecido. 2 Neste Guia toma-se muito cuidado em distinguir entre os ter- mos “erro” e “incerteza”. Eles não são sinônimos, ao contrário rep- resentam conceitos completamente diferentes; eles não deveriam ser confundidos um com o outro, nem ser mal empregados. 3.2.3 O erro sistemático, como o erro aleatório, não pode ser eliminado porém ele também, freqüentemente, pode ser reduzido. Se um erro sistemático se origina de um efei- to reconhecido de uma grandeza de influência em um re- sultado de medição, daqui para diante denominado como efeito sistemático, o efeito pode ser quantificado e, se for significativo com relação à exatidão requerida da medição, uma correção (B.2.23) ou fator de correção (B.2.24) pode ser aplicado para compensar o efeito. Supõe-se que, após esta correção, a esperança ou valor esperado do erro provocado por um efeito sistemático seja zero. NOTA - A incerteza de uma correção aplicada a um resultado de medição, para compensar um efeito sistemático, não é o erro siste- mático no resultado de medição. Este efeito sistemático é freqüente- mente denominado tendência, e também, algumas vezes chamado efeito de tendência. É uma medida da incerteza do resultado devido ao conhecimento incompleto do valor requerido da correção. O erro originado da compensação imperfeita de um efeito sistemático não pode ser exatamente conhecido. Os termos “erro” e “incerteza” de- vem ser usados apropriadamente e deve-se tomar cuidado em distin- guir um do outro. 3.2.4 Supõe-se que o resultado de uma medição tenha sido corrigido para todos os efeitos sistemáticos reconhe- cidos como significativos e que todo esforço tenha sido feito para identificar tais efeitos. EXEMPLO - Uma correção devido à impedância finita de um voltí- metro usado para determinar a diferença de potencial (o mensuran- do), através de um resistor de alta impedância, é aplicada para redu- zir o efeito sistemático no resultado da medição proveniente do efei- to de carga do voltímetro. Entretanto, os valores das impedâncias do voltímetro e do resistor, que são usados para estimar o valor da cor- reção e são obtidos a partir de outras medidas, são, eles mesmos, in- certos. Essas incertezas são usadas para avaliar a componente de in- certeza da determinação de diferença de potencial originada da cor- reção e, assim, do efeito sistemático devido à impedância finita do voltímetro. NOTAS 1 Freqüentemente, os instrumentos e sistemas de medição são ajustados ou calibrados, utilizando-se padrões de medição e materi- ais de referência para eliminar os efeitos sistemáticos; entretanto, as incertezas associadas a esses padrões e materiais ainda devem ser levadas em conta. 2 O caso em que uma correção para um efeito sistemático signifi- cativo conhecido não é aplicada é discutido na nota do item 6.3.1 e em F.2.4.5. 3.3 Incerteza 3.3.1 A incerteza do resultado de uma medição reflete a falta de conhecimento exato do valor do mensurando (ver 2.2). O resultado de uma medição, após correção dos efei- tos sistemáticos reconhecidos, é ainda, tão somente uma estimativa do valor do mensurando por causa da incerte- za proveniente dos efeitos aleatórios e da correção im- perfeita do resultado para efeitos sistemáticos. NOTA - O resultado de uma medição (após correção) pode, sem que se perceba, estar muito próximo do valor do mensurando (e, assim, ter um erro desprezível), muito embora possa ter uma incerteza grande. Portanto, a incerteza do resultado de uma medição não deve ser confundida com o erro desconhecido remanescente. 3.3.2 Na prática, existem muitas fontes possíveis de in- certeza em uma medição, incluindo: a) definição incompleta do mensurando; b) realização imperfeita da definição do mensurando; 15 Expressão da Incerteza de Medição 3 Conceitos básicos c) amostragem não-representativa – a amostra medida pode não representar o mensurando definido; d) conhecimento inadequado dos efeitos das condi- ções ambientais sobre a medição ou medição imperfei- ta das condições ambientais; e) erro de tendência pessoal na leitura de instrumentos analógicos; f) resolução finita do instrumento ou limiar de mobili- dade; g) valores inexatos dos padrões de medição e materi- ais de referência; h) valores inexatos de constantes e de outros parâme- tros obtidos de fontes externas e usados no algoritmo de redução de dados; i) aproximações e suposições incorporadas ao método e procedimento de medição; j) variações nas observações repetidas do mensurando sob condições aparentemente idênticas. Essas fontes não são necessariamente independentes e al- gumas das fontes de a) a i) podem contribuir para a fonte j). Naturalmente, um efeito sistemático não reconhecido não pode ser levado em consideração na avaliação da in- certeza do resultado de uma medição, porém contribui para seu erro. 3.3.3 A Recomendação INC-1 (1980) do Grupo de Tra- balho sobre a Declaração de Incertezas agrupa os compo- nentes da incerteza em duas categorias baseadas no seu método de avaliação, “A” e “B” (ver 0.7, 2.3.2 e 2.3.3). Estas categorias se aplicam à incerteza e não são substitu- tas para os termos “aleatório” e “sistemático”. A incerteza de uma correção de um efeito sistemático conhecido pode, em alguns casos, ser obtida por uma avaliação do Tipo A, enquanto que, em outros casos, por uma avaliação do Tipo B, podendo-se obter do mesmo modo a incerteza que ca- racteriza um efeito aleatório. NOTA - Em algumas publicações, os componentes da incerteza são categorizados como “aleatório” e “sistemático” e são associa- dos com erros provenientes de efeitos aleatórios e de efeitos sis- temáticos conhecidos, respectivamente. Tal categorização de componentes de incerteza pode se tornar ambígua quando aplica- da genericamente. Por exemplo, um componente “aleatório” de incerteza em uma medição pode se tornar um componente “siste- mático” da incerteza em outra medição na qual o resultado da pri- meira medição é usado como dado de entrada. Categorizando os métodos de avaliação dos componentes da incerteza, em vez de fazê-lo com os próprios componentes, evita-se tal ambiguidade. Ao mesmo tempo, isto não impede designar componentes indivi- duais que tenham sido avaliados pelos dois diferentes métodos em grupos distintos, a serem usados para uma finalidade em par- ticular (ver 3.4.3). 3.3.4 O propósito da classificação Tipo A e Tipo B é de indicar as duas maneiras diferentes de avaliar os compo- nentes da incerteza e serve apenas para discussão; a classi- ficação não se propõe a indicar que haja qualquer diferen- ça na natureza dos componentes resultando dos dois tipos de avaliação. Ambos os tipos de avaliação são baseados em distribuições de probabilidade (C.2.3) e os compo- nentes de incerteza resultantes de cada tipo são quantifica- dos por variâncias ou desvios padrão. 3.3.5 A variância estimada u2 , caracterizando um com- ponente de incerteza obtido de uma avaliação do Tipo A, é calculada a partir de uma série de observações repetidas, e é a conhecida variância s2 estatisticamente estimada (ver 4.2). O desvio padrão estimado (C.2.12, C.2.21, C.3.3) u, a raiz quadrada positiva de u2 , é portanto u = s e, por con- veniência, é por vezes denominada incerteza padrão do Tipo A. Para um componente de incerteza obtido por uma avaliação do Tipo B, a variância estimada u2 é avaliada, usando-se o conhecimento disponível (ver 4.3), e o desvio padrão estimado u é, por vezes, denominado incerteza pa- drão do Tipo B. Assim, uma incerteza padrão do Tipo A é obtida a partir de uma função densidade de probabilidade (C.2.5) deri- vada da observação de uma distribuição de freqüência (C.2.18), enquanto que uma incerteza padrão Tipo B é ob- tida de uma suposta função densidade de probabilidade, ba- seada no grau de credibilidade de que um evento vá ocor- rer [freqüentemente chamada probabilidade subjetiva (C.2.1)]. Ambos os enfoques empregam interpretações reco- nhecidas de probabilidade. NOTA - Uma avaliação Tipo B de um componente de incerteza é usualmente baseada em um conjunto de informações comparativa- mente confiáveis (ver 4.3.1). 3.3.6 A incerteza padrão do resultado de uma medição, quando este resultado é obtido de valores de um número de outras grandezas, é denominada incerteza padrão combinada e designada por uc. Ela é o desvio padrão estimado, associa- do com o resultado, e é igual à raiz quadrada positiva da va- riância combinada, obtida a partir de todos os componentes da variância e covariância (C.3.4), independente de como tenham sido avaliados, usando o que é denominado, neste Guia, de lei de propagação de incerteza (ver a capítulo 5). 16 3 Conceitos básicos Expressão da Incerteza de Medição 3.3.7 Para satisfazer as necessidades de algumas aplica- ções industriais e comerciais, assim como a requisitos nas áreas da saúde e segurança, uma incerteza expandida U é obtida, multiplicando-se a incerteza padrão combinada uc por um fator de abrangência k. A finalidade pretendida para U é fornecer um intervalo em torno do resultado de uma medição, com o qual se espera abranger uma grande fração da distribuição de valores que poderiam razoavel- mente ser atribuídos ao mensurando. A escolha do fator k, o qual está geralmente na faixa de 2 a 3, é baseada na pro- babilidade de abrangência ou nível da confiança requerido do intervalo (ver capítulo 6). NOTA - O fator de abrangência k deve sempre ser declarado de for- ma que a incerteza padrão da grandeza medida possa ser recuperada para uso no cálculo da incerteza padrão combinada de outros resul- tados de medição que possam depender dessa grandeza. 3.4 Considerações práticas 3.4.1 Se todas as grandezas das quais o resultado de uma medição depende forem variadas, sua incerteza poderá ser calculada por meios estatísticos. Entretanto, uma vez que isso, na prática, raramente é possível, devido a tempo e re- cursos limitados, a incerteza de um resultado de medição é, geralmente, avaliada utilizando-se um modelo matemá- tico da medição e a lei de propagação da incerteza. Assim, neste Guia, está implícita a suposição de que uma medição pode ser modelada matematicamente até o grau imposto pela exatidão requerida na medição. 3.4.2 Uma vez que o modelo matemático pode ser in- completo, todas as grandezas relevantes devem ser varia- das até a maior extensão prática possível, de modo que a avaliação da incerteza possa ser baseada, tanto quanto pos- sível, nos dados observados. Sempre que factível, o uso de modelos empíricos da medição, fundamentados em dados quantitativos, colecionados ao longo do tempo, e o uso de padrões de verificação e gráficos de controle que possam indicar se uma medição está sob controle estatístico, de- vem ser parte do esforço de obtenção de avaliações confiá- veis de incerteza. O modelo matemático deverá sempre ser revisado quando os dados observados, incluindo o resulta- do de determinações independentes do mesmo mensuran- do, demonstrarem que o modelo está incompleto. Um ex- perimento bem projetado pode, muito, facilitar avaliações confiáveis da incerteza e é uma parte importante da arte de medição. 3.4.3 De forma a decidir se um sistema de medição está funcionando adequadamente, a variabilidade observada experimentalmente de seus valores de saída, conforme me- dida pelo seu desvio padrão observado, é freqüentemente comparada com o desvio padrão previsto, obtido pela combinação dos vários componentes da incerteza que ca- racterizam a medição. Em tais casos, somente aqueles componentes (obtidos de avaliações Tipo A ou Tipo B) que poderiam contribuir para a variabilidade experimen- talmente observada destes valores de saída devem ser con- siderados. NOTA - Tal análise pode ser facilitada, reunindo-se aqueles compo- nentes que contribuem para a variabilidade e aqueles que não o fa- zem em dois grupos separados e adequadamente rotulados. 3.4.4 Em alguns casos, a incerteza de uma correção para um efeito sistemático não precisa ser incluída na avaliação da incerteza de um resultado de medição. Embora a incer- teza tenha sido avaliada, ela pode ser ignorada se sua con- tribuição para a incerteza padrão combinada do resultado de medição é insignificante. Se o valor da própria correção for insignificante relativamente à incerteza padrão combi- nada, ele também pode ser ignorado. 3.4.5 Muitas vezes ocorre na prática, especialmente no domínio da metrologia legal, que um equipamento é en- saiado através de uma comparação com um padrão de me- dição e as incertezas associadas com o padrão e com o procedimento de comparação são desprezíveis relativa- mente à exatidão requerida do ensaio. Um exemplo é o uso de um conjunto de padrões de massa bem calibrados para verificar a exatidão de uma balança comercial. Em tais casos, porque os componentes da incerteza são peque- nos o bastante para serem ignorados, a medição pode ser vista como determinação do erro do equipamento sob en- saio (ver também F.2.4.2). 3.4.6 A estimativa do valor de um mensurando, forneci- do pelo resultado de uma medição, é algumas vezes ex- pressa em termos de valor adotado de um padrão de medi- ção, em vez de em termos da unidade apropriada do Siste- ma Internacional de Unidades (SI). Em tais casos, a mag- nitude da incerteza atribuível ao resultado de medição pode ser significativamente menor do que quando aquele resultado for expresso na unidade SI apropriada (na reali- dade, o mensurando foi redefinido para ser a razão entre o valor da grandeza a ser medida e o valor adotado do pa- drão). 17 Expressão da Incerteza de Medição 3 Conceitos básicos repetidas, ou de julgamento baseado na experiên- cia, e podem envolver a determinação de correções a leituras de instrumentos e correções por conta de grandezas de influência, tais como temperatura am- biente, pressão barométrica e umidade; - grandezas cujos valores e incertezas são incorpora- dos à medição a partir de fontes externas, tais como grandezas associadas com padrões de medição cali- brados, materiais de referência certificados e dados de referência obtidos de manuais técnicos. 4.1.4 Uma estimativa do mensurando Y, designada por y, é obtida da equação (1) usando estimativas de entrada x1, x2,...,xN para os valores das N grandezas X1, X2, ..., XN. Assim, a estimativa de saída y, que é o resultado da medi- ção, é dada por: y = f(x1,x2,...,xN) (2) NOTA - Em alguns casos, a estimativa y pode ser obtida de: y Y n Y n f X X X k n k k n k k N k 1 1 1 1 1 2( , , , ), , , Isto é, y é tomado como sendo a média aritmética ou média (ver 4.2.1) de n determinações independentes Yk de Y, tendo cada deter- minação a mesma incerteza e cada uma sendo baseada em um con- junto completo de valores observados das N grandezas de entrada Xi obtidos ao mesmo tempo. Esse modo de tirar a média, em vez de y = f(X1,X2, ...XN ), onde Xi = ( k n i kX1 , )/n é a média aritmética das observações individuais Xi,k, pode ser preferível quando f é uma função não linear das grandezas de entrada X1,X2,..., XN,. Entretanto, os dois procedimentos são idênticos, se f é uma função linear de Xi (ver H.2 e H.4). 4.1.5 O desvio padrão estimado, associado com a estima- tiva de saída ou resultado de medição y, chamado incerte- za padrão combinada e designada por uc(y), é determina- do pelo desvio padrão estimado, associado com cada esti- mativa de entrada xi, denominada incerteza padrão, e desi- gnada por u(xi) (ver 3.3.3 até 3.3.6). 4.1.6 Cada estimativa de entrada xi e sua incerteza pa- drão associada u(xi) são obtidas de uma distribuição de va- lores possíveis da grandeza de entrada Xi. Essa distribui- ção de probabilidade pode ser baseada na freqüência, isto é, em uma série de observações Xi,k de Xi, ou pode ser uma distribuição a priori. Avaliações do Tipo A dos compo- nentes da incerteza padrão são fundamentadas em distribu- ições de freqüência, enquanto que avaliações do Tipo B são fundamentadas em distribuições a priori. Deve-se re- conhecer que em ambos os casos as distribuições são mo- delos utilizados para representar o estágio de nosso conhe- cimento. 4.2 Avaliação da incerteza padrão do Tipo A 4.2.1 Na maioria dos casos, a melhor estimativa disponí- vel da esperança ou valor esperado q de uma grandeza q que varia aleatoriamente [uma variável aleatória (C.2.2)] e para a qual n observações independentes qk foram obti- das sob as mesmas condições de medição (ver B.2.15), é a média aritmética ou média q (C.2.19) das n observações: q n q k n k 1 1 (3) Assim, para uma grandeza de entrada Xi estimada a partir de n observações repetidas independentes Xi,k, a média aritmética de Xi obtida pela equação (3) é usada como esti- mativa de entrada xi na equação (2) para determinar o re- sultado da medição y; isto é, xi = Xi. As estimativas de en- trada não avaliadas por observações repetidas devem ser obtidas por outros métodos, tais como os indicados na se- gunda categoria de 4.1.3. 4.2.2 As observações individuais qk diferem em valor por causa de variações aleatórias nas grandezas de influência, ou dos efeitos aleatórios (ver 3.2.2). A variância experi- mental das observações, que estima a variância 2 da dis- tribuição de probabilidade de q, é dada por: s q n q qk k n k 2 1 21 1 ( ) ( ) (4) Esta estimativa da variância e sua raiz quadrada positiva s(qk), denominada desvio padrão experimental (B. 2. 17), caracteriza a variabilidade dos valores qk observados ou, mais especificamente, sua dispersão em torno de sua mé- dia q. 4.2.3 A melhor estimativa de 2(q) = 2/n, a variância da média, é dada por: s2(q) = s q n k 2 ( ) (5) A variância experimental da média s2(q) e o desvio pa- drão experimental da média s(q) (B.2.17, nota 2), igual à raiz quadrada positiva de s2(q), quantificam quão bem 20 4 Avaliando a incerteza padrão Expressão da Incerteza de Medição q estima a esperança q de q, e qualquer um dentre eles pode ser usado como uma medida da incerteza de q. Assim, para uma grandeza de entrada Xi determinada por n observações repetidas e independentes Xi,k, a incerteza pa- drão u(xi) de sua estimativa xi = X i é u(xi) = s(X i), com s2(X i) calculada de acordo com a equação (5). Por conveniência, u2(xi) = s2(X i) e u(xi) = s(X i) são por vezes denominados uma variância do Tipo A e uma incerteza padrão do Tipo A, respectivamente. NOTAS 1 O número de observações n deve ser suficientemente grande para assegurar que q forneça uma estimativa confiável da esperança q da variável aleatória q e que s 2(q) forneça uma estimativa con- fiável da variância 2(q) = 2/n (ver nota de 4.3.2). A diferença en- tre s2(q) e 2(q) deve ser considerada quando se estabelecem inter- valos de confiança (ver 6.2.2). Nesse caso, se a distribuição de prob- abilidade de q é uma distribuição normal (ver 4.3.4), a diferença é levada em consideração através da distribuição-t (ver G.3.2). 2 Embora a variância s2(q) seja a grandeza mais fundamental, o desvio padrão s(q) é mais conveniente na prática porque tem as mesmas dimensões de q e um valor de mais fácil compreensão do que aquele da variância. 4.2.4 Para uma medição bem caracterizada sob controle es- tatístico, uma estimativa combinada ou agrupada da variân- cia sp 2 (ou um desvio padrão experimental agrupado sp) que caracteriza a medição pode estar disponível. Nesse caso, quando o valor do mensurando q é determinado a partir de n observações independentes, a variância experimental da mé- dia aritmética q das observações é mais bem estimada por sp 2 /n do que por s2(q)/n, e a incerteza padrão é u = sp/ n (ver também a nota para H.3.6). 4.2.5 Freqüentemente uma estimativa xi de uma grandeza de entrada Xi é obtida de uma curva que foi ajustada a da- dos experimentais pelo método dos mínimos quadrados. As variâncias estimadas e as incertezas padrão resultantes dos parâmetros ajustados que caracterizam a curva de quaisquer dos pontos previstos, podem ser usualmente cal- culadas por procedimentos estatísticos bem conhecidos (ver H.3 e referência [8]). 4.2.6 Os graus de liberdade i (C.2.31) de u(xi) (ver G.3), iguais a n-1 no caso simples em que xi = X i e u(xi) = s(X i) são calculados de n observações independentes, como em 4.2.1 e 4.2.3, sempre devem ser dados quando avaliações do Tipo A dos componentes de incerteza forem documentadas. 4.2.7 Se as variações aleatórias nas observações de uma grandeza de entrada são correlacionadas, por exemplo, na grandeza tempo, a média e o desvio padrão experimental da média, tais como dados em 4.2.1 e 4.2.3, podem ser es- timadores (C.2.25) não apropriados da estatística (C.2.23) desejada. Em tais casos, as observações devem ser analisadas por métodos estatísticos especialmente criados para tratar uma série de medições correlacionadas que vari- am aleatoriamente. NOTA - Tais métodos especializados são usados para tratar medi- ções de padrões de freqüência. Entretanto, é possível que, à medida que se passa de medições de curto prazo para medições de longo prazo de outras grandezas metrológicas, a suposição de variações aleatórias não-correlacionadas pode não ser mais válida e métodos especializados poderiam também ser usados para tratar destas medi- ções. (Ver a referência [9], por exemplo, para uma discussão deta- lhada da variância de Allan.) 4.2.8 A discussão sobre a avaliação do Tipo A da incerte- za padrão, de 4.2.1 a 4.2.7, não se destina a ser exaustiva; há muitas situações, algumas bem complexas, que podem ser tratadas por métodos estatísticos. Um exemplo impor- tante é o uso de arranjos de calibração, freqüentemente ba- seados no método dos mínimos quadrados, para analisar as incertezas oriundas tanto de variações aleatórias de curto prazo como de longo prazo nos resultados de comparações de artefatos materiais de valor desconhecido, tais como blocos padrão e padrões de massa, com padrões de refe- rência de valor conhecido. Em tais situações de medição relativamente simples, os componentes da incerteza po- dem ser freqüentemente avaliados pela análise estatística de dados, obtidos a partir de arranjos consistindo de se- qüências aninhadas de medições do mensurando, para um número de valores diferentes das grandezas das quais ela depende - uma assim chamada análise de variância (ver H.5). NOTA - Em níveis mais baixos da cadeia de calibração, nas situa- ções em que padrões de referência são freqüentemente supostos como sendo exatamente conhecidos, porque foram calibrados por um laboratório primário ou nacional, a incerteza de um resultado de calibração pode ser uma única incerteza padrão do Tipo A, calcula- da a partir do desvio padrão experimental agrupado que caracteriza a medição. 4.3 Avaliação da incerteza padrão do Tipo B 4.3.1 Para uma estimativa xi de uma grandeza de entrada Xi que não tenha sido obtida através de observações repeti- das, a variância estimada associada u2(xi) ou a incerteza padrão u(xi) é avaliada por julgamento científico, basean- do-se em todas as informações disponíveis sobre a possí- 21 Expressão da Incerteza de Medição 4 Avaliando a incerteza padrão vel variabilidade de Xi. O conjunto de informações pode incluir: - dados de medições prévias; - a experiência ou o conhecimento geral do compor- tamento e propriedades de materiais e instrumentos relevantes; - especificações do fabricante; - dados fornecidos em certificados de calibração e outros certificados; - incertezas atribuídas a dados de referência extraí- dos de manuais. Para maior conveniência, u2(xi) e u(xi) estimados dessa ma- neira são, por vezes, referidos como, respectivamente, uma variância do Tipo B e uma incerteza padrão do Tipo B. NOTA - Quando xi é obtido a partir de uma distribuição a priori, a variância associada é apropriadamente escrita como u2(Xi), mas, para simplicidade, u2(xi) e u(xi) são usados neste Guia. 4.3.2 O uso adequado do conjunto de informações dispo- níveis para uma avaliação do Tipo B da incerteza padrão exige o discernimento baseado na experiência e no conhe- cimento geral, sendo esta uma habilidade que pode ser aprendida com a prática. Deve-se reconhecer que uma avaliação do Tipo B da incerteza padrão pode ser tão con- fiável quanto uma avaliação do Tipo A, especialmente numa situação de medição onde uma avaliação do Tipo A é baseada em um número comparativamente pequeno de observações estatisticamente independentes. NOTA - Se a distribuição da probabilidade de q, na nota 1 de 4.2.3, é normal, então [s(q)]/(q), o desvio padrão de s(q) relativo a (q), é, aproximadamente, [2(n - 1)]-1/2. Assim, tomando-se [s(q)] como a incerteza de s(q), para n = 10 observações, a incerteza relativa em s(q) é de 24 por cento, enquanto que, para n = 50 observações, ela é de 10 por cento (valores adicionais são dados na Tabela E.1, no ane- xo E). 4.3.3 Se a estimativa xi for obtida de uma especificação do fabricante, do certificado de calibração, do manual técnico ou de outra fonte, e sua incerteza citada for decla- rada ser um determinado múltiplo de um desvio padrão, a incerteza padrão u(xi) é simplesmente o valor menciona- do dividido pelo multiplicador, e a variância estimada u2(xi) é o quadrado do quociente. EXEMPLO - Um certificado de calibração declara que a massa de um padrão de massa de aço inoxidável ms, com valor nominal de um qui- lograma, é 1 000,000 325 g e que a “incerteza desse valor é de 240g no nível de três desvios padrão”. A incerteza padrão do padrão de massa é, então, simplesmente, u(ms) = (240 g)/3 = 80 g. Isso correspon- de a uma incerteza padrão relativa u(ms) / ms de 80 10-9 (ver 5.1.6). A variância estimada é u2(ms) = (80 g)2 = 6,4 10-9 g2. NOTA - Em muitos casos pouca ou nenhuma informação é dada a res- peito dos componentes individuais dos quais foi obtida a incerteza mencionada. Isto geralmente não tem importância para expressar incer- teza de acordo com as práticas deste Guia, uma vez que todas as incer- tezas padrão são tratadas exatamente da mesma maneira como quando se calcula a incerteza padrão combinada de um resultado de medi- ção (ver o capítulo 5). 4.3.4 A incerteza citada de xi não é, necessariamente, dada como um múltiplo de um desvio padrão, como em 4.3.3. Em vez disso, pode-se encontrar declarado que a in- certeza citada define um intervalo tendo um nível da con- fiança de 90, 95 ou 99 por cento (ver 6.2.2). A não ser quando indicado de outro modo, pode-se supor que foi usada uma distribuição normal (C.2.14) para calcular a incerteza citada e recuperar a incerteza padrão de xi, divi- dindo-se a incerteza citada pelo fator apropriado para a distribuição normal. Os fatores correspondentes aos três níveis da confiança acima são 1,64; 1,96 e 2,58 (ver tam- bém a tabela G.1, no anexo G). NOTA - Não haveria necessidade de tal suposição, se a incerteza ti- vesse sido dada de acordo com as recomendações deste Guia com relação ao relato da incerteza, o que reforça que o fator de abrangên- cia deve sempre ser fornecido (ver 7.2.3). EXEMPLO - Um certificado de calibração estabelece que a resis- tência de um resistor padrão Rs de valor nominal de dez ohms é 10,000 742 129 a 23 C e que “a incerteza citada de 129 define um intervalo tendo um nível da confiança de 99 por cento”. A incerteza padrão do valor da resistência pode ser tomada como u(Rs) = (129 )/ 2,58 = 50 , o que corresponde a uma incerteza padrão relativa u(Rs)/Rs de 5,0 10-6 (ver 5.1.6). A variância estima- da é u2 (Rs) = (50 )2 = 2,5 10-9 2. 4.3.5 Considere o caso onde, com base nas informações disponíveis, pode se estabelecer que “há uma chance de cinqüenta para cinqüenta de que o valor da grandeza de entrada Xi resida no intervalo a até a ” (em outras pala- vras, a probabilidade de que Xi esteja neste intervalo é de 0,5 ou 50 por cento). Se pode ser suposto que a distribui- ção dos valores possíveis de Xi é aproximadamente nor- mal, então, a melhor estimativa xi de Xi pode ser tomada no ponto médio do intervalo. Adicionalmente, se a meia- largura do intervalo é designada por a = (a - a )/2, toma-se u(xi) = 1,48a, uma vez que, para uma distribuição normal com esperança e desvio padrão , o intervalo / ,1 48 abrange, aproximadamente, 50 por cento da distribuição. EXEMPLO - Um operador de máquinas, ao determinar as dimensões de uma peça, estima que seu comprimento esteja com uma probabilidade de 22 4 Avaliando a incerteza padrão Expressão da Incerteza de Medição Figura 1. Ilustração gráfica da avaliação da incerteza padrão de uma grandeza de en- trada a partir de observações repetidas 25 Expressão da Incerteza de Medição 4 Avaliando a incerteza padrão p t t t( ) exp ( ) / 1 2 22 2 NOTA - A definição de função densidade de probabilidade p(z) re- quer que a relação p(z)dz = 1 seja satisfeita. 4.4.3 A figura (1b) mostra um histograma de n=20 observa- ções repetidas tk da temperatura t, supostas como tendo sido tomadas aleatoriamente a partir da distribuição da figura (1a). Para obter o histograma, as 20 observações ou amostras, cujos valores são dados na tabela 1, são agrupadas em intervalos de 1 ºC de largura. (A preparação do histograma é, naturalmente, desnecessária para a análise estatística dos dados). A média aritmética ou média t das n=20 observações, calculada de acordo com a equação (3), é t= 100,145 ºC 100,14 ºC e é aceita como sendo a melhor estimativa da esperança t de t, baseada nos dados disponíveis. O desvio padrão experimental da amostragem s(tk), calculado pela equação (4), é s(tk) = 1,489 ºC 1,49 ºC, e o desvio padrão experimental da média s(t ), calculado pela equação (5), que é a incerteza padrão u(t ) da média t , é u(t )= s(t )= s(tk)/ 20 = 0,333 ºC 0,33 ºC. (Para prosseguir nos cálculos, é preferível que todos os dígitos sejam conservados). NOTA - Embora os dados na Tabela 1 não sejam improváveis, con- siderando-se o largo uso de termômetros eletrônicos digitais de alta resolução, eles têm fins ilustrativos e não devem ser necessariamen- te interpretados como descrevendo uma medição real. 4.4.4 A Figura (2) representa a estimativa do valor de uma grandeza de entrada Xi e a avaliação da incerteza des- sa estimativa, a partir de uma distribuição a priori dos va- lores possíveis de Xi, ou distribuição de probabilidade de Xi, baseada em todas as informações disponíveis. Para am- bos os casos mostrados, a grandeza de entrada é suposta, mais uma vez, como sendo a temperatura t. 4.4.5 Para o caso ilustrado na figura (2a), supõe-se que haja pouca informação disponível sobre a grandeza de entrada t e que tudo que se pode fazer é supor que t seja descrito por uma distribuição de probabilidade a priori retangular e simétrica de limite inferior a = 96 ºC, limite superior a = 104 ºC e, por- tanto, uma meia-largura: a = (a - a )/2 = 4 ºC (ver 4.3.7). A função densidade de probabilidade de t é, então: p(t) = 1/2a, para a t a p(t) = 0, para outros valores de t. Como indicado em 4.3.7, a melhor estimativa de t é sua es- perança t = (a + a )/2 = 100 ºC, que decorre de C.3.1. A incerteza padrão desta estimativa é u t( ) = a/ 3 2,3 ºC, que decorre de C.3.2 [ver a equação (7)]. 4.4.6 Para o caso ilustrado na Figura (2b), supõe-se que a informação disponível relativa a t seja menos limitada e que t possa ser descrito por uma distribuição de probabili- dade a priori triangular e simétrica de mesmo limite infe- rior a = 96 ºC, mesmo limite superior a = 104 ºC, e, as- sim, mesma meia-largura a = (a - a )/2 = 4 ºC, como em 4.4.5 (ver 4.3.9). A função densidade de probabilidade de t é, então: p(t) = (t - a )/a2, para a t (a + a )/2 p(t) = (a - t)/a2, para (a + a ) / 2 t a p(t) = 0, para outros valores de t. 26 4 Avaliando a incerteza padrão Expressão da Incerteza de Medição Tabela 1 - Vinte observações repetidas da temperatura t agrupadas em intervalos de 1 ºC Intervalo t t t1 2 Temperatura t / ºCt1 / ºC t2 / ºC 94,5 95,5 96,5 97,5 98,5 99,5 100,5 101,5 102,5 103,5 104,5 95,5 96,5 97,5 98,5 99,5 100,5 101,5 102,5 103,5 104,5 105,5 –– –– 96,90 98,18; 98,25 98,61; 99,30; 99,49 99,56; 99,74; 99,89; 100,07; 100,33; 100,42 100,68; 100,95; 101,11; 101,20 101,57; 101,48; 102,36 102,72 –– –– Figura 2. Ilustração gráfica da avaliação da incerteza padrão de uma grandeza de en- trada a partir de uma distribuição a priori 27 Expressão da Incerteza de Medição 4 Avaliando a incerteza padrão NOTAS 1 Estritamente falando, as derivadas parciais são f x i/ = f Xi/ avaliadas para as esperanças de Xi. Contudo, na prática, as derivadas par- ciais são estimadas por: " " "f x f X x x xi i N1 2, , , 2 A incerteza padrão combinada uc(y) pode ser calculada numeri- camente, substituindo-se ciu(xi), na equação (11a), com: Zi = 1 2 [f(x1,...,xi + u(xi),...,xN) - f(x1,...,xi - u(xi),...,xN)] Isto é, ui(y) é avaliada numericamente, calculando-se a variação em y devido a uma variação em xi de +u(xi) e de -u(xi). O valor de ui(y) pode, então, ser tomado como | |Z i , e o valor do coeficiente de sensi- bilidade correspondente ci, como Zi/u(xi). Exemplo - Para o exemplo de 4.1.1, usando o mesmo símbolo tanto para a grandeza como para sua estimativa, para maior simplicidade de notação: c1 ! P V/ = 2V/R0 [1 + (t - t0)] = 2P/V c2 !P/R0 = - V2/R02[1 + (t - t0)] = -P/R0 c3 ! P / = -V2(t - t0)/R0 [1 + (t - t0)]2 = -P(t - t0) / [1 + (t - t0)] c4 ! P t/ = -V2/R0[1 + (t - t0)]2 = -P/[1 + (t - t0)] e: u2(P) = P V 2 u2(V)+ P R0 2 u2(R0) + P 2 u2() + P t 2 u2(t) = [c1u(V)]2+[c2u(R0)]2+[c3u()]2+[c4u(t)]2 = u P u P u P u P1 2 2 2 3 2 4 2( ) ( ) ( ) ( ) 5.1.4 Em vez de serem calculados pela função f, os coefi- cientes de sensibilidade f x i/ são, por vezes, determina- dos experimentalmente: mede-se a variação em Y causada por uma variação em um dado Xi, enquanto se mantêm constantes as grandezas de entrada restantes. Neste caso, o conhecimento da função f (ou de uma parte desta função, quando alguns coeficientes de sensibilidade são assim de- terminados) é, de forma correspondente, reduzido a uma expansão empírica de primeira ordem da série de Taylor, baseada nos coeficientes de sensibilidade medidos. 5.1.5 Se a equação (1) para o mensurando Y é expandida, em torno dos valores nominais Xi,0 das grandezas de entrada Xi , então, até a primeira ordem (o que é, geralmente, uma aproximação adequada),Y = Y0 + c1#1 + c2#2 +...+ cN #N, onde Y0 = f(X1,0, X2,0,... XN,0), ci =( f X i/ ) avaliado em Xi = Xi,0 e #i = Xi = Xi,0 . Assim, para fins de uma análise de incerteza, um mensurando é, usualmente, aproximado por uma função linear de suas variáveis, transformando-se suas grandezas de entrada de Xi para #1 (ver E.3.1). EXEMPLO - No exemplo 2 de 4.3.7, a estimativa do valor do men- surando V é V V V , onde V 0 928, 571 V, u V( ) 12 V , a correção aditiva V 0, e u V( ) , 8 7V. Uma vez que V V/ 1 e V V/ ( ) 1, a variância combinada associada com V é dada por: u V u V u Vc 2 2 2 2 212 8 7( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) V V 219 10 12 2V e a incerteza padrão combinada é uc(V) = 15V, que corresponde a uma incerteza padrão combinada relativa uc(V)/V de 16 x 10 -6 (ver 5.1.6). Este é um exemplo do caso em que o mensurando já é uma função linear das grandezas das quais depende, com coeficientes ci = +1. Segue da equação (10) que, se Y = c1X1 + c2X2 + ... + cNXN e se as constantes ci =+1 ou -1, então u yc 2 ( ) = i N iu x1 2 ( ). 5.1.6 Se Y é da forma Y = c X X X p p N p N 1 1 2 2 e os expo- ente pi são números positivos ou negativos conhecidos, tendo incertezas desprezíveis, a variância combinada, equação (10), pode ser expressa por: [uc(y)/y]2 = i N 1 [piu(xi)/xi ] 2 (12) Esta equação é da mesma forma que (11a), mas com a vari- ância combinada uc 2(y), expressa como uma variância com- binada relativa [uc(y)/y]2, e a variância estimada u2(xi), asso- ciada com cada estimativa de entrada expressa como uma variância relativa estimada [u(xi)/xi]2 [A incerteza padrão combinada relativa é uc(y)/|y|, e a incerteza padrão relativa de cada estimativa de entrada é u(xi)/|xi|, |y| 0 e |xi| 0]. NOTAS 1 Quando Y tem esta forma, sua transformação em uma função linear de variáveis (ver 5.1.5) é prontamente obtida, fazendo-se 30 5 Determinando a incerteza padrão combinada Expressão da Incerteza de Medição Xi = Xi,0 (1 + #i), pois resulta a seguinte relação aproximada: (Y - Y0) / Y0 = i N i ip1 # . Por outro lado, a transformação logarít- mica Z = ln Y e Wi = ln Xi leva a uma linearização exata em termos das novas variáveis: Z = ln c + i N i ip W1 . 2 Se cada pi é igual a -1 ou +1, a equação (12) torna-se [uc(y)/y] 2 = i N i iu x x1 2[ ( ) / ] , o que mostra que, para este caso es- pecial, a variância combinada relativa, associada à estimativa y, é simplesmente igual à soma das variâncias relativas estimadas, associadas com as estimativas de entrada xi. 5.2 Grandezas de entrada correlacionadas 5.2.1 A equação (10) e as equações dela decorrentes, tais como as equações (11) e (12), são válidas somente se as grandezas de entrada Xi são independentes ou não-correla- cionadas (as variáveis aleatórias, não as grandezas físicas que são supostas como sendo invariantes - ver 4.1.1, nota 1). Se algum dos Xi são significativamente correlaciona- dos, as correlações devem ser levadas em consideração. 5.2.2 Quando as grandezas de entrada são correlaciona- das, a expressão apropriada para a variância combinada uc 2 (y), associada com o resultado de uma medição é: u y f x f x u x xc i N j N i j i j 2 1 1 ( ) ( , ) i N i i f x u x 1 2 2 ( ) (13) 2 1 1 1i N j i N i j i j f x f x u x x( , ) onde xi e xj são as estimativas de Xi e Xj e u(xi , xj ) = u (xj , xi ) é a covariância estimada, associada com xi e xj . O grau de correlação entre xi e xj é caracterizado pelo coeficiente de cor- relação estimado (C.3.6): r(xi , xj) = u x x u x u x i j i j ( , ) ( ) ( ) (14) onde r(xi , xj ) = r(xj , xi ) e -1 r(xi , xj ) +1. Se as esti- mativas xi , xj são independentes, r(xi , xj ) = 0 e a variação numa delas não implica em uma variação esperada na ou- tra (ver C.2.8, C.3.6 e C.3.7 para discussão adicional). Em termos de coeficientes de correlação, que são mais prontamente interpretados do que covariâncias, o termo de covariância da equação (13) pode ser escrito como: 2 1 1 1i N j i N i j i j i j f x f x u x u x r x x ( ) ( ) ( ), (15) Assim, a equação (13) torna-se, com o auxílio da equação (11b): u y c u x c c u x u xc i N i i i N j i N i j i j 2 1 2 2 1 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( , )r x xi j (16) NOTAS 1 Para o caso muito especial em que todas as estimativas de entrada são correlacionadas, com coeficientes de correlação r(xi,xj) = +1, a equação (16) se reduz a: u y c u x f x u xc i N i i i N i i 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) A incerteza padrão combinada uc(y) é, então, simplesmente uma soma linear dos termos, representando a variação da estimativa de saída y, gerada pela incerteza padrão de cada estimativa de entrada xi (ver 5.1.3). [Esta soma linear não deve ser confundida com a lei geral de propagação de erros, embora tenha uma forma similar; as incertezas padrão não são erros (ver E.3.2)]. EXEMPLO - Dez resistores, cada um com uma resistência nomi- nal de Ri= 1000 , são calibrados com uma incerteza de com- paração desprezível, em termos de um mesmo resistor padrão RS de 1000 , caracterizado por uma incerteza padrão u(RS) = 100 m , tal como apresentado em seu certificado de calibração. Os re- sistores são conectados em série com fios de resistência desprezível, de forma a se obter uma resistência de referência Rref de valor nominal de 10 k . Assim, Rref = f(Ri) = i iR1 10 . Já que r(xi,xj) = r(Ri, Rj) = +1 para cada par de resistores (veja F.1.2.3, exemplo 2), a equação desta nota se aplica. Como para cada resistor f x R Ri ref i/ / = 1 e u(xi) = u(Ri) = u(RS) (ver F.1.2.3, exemplo 2), esta equação produz a incerteza padrão com- binada de Rref, uc(Rref) = i Su R1 10 ( ) = 10 x (100 m ) = 1 . O resultado uc(Rref) = [ i Su R1 10 2 ( ) ]1/2 = 0,32 obtido da equação (10) é incorreto, pois não leva em conta que todos os valores cali- brados dos dez resistores são correlacionados. 2 As variâncias estimadas u2(xi) e as covariâncias estimadas u(xi,xj) podem ser consideradas como os elementos de uma matriz de covariância com elementos uij. Os elementos da diagonal uii da matriz são as variâncias u2(xi), enquanto que os elementos fora da diagonal uij (ij) são as covariâncias u(xi,xj) = u(xj,xi). Se duas esti- mativas de entrada não são correlacionadas, a sua covariância asso- ciada e os elementos correspondentes uij e uji da matriz de covariân- cia são 0 (zero). Se as estimativas de entrada são todas não correla- cionadas, todos os elementos fora da diagonal são zero e a matriz de covariância é diagonal (ver também C.3.5). 3 Para fins de avaliação numérica, a equação (16) pode ser escrita como: 31 Expressão da Incerteza de Medição 5 Determinando a incerteza padrão combinada u y Z Z r x xc i N j N i j i j 2 1 1 ( ) ( , ) onde Zi é dado em 5.1.3, nota 2. 4 Se os Xi da forma especial considerada em 5.1.6 são correlacio- nados, então os termos: 2 1 1 1i N j i N i i i j j j i jp u x x p u x x r x x [ ( ) / ][ ( ) / ] ( , ) devem ser adicionados ao membro da direita da equação (12). 5.2.3 Considere duas médias aritméticas q e r que esti- mam as esperanças q e r de duas grandezas q e r, va- riando aleatoriamente, e calcule q e r a partir de n pares independentes de observações simultâneas de q e r, feitas sob as mesmas condições de medição (ver B.2.15). Então a covariância de q e r é estimada por (ver C.3.4): s(q , r) = 1 1 1n n k n ( ) (qk - q)(rk - r) (17) onde qk e rk são as observações individuais das grandezas q e r, e q e r são calculados a partir das observações, de acordo com a equação (3). Se, de fato, as observações não são correlacionadas, espera-se que a covariância calculada fique próxima de 0. Assim, a covariância estimada de duas grandezas de entrada correlacionadas Xi e Xj, que são estimadas pelas médias X i e X j , determinadas por pares independentes de observações simultâneas repetidas, é dada por u(xi, xj) = s(X i , X j ), com s(X i , X j ) calculado de acordo com a equação (17). Esta aplicação da equação (17) é uma avaliação do Tipo A da covariância. O coeficiente de correlação estimado de X i e X j é obtido da equação (14): r(xi, xj) = r(X i , X j ) = s(X i , X j )/s(X i )s(X j ). NOTA - Exemplos de situações em que é necessário usar covariân- cias, tais como calculadas pela equação (17), são dados em H.2 e H.4. 5.2.4 Pode existir correlação significativa entre duas grandezas de entrada, se os mesmos instrumentos de medi- ção, padrão de medição físico, ou dados de referência, ten- do uma incerteza padrão significativa, são usados na sua determinação. Por exemplo, se um certo termômetro é usa- do para determinar uma correção de temperatura requerida na estimativa do valor de uma grandeza de entrada Xi , e o mesmo termômetro é usado para determinar uma correção similar de temperatura requerida na estimativa da grande- za de entrada Xj , as duas grandezas de entrada poderiam estar significativamente correlacionadas. Contudo, se Xi e Xj , neste exemplo, são redefinidos para serem grandezas não-corrigidas, e as grandezas que definem a curva de ca- libração para o termômetro estão incluídas como grande- zas de entrada adicionais, com incertezas padrão indepen- dentes, a correlação entre Xi e Xj é eliminada (veja F.1.2.3 e F.1.2.4 para discussão adicional). 5.2.5 Correlações entre grandezas de entrada não podem ser ignoradas, se estão presentes e são significativas. As covariâncias associadas devem ser avaliadas experimental- mente, se possível, variando-se as grandezas de entrada correlacionadas (ver C.3.6, nota 3) ou usando-se o conjun- to de informações disponíveis sobre a variabilidade corre- lacionada das grandezas em questão (avaliação do Tipo B da covariância). A intuição, baseada em experiência anterior e no conhecimento geral (ver 4.3.1 e 4.3.2), é especialmente requerida quando se estima o grau de correlação entre grandezas de entrada decorrentes do efeito de influências comuns, tais como temperatura ambiente, pressão baromé- trica e umidade. Felizmente, em muitos casos, os efeitos de tais influências têm interdependência desprezível, e as grandezas de entrada afetadas podem ser supostas como não-correlacionadas. Entretanto, se elas não podem ser su- postas como não-correlacionadas, suas próprias correla- ções podem ser evitadas, se influências comuns são intro- duzidas como grandezas de entrada independentes adicio- nais, como indicado em 5.2.4. 32 5 Determinando a incerteza padrão combinada Expressão da Incerteza de Medição 7 Relatando a incerteza 7.1 Orientação Geral 7.1.1 Em geral, quando se sobe na hierarquia da medi- ção, mais detalhes são requeridos sobre como um resulta- do de medição e sua incerteza foram obtidos. Entretanto, em qualquer nível desta hierarquia, incluindo atividades comerciais e reguladoras no mercado, trabalhos de enge- nharia na indústria, instalações de calibração de escalão inferior, pesquisa e desenvolvimento industrial, pesquisa acadêmica, laboratórios de calibração e de padrões primá- rios industriais, laboratórios nacionais de metrologia e o BIPM, todas as informações necessárias para a reavaliação da medição devem estar disponíveis para terceiros, que possam delas precisar. A diferença primária é que nos ní- veis inferiores da cadeia hierárquica, mais informações ne- cessárias podem estar disponíveis sob a forma de relatóri- os publicados de sistemas de ensaio e de calibração, espe- cificações de ensaios, certificados de ensaios e de calibra- ção, manuais de instruções, normas internacionais, normas nacionais e regulamentações locais. 7.1.2 Quando os detalhes de uma medição, incluindo o modo como a incerteza do resultado foi avaliada, são for- necidos por meio de referências a documentos publicados, como é freqüentemente o caso quando os resultados de ca- libração são relatados em um certificado, é imperativo que essas publicações sejam mantidas atualizadas, de forma que sejam consistentes com o procedimento de medição realmente em uso. 7.1.3 Numerosas medições são feitas a cada dia na indús- tria e no comércio sem nenhum registro explícito da incer- teza. Entretanto, muitas são executadas com instrumentos sujeitos a calibrações periódicas ou a inspeção legal. Se é de conhecimento que os instrumentos estão em conformi- dade com as suas especificações ou com os documentos normativos existentes e aplicáveis, as incertezas de suas indicações podem ser inferidas, a partir destas especifica- ções ou daqueles documentos normativos. 7.1.4 Embora na prática o montante de informações ne- cessárias para documentar um resultado de medição de- penda da sua utilização pretendida, o princípio básico so- bre o que é requerido permanece inalterado: quando se re- gistra o resultado de uma medição e a sua incerteza, é pre- ferível errar, por excesso, no fornecimento de informações a fornecê-las com escassez. Por exemplo, deve-se: a) descrever claramente os métodos utilizados para calcular o resultado da medição e sua incerteza, a partir de observações experimentais e dados de en- trada; b) listar todos os componentes da incerteza e docu- mentar amplamente como foram avaliados; c) apresentar a análise dos dados, de tal forma que cada um dos passos importantes possa ser pronta- mente seguido e que os cálculos do resultado rela- tado possam ser independemente repetidos, se ne- cessário; d) fornecer todas as correções e constantes utilizadas na análise e suas fontes. Um modo de se verificar a lista acima é perguntar-se a si próprio: “Terei eu fornecido suficiente informação de ma- neira suficientemente clara, de modo tal que meu resultado possa ser atualizado no futuro, se novas informações ou dados se tornarem disponíveis?” 7.2 Orientação específica 7.2.1 Quando se relata o resultado de uma medição e a medida da incerteza é a incerteza padrão combinada uc(y), deve-se: 35 Expressão da Incerteza de Medição 7 Relatando a incerteza a) fornecer uma descrição completa de como o men- surando Y é definido; b) fornecer a estimativa y do mensurando Y e sua in- certeza padrão combinada uc(y); as unidades de y e de uc(y) devem ser sempre fornecidas; c) incluir a incerteza padrão combinada relativa uc(y) / | y |, | y | 0, quando apropriado; d) fornecer a informação descrita em 7.2.7 ou fazer referência a documentos publicados que a conte- nha. Se for julgado útil aos pretensos usuários do resultado da medição, por exemplo, para ajudá-los em futuros cálculos de fatores de abrangência, ou para auxiliá-los a compreen- der a medição, pode-se indicar: - o s g rau s d e l i be r dade e f e t i vos e s t imados veff (ver G.4); - as incertezas padrão combinadas Tipo A e Tipo B, ucA(y) e ucB(y), e os seus graus de liberdade efetivos estimados veffA e veffB (ver G.4.1, nota 3). 7.2.2 Quando a medida da incerteza é uc(y), é preferível declarar o resultado numérico da medição de uma dentre as quatro maneiras seguintes, de modo a evitar uma má compreensão (a grandeza cujo valor está sendo relatado é suposta como uma massa ms de um padrão de massa nomi- nal de 100 g; as palavras entre parênteses podem ser omiti- das para simplicidade, se uc está definida em alguma outra parte do documento, relatando o resultado). 1) “ms = 100,021 47 g com uc = 0,35 mg (uma incer- teza padrão combinada)”. 2) “ms = 100,021 47(35) g, onde o número entre pa- rênteses é o valor numérico de uc (incerteza pa- drão combinada) referido aos últimos dígitos cor- respondentes do resultado mencionado”. 3) “ms = 100,021 47 (0,00035) g, onde o número en- tre parênteses é o valor numérico de uc (incerteza padrão combinada) expresso na unidade do resul- tado mencionado”. 4) “ms = (100,021 47 0,000 35) g, onde o número após o simbolo é o valor numérico de uc (incer- teza padrão combinada) e não um intervalo de confiança”. NOTA - O formato deve ser evitado sempre que for possível, pois tem sido tradicionalmente usado para indicar um intervalo corres- pondente a um alto nível da confiança e, assim, poderá ser confundi- do com a incerteza expandida (ver 7.2.4). Além disso, embora o ob- jetivo do alerta dado em 4) seja impedir tal confusão, escrevendo-se Y = y uc(y) pode ainda ser mal interpretado, inferindo-se que isso representa, especialmente quando o alerta é omitido acidentalmente, que uma incerteza expandida com k=1 é pretendida, e que o interva- lo y-uc(y) Y y + uc(y) tem um nível da confiança p especificado, especialmente aquele associado com a distribuição normal (ver G.1.3). Como indicado em 6.3.2 e no anexo G, a interpretação de uc(y), dessa maneira, é, geralmente, difícil de justificar. 7.2.3 Quando se relata o resultado de uma medição, e quando a medida da incerteza é a incerteza expandida U = k uc(y), deve-se: a) fornecer uma descrição completa de como o men- surando Y é definido; b) expressar o resultado de medição como Y = y U e fornecer as unidades de y e U; c) incluir a incerteza expandida relativa U / | y |, | y | 0, quando apropriado; d) fornecer o valor de k usado para obter U [ou, para conveniência do usuário do resultado, fornecer ambos, k e uc(y)]; e) fornecer o nível da confiança aproximado associa- do com o intervalo y U e explicar como foi de- terminado; f) fornecer a informação descrita em 7.2.7 ou refe- rir-se a um documento publicado que a contenha. 7.2.4 Quando a medida da incerteza é U, é preferível, para máxima clareza, declarar o resultado numérico da medição, como no exemplo seguinte. (As palavras entre parênteses podem ser omitidas para maior simplicidade, se U, uc e k estão definidos em alguma outra parte do docu- mento relatando o resultado). “ms = (100,021 47 0,000 79)g, onde o número após o símbolo é o valor numérico de U = kuc (uma incer- teza expandida) com U determinado por uc = 0,35 mg (uma incerteza padrão combinada) e k = 2,26 (um fator de abrangência) baseado na distribuição-t, para v = 9 graus de liberdade. U define um intervalo estimado para ter um nível da confiança de 95 por cento”. 7.2.5 Se uma medição determina, simultaneamente, mais de um mensurando, isto é, se ela fornece duas ou mais es- timativas de saída yi (ver H.2, H.3 e H.4), então, além de fornecer yi e uc(yi), forneça os elementos da matriz de co- variância u(yi , yj) ou os elementos r(yi , yj) da matriz de 36 7 Relatando a incerteza Expressão da Incerteza de Medição coeficientes de correlação (C3.6, nota 2) (preferivelmen- te, forneça ambas as matrizes). 7.2.6 Os valores numéricos da estimativa y e sua incerte- za padrão uc(y) ou incerteza expandida U não devem ser fornecidos com um número excessivo de algarismos. É ge- ralmente suficiente fornecer uc(y) e U [assim como as in- certezas padrão u(xi) das estimativas de entrada xi] com até no máximo dois algarismos significativos, embora, em al- guns casos, seja necessário reter algarismos adicionais para evitar erros de arredondamento nos cálculos subse- qüentes. Ao relatar resultados finais, pode, às vezes, ser apropriado arredondar incertezas para cima, em vez de arredondar até o algarismo mais próximo. Por exemplo, uc(y) = 10,47 m pode ser arredondada para 11 m . Entretanto deve preva- lecer o bom senso, e um valor como u(xi) = 28,05 kHz deve ser arredondado para baixo, para 28 kHz. As estima- tivas de entrada e de saída devem ser arredondadas para fi- carem consistentes com suas incertezas; por exemplo, se y = 10,057 62 com uc(y) = 27 m , y deve ser arredondado para 10,058 . Os coeficientes de correlação devem ser da- dos com exatidão de três algarismos, se seus valores abso- lutos estão próximos da unidade. 7.2.7 No relatório detalhado que descreve como o resul- tado da medição e sua incerteza foram obtidos, devem-se seguir as recomendações de 7.1.4 e, assim: a) fornecer o valor de cada estimativa de entrada xi e de sua incerteza padrão u(xi) juntamente com uma descrição sobre como eles foram obtidos; b) fornecer as covariâncias estimadas ou os coefi- cientes de correlação estimados (preferencial- mente ambos), associados com todas as estimati- vas de entrada que são correlacionadas, e os métodos utilizados para obtê-los; c) fornecer os graus de liberdade da incerteza padrão para cada estimativa de entrada e como eles foram obtidos; d) fornecer a relação funcional Y = f(X1,X2,...,XN) e, quando consideradas úteis, as derivadas parciais ou coeficientes de sensibilidade f x i/ . Entre- tanto, quaisquer desses coeficientes determinados experimentalmente devem ser fornecidos. NOTA - Como a relação funcional f pode ser extremamente comple- xa ou não existir explicitamente, a não ser como um programa de computador, pode ser impossível fornecer f e suas derivadas. A fun- ção f pode, então, ser descrita em termos gerais, ou o programa usa- do pode ser citado por meio de uma referência apropriada. Nestes casos, é importante que esteja claro como a estimativa y do mensu- rando Y e sua incerteza padrão combinada uc(y) foram obtidas. 37 Expressão da Incerteza de Medição 7 Relatando a incerteza A.2 Recomendação 1 (CI-1981) O CIPM reviu o relatório que lhe foi submetido pelo Gru- po de Trabalho sobre a Declaração de Incertezas e adotou as seguintes recomendações na sua 70ª reunião, ocorrida em outubro de 1981 [3]: Recomendação 1 (CI-1981) Expressão de incertezas experimentais O Comitê Internacional de Pesos e Medidas considerando - a necessidade de encontrar um consenso na expres- são da incerteza de medição na metrologia, - o esforço que tem sido dedicado a isso por muitas organizações ao longo de muitos anos, - o encorajador progresso feito na procura de uma solução aceitável, que resultou das discussões do Grupo de Trabalho sobre Expressão das Incertezas, que se reuniu no BIPM em 1980, reconhece - que as propostas do Grupo de Trabalho podem for- mar a base de um eventual acordo sobre a expres- são das incertezas, recomenda - que as propostas do Grupo de Trabalho tenham am- pla divulgação; - que o BIPM tente aplicar os princípios nelas conti- dos para as comparações internacionais a serem re- alizadas, sob os seus auspícios, nos anos vindouros; - que outras organizações interessadas sejam encora- jadas a examinar e testar essas propostas e dar ciên- cia ao BIPM de seus comentários; - que, após dois ou três anos, o BIPM faça um novo relatório sobre a aplicação dessas propostas. A.3 Recomendação 1 (CI-1986) O CIPM considerou, ainda, o assunto da expressão de in- certezas na sua 75ª reunião, ocorrida em outubro de 1986, e adotou a seguinte recomendação [4]: Recomendação 1 (CI-1986) Expressão de incertezas no trabalho executado sob os auspícios do CIPM O Comitê Internacional de Pesos e Medidas, considerando a adoção da Declaração de Incertezas da Recomendação INC-1 (1980) pelo Grupo de Trabalho e a adoção pelo CIPM da Recomendação 1 (CI-1981), considerando que certos membros dos Comitês Consultivos possam querer esclarecimentos sobre esta Recomendação para fins de trabalho que se situe dentro de seu escopo, espe- cialmente no que diz respeito a comparações internacionais, reconhece que o parágrafo 5 da Recomendação INC-1 (1980) relativo a algumas aplicações, especialmente àque- las com significado comercial, estão sendo agora conside- radas por um grupo de trabalho da International Organiza- tion for Standardization (ISO), comum à ISO, OIML e IEC, com a concordância e cooperação do CIPM, solicita que o parágrafo 4 da Recomendação INC-1 (1980) deva ser aplicado por todos os participantes, ao fornecerem os resultados de todas as comparações internacionais ou ou- tro trabalho realizado sob os auspícios do CIPM e de seus Comitês Consultivos, e que seja fornecida a incerteza combi- nada das incertezas do Tipo A e do Tipo B, em termos de um desvio padrão. 40 Anexo A Recomendações do Grupo de Trabalho e da CIPM Expressão da Incerteza de Medição Anexo B Termos metrológicos gerais B.1 Fonte das definições As definições dos termos metrológicos gerais relevantes para este Guia, que são aqui fornecidas, foram extraídas do “Vocabulário Internacional de Termos Fundamentais e Gerais de Metrologia” (abreviado para VIM), segunda edição [6], publicado pela “Organização Internacional de Normalização” (ISO), em nome das sete organizações que apoiaram seu desenvolvimento e designaram os especialis- tas que o prepararam: Bureau Internacional de Poids e Me- sures (BIPM), International Electrotechnical Commission (IEC), International Federation of Clinical Chemistry (IFCC), ISO, International Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC), International Union of Pure and Applied Physics (IUPAP) e a International Organization of Legal Metrology (OIML). O VIM deve ser a primeira fonte a ser consultada sobre as definições dos termos não incluídos neste anexo ou no texto. NOTA - Alguns termos e conceitos estatísticos básicos são forneci- dos no anexo C, enquanto que os termos “valor verdadeiro”, “erro” e “incerteza” são discutidos, mais detalhadamente, no anexo D. B.2 Definições Como no capítulo 2, nas definições que se seguem, o uso de parênteses em torno de certas palavras de algumas ex- pressões significa que as mesmas podem ser omitidas, se não for passível de causar confusão. Os termos em negrito, em algumas notas, são termos me- trológicos adicionais definidos nessas notas, seja explícita ou implicitamente (ver referência [6]). B.2.1 grandeza (mensurável) [VIM 1.1] atributo de um fenômeno, corpo ou substância que pode ser qualitativamente distinguido e quatitativamente deter- minado NOTAS 1 O termo “grandeza” pode referir-se a uma grandeza em sentido geral [veja os exemplos em a] ou a uma grandeza específica [veja os exemplos em b]. Exemplos a) grandezas em um sentido geral: comprimento, tempo, mas- sa, temperatura, resistência elétrica, concentração de quan- tidade de matéria; b) grandezas específicas: - comprimento de uma barra - resistência elétrica de um fio - concentração de etanol em uma amostra de vinho 2 Grandezas que podem ser classificadas, uma em relação à outra, em ordem crescente ou decrescente, são denominadas grandezas de mesma natureza. 3 Grandezas de mesma natureza podem ser agrupadas em conjun- tos de categorias de grandezas, por exemplo: - trabalho, calor, energia - espessura, circunferência, comprimento de onda 4 Os símbolos das grandezas são dados na ISO 31. B.2.2 valor (de uma grandeza) [VIM 1.18] expressão quantitativa de uma grandeza específica, geral- mente sob a forma de uma unidade multiplicada por um número Exemplos a) comprimento de uma barra: 5,34m ou 534cm; b) massa de um corpo: 0,152kg ou 152g; 41 Expressão da Incerteza de Medição Anexo B Termos metrológicos gerais c) quantidade de matéria de uma amostra de água (H2O): 0,012mol ou 12mmol. NOTAS 1 O valor de uma grandeza pode ser positivo, negativo ou nulo. 2 O valor de uma grandeza pode ser expresso de maneiras dife- rentes. 3 Os valores de grandezas adimensionais são, geralmente, expres- sos apenas por números puros. 4 Uma grandeza que não puder ser expressa por uma unidade de medida multiplicada por um número, pode ser expressa por meio de uma escala de referência convencional, ou por um procedimento de medição ou por ambos. B.2.3 valor verdadeiro (de uma grandeza) [VIM 1.19] valor consistente com a definição de uma dada grandeza específica NOTAS 1 É um valor que seria obtido por uma medição perfeita. 2 Valores verdadeiros são, por natureza, indeterminados. 3 O artigo indefinido “um” é usado preferivelmente ao artigo de- finido “o”, em conjunto com “valor verdadeiro”, porque pode haver muitos valores consistentes com a definição de uma dada grandeza específica. Comentário do Guia: Veja o anexo D, em particular D.3.5, quanto às razões por que o termo “valor verdadeiro” não é usado neste Guia e por que os termos “valor verdadeiro de um mensurando” (ou de uma grandeza) e “valor de um mensurando” (ou de uma grandeza) são vistos como equi- valentes. B.2.4 valor verdadeiro convencional (de uma gran- deza) [VIM 1.20] valor atribuído a uma grandeza específica e aceito, às ve- zes por convenção, como tendo uma incerteza apropriada para uma dada finalidade EXEMPLOS a) em um determinado local, o valor atribuído a uma grandeza, por meio de um padrão de referência, pode ser tomado como um valor verdadeiro convencional; b) o CODATA (1986) recomendou o valor para a constan- te de Avogrado como sendo A= 6,022 136 7 x 1023 mol-1. NOTAS 1 “Valor verdadeiro convencional” é às vezes denominado valor designado, melhor estimativa do valor, valor convencional ou va- lor de referência. “Valor de referência”, neste sentido, não deve ser confundido com “valor de referência” no sentido usado na Nota do item 5.7 do VIM. 2 Freqüentemente, um certo número de resultados de medições de uma grandeza é utilizado para estabelecer um valor verdadeiro con- vencional. Comentários do Guia: Veja o Comentário do Guia para B.2.3. B.2.5 medição [VIM 2.1] conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de uma grandeza NOTA - As operações podem ser feitas automaticamente. B.2.6 princípio de medição [VIM 2.3] base científica de uma medição EXEMPLOS a) o efeito termoelétrico utilizado para a medição da temperatura; b) o efeito Josephson utilizado para a medição da diferença de po- tencial elétrico; c) o efeito Doppler utilizado para a medição da velocidade; d) o efeito Raman utilizado para a medição do número de ondas das vibrações moleculares. B.2.7 método de medição [VIM 2.4] seqüência lógica de operações, descritas genericamente, usadas na execução das medições NOTA - Os métodos de medição podem ser qualificados de várias maneiras, entre as quais: - método de substituição - método diferencial - método “de zero” B.2.8 procedimento de medição [VIM 2.5] conjunto de operações, descritas especificamente, usadas na execução de medições particulares de acordo com um dado método NOTA - Um procedimento de medição é, usualmente, registrado em um documento, que algumas vezes é denominado procedimento de medição (ou método de medição) e, normalmente, tem detalhes su- ficientes para permitir que um observador execute a medição sem informações adicionais. B.2.9 mensurando [VIM 2.6] grandeza específica submetida à medição EXEMPLO - pressão de vapor de uma dada amostra de água a 20ºC. 42 Anexo B Termos metrológicos gerais Expressão da Incerteza de Medição B.2.23 correção [VIM 3.15] valor adicionado algebricamente ao resultado não corrigido de uma medição para compensar um erro sistemático NOTAS 1 A correção é igual ao erro sistemático estimado com sinal troca- do. 2 Uma vez que o erro sistemático não pode ser perfeitamente co- nhecido, a compensação não pode ser completa. B.2.24 fator de correção [VIM 3.16] fator numérico pelo qual o resultado não corrigido de uma medição é multiplicado para compensar um erro sistemático NOTA - Uma vez que o erro sistemático não pode ser perfeitamente conhecido, a compensação não pode ser completa. 45 Expressão da Incerteza de Medição Anexo B Termos metrológicos gerais Anexo C Termos e conceitos estatísticos básicos C.1 Fonte das definições As definições de termos estatísticos básicos fornecidos neste anexo são extraídas da Norma Internacional ISO 3534-1 [7]. Esta deve ser a primeira fonte a ser consultada para a definição de termos não incluídos aqui. Alguns des- tes termos e seus conceitos correspondentes são aprofun- dados em C.3, seguindo a apresentação de suas definições formais em C.2, de forma a facilitar ainda mais o uso deste Guia. Entretanto, C.3, que também inclui as definições de alguns termos relacionados, não é baseado diretamente na ISO 3534-1. C.2 Definições Como no capítulo 2 e no anexo B, o uso de parênteses, em torno de certas palavras de alguns termos, significa que elas podem ser omitidas se tal omissão não causar equívo- co. Os termos de C.2.1 a C.2.14 são definidos em termos das propriedades de populações. As definições dos termos C.2.15 a C.2.31 são relacionados a um conjunto de obser- vações(ver referência [7]). C.2.1 probabilidade [ISO 3534-1, 1.1] um número real na escala de 0 a 1 associado a um evento aleatório NOTA - Esta pode ser relacionada a uma freqüência relativa de ocorrência de longo prazo ou a um grau de confiança de que um evento ocorrerá. Para um alto grau de confiança, a probabilidade está próxima de 1. C.2.2 variável aleatória; variada [ISO 3534-1, 1.2] uma variável que pode assumir qualquer um dos valores de um conjunto especificado de valores e com a qual está associada uma distribuição de probabilidade ([ISO 3534- 1] 1.3[C.2.3]) NOTAS 1 Uma variável aleatória que só pode assumir valores isolados é chamada “discreta”. Uma variável aleatória que pode assumir qual- quer valor dentro de um intervalo finito ou infinito é chamada “con- tínua”. 2 A probabilidade de um evento A é designada por Pr(A) ou P(A). Comentário do Guia: O símbolo Pr(A) é usado, neste Guia, no lugar do símbolo Pr(A), usado na ISO 3534-1. C.2.3 distribuição de probabilidade (de uma variável aleatória) [ISO 3534-1, 1.3] função que determina a probabilidade de uma variável ale- atória assumir qualquer valor dado ou pertencer a um dado conjunto de valores NOTA - A probabilidade do conjunto inteiro de valores da variável aleatória é igual a 1. C.2.4 função distribuição [ISO 3534-1, 1.4] função que determina, para cada valor x, a probabilidade de que a variável aleatória X seja menor ou igual a x: F(x) = Pr( X x) C.2.5 função densidade de probabilidade (para uma variável aleatória contínua) [ISO 3534-1, 1.5] derivada (quando existe) da função distribuição: f(x) = dF(x)/dx 46 Anexo C Termos e conceitos estatísticos básicos Expressão da Incerteza de Medição NOTA - f(x)dx é denominada “elemento de probabilidade”: f(x)dx = Pr(x < X < x+dx) C.2.6 função massa de probabilidade [ISO 3534- 1,1.6] uma função que fornece, para cada valor xi de uma variá- vel aleatória discreta X, a probabilidade pi, de que a variá- vel aleatória seja igual a xi : pi= Pr(X = xi ) C.2.7 parâmetro [ISO 3534-1, 1.12] uma grandeza utilizada na descrição da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória C.2.8 correlação [ISO 3534-1, 1.13] a relação entre duas ou muitas variáveis aleatórias dentro de uma distribuição de duas ou mais variáveis aleatórias NOTA - A maioria das medidas estatísticas de correlação medem somente o grau de relação linear. C.2.9 esperança (de uma variável aleatória ou de uma distribuição de probabilidade); valor esperado; média [ISO 3534-1, 1.18] 1 Para uma variável aleatória discreta X, assumindo va- lores xi , com probabilidades pi, a esperança, se ela exis- te, é = E(X) = p xi i a soma sendo estendida a todos os valores de xi que po- dem ser assumidos por X. 2 Para uma variável aleatória contínua X tendo a função densidade de probabilidade f(x), a esperança, se ela exis- te, é = E(X) = xf x x( )d a integral sendo estendida sobre o(s) intervalo(s) de va- riação de X. C.2.10 variável aleatória centrada [ISO 3534-1, 1.21] duma variável aleatória cuja esperança se iguala a zero NOTA - Se a variável aleatória X tem uma esperança igual a , a va- riável aleatória centrada correspondente é (X - ). C.2.11 variância (de uma variável aleatória ou de uma distribuição de probabilidade) [ISO 3534-1, 1.22] A esperança do quadrado da variável aleatória centrada ([ISO 3534-1], 1.21 [C.2.10]): 2 = V(X) = E{[X - E(X)]2} C.2.12 desvio padrão (de uma variável aleatória, ou de uma distribuição de probabilidade) [ISO 3534-1, 1.23] A raiz quadrada positiva da variância: = V X( ) C.2.13 momento central1) de ordem q [ISO 3534-1, 1.28] em uma distribuição univariada, a esperança da q-ésima potência da variável aleatória centrada (X- ): E X q( ) NOTA - O momento central de ordem 2 é a variância ([ISO 3534-1] 1.22[C.2.11]) da variável aleatória X. 1) Se, na definição dos momentos, as grandezas X, X-a, Y, Y-b, etc, são substituídas por seus valores absolutos, isto é, |X|, |X-a|, |Y|, |Y-b|, etc., outros momentos chamados “momentos absolutos” são defini- dos. C.2.14 distribuição normal; distribuição de Laplace- Gauss [ISO 3534-1, 1.37] distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua X, cuja função densidade de probabilidade é: f x x ( ) exp 1 2 1 2 2 para $ $x NOTA - é a esperança e é o desvio padrão da distribuição nor- mal. C.2.15 característica [ISO 3534-1, 2.2] uma propriedade que ajuda a identificar ou diferenciar itens de uma dada população NOTA - A característica pode ser ou quantitativa (por variáveis) ou qualitativa (por atributos). C.2.16 população [ISO 3534-1, 2.3] totalidade de itens sob consideração NOTA - No caso de uma variável aleatória, considera-se que a dis- tribuição de probabilidade ([ISO 3534-1] 1.3 [C.2.3]) defina a popu- lação daquela variável. C.2.17 freqüência [ISO 3534-1, 2.11] o número de ocorrências de um dado tipo de evento ou o número de observações que se enquadram em uma clas- se especificada 47 Expressão da Incerteza de Medição Anexo C Termos e conceitos estatísticos básicos A variância da média aritmética ou média das observa- ções, em vez de variância das observações individuais, é a medida apropriada da incerteza de um resultado de medi- ção. A variância de uma variável z deve ser cuidadosa- mente distinguida da variância da média z. A variância da média aritmética de uma série de n observações indepen- dentes zi de z é dada por 2 2 ( ) /z ni e é estimada pela variância experimental da média: s z s z n n n z zi i n i 2 2 1 21 1 ( ) ( ) ( ) ( ) C.3.3 desvio padrão o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância. En- quanto uma incerteza padrão do Tipo A é obtida, tomando-se a raiz quadrada da variância estatisticamente avaliada, é mui- tas vezes mais conveniente, quando se determina uma incer- teza padrão do Tipo B, avaliar primeiro o desvio padrão equivalente não-estatístico e, então, obter a variância equiva- lente, elevando-se ao quadrado o desvio padrão. C.3.4 covariância a covariância de suas variáveis aleatórias é uma medida de sua dependência mútua. A covariância de variáveis aleató- rias y e z é definida por: cov (y,z) = cov(z,y) = E{[y - E(y)] [z - E(z)]}, que leva a cov (y,z) = cov (z,y) = ( )( ) ( , )y z y z y zy z p d d = yzp y z y z y z( , )d d onde p(y,z) é a função densidade de probabilidade conjun- ta das duas variáveis y e z. A covariância cov(y,z) [tam- bém simbolizada por -(y,z)] pode ser estimada por s(yi,zi), obtida a partir de n pares independentes de observações si- multâneas yi e zi de y e z: s y z n y y z zi i i n i i( , ) ( ) ( ) 1 1 1 onde: y n y i n i 1 1 e z n z i n i 1 1 NOTA - A covariância estimada das duas médias y e z é dada por s(y, z) = s(yi, zi)/n. C.3.5 matriz de covariância para uma distribuição de probabilidade multivariada, a ma- triz V, com elementos iguais para as variâncias e covariân- cias das variáveis, é denominada matriz de covariância. Os elementos diagonais, -(z,z) ! 2(z) ou s(zi,zi) ! s2(zi), são as variâncias, enquanto que os elementos fora da diagonal, -(y,z) ou s(yi,zi), são as covariâncias. C.3.6 coeficiente de correlação o coeficiente de correlação é uma medida da dependência mútua relativa de duas variáveis, igual à razão de suas co- variâncias e à raiz quadrada positiva do produto de suas variâncias. Assim: . . - - - - ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) y z z y y z y y z z y z y z que estima r y z r z y s y z s y y s z z s y z i i i i i i i i i i i i( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( )s y s zi i O coeficiente de correlação é um número puro, tal que: -1 . +1 ou -1 r(yi,zi) +1. NOTAS 1 Como . e r são números puros na faixa de -1 a +1 inclusive, en- quanto as covariâncias são, usualmente, grandezas com dimensões e magnitudes físicas inconvenientes, os coeficientes de correlação são, geralmente, mais úteis que as covariâncias. 2 Para distribuições de probabilidade multivariadas, a matriz de coeficientes de correlação é, geralmente, fornecida no lugar da ma- triz de covariância. Como .(y,y) = 1, e r(yi ,yi)=1, os elementos da diagonal desta matriz são iguais à unidade. 3 Se as estimativas de entrada xi e xj são correlacionadas (ver 5.2.2) e se uma alteração # i em xi produz uma mudança # j em xj , então o coeficiente de correlação associado com xi e xj é estimado, aproximadamente, por: r (xi ,xj ) u(xi ) #j / u(xj ) #i Esta relação pode servir de base para estimar, experimentalmente, os coeficientes de correlação. Ela também pode ser usada para cal- cular a variação aproximada em uma estimativa de entrada devido a uma variação em outra, caso seu coeficiente de correlação seja co- nhecido. C.3.7 independência duas variáveis aleatórias são estatisticamente independen- tes, se sua distribuição de probabilidade conjunta é o pro- duto de suas distribuições de probabilidade individuais 50 Anexo C Termos e conceitos estatísticos básicos Expressão da Incerteza de Medição NOTA - Se duas variáveis aleatórias são independentes, sua cova- riância e coeficiente de correlação são nulos,mas o contrário não é necessáriamente verdadeiro. C.3.8 a distribuição-t; distribuição de Student a distribuição-t ou distribuição de Student é a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua t cuja função densidade de probabilidade é: p t t ( , ) ( ) / 1 1 2 2 1 2 1 2/ / $ $t onde / é a função gama e v > 0. A esperança da distribuição- t é zero e sua variância é v/(v-2), para v > 2. Conforme v$, a distribuição-t se aproxima de uma distribuição normal, com =0 e =1 (ver C.2.14). A distribuição de probabilidade da variável (z- z )/s(z) é a distribuição-t, se a variável aleatória z é distribuida nor- malmente com esperança z , onde z é a média aritmética de n observações independentes zi de z, s(zi) é o desvio pa- drão experimental das n observações, e s(z) = s(zi)/ n é o desvio padrão experimental da média z, com v = n-1 graus de liberdade. 51 Expressão da Incerteza de Medição Anexo C Termos e conceitos estatísticos básicos Anexo D Valor “verdadeiro”, erro e incerteza O termo valor verdadeiro (B.2.3) tem sido tradicional- mente usado em publicações sobre incerteza, mas não nes- te Guia pelas razões apresentadas neste anexo. Como as palavras “mensurando”, “erro” e “incerteza” são, freqüen- temente, mal interpretadas, este anexo também fornece uma discussão adicional sobre as idéias básicas a elas as- sociadas, a fim de suplementar a discussão dada no capítu- lo 3. Duas figuras são apresentadas para ilustrar por que o conceito adotado neste Guia é baseado no resultado de medição e sua incerteza estimada, em vez de ser baseado nas grandezas desconhecidas: valor “verdadeiro” e erro. D.1 O mensurando D.1.1 O primeiro passo, ao se efetuar uma medição, é es- pecificar o mensurando - a grandeza a ser medida; o men- surando não pode ser especificado por um valor, mas, so- mente, por uma descrição de uma grandeza. Entretanto, a princípio, um mensurando não pode ser completamente descrito sem um número infinito de informações. Assim, na proporção em que deixa margem à interpretação, a defi- nição incompleta do mensurando introduz, na incerteza do resultado de uma medição, um componente de incerteza que pode ou não ser significativo para a exatidão requerida da medição. D.1.2 Comumente, a definição de um mensurando especi- fica certos estados e condições físicas. EXEMPLO - A velocidade do som no ar seco de composição (fração molar) N2 = 0,7808, O2 = 0,2095, Ar = 0,009 35, e CO2 = 0,000 35, na temperatura T = 273,15 K e pressão p = 101 325 Pa. D.2 A grandeza realizada D.2.1 Em condições ideais, a grandeza realizada para me- dição seria totalmente consistente com a definição do mensurando. Freqüentemente, entretanto, tal grandeza não pode ser realizada, e a medição é efetuada numa grandeza que é uma aproximação do mensurando. D.3 O valor “verdadeiro” e o valor corrigido D.3.1 O resultado da medição da grandeza realizada é corrigido para a diferença entre esta grandeza e o mensu- rando, de forma a prever qual teria sido o resultado da me- dição se a grandeza realizada tivesse, de fato, satisfeito, integralmente, a definição do mensurando. O resultado da medição, da grandeza realizada é também corrigido para todos os outros efeitos sistemáticos significativos reconhe- cidos. Embora o resultado corrigido final seja algumas ve- zes considerado como a melhor estimativa do valor “ver- dadeiro” do mensurando, na realidade o resultado é sim- plesmente a melhor estimativa do valor da grandeza que se pretende medir. D.3.2 Como exemplo, suponha que o mensurando seja a espessura de uma determinada folha de material em uma temperatura especificada. O espécimen é levado a uma temperatura próxima da especificada e sua espessura, em um lugar em particular, é medida com um micrômetro. A espessura do material, nesse lugar e temperatura, sob a pressão aplicada pelo micrômetro, é a grandeza realizada. D.3.3 A temperatura do material, no momento da medi- ção, e a pressão aplicada são determinadas. O resultado não-corrigido da medição da grandeza realizada é, então, corrigido, levando-se em conta a curva de calibração do 52 Anexo D Valor “verdadeiro”, erro e incerteza Expressão da Incerteza de Medição Figura D.1. Ilustração gráfica do valor, erro e incerteza 55 Expressão da Incerteza de Medição Anexo D Valor “verdadeiro”, erro e incerteza Figura D.2. Ilustração gráfica dos valores, erros e incertezas 56 Anexo D Valor “verdadeiro”, erro e incerteza Expressão da Incerteza de Medição Anexo E Motivação e base para a Recomendação INC-1 (1980) Este anexo traz uma breve discussão tanto sobre a motiva- ção como sobre a base estatística para a Recomendação INC-1 (1980) do Grupo de Trabalho para Declaração de Incertezas, sobre o qual se fundamenta este Guia. Para dis- cussões mais aprofundadas, ver as referências [1, 2, 11, 12]. E.1 “Seguro”, “aleatório” e “sistemático” E.1.1 Este Guia apresenta um método amplamente apli- cável para avaliar e expressar incerteza de medição. Ele fornece um valor realista, em vez de um valor “seguro” da incerteza baseado no conceito de que não há diferença ine- rente entre um componente de incerteza proveniente de um efeito aleatório e um proveniente de uma correção para um efeito sistemático (ver 3.2.2 e 3.2.3). O método se si- tua, portanto, em contraste com certos métodos mais anti- gos que têm em comum as duas seguintes idéias: E.1.2 A primeira idéia é a de que a incerteza relatada deve ser “segura” ou “conservadora”, significando que nunca deveria errar para muito menos. De fato, devido à avaliação da incerteza de um resultado de medição ser problemática, ela foi, com freqüência, deliberadamente tornada maior. E.1.3 A segunda idéia é a de que as influências que dão origem às incertezas foram sempre reconhecidas como sendo ou “aleatórias” ou “sistemáticas”, sendo que as duas teriam naturezas diferentes; as incertezas associa- das com cada uma eram combinadas na sua própria ma- neira e deveriam ser relatadas separadamente (ou, quan- do era requerido um único valor, combinadas de algum modo específico). Na realidade, o método de combina- ção de incertezas era freqüentemente projetado para satis- fazer o requisito de segurança. E.2 Justificativa para avaliações realísticas da incerteza E.2.1 Quando o valor de um mensurando é relatado, a melhor estimativa de seu valor e a melhor avaliação da in- certeza desta estimativa devem ser dadas, pois, se a incer- teza é passível de erro, não é normalmente possível decidir em qual direção dever-se-ia errar “seguramente”. Uma de- claração para menos das incertezas pode fazer com que demasiada confiança seja depositada nos valores relatados, com conseqüências, por vezes, embaraçosas ou até mes- mo desastrosas. Uma declaração deliberadamente para mais das incertezas pode, também, ter repercussões inde- sejáveis. Poderia fazer com que os usuários de equipamen- to de medição comprassem instrumentos que são mais dis- pendiosos do que os de que eles precisam, ou poderia fa- zer com que produtos caros fossem descartados desneces- sariamente, ou que os serviços de um laboratório de cali- bração fossem rejeitados. E.2.2 Isso não quer dizer que aqueles que utilizam um re- sultado de medição não possam aplicar seus próprios fato- res de multiplicação à incerteza declarada, de forma a ob- ter uma incerteza expandida que define um intervalo com um nível da confiança especificado e que satisfaz suas próprias necessidades. Nem significa, em certas circuns- tâncias, que as instituições fornecedoras de resultados de medições não poderiam, rotineiramente, aplicar um fator que forneça uma incerteza expandida similar que satisfaça as necessidades de uma classe específica de usuários des- ses resultados. Entretanto, tais fatores (sempre a serem de- clarados) devem ser aplicados à incerteza tal como deter- 57 Expressão da Incerteza de Medição Anexo E Motivação e base para a Recomendação INC-1 (1980) A ocorrer é de p = 0,5, se o apostador é indiferente quanto à escolha de duas apostas: (1) receber D, se o evento A ocorrer, porém não receber nada, se ele não ocorrer; (2) re- ceber D, se o evento A não ocorrer, porém, nada, se ele ocorrer. A Recomendação INC-1 (1980) sobre a qual se fundamenta este Guia adota implicitamente tal ponto de vista de probabilidade, uma vez que ele encara expressões, tais como a equação (E.6), como a maneira adequada de calcular a incerteza padrão combinada de um resultado de uma medição. E.3.6 Existem três vantagens distintas em se adotar uma interpretação de probabilidade baseada no grau de credibi- lidade, no desvio padrão (incerteza padrão) e na lei de pro- pagação da incerteza [equação (E.3)] como bases para avaliação e expressão da incerteza de medição, como foi feito neste Guia: a) lei da propagação de incerteza permite que a incer- teza padrão combinada de um resultado seja pronta- mente incorporada na avaliação da incerteza padrão combinada de outro resultado no qual a primeira é uti- lizada; b) a incerteza padrão combinada pode servir de base para calcular intervalos que correspondam, de forma realista, a seus níveis da confiança requeridos; c) é desnecessário classificar componentes como “aleatórios” ou “sistemáticos” (ou de qualquer ou- tro modo) quando da avaliação da incerteza, porque todos os componentes da incerteza são tratados da mesma maneira. O benefício c) é altamente vantajoso porque tal categori- zação é, freqüentemente, fonte de confusão; um compo- nente de incerteza não é ou “aleatório” ou “sistemático”. Sua natureza é condicionada pela utilização feita da gran- deza correspondente, ou mais formalmente, pelo contexto no qual a grandeza aparece no modelo matemático que descreve a medição. Assim, quando sua grandeza corres- pondente é usada em um contexto diferente, um compo- nente “aleatório” pode se tornar um componente “sistemá- tico” e vice versa. E.3.7 Pelo motivo dado em c) acima, a Recomendação INC-1 (1980) não classifica os componentes da incerteza como “aleatórios” ou “sistemáticos”. Na realidade, no que se refere ao cálculo da incerteza padrão combinada de um resultado de medição, não há necessidade de classificar componentes de incerteza e, assim, nenhuma necessidade real de qualquer esquema de classificação. Contudo, uma vez que títulos convenientes podem, às vezes, ser úteis na comunicação e discussão de idéias, a Recomendação INC-1 (1980) fornece um esquema para a classificação de dois métodos distintos pelos quais os componentes da in- certeza podem ser avaliados, “A” e “B” (ver 0.7, 2.3.2 e 2.3.3). Classificando-se os métodos usados para avaliar os com- ponentes de incerteza, evita-se o problema principal asso- ciado com a classificação dos próprios componentes, isto é, a dependência entre a classificação de um componente e como a grandeza correspondente é utilizada. Entretanto, classificar os métodos, em vez de componentes, não impe- de que se agrupem os componentes individuais avaliados pelos dois métodos em grupos específicos para um propó- sito particular, em uma dada medição, por exemplo, quan- do se compara a variabilidade observada experimental- mente com a prevista teoricamente dos valores de saída de um complexo sistema de medição (ver 3.4.3). E.4 Desvios padrão como medidas de incer- teza E.4.1 A equação (E.3) requer que, independente de como seja obtida a incerteza de estimativa de uma grandeza de entrada, ela seja avaliada como uma incerteza padrão, isto é, um desvio padrão estimado. Se, em vez disso, alguma alternativa “segura” é avaliada, ela não pode ser usada na equação (E.3). Em particular, se o “máximo limite de erro” (o maior desvio concebível para a estimativa su- posta como sendo a melhor) é usado na equação (E.3), a incerteza resultante terá um significado mal definido e não poderá ser utilizada por alguém que queira incorporá-la em cálculos subseqüentes de incertezas de outras grande- zas (ver E.3.3). E.4.2 Quando a incerteza padrão de uma grandeza de en- trada não pode ser avaliada pela análise de resultados de um número adequado de observações repetidas, deve-se adotar uma distribuição de probabilidade baseada no co- nhecimento que é muito menos extenso do que seria dese- jável. Isso não torna, entretanto, a distribuição inválida ou irreal; como todas as distribuições de probabilidade, ela é uma expressão do conhecimento existente. E.4.3 As avaliações baseadas em observações repetidas não são necessariamente superiores àquelas obtidas por outros meios. Considere s(q) o desvio padrão experimental 60 Anexo E Motivação e base para a Recomendação INC-1 (1980) Expressão da Incerteza de Medição da média de n observações qk independentes de uma variá- vel q aleatória, distribuída normalmente [veja equação (5), em 4.2.3]. A grandeza s(q) é uma estatística (ver C.2.23) que estima ( )q , o desvio padrão da distribuição da proba- bilidade de q, que é o desvio padrão da distribuição dos valores de q que seria obtido se a medição fosse repetida um número infinito de vezes. A variância 2 [ ( )]s q de s(q) é dada, aproximadamente, por: 2 2 2s q q( ) ( ) / (E.7) onde = n - 1 é o número de graus de liberdade de s(q) (ver G.3.3). Assim o desvio padrão relativo de s(q), que é dado pela razão s q q( ) / ( ) e que pode ser tomado como uma medida da incerteza relativa de s(q), é, aproximadamente, [ ( )]2 1 1 2n . Esta “incerteza da incerteza” de q que decorre do motivo puramente estatístico da amostragem limitada, pode ser surpreendentemente grande; para n = 10 observa- ções, é de 24 por cento. Este e outros valores são dados na tabela E.1, que mostra que o desvio padrão de um desvio padrão estatisticamente estimado não é desprezível para va- lores práticos de n. Pode-se, portanto, concluir que as avali- ações do Tipo A da incerteza padrão não são necessaria- mente mais confiáveis do que as avaliações do Tipo B, e que em muitas situações práticas de medições, onde o nú- mero de observações é limitado, os componentes obtidos por avaliações do Tipo B podem ser melhor conhecidos do que os componentes obtidos de avaliações do Tipo A. Tabela E.1 s q q( ) / ( ), o desvio padrão do desvio pa- drão experimental da média q de n observações indepen- dentes de uma variável aleatória normalmente distribuída q, relativo ao desvio padrão daquela média(a). Número de observações n [ ( )] / ( )s q q (por cento) 2 76 3 52 4 42 5 36 10 24 20 16 30 13 50 10 (a)Os valores dados foram calculados da expressão exata para s q q( ) / ( ), e não para a expressão aproximada [ ( )]2 1 1 2n . E.4.4 Foi levantada a questão de que, enquanto as incer- tezas associadas com a aplicação de um método particular de medição são parâmetros estatísticos caracterizando va- riáveis aleatórias, existem exemplos de um “efeito verda- deiramente sistemático” cuja incerteza deve ser tratada di- ferentemente. Um exemplo é um desvio tendo um valor fixo desconhecido que é o mesmo para cada determinação pelo método devido à uma possível imperfeição no pró- prio princípio do método em si ou em uma de suas hipóte- ses. Mas, se se reconhece que tal possibilidade de desvio existe e se sua magnitude é tida como sendo possivelmen- te significativa, então ele pode ser descrito por uma distri- buição de probabilidade, ainda que simplesmente construí- da, baseada no conhecimento que levou à conclusão de que ele poderia existir e de que era significativo. Assim, se se considerar a probabilidade como uma medida do grau de credibilidade de que um evento irá ocorrer, a contribui- ção de tal efeito sistemático pode ser incluída na incerteza padrão combinada de um resultado de medição, pela avali- ação desta como uma incerteza padrão de uma distribuição de probabilidade a priori, e tratando-a como qualquer ou- tra incerteza padrão de uma grandeza de entrada. EXEMPLO - A especificação de um procedimento de medição par- ticular requer que uma certa grandeza de entrada seja calculada a partir de uma expansão em série de potências específicas cujos ter- mos de maior ordem não são exatamente conhecidos. O efeito sistemático, devido a não ser possível tratar com exatidão estes ter- mos, leva a um desvio fixo desconhecido que não pode ser experi- mentalmente amostrado por repetições do procedimento. Assim, a incerteza associada com o efeito não pode ser avaliada e incluída na incerteza do resultado final de medição se uma interpretação da probabilidade, baseada em freqüencia, é estritamente seguida. En- tretanto, interpretando-se a probabilidade na base do grau de credi- bilidade, permite-se uma incerteza, caracterizando o efeito a ser avaliado de uma distribuição de probabilidade a priori (derivada do conhecimento disponível concernente aos termos conhecidos sem exatidão) e que seja incluída no cálculo da incerteza padrão com- binada do resultado da medição, como qualquer outra incerteza. E.5 Uma comparação entre duas abordagens da incerteza E.5.1 O enfoque deste Guia é sobre o resultado de medi- ção e sua incerteza avaliada, em vez de sobre as grandezas desconhecidas, o valor “verdadeiro” e erro das grandezas desconhecidas (ver o anexo D). Este Guia, na realidade, desfaz a conexão, muitas vezes confusa, entre as grandezas desconhecidas, valor “verda- deiro” e erro, tomando-se os pontos de vista operacionais: que o resultado de uma medição é simplesmente o valor 61 Expressão da Incerteza de Medição Anexo E Motivação e base para a Recomendação INC-1 (1980) atribuído ao mensurando e que a incerteza desse resultado é uma medida de dispersão dos valores que poderiam, ra- zoavelmente, ser abtribuídos ao mensurando. E.5.2 Esta conexão pode ser entendida ao se interpretar a derivação da equação (E.3), a lei da propagação da incer- teza, do ponto de vista de valor “verdadeiro” e erro. Neste caso, i é considerado como desconhecido, único valor “verdadeiro” da grandeza de entrada wi e cada wi é supos- to ser relacionado ao seu valor “verdadeiro” i por wi i i 0 , onde 0 i é o erro em wi . A esperança da dis- tribuição da probabilidade de cada 0 i é supostamente nula, E i( )0 0, com variância E i i( )0 2 2 . A equação (E.1) pas- sa, então, a ser: 0 0z i N i i f w 1 (E.8) onde 0 z zz é o erro em z e z é o valor “verdadeiro” de z. Tomando-se a esperança do quadrado de 0 z , obtém- se uma equação idêntica, na forma, à equação (E.3), mas onde 0z zE 2 2 ( ) é a variância de 0 z , e . - 0 0 i j i j i j, ( , ) / ( ) 2 2 12 é o coeficiente de correlação de 0 i e 0 j , onde - 0 0 0 0( , ) ( , )i j i jE é a covariância de 0 i e 0 j . As variâncias e os coeficientes de correlação estão por- tanto, associados, aos erros das grandezas de entrada, em vez de estarem associadas às próprias grandezas de entra- da. NOTA - Supõe-se que a probabilidade seja vista como uma medida do grau de credibilidade de que um evento irá ocorrer. Isso implica que um erro sistemático pode ser tratado da mesma forma que um erro aleatório e que 0i representa ambos os tipos de erros. E.5.3 Na prática, a diferença de pontos de vista não leva a uma diferença no valor numérico do resultado da medi- ção ou da incerteza atribuída a esse resultado. Primeiro, em ambos os casos, as melhores estimativas dis- poníveis das grandezas de entrada wi são utilizadas para obter a melhor estimativa de z através da função f; não faz nenhuma diferença nos cálculos se as melhores estimati- vas são vistas como os valores mais prováveis de serem atribuídos às grandezas em questão, ou como as melhores estimativas de seus valores “verdadeiros”. Segundo, uma vez que 0 i i iw e que i representa va- lores únicos e fixos e, por conseqüência, não tem incerte- za, as variâncias e os desvios padrão de 0i e de wi são idên- ticos. Isso significa que, em ambos os casos, as incertezas padrão utilizadas como estimativas dos desvios padrão i, para obter a incerteza padrão combinada do resultado da medição, são idênticas e fornecem o mesmo valor numéri- co para aquela incerteza. Novamente, não faz nenhuma di- ferença nos cálculos se uma incerteza padrão é vista como uma medida da dispersão da distribuição da probabiliade de uma grandeza de entrada ou como uma medida da dispersão da distribuição de probabilidade do erro dessa grandeza. NOTA - Se a suposição da nota de E.5.2 não tivesse sido feita, en- tão a discussão deste item não iria ter a aplicação, a não ser que to- das as estimativas das grandezas de entrada e da incerteza dessas es- timativas fossem obtidas da análise estatística de observações repe- tidas, isto é, de avaliações do Tipo A. E.5.4 Embora o enfoque baseado no valor “verdadeiro” e erro forneça os mesmos resultados numéricos que o enfo- que tomado por este Guia (desde que a suposição da nota E.5.2 seja feita), o conceito de incerteza deste Guia elimi- na a confusão entre erro e incerteza (ver o anexo D). Na realidade, o enfoque operacional deste Guia, pelo qual é focalizado o valor observado (ou estimado) de uma gran- deza e a variabilidade observada (ou estimada) desse va- lor, faz qualquer menção a erro inteiramente desnecessá- ria. 62 Anexo E Motivação e base para a Recomendação INC-1 (1980) Expressão da Incerteza de Medição 2 2 2I t t R u Ro s s ( ) ( ) (Por simplicidade de notação, neste exemplo foi usado o mesmo símbolo tanto para a grandeza de entrada como para a sua estimati- va). Para obter o valor numérico da covariância, substituiem-se, nesta expressão, os valores numéricos das grandezas medidas I e t, e os valores de Rs e u(Rs) dados no certificado de calibração do resistor padrão. A unidade de u(I,t) é, claramente A C, uma vez que a vari- ância relativa [u(Rs)/Rs] 2 é uma grandeza adimensional. Seja uma grandeza P relacionada com as grandezas de entrada I e t por P = CoI 2 /(To + t), onde Co e To são constantes conhecidas, com incertezas desprezíveis [u2(Co) 0, u2(To) 0]. A equação (13), em 5.2.2, então, fornece para a variância de P em termos das variâncias de I e t e de sua covariância: u P P u I I u I t I T t u t T to o 2 2 2 2 2 2 4 4 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) As variâncias u2(I) e u2(t) são obtidas através da aplicação da equa- ção (10) de 5.1.2 às relações I = Vs/Rs e t = a2(t)Rs2 - to. Os resulta- dos são: u I I u V V u R Rs s s s 2 2 2 2 2 2( ) / ( ) / ( ) / u t t t u t t u R Ro o s s 2 2 2 2 2 2 24 4( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) / nos quais, para simplificar, supõe-se que as incertezas das contantes to e a sejam também desprezíveis. Estas expressões podem ser pron- tamente avaliadas, uma vez que u2(Vs) e u 2() podem ser determina- das, respectivamente, a partir de leituras repetidas do voltímetro e da ponte de resistência. Naturalmente, quaisquer incertezas ineren- tes aos próprios instrumentos e aos procedimentos de medição em- pregados devem também ser levados em conta, quando u2(Vs) e u 2() são determinados. 2. No exemplo da nota 1 de 5.2.2, suponhamos que a calibração de cada resistor seja representada por Ri= iRs, com u( i) sendo a incer- teza padrão da razão medida i , tal como obtida em observações repe- tidas. Além disso, admitindo-se que i 1 para cada resistor e que u( i) seja essencialmente a mesma para cada calibração, de forma que u( i) = u(). Então, as equações (F.1) e (F.2) fornecem u 2(Ri) = Rs 2 u 2() + u2(Rs) e u(Ri,Rj) = u2(Rs). Isso implica, através da equa- ção (14), em 5.2.2, que o coeficiente de correlação de quaisquer dois resistores (i j) é: r R R r u u R R i j ij s s ( , ) ( ) ( ) / ! % & '' ( ) ** % & ' ' ( ) * * 1 2 1 Desde que u(Rs)/Rs= 10 -4, se u() = 100 x 10-6, rij 0,5; se u() = 10 x 10-6, ri,j 0,990; e, se u() = 1 x 10-6, ri,j 1,000. Assim, quando u() 0, ri,j 1 e u(Ri) u(Rs). NOTA - Em geral, em calibrações por comparação, tais como neste exemplo, os valores estimados dos itens calibrados são cor- relacionados, com o grau de correlação dependendo da razão en- tre a incerteza da comparação e a incerteza do padrão de referên- cia. Quando, como ocorre freqüentemente na prática, a incerteza da comparação é desprezível com respeito à incerteza do padrão, os coeficientes de correlação são iguais a +1 e a incerteza de cada ítem de calibração é a mesma que a do padrão. F.1.2.4 A necessidade de introduzir a covariância u(xi,xj) pode ser dispensada, se o conjunto original de grandezas de entrada X1,X2,...,XN, das quais o mensurando Y depende [ver a equação (1), em 4.1], é redefinido, de tal maneira que inclua como grandezas de entrada adicionais e inde- pendentes aquelas grandezas Ql, comuns a duas ou mais das Xi originais. (Pode ser necessário executar medições adicionais para estabecer integralmente a relação entre Ql e as Xi afetadas). No entanto, em algumas situações pode ser mais conveniente manter as covariâncias em vez de, aumentar o número das grandezas de entrada. Um proces- so similar pode ser realizado para as covariâncias encon- tradas em observações repetidas simultaneamente [ver a equação (17), em 5.2.3], porém a identificação das grande- zas de entrada adicionais apropriadas é, freqüentemente, arbitrada e não física. EXEMPLO - Se, no exemplo 1 do item anterior, as expressões para I e t em termos de Rs são introduzidas na expressão de P, o resultado é: P C V R T a t R t o s s o s o 2 2 2 2[ ( ) ] e a correlação entre I e t é evitada à custa da substituição das gran- dezas de entrada I e t pelas grandezas Vs, Rs e . Como essas gran- dezas não são correlacionadas, a variância de P pode ser obtida a partir da equação (10) de 5.1.2. F.2 Componentes avaliados por outros meios: avaliação do Tipo B da incerteza padrão F.2.1 A necessidade de avaliações do Tipo B Se um laboratório de medição tivesse recursos e tempo ili- mitados, ele poderia conduzir a uma exaustiva investiga- ção estatística de todas as causas concebíveis de incerteza, por exemplo, utilizando muitas marcas e tipos diferentes de instrumentos, diferentes métodos de medição, diferen- tes aplicações do método e diferentes aproximações dos seus modelos teóricos de medição. As incertezas associa- das a todas essas causas poderiam, então, ser avaliadas pela análise estatística de séries de observações, e a incer- teza de cada causa seria caracterizada por um desvio pa- drão estatisticamente avaliado. Em outras palavras, todos os componentes da incerteza seriam obtidos através de avaliações do Tipo A. Como tal investigação não tem ne- nhuma praticidade econômica, muitos componentes da in- 65 Expressão da Incerteza de Medição Anexo F Guia prático para avaliação de componentes de incerteza certeza devem ser avaliados por quaisquer outros meios que sejam práticos. F.2.2 Distribuições determinadas matematicamente F.2.2.1 Resolução de uma indicação digital Uma fonte de incerteza de um instrumento digital é a reso- lução de seu dispositivo indicador. Por exemplo, mesmo se as observações repetidas forem todas idênticas, a incer- teza de medição atribuível à repetitividade não seria zero, pois há uma faixa de sinais de entrada no instrumento, var- rendo um intervalo conhecido, que dariam a mesma indi- cação. Se a resolução do dispositivo indicador é #x, o valor do estímulo que produz uma dada indicação pode estar si- tuado com igual probabilidade em qualquer lugar no inter- valo X-#x/2 a X+#x/2. O estímulo é, então, descrito por uma distribuição de probabilidade retangular (ver 4.3.7 e 4.4.5), de amplitude #x, com variância u2=(#x)2/12, impli- cando em uma incerteza padrão de u=0,29 #x para qual- quer indicação. Assim, um instrumento de pesagem, com um dispositivo in- dicador cujo menor algarismo significativo é 1 g, tem uma variância devido à resolução do dispositivo de u2 = (1/12) g2 e uma incerteza padrão de u = (1/ 12)g = 0,29g. F.2.2.2 Histerese Certos tipos de histerese podem causar um tipo similar de incerteza. A indicação de um instrumento pode diferir por um valor fixado e conhecido, caso as leituras sucessivas sejam crescentes ou decrescentes. O operador prudente anota a direção das sucessivas leituras e faz a correção apropriada. Entretanto, a direção da histerese não é sempre observável: pode haver oscilações ocultas do instrumento, em torno do ponto de equilíbrio, de modo que a indicação dependa da direção pela qual este ponto de equilíbrio é fi- nalmente alcançado. Se a faixa de leituras possíveis desta causa for #x, a variância é, novamente, u2 = #x2/12, e a in- certeza padrão devido à histerese é u=0,29 #x. F.2.2.3 Aritmética de precisão-finita O arredondamento ou corte de números provenientes da redução automática de dados pelo computador pode, tam- bém, ser uma fonte de incerteza. Considere, por exemplo, um computador com um comprimento de palavra de 16 bits. Se, no decorrer da computação, um número tendo esse comprimento de palavra é subtraído de outro do qual ele difira apenas no 16º bit, somente permanece um bit significativo. Tais eventos podem ocorrer na avaliação de algoritmos “mal-condicionados” e podem ser difíceis de prever. Pode-se obter uma determinação empírica da in- certeza, aumentando-se a grandeza de entrada mais impor- tante para o cálculo (há freqüentemente, uma que é pro- porcional à magnitude da grandeza de saída) por pequenos incrementos até que a grandeza de saída mude; a menor mudança na grandeza de saída que pode ser obtida por tais meios pode ser tomada como uma medida da incerteza; se é #x, a variância é u2 = (#x)2/12 e u = 0,29 #x. NOTA - Pode-se verificar a avaliação da incerteza, comparando-se o resultado da computação levada a efeito na máquina com limita- ção do comprimento de palavra, com o resultado da mesma compu- tação efetuada por uma máquina com um comprimento de palavra significativamente maior. F.2.3 Valores de entrada importados F.2.3.1 Um valor importado para uma grandeza de entra- da é um valor que não foi estimado no decorrer de uma dada medição, mas que foi obtido em outra parte como re- sultado de uma avaliação independente. Freqüentemente, tal valor importado é acompanhado de algum tipo de de- claração de sua incerteza. Por exemplo, a incerteza pode ser dada como um desvio padrão, um múltiplo de um des- vio padrão, ou a semifaixa de um intervalo, tendo um ní- vel da confiança declarado. Alternativamente, limites su- perior ou inferior podem ser fornecidos, ou nenhuma in- formação pode ser fornecida sobre a incerteza. Neste últi- mo caso, aqueles que utilizam o valor devem empregar seu próprio conhecimento da magnitude provável da incerteza, dada a natureza da grandeza, pela confiabilidade da fonte, pelas incertezas obtidas na prática para essas grandezas, etc. NOTA - A discussão da incerteza de grandezas de entrada importa- das é incluída neste item sobre a avaliação do Tipo B de incerteza padrão por conveniência; a incerteza de tal grandeza poderia ser composta por componentes obtidos por avaliações do Tipo A ou componentes obtidos por avaliações de ambos os Tipos, A e B. Como é desnecessário distinguir entre componentes avaliados pelos dois métodos diferentes para se calcular uma incerteza padrão com- binada, é também desnecessário conhecer a composição de uma in- certeza de uma grandeza importada. F.2.3.2 Alguns laboratórios de calibração têm adotado a prática de expressar a “incerteza” na forma de limites de confiança superior e inferior que definem um intervalo, tendo um nível da confiança “mínimo”, por exemplo, “pelo menos” 95 por cento. Isso pode ser visto como um exemplo da assim chamada incerteza “segura” (ver E.1.2) e 66 Anexo F Guia prático para avaliação de componentes de incerteza Expressão da Incerteza de Medição esta não pode ser convertida em uma incerteza padrão sem o conhecimento de como ela foi calculada. Se é dada in- formação suficiente, ela pode ser recalculada de acordo com as regras deste Guia; de outra forma, uma avaliação independente da incerteza deve ser feita por quaisquer ou- tros meios que estejam disponíveis. F.2.3.3 Algumas incertezas são dadas, simplesmente, como limites máximos dentro dos quais todos os valores da grandeza estarão contidos. É uma prática comum supor que todos os valores dentro desses limites são igualmente prováveis (uma distribuição de probabilidade retangular), mas tal distribuição não deve ser suposta, se existem ra- zões para se esperar que os valores que estejam dentro do intervalo, porém, próximos aos limites, sejam menos pro- váveis do que aqueles que estão mais próximos do centro desses limites. Uma distribuição retangular de semifaixa a tem uma variância a2/3; uma distribuição normal para a qual a é a semifaixa de um intervalo, tendo um nível da confiança de 99,73 por cento tem uma variância de a2/9. Pode ser prudente adotar um meio termo entre esses valo- res, por exemplo, supondo-se uma distribuição triangular, para a qual a variância é a2/6 (ver 4.3.9 e 4.4.6). F.2.4 Valores de entrada medidos F.2.4.1 Observação única, instrumentos calibrados Se uma estimativa de entrada foi obtida através de uma única observação, com um determinado instrumento que tenha sido calibrado por um padrão de pequena incerteza, a incerteza da estimativa é, principalmente, a de repetitivi- dade. A variância de medições repetidas pelo instrumento pode ter sido obtida em uma ocasião anterior, não de modo necessário para precisamente o mesmo valor de lei- tura, mas próximo o suficiente para ser útil, e pode ser possível supor que a variância seja aplicável ao valor de entrada em questão. Se nenhuma informação é disponível, deve ser feita uma estimativa baseada na natureza do apa- relho ou instrumento de medição, nas variâncias conheci- das de outros instrumentos de construção similar, etc. F.2.4.2 Observação única, instrumentos verificados Nem todos os instrumentos de medição são acompanhados de um certificado de calibração ou de uma curva de cali- bração. A maioria dos instrumentos, entretanto, é construí- da de acordo com uma norma escrita e verificada, seja pelo fabricante ou por uma autoridade independente, para estar em conformidade com esse documento. Usualmente, a norma contém requisitos metrológicos, freqüentemente na forma de “erros máximos permissíveis”, com os quais se requer que o instrumento esteja conforme. O atendi- mento do instrumento a esses requisitos é determinado por comparação com um instrumento de referência cuja incer- teza máxima permitida é, geralmente, especificada na nor- ma. Essa incerteza é, então, um componente da incerteza do instrumento verificado. Se nada é conhecido sobre a curva caraterística de erro do ins- trumento verificado, deve-se supor que há uma probabilidade igual de que o erro tenha qualquer valor dentro dos limites permitidos, isto é, uma distribuição de probabilidade retan- gular. Entretanto, certos tipos de instrumentos têm curvas caraterísticas tais que os erros são, por exemplo, provavel- mente sempre positivos em parte da faixa de medição e negativos em outra. Algumas vezes, tal informação pode ser deduzida pelo estudo da norma escrita. F.2.4.3 Grandezas controladas Medições são freqüentemente feitas sob condições de refe- rência controladas que se supõe que permaneçam constan- tes no decorrer de uma série de medições. Por exemplo, medições podem ser efetuadas em amostras em um banho de óleo agitado, cuja temperatura seja controlada por um termostato. A temperatura do banho pode ser medida ao mesmo tempo em que se realiza a medição em uma amos- tra, mas, se a temperatura do banho é cíclica, a temperatu- ra instantânea da amostra pode não ser a temperatura indi- cada pelo termômetro no banho. O cálculo das flutuações da temperatura da amostra baseado na teoria de transferên- cia de calor, e de sua variância, está além do escopo deste Guia, porém ele deve começar a partir de um ciclo conhe- cido ou suposto de temperatura para banho. Este ciclo pode ser observado por um termopar adequado e um regis- trador de temperatura, mas, na falta deles, pode-se deduzir uma aproximação do valor a partir do conhecimento da natureza dos controles. F.2.4.4 Distribuições assimétricas de valores possíveis Há ocasiões em que todos os valores possíveis de uma grandeza se encontram de um lado de um valor limitante único. Por exemplo, quando se mede uma altura vertical fixa h (o mensurando) de uma coluna de líquido em um manômetro, o eixo da altura do dispositivo medidor pode se desviar da vertical por um pequeno ângulo . A distân- cia l determinada pelo dispositivo será sempre maior do que h; não é possível nenhum valor menor do que h. Isto 67 Expressão da Incerteza de Medição Anexo F Guia prático para avaliação de componentes de incerteza Uma incerteza expandida U pode ser obtida, multiplican- do-se uc(y') por um fator de abrangência k adequadamente escolhido , U = kuc(y'), fornecendo { ( ) '( )Y t y t U y t b U( ) . Entretanto, o uso da mesma correção média para todos os valores de t, em vez da correção apropriada para cada valor de t, deve ser reconhecida e declarada de forma clara no tocante ao que U representa. F.2.5 Incerteza do método de medição F.2.5.1 Talvez o componente de incerteza mais difícil de avaliar seja aquele associado com o método de medição, especialmente se a aplicação do método demonstrou dar resultados com menor variabilidade que os de quaisquer outros métodos conhecidos. Mas é provável que existam outros métodos, alguns deles ainda desconhecidos ou, de alguma forma, pouco práticos, que dariam de modo siste- mático, resultados diferentes aparentemente de igual vali- dade. Isto implica numa distribuição de probabilidade a priori, não uma distribuição da qual as amostras podem ser rapidamente extraídas e tratadas estatisticamente. As- sim, muito embora a incerteza do método possa ser domi- nante, a única informação muitas vezes disponível para avaliar sua incerteza padrão é o próprio conhecimento existente do mundo físico (ver também E.4.4). NOTA - A determinação do mesmo mensurando por diferentes mé- todos, seja no mesmo laboratório, seja em laboratórios diferentes, ou pelo mesmo método em laboratórios diferentes, pode, muitas ve- zes, fornecer informação valiosa acerca da incerteza atribuível a um método em particular. Em geral, a troca de padrões de medição ou de materiais de referência entre laboratórios para medições indepen- dentes é um meio usual de avaliar a confiabilidade das avaliações de incerteza e de identificar efeitos sistemáticos não reconhecidos pre- viamente. F.2.6 Incerteza da amostra F.2.6.1 Muitas medições envolvem a comparação de um objeto desconhecido com um padrão conhecido, tendo ca- racterísticas similares, de forma a calibrar o desconhecido. Exemplos incluem blocos padrão, certos termômetros, conjuntos de massas, resistores e materiais de alta pureza. Na maioria desses casos, os métodos de medição não são especialmente sensíveis, ou afetados prejudicialmente, pela seleção da amostra (isto é, o desconhecido em parti- cular sendo calibrado), pelo tratamento da amostra ou pe- los efeitos das várias grandezas ambientais de influência, porque, em geral, tanto o padrão como o desconhecido respondem do mesmo modo (e freqüentemente predito) a tais variáveis. F.2.6.2 Em algumas situações práticas de medição, a amostragem e o tratamento das amostras desempenham um papel muito mais importante. Este é, muitas vezes, o caso da análise química de materiais naturais. Ao contrário dos materiais feitos pelo homem, que podem ter uma ho- mogeneidade comprovada em um nível bem acima do re- querido para a medição, os materiais naturais são, freqüen- temente, muito heterogêneos. Essa heterogeneidade con- duz a dois componentes adicionais de incerteza. A avalia- ção do primeiro requer a determinação de quão adequada- mente a amostra selecionada representa o material original sendo analisado. A avaliação do segundo requer a determi- nação da extensão na qual os constituintes secundários (não analisados) influenciam a medição e quão adequada- mente eles são tratados pelo método de medição. F.2.6.3 Em alguns casos, o planejamento cuidadoso da experiência pode tornar possível avaliar estatisticamente a incerteza devido à amostra (ver H.5 e H.5.3.2). Usualmen- te, entretanto, especialmente quando os efeitos de grande- zas ambientais de influência sobre a amostra são significa- tivos, a habilidade e conhecimento do analista, derivados de sua experiência e de todas as informações então dispo- níveis, são requeridos para avaliar a incerteza. 70 Anexo F Guia prático para avaliação de componentes de incerteza Expressão da Incerteza de Medição Anexo G Graus de liberdade e níveis da confiança G.1 Introdução G.1.1 Este anexo trata da questão geral da obtenção de uma incerteza expandida Up = kpuc(y), a partir da estimati- va y do mensurando Y e de sua incerteza padrão combina- da uc(y), que define um intervalo y - Up Y y + Up , o qual tem uma alta probabilidade de abrangência especificada ou nível da confiança p. O anexo, então, trata da determi- nação do fator de abrangência kp que produz um intervalo em torno do resultado y da medição, do qual se espera que abranja uma grande fração especificada p da distribuição de valores que poderiam, razoavelmente, ser atribuídos ao mensurando Y (ver item 6). G.1.2 Em muitas situações práticas de medição, o cálculo de intervalos tendo níveis da confiança especificados - de fato, a estimativa da maioria dos componentes individuais da incerteza em tais situações - é somente, a melhor apro- ximação. Até mesmo o desvio padrão experimental da mé- dia do equivalente a 30 observações repetidas de uma grandeza descrita por uma distribuição normal tem uma incerteza de cerca de 13 por cento (ver a tabela E.1, no anexo E). Na maioria dos casos, não faz sentido tentar distinguir en- tre, por exemplo, um intervalo tendo um nível da confian- ça de 95 por cento (uma chance em 20 de que o valor do mensurando Y esteja fora do intervalo) e tampouco um in- tervalo de 94 ou 96 por cento (1 chance em 17 e 25, res- pectivamente). É particularmente difícil obter intervalos da confiança justificáveis com níveis da confiança de 99 por cento (1 chance em 100) e maiores, mesmo que ele as- suma que nenhum efeito sistemático tenha sido esquecido, porque, geralmente, se dispõe de muito pouca informação sobre as porções extremas ou “caudas” das distribuições de probabilidade das grandezas de entrada. G.1.3 Para obter o valor do fator de abrangência kp, que produz um intervalo corrrespondente a um nível especifi- cado da confiança p, requer-se um conhecimento detalha- do da distribuição de probabilidade caracterizada pelo re- sultado da medição e a sua incerteza padrão combinada. Por exemplo, para uma grandeza z descrita por uma distri- buição normal, com esperança z e desvio padrão , o va- lor de kp, que fornece um intervalo z kp, que compre- ende a fração p da distribuição e, dessa forma, tem uma probabilidade de abrangência ou nível da confiança p, pode ser prontamente calculado. Alguns exemplos são da- dos na tabela G.1. Tabela G.1- Valor do fator de abrangência kp que produz um intervalo da confiança tendo um nível da confiança p, supondo uma distribuição normal. Nível da confiança p (por cento) Fator de abrangência kp 68,27 1 90 1,645 95 1,960 95,45 2 99 2,576 99,73 3 NOTA - Por contraste, se z é descrito por uma distribuição de pro- babilidade retangular, com esperança z e um desvio padrão = a/ 3, onde a é a semifaixa da distribuição, os níveis da confiança p são 57,74 por cento, para kp = 1; 95 por cento, para kp = 1,65; 99 por cento, para kp = 1,71; 100 por cento, para kp , 3 1,73. A distribuição 71 Expressão da Incerteza de Medição Anexo G Graus de liberdade e níveis da confiança retangular é mais estreita do que a distribuição normal no sentido de que é de extensão finita e não tem “caudas”. G.1.4 Se as distribuições de probabilidade das grandezas de entrada X1,X2,...,XN, das quais o mensurando Y depende, são conhecidas [suas esperanças, variâncias e momentos de ordem superior (ver C.2.13 e C.2.22), se as distribuições não são distribuições normais] e se Y é uma função linear das grandezas de entrada, Y = c1X1 + c2X2 + ... + cNXN, então a distribuição de probabilidade de Y pode ser obtida por convolução das distribuições de probabilidade individu- ais [10]. Os valores de kp que fornecem os intervalos cor- respondentes aos níveis especificados da confiança p po- dem, então, ser calculados a partir da distribuição resul- tante da convolução. G.1.5 Se a relação funcional entre Y e suas grandezas de entrada é não-linear e se uma expansão de primeira ordem da série de Taylor da relação não é uma aproximação acei- tável (ver 5.1.2 e 5.1.5), então a distribuição de probabili- dade de Y não pode ser obtida pela convolução das grande- zas de entrada. Em tais casos, outros métodos numéricos ou analíticos são requeridos. G.1.6 Na prática, em razão de os parâmetros que caracte- rizam as distribuições de probabilidade das grandezas de entrada serem usualmente estimativas, porque não é realis- ta esperar que o nível da confiança a ser associado com um determinado intervalo possa ser conhecido com um alto grau de exatidão, e devido à complexidade de convo- lucão das distribuições de probabilidade, tais convoluções são raramente, se vierem a ser, implementadas quando in- tervalos com níveis da confiança especificados precisarem ser calculados. Em vez disso, são usadas aproximações para obter vantagem no uso do Teorema Central do Limi- te. G.2 Teorema Central do Limite G.2.1 Se Y = c1X1 + c2X2 + ...+ cNXN = i N i ic X 1 e to- dos os Xi são caracterizados por distribuições normais, então a distribuição convolucionada resultante de Y tam- bém será normal. Entretanto, mesmo que as distribuições de Xi não sejam normais, a distribuição de Y pode, fre- qüentemente, ser aproximada por uma distribuição nor- mal devido ao Teorema Central do Limite. Este teorema estabelece que a distribuição de Y será aproximadamente normal, com esperança E(Y) = i N ic 1 E(Xi) e variância 2(Y) = i N ic 1 22(Xi), onde E(Xi) é a esperança de Xi e 2(Xi) é a variância de Xi , se os Xi são independentes e 2(Y) é muito maior do que qualquer componente indivi- dual ci22(Xi) de um Xi , com distribuição não-normal. G.2.2 O Teorema Central do Limite é importante porque mostra o papel muito relevante desempenhado pelas va- riâncias das distribuições de probabilidade das grandezas de entrada, comparado ao desempenhado pelos momen- tos de ordem superior das distribuições, na determinação da forma da distribuição convolucionada de Y resultante. Ademais, isto implica que a distribuição convolucionada tende à distribuição normal quando aumenta o número de contribuições das grandezas de entrada para 2(Y); que a convergência será tanto mais rápida quanto mais próxi- mos os valores de ci22(Xi) estiverem um do outro (equi- valente, na prática, a dizer que cada estimativa de entrada xi contribui com uma incerteza comparável à incerteza da estimativa y do mensurando Y); que quanto mais próxi- mas as distribuições de Xi estão de serem normais, tanto menos Xi são requeridos para dar a Y uma distribuição normal. EXEMPLO - A distribuição retangular (ver 4.3.7e 4.4.5) é um ex- emplo extremo de uma distribuição não normal, mas a convolução de, ainda que apenas, três distribuições de igual largura é aproxima- damente normal. Se a semifaixa de cada uma das três distribuições retangulares é a, de modo que a variância de cada uma é a2/3, a variância da distribuição convolucionada é 2 = a2. Os intervalos de 95 por cento e de 99 por cento da distribuição convolucionada são definidos por 1,937 e 2,379 , respectivamente, enquanto que os intervalos correspondentes para uma distribuição normal com o mesmo desvio padrão são definidos por 1,960 e 2,576 (ver a tabela G.1) [10]. NOTAS 1. Para cada intervalo com um nível da confiança p maior do que cerca de 91,7 por cento, o valor de kp, para uma distribuição normal, é maior do que o valor correspondente para a distribuição resultante da convolução de qualquer número e tamanho de distribuições re- tangulares. 2. Do Teorema Central do Limite, segue que a distribuição de probabilidade da média aritmética q de n observações qk de uma variável aleatória q, com esperança q e desvio padrão finito , se aproxima de uma distribuição normal, com média q e desvio padrão / n, quando n $, qualquer que possa ser a distribuição de pro- babilidade de q. G.2.3 Uma conseqüência prática do Teorema Central do Limite é que, quando se pode estabelecer que seus requisi- tos foram aproximadamente satisfeitos, em particular se a incerteza padrão combinada uc(y) não é dominada por um componente de incerteza padrão obtido por uma avaliação 72 Anexo G Graus de liberdade e níveis da confiança Expressão da Incerteza de Medição reconhece que o v, tal como aparece na distribuição-t, é uma medida da incerteza da variância s2(z), a equação (E.7), em E.4.3, pode ser usada para definir os graus de li- berdade vi: i i i i i u x u x u x u x 1 2 1 2 2 2 2 ( ) [ ( )] ( ) ( ) (G.3) A grandeza entre colchetes maiores é a incerteza relativa de u(xi); para uma avaliação do Tipo B da incerteza pa- drão, é uma grandeza subjetiva cujo valor é obtido por jul- gamento científico baseado no conjunto de informações disponíveis . EXEMPLO - Baseado no conhecimento disponível do procedimento de medição usado para determinar estimativas de entrada xi e de como sua incerteza padrão u(xi) foi avaliada, julgou-se que a avaliação de u(xi) é confiável cerca de 25%. Isso pode ser tomado como signifi- cando que a incerteza relativa u(xi)/u(xi) = 0,25 e, assim, pela equação (G.3), i = (0,25)-2/2 = 8. Se, entretanto, se julga que o valor de u(xi) é confiável em somente cerca de 50%, então i = 2 (ver também a tabela E.1, no anexo E). G.4.3 Na discussão em 4.3 e 4.4 da avaliação do Tipo B da incerteza padrão a partir de uma distribuição de probabi- lidade a priori, foi implicitamente suposto que o valor de u(xi) resultante de tal avaliação é conhecido exatamente. Por exemplo, quando u(xi) é obtido por meio de uma distri- buição de probabilidade retangular com semifaixa suposta de a = (a - a )/2, como em 4.3.7 e 4.4.5, u(xi) = a/ 3 é vista como uma constante sem incerteza, pois a - a , e também a, são assim vistas (porém, ver 4.3.9, nota 2). Isto implica, pela equação (G.3), que vi $ ou 1/vi 0, o que não causa dificuldade na avaliação da equação G.2b. Além disso, supor que i $ não é necessariamente irreal; é uma prática usual escolher a e a , de tal modo que a probabilidade da grandeza em questão, ficando fora do intervalo a até a , seja extremamente pequena. G.5 Outras considerações G.5.1 Uma expressão encontrada, na literatura, sobre a medição da incerteza, e freqüentemente usada para obter uma incerteza que se destina a proporcionar um intervalo com um nível da confiança de 95 por cento, pode ser escri- ta como U t v s u1 1 95 95 2 2 2 123[ ( ) ]eff (G.4) Aqui, t95 ( 1eff ) é obtido da distribuição t para v'eff graus de liberdade e p = 95 por cento; 1eff é o grau efetivo de liberdade calculado pela fórmula de Welch-Satterthwaite [equação (G.2b)], levando em conta somente aqueles componentes de incerteza padrão si que foram avaliados, estatisticamente, a partir de observações repetidas na medição em curso; s2 = ci2si2; ci ! f x i/ ; u2 = uj 2(y) = cj2(aj2/3) consideram todos os outros com- ponentes da incerteza, nos quais se supõe que aj e -aj sejam, exatamente, os limites superior e inferior conheci- dos de Xj, relativos à sua melhor estimativa xj (isto é, xj -aj Xj xj + aj ). NOTA - Um componente baseado em observações repetidas feitas fora da medição em curso é tratado do mesmo modo que qualquer outro componente incluído em u2. Por isso, de modo a se fazer uma comparação consistente entre a equação (G.4) e a equação (G.5) do item seguinte, supõe-se que tais componentes, se estiverem presen- tes, sejam desprezíveis. G.5.2 Se uma incerteza expandida que fornece um inter- valo com um nível da confiança de 95 por cento é avaliada de acordo com os métodos recomendados em G.3 e G.4, a expressão resultante em lugar da equação (G.4) é: U t v s u95 95 2 2 12 ( )[ ]eff (G.5) onde veff é calculado pela equação (G.2b), e o cálculo in- clui todos os componentes de incerteza. Na maioria dos casos, o valor de U95 da equação (G.5) será maior do que o valor U’95 da equação (G.4), se for su- posto que, na avaliação da equação (G.5), todas as variân- cias do Tipo B são obtidas de distribuições retangulares a priori, com semifaixas que são as mesmas que os limites aj usados para computar u2 da equação (G.4). Isso pode ser compreendido, reconhecendo-se que, embora t95( 1eff ) ve- nha a ser, na maioria dos casos, maior do que t95(veff), am- bos os fatores estão próximos de 2; e, na equação (G.5), u2 é multiplicado por tp2(eff ) 4, enquanto que, na equação (G.4), ele é multiplicado por 3. Embora as duas expressões dêem valores iguais de U’95 e U95, para u2 << s2, U’95 será até 13 por cento menor do que U95, se u2 >> s2. Assim, em geral, a equação (G.4) dá uma incerteza que fornece um intervalo tendo um nível da confiança menor do que o in- tervalo fornecido pela incerteza expandida calculada pela equação (G.5). 75 Expressão da Incerteza de Medição Anexo G Graus de liberdade e níveis da confiança NOTAS 1. Nos limites u2/s2 $ e veff $, U'95 1,732 u, enquanto U95 1,960 u. Neste caso, U'95 fornece um intervalo com somente 91,7 por cento de nível da confiança, enquanto que U95 fornece um intervalo com 95 por cento. Este caso é aproximado na prática quan- do os componentes obtidos por estimativas dos limites superior e in- ferior são dominantes, numerosos e têm valores de uj 2(y) = cj 2 aj 2/3 que são comparáveis em tamanho. 2. Para uma distribuição normal, o fator de abrangência k = 3 1,732 fornece um intervalo com nível da confiança p = 91,673... por cento. Este valor de p é robusto no sentido que é, em comparação com aquele de qualquer outro valor, otimamente independente de pequenos desvios da normalidade das grandezas de entrada. G.5.3 Ocasionalmente, uma grandeza de entrada Xi é dis- tribuída assimetricamente - desvios em torno de seu valor esperado de um sinal são mais prováveis do que os des- vios de sinal contrário (ver 4.3.8). Embora isso não faça diferença na avaliação da incerteza padrão u(xi) da estima- tiva xi de Xi, e, portanto, na avaliação de uc(y), isto pode afetar o cálculo de U. É usualmente conveniente fornecer um intervalo de confi- ança simétrico, Y = y U, a não ser que o intervalo seja tal que haja um diferencial de custo entre desvios de um sinal sobre o outro. Se a assimetria de Xi causa somente uma pe- quena assimetria na distribuição de probabilidades, carac- terizada pelo resultado de medição y e sua incerteza pa- drão combinada uc(y), a probabilidade perdida por um lado, por considerar o intervalo simétrico, é compensada pela probabilidade ganha de outro lado. A alternativa é fornecer um intervalo simétrico em probabi- lidade (e, dessa forma, assimétrico em relação a U): a pro- babilidade de que y fique abaixo do limite inferior y-U é igual à probabilidade de que y fique acima do limite inferior y+U . Porém, de forma a considerar tais limites, é necessá- rio mais informações do que simplesmente a estimativa de y e uc(y) [e, dessa maneira, mais informações do que a esti- mativa xi e u(xi) de cada grandeza de entrada Xi]. G.5.4 A avaliação da incerteza expandida Up, dada aqui em termos de uc(y), de eff e do fator tp(eff ) da distribui- ção-t, é somente uma aproximação e tem suas limitações. A distribuição de (y - Y)/uc(y) é dada pela distribuição t, somente se a distribuição de Y é normal, se a estimativa y e sua incerteza padrão combinada uc(y) são independentes e se a distribuição de uc2(y) é uma distribuição 2 2 . A in- trodução de eff , equação (G.2b), trata somente de parte do problema e fornece uma distribuição aproximadamente 22 para u2c(y): a outra parte do problema originária da não- normalidade da distribuição de Y requer a consideração de momentos de ordem mais alta, além da variância. G.6 Resumo e conclusões G.6.1 O fator de abrangência kp, que fornece um intervalo tendo um dado nível da confiança p, próximo a um nível especificado, pode somente ser encontrado se houver um completo conhecimento da distribuição de probabilidade de cada grandeza de entrada e se estas distribuições forem combinadas para se obter a distribuição da grandeza de sa- ída. As estimativas de entrada xi e suas incertezas padrão u(xi) por si mesmas são inadequadas a este propósito. G.6.2 Em razão de o grande volume de cálculo requerido, para combinar distribuições de probabilidade, ser raramente justificável pela extensão e confiabilidade da informação disponível, é aceitável uma aproximação da distribuição da grandeza de saída. Por causa do Teorema Central do Limi- te, é geralmente suficiente supor que a distribuição da probabi- lidade de (y - Y)/uc(y) é a distribuição-t e tomar kp = tp(veff), com o fator-t baseado nos graus efetivos de liberdade veff de uc(y) obtidos pela fórmula de Welch - Satterthwaite, equa- ção (G.2b). G.6.3 Para obter veff da equação (G.2b), são necessários os graus de liberdade i para cada componente de incerteza padrão. Para um componente obtido por uma avaliação do Tipo A, i é obtido de um número de observações indepen- dentes repetidas sobre as quais é baseada a estimativa de entrada correspondente e do número de grandezas inde- pendentes determinado por essas observações (ver G.3.3). Para um componente obtido por uma avaliação do Tipo B, i é obtido pela confiabilidade arbitrada para o valor desse componente [ver G.4.2 e a equação (G.3)]. G.6.4 Assim, o que se segue é um sumário do método pre- ferido para o cálculo da incerteza expandida Up = kpuc(y) que fornece um intervalo Y = y Up que tenha um nível da confiança aproximado p. 1) Obtenha y e uc(y) como descrito nos capítulos 4 e 5. 2) Calcule eff pela fórmula Welch-Satterthwaite, equação (G.2b) (repetida aqui para fácil referência) eff u y u y v c i N i i 4 1 4 ( ) ( ) (G.2b) 76 Anexo G Graus de liberdade e níveis da confiança Expressão da Incerteza de Medição Se u(xi) é obtido por meio de uma avaliação do Tipo A, determine i como orientado em G.3.3. Se u(xi) é obtido por meio de uma avaliação do tipo B e pode ser tratado como exatamente conhecido, como é frequente o caso na prática, i $; caso contrário, estime vi pela equação (G.3). 3) Obtenha o fator-t tp(eff) para o nível da confiança p desejado a partir da tabela G.2. Se eff não é um in- teiro, interpole ou trunque eff até o próximo inteiro inferior. 4) Tome kp = tp(eff) e calcule Up = kpuc(y). G.6.5 Em certas situações, que não devem ocorrer muito freqüentemente na prática, as condições requeridas pelo Teorema Central do Limite podem não ser completamente satisfeitas, e o enfoque dado em G.6.4 leva a um resultado inaceitável. Por exemplo, se uc(y) é dominado por um componente de incerteza avaliado por uma distribuição re- tangular cujos limites são supostos, sendo exatamente co- nhecidos, é possível [se tp(eff) > 3] que y + Up e y - Up, os limites superior e inferior do intervalo definido por Up, possam ficar fora dos limites da distribuição de probabili- dade da grandeza de saída Y. Tais casos devem ser trata- dos em uma base individual, mas são muitas vezes suscep- tíveis a um tratamento analítico aproximado (envolvendo, por exemplo, a convolução de sua distribuição de probabi- lidade normal com uma distribuição retangular [10]). G.6.6 Para muitas medições práticas em uma ampla faixa de campos, as seguintes condições prevalecem: - a estimativa y do mensurando Y é obtida das esti- mativas xi de um número significativo de grandezas de entrada Xi que são descritíveis por uma distribui- ção de probabilidade bem comportada, tal como as distribuições normal e retangular; - as incertezas padrão u(xi) dessas estimativas que podem ser obtidas de cada avaliação do Tipo A ou do Tipo B, contribuem com quantidades compará- veis para a incerteza padrão combinada uc(y) do re- sultado de medição y; - a aproximação linear envolvida na lei de propaga- ção da incerteza é adequada (ver 5.1.2 e E.3.1); - a incerteza de uc(y) é razoavelmente pequena devi- do a seus graus efetivos de liberdade veff possuírem uma magnitude significativa, isto é, maior que 10. Sob estas circunstâncias, a distribuição de probabilidade, caracterizada pelo resultado de medição e sua incerteza padrão combinada, pode ser suposta como normal devido ao Teorema Central do Limite, e uc(y) pode ser tomada como uma estimativa razoavelmente confiável do desvio padrão da distribuição normal devido ao tamanho signifi- cativo de veff. Então, baseado na discussão contida neste anexo, incluindo a ênfase da natureza aproximada do pro- cesso de avaliação da incerteza e a impraticabilidade da tentativa de distinção entre invervalos, tendo níveis da confiança que diferem por um ou dois por cento, pode ser feito o seguinte: Adote k=2 e assuma que U=2uc(y), definindo um intervalo tendo um nível da confiança de, aproximadamente, 95 por cento; ou, para aplicações mais críticas, adote k=3 e assu- ma que U = 3uc(y) define um intervalo tendo um nível da confiança de, aproximadamente, 99 por cento. Embora esta abordagem deva ser conveniente para muitas medições práticas, sua aplicabilidade para qualquer medi- ção particular dependerá de quão próximo k=2 deverá es- tar para t95 (veff) ou k=3 deverá estar para t99(veff), isto é, quão próximo o nível da confiança do intervalo definido por U=2uc(y) ou U=3uc(y) deverá estar para 95 por cento ou 99 por cento, respectivamente. Embora, para veff=11, k=2 e k=3 subestima t95(11) e t99(11) por somente 10 e 4 por cento, respectivamente (ver tabela G.2), o que pode não ser aceitável em alguns casos. Adicionalmente, para todos os valores de veff, algo maior que 13, k=3 produz um intervalo tendo um nível da confiança maior que 99 por cento (ver tabela G.2, que também mostra que, para veff $, os níveis da confiança dos intervalos produzidos por k=2 e k=3 são 95,45 e 99,73 por cento, respectivamen- te). Então, na prática, o tamanho do veff e a incerteza ex- pandida requerida determinarão se essa abordagem poderá ser utilizada. 77 Expressão da Incerteza de Medição Anexo G Graus de liberdade e níveis da confiança Se a diferença de temperatura entre o bloco que está sob fração e o padrão é escrita como #+ = + - +s, e a diferença en- tre os seus coeficientes de expansão térmica como # = - s, a equação (H.2) se torna: l f l ds s ( , , , , , ) + # #+ (H.3) l d ls s s[ . . ]# + #+ As diferenças #+ e #, mas não suas incertezas, são esti- madas para serem zero; e #, s , #+ e + são supostas como não-correlacionadas. (Se o mensurando fosse expresso em termos das variáveis +, +s, e s, seria necessário incluir a correlação entre + e +s , e entre e s). Segue-se, assim, da equação (H.3) que a estimativa do va- lor do mensurando l pode ser obtida de uma expressão simples ls + d , onde ls é o comprimento do padrão a 20 ºC, como dado em seu certificado de calibração, e d é estima- do por d , a média aritmética de n = 5 observações repeti- das independentes. A incerteza padrão combinada uc(l) de l é obtida, aplicando-se a equação (10), em 5.1.2, à equa- ção (H.3), como discutido abaixo. NOTA - Neste e em outros exemplos, para simplicidade de notação, o mesmo símbolo é usado para uma grandeza e para sua estimativa. H.1.3 Variâncias contribuintes Os aspectos pertinentes desse exemplo, tal como discuti- dos aqui e nos itens seguintes, estão resumidos na Tabela H.1. Uma vez que se supõe que # = 0 e #+ = 0, a aplicação da equação (10) em 5.1.2 à equação (H.3) resulta em: u l c u l c u d c uc s s d s s 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) (H.4) com: c f lS S S / ( . . )1 1# + #+ c f dd / 1 c f l S S S #+ / 0 c f lS+ + # / 0 c f lS# # + / c f lS S#+ #+ / e, assim: u l u l u dc S 2 2 2( ) ( ) ( ) l u l uS S S 2 2 2 2 2 2+ # #+( ) ( ) (H.5) H.1.3.1 Incerteza de calibração do padrão, u(lS) O certificado de calibração fornece como a incerteza ex- pandida do padrão U = 0,075 m e declara que ela foi obti- da usando um fator de abrangência de k = 3. A incerteza padrão é, então: u lS( ) ( , ) / 0 075 3 25m nm H.1.3.2 Incerteza da diferença medida no comprimento, u(d) O desvio padrão experimental agrupado que caracteriza a comparação de l e lS foi determinado como sendo de 13 nm, a partir da variabilidade de 25 observações repe- tidas e independentes da diferença nos comprimentos de dois blocos padrão. Na comparação deste exemplo, foram tomadas cinco observações repetidas. A incerteza padrão associada com a média aritmética dessas leituras é, então (ver 4.2.4): u d s d( ) ( ) / 13 nm 5 = 5,8 nm De acordo com o certificado de calibração do compara- dor usado para comparar l com lS, sua incerteza “devido a erros aleatórios” é 0,01 m em um nível da confiança de 95 por cento e é baseada em 6 medições replicadas; assim, a incerteza padrão, usando o fator-t t95(5) = 2,57, para = 6 -1 = 5 graus de liberdade (ver tabela G.2 no anexo G), é: u d( ) ( , /1 0 01 m) 2,57 = 3,9 nm A incerteza do comparador “devido a erros sistemáticos” é dada no certificado como sendo de 0,02 m “para um nível de três sigma”. A incerteza padrão oriunda desta fonte pode, portanto, ser tomada como: u d( ) ( , /2 0 02 m) 3 = 6,7 nm A contribuição total é obtida pela soma das variâncias esti- madas: u d u d u d u d2 2 2 1 2 2 93( ) ( ) ( ) ( ) nm 2 ou: u d( ) ,9 7 nm 80 Anexo H Exemplos Expressão da Incerteza de Medição H.1.3.3 Incerteza do coeficiente de expansão térmica, u(s) O coeficiente de expansão térmica do bloco padrão é dado como s = 11,5 x 10-6 ºC-1, com uma incerteza representada por uma distribuição retangular com limites 2 x 10-6 ºC-1. A incerteza padrão é, então [ver a equação (7) em 4.3.7]: u s( ) ( / 2 10 6 C ) 3 =1,2 10 C-1 -6 -1 Sendo c s = f s/ = -ls #+ = 0, como indicado em H.1.3, esta incerteza em nada contribui para a incerteza de l em primeira ordem. Ela tem, entretanto, uma contribui- ção de segunda ordem, que é discutida em H.1.7. H.1.3.4 Incerteza do desvio da temperatura do bloco padrão, u(+) A temperatura da bancada de teste é relatada como (19,9 0,5) C; a temperatura, no momento das observações individuais, não foi registrada. A faixa máxima declarada, = 0,5 ºC, é tida como representando a amplitude de uma va- riação aproximadamente cíclica da temperatura sob um siste- ma termostático, e não a incerteza da temperatura média. O valor do desvio médio da temperatura: + 19 9, C - 20 C = - 0,1 C é relatado como tendo uma incerteza padrão própria devido à incerteza na temperatura média da bancada de teste de: u( ) ,+ 0 2 C enquanto que a variação cíclica no tempo produz uma dis- tribuição em forma de U (arco seno) de temperaturas, re- sultando em uma incerteza padrão de: u( ) ( , / 0 5 C) 2 = 0,35 C O desvio da temperatura + pode ser tomado como igual a +, e a incerteza padrão de + é obtida de: u u u2 2 2 0165( ) ( ) ( ) ,+ + C2 que fornece: u( ) ,+ 0 41 C 81 Expressão da Incerteza de Medição Anexo H Exemplos Tabela H.1 - Sumário dos componentes da incerteza padrão Componente da incerteza padrão u(xi) Fonte da incerteza Valor da Incerteza padrão u(xi) ci ! f x i/ ui(l) ! "ci "u(xi) (nm) Graus de liberdade u(ls) Calibração do bloco padrão 25 nm 1 25 18 u(d) Diferença medida entre blocos padrão 9,7 nm 1 9,7 25,6 u(d ) observações repetidas 5,8 nm 24 u(d1) efeitos aleatórios do comparador 3,9 nm 5 u(d2) efeitos sistemáticos do comparador 6,7 nm 8 u(s) Coeficiente de expansão térmica do bloco padrão 1,2x10-6 ºC-1 0 0 u(+ ) Temperatura da bancada de teste 0,41 ºC 0 0 u(+ ) temperatura média da bancada 0,2 ºC u( ) variação cíclica da temperatura do ambiente 0,35 ºC u(# ) Diferença dos coeficientes de expansão dos blocos padrão 0,58x10-6 ºC-1 -lS + 2,9 50 u(#+ ) Diferença da temperatura dos blocos padrão 0,029 ºC -lS S 16,6 2 u l u lc i 2 2 21002( ) ( ) nm uc (l) = 32 nm eff (l) = 16 Como c f+ + / = -ls # = 0, como indicado em H.1.3, esta incerteza também em nada contribui para a incerteza de primeira ordem de l; mas ela tem uma contribuição de segunda ordem, que é discutida em H.1.7. H.1.3.5 Incerteza da diferença nos coeficientes de ex- pansão térmica, u(#) Os limites estimados da variabilidade de # são 1 x 10-6 ºC-1, com igual probabilidade de # ter qualquer valor dentro des- tes limites. A incerteza padrão é: u( ) ( /# 1 10 6 C ) 3 = 0,58 10 C-1 -6 -1 H.1.3.6 Incerteza da diferença nas temperaturas dos blocos, u(#+) Espera-se que o padrão e o bloco sob ensaio estejam na mesma temperatura, mas a diferença de temperatura pode estar com igual probabilidade em qualquer lugar no inter- valo estimado -0,05 ºC a + 0,05 ºC. A incerteza padrão é: u( ) ( , /#+ 0 05 C) 3 = 0,029 C H.1.4 A incerteza padrão combinada A incerteza padrão combinada uc(l) é calculada pela equa- ção (H.5). Os termos individuais são coletados e substituí- dos nesta expressão para obter: u lc 2 ( ) = (25 nm) + (9,7 nm)2 2 (H.6a) + (0,05 m) (-0,1 C) (0,58 10 C ) +2 2 -6 -1 2 + (0,05 m) (11,5 10 C ) (0,029 C)2 -6 -1 2 2 = (25 nm) + (9,7 nm)2 2 (H.6b) + (2,9 nm) + (16,6 nm)2 2 =1002 nm 2 Ou: u lc ( ) 32 nm (H.6c) O componente dominante da incerteza é, obviamente, aquele do padrão, u(ls) = 25 nm. H.1.5 Resultado final O certificado de calibração para o bloco padrão fornece ls = 50,000 623 mm como seu comprimento, a 20 ºC. A média aritmética d das cinco observações repetidas da dife- rença nos comprimentos entre o bloco padrão desconhecido e o padrão de referência é de 215 nm. Assim, como l = ls + d (ver H.1.2), o comprimento l do bloco padrão desconheci- do, a 20 ºC, é 50,000 838 mm. De acordo com 7.2.2, o re- sultado final da medição pode ser declarado como: l = 50,000 838 mm, com uma incerteza padrão combi- nada uc = 32 nm. A incerteza padrão relativa combina- da correspondente é uc / l = 6,4 x 10-7. H.1.6 Incerteza expandida Suponha que seja requerida a obtenção de uma incerteza expandida U99 = k99 uc(l) que forneça um intervalo, tendo um nível da confiança de aproximadamente 99 por cento. O procedimento a ser utilizado está resumido em G.6.4, e os graus de liberdade requeridos estão indicados na tabela H.1. Estes foram obtidos como se segue: 1) Incerteza de calibração do padrão, u(ls) [H.1.3.1]. O certificado de calibração declara que os graus de li- berdade efetivos da incerteza padrão combinada da qual foi obtida a incerteza expandida citada são eff ( ) .l s 18 2) Incerteza da diferença medida nos comprimentos, u(d) [H.1.3.2]. Embora d fosse obtido de cinco observa- ções repetidas, em razão de u(d ) ter sido obtido de um desvio padrão experimental agrupado baseado em 25 obser- vações, os graus de liberdade de u(d ) são (d ) = 25 - 1 = 24 (ver H.3.6 - nota). Os graus de liberdade de u(d1), a in- certeza devido aos efeitos aleatórios no comparador, são (d1) = 6 -1 = 5, por d1 ter sido obtido de seis medições repetidas. A incerteza de 0,02 m para efeitos sistemá- ticos no comparador pode ser suposta como sendo confi- ável a 25 por cento e, assim, os graus de liberdade da equação (G.3), em G.4.2, é (d2) = 8 (ver o exemplo de G.4.2). Os graus de liberdade efetivos de u(d), eff(d), são, então, obtidos da equação (G.2b), em G.4.1: eff ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( d u d u d u d u d d u d d 2 2 1 2 2 2 4 4 1 1 ) ( ) ( ) u d d 4 2 2 82 Anexo H Exemplos Expressão da Incerteza de Medição u y y y x y x u x u x r x xl m i N j N l i m j i j i j( , ) ( ) ( ) ( . ) 1 1 (H.9) onde y f x x xl l N ( , , , )1 2 e y f x x xm m N ( , , , )1 2 . A equação (H.9) é a generalização da equação (F.2), em F.1.2.3, quando os ql são correlacionados. Os coeficientes de correlação estimados das grandezas de saída são dados por r(yl,ym) = u(yl,ym)/u(yl)u(ym), como indicado na equação (14), em 5.2.2. Deve-se reconhecer que os elementos diago- nais da matriz de covariância, u(yl,yl) ! u2(yl), são as variân- cias estimadas das grandezas de saída yl (ver 5.2.2, nota 2) e que, para m = l, a equação (H.9) é idêntica à equação (16), em 5.2.2. Para aplicar a equação (H.9) neste exemplo, as seguintes identificações são feitas: y1 = R x1 = V u(xi) = s(xi) y2 = X x2 = I N = 3 y3 = Z x3 = 3 Os resultados dos cálculos de R, X e Z e de suas variân- cias estimadas e coeficientes de correlação são dados na Tabela H.3. H.2.4 Resultados: enfoque 2 O enfoque 2 está resumido na tabela H.4. Uma vez que os dados tenham sido obtidos de cinco conjun- tos de observações das três grandezas de entrada V, I e 3, é possível computar um valor para R, X e Z de cada conjunto de dados de entrada e, então, tomar a média aritmética dos cinco valores individuais para obter as melhores estimativas de R, X e Z. O desvio padrão experimental de cada média (que é a sua incerteza padrão combinada) é, então, calculado a partir dos cinco valores individuais da maneira usual [equa- ção (5), em 4.2.3]; e as covariâncias estimadas das três médi- as são calculadas, aplicando-se a equação (17), em 5.2.3, di- retamente aos cinco valores individuais dos quais cada média é obtida. Não existem diferenças nos valores de saída, in- certezas padrão e covariâncias estimadas fornecidas pelos dois enfoques, exceto para efeitos de segunda ordem associ- ados com a substituição de termos tais como V I/ e cos 3 por V I/ e cos 3 . Para demonstrar este enfoque, a tabela H.4 dá os valores de R, X e Z calculados para cada um dos cinco conjuntos de ob- servações. As médias aritméticas, incertezas padrão e coefi- cientes de correlação estimados são, então, diretamente com- putados destes valores individuais. Os resultados numéricos obtidos dessa maneira diferem dos resultados fornecidos, na tabela H.3, por um valor desprezível. Na terminologia da nota de 4.1.4, o enfoque 2 é um exem- plo a obtenção da estimativa y a partir de Y Y n k n k ( ) / 1 , 85 Expressão da Incerteza de Medição Anexo H Exemplos Tabela H.2 - Valores das grandezas de entrada V, I e 3 obtidos de cinco conjuntos de observações simultâneas Nº do conjunto k Grandezas de Entrada V (V) I (mA) 3 (rad) 1 5,007 19,663 1,0456 2 4,994 19,639 1,0438 3 5,005 19,640 1,0468 4 4,990 19,685 1,0428 5 4,999 19,678 1,0433 Média aritmética Desvio padrão experimental da média V 4 9990, s V( ) , 0 0032 I 19 6610, s I( ) , 0 0095 3 1 044 46, s( ) ,3 0 000 75 Coeficientes de correlação r V I( , ) , 0 36 r V( , ) ,3 0 86 r I( , ) ,3 0 65 86 Anexo H Exemplos Expressão da Incerteza de Medição Tabela H.3 - Valores calculados das grandezas de saída R, X e Z: enfoque 1 Índice do mensurado l Relação entre a estimativa do mensu- rando yl e a estimativa de entrada xi Valor da estimativa yl , que é o resultado da medição Incerteza padrão combinada uc(yl) do resultado da medição 1 y1 = R = (V I/ ) cos3 y1 = R = 127,732 uc(R) = 0,071 uc(R)/R = 0,06 x10-2 2 y2 = X = ( / )V I sen 3 y2 = X = 219,847 uc(X) = 0,295 uc(X)/X = 0,13 x10-2 3 y3 = Z V I/ y3 = Z = 254,260 uc(Z) = 0,236 uc(Z)/Z = 0,09 x10-2 Coeficiente de correlação r (yl , ym) r y y r R X( , ) ( , ) ,1 2 0 588 r y y r R Z( , ) ( , ) ,1 3 0 485 r y y r X Z( , ) ( , ) ,2 3 0 993 Tabela H.4 - Valores calculados das grandezas de saída R, X e Z: enfoque 2 Nº do conjunto k Valores individuais dos mensurandos R V I ( / ) cos ( )3 X V I ( / ) ( )sen 3 Z V I / ( ) 1 2 3 4 5 127,67 127,89 127,51 127,71 127,88 220,32 219,79 220,64 218,97 219,51 254,64 254,29 254,84 253,49 254,04 Média aritmética Desvio pa- drão da mé- dia ex- perimental y R1 127 732 , s R( ) , 0 071 y X2 219 847 , s X( ) , 0 295 y Z3 254 260 , s Z( ) , 0 236 Coeficiente de correlação r (yl , ym) r y y r R X( , ) ( , ) ,1 2 0 588 r y y r R Z( , ) ( , ) ,1 3 0 485 r y y r X Z( , ) ( , ) ,2 3 0 993 enquanto que o enfoque 1 é um exemplo de obtenção de y a partir de y = ƒ( , , )X X X N1 2 . Como ressaltado naquela nota, em geral, os dois enfoques fornecerão resultados idênticos, se f é uma função linear de suas grandezas de entrada (desde que os coeficientes de correlação observados experimentalmente sejam levados em consideração quando se implementa o enfoque 1). Se f não é uma função linear, então os resultados do enfoque 1 diferirão daqueles do enfo- que 2, dependendo do grau de não-linearidade e das variân- cias e covariâncias estimadas de Xi. Isso pode ser visto na ex- pressão: y X X X N ƒ ( , , , )1 2 (H.10) 1 2 1 1 2 i N j N i j i j X X u X X ƒ , ( , ) onde o segundo termo, no lado direito da igualdade, é o termo de segunda ordem da expansão da série de Taylor de f em termos de X i (ver também 5.1.2, nota). No presen- te caso, o enfoque 2 é preferível porque ele evita a aproxi- mação y = ƒ( , , , )X X X N1 2 e reflete melhor o procedi- mento de medição utilizado - os dados foram, na realida- de, coletados em conjuntos. Por outro lado, o enfoque 2 seria inadequado se os dados da tabela H.2 representassem n1 = 5 observações da dife- rença de potencial V, seguidas por n2 = 5 observações da corrente I, e, então, seguidas por n3 = 5 observações da fase 3, e seria impossível, se n1 n2 n3 . (É, na realidade, um mau procedimento de medição executar as medições dessa maneira, uma vez que a diferença de potencial atra- vés de uma impedância fixada e a corrente através dela são diretamente relacionadas). Se os dados da tabela H.2 forem reinterpretados dessa ma- neira, de modo que o enfoque 2 seja inadequado, e se as correlações entre as grandezas V, I e 3 forem supostas como ausentes, então os coeficientes de correlação obser- vados não têm nenhum significado e devem ser tomados como sendo zero. Se isto é feito na Tabela H.2, a equação (H.9) reduz-se ao equivalente da equação (F.2), em F.1.2.3, isto é: u y y y x y x u xl m i N l i m i i( , ) ( ) 1 2 (H.11) e sua aplicação aos dados da tabela H.2 leva às alterações na tabela H.3, mostradas na tabela H.5: Tabela H.5 - Alterações na tabela H.3 sob a hipótese de que os coeficientes de correlação da tabela H.2 são zero Incerteza padrão combinada uc(yl) do resultado de medição u Rc ( ) , 0195 u R Rc ( ) / , 015 10 2 u Xc ( ) , 0 201 u X Xc ( ) / , 0 09 10 2 u Zc ( ) , 0 204 u Z Zc ( ) / , 0 08 10 2 Coeficientes de correlação, r (yl , ym) r (y1, y2) = r (R, X) = 0,056 r (y1, y3) = r (R, Z) = 0,527 r (y2, y3) = r (X, Z) = 0,878 87 Expressão da Incerteza de Medição Anexo H Exemplos t = 24,0085 ºC no presente caso, repetindo-se o ajuste de mínimos quadrados, com t t Co 24 0085, , levará a va- lores de y1 e y2 não-correlacionados. (A temperatura t é também a temperatura na qual u2[b(t)] é um mínimo - ver H.3.4). Entretanto, repetir o ajuste é desnecessário porque pode ser mostrado que: b t y y t t( ) ( ) 1 1 2 (H.16a) u b t u y t t u yc 2 2 1 2 2 2[ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 (H.16b) r y y( , )1 2 01 (H.16c) onde: y y y t t1 1 2 01 ( ) t t s y r y y s y 0 1 1 2 2( ) ( , ) / ( ) s y s y r y y2 1 2 1 2 1 21( ) ( )[ ( , )]1 e, ao escrever a equação (H.16b), as substituições u y( )1 1 = s y( )1 1 e u(y2) = s(y2) foram feitas [ver a equação (H.15)]. Aplicando essas relações aos resultados fornecidos em H.3.3, tem-se: b t( ) , ( ) 01625 11 (H.17a) 0 00218 67 24 0085, ( )( , )t C u b tc 2 20 0011[ ( )] ( , ) (H.17b) ( ,t 24 0085 C) (0,000 67)2 2 Pode-se verificar que estas expressões fornecem os mesmos resultados que as equações (H.14) e (H.15), repetindo-se o cálculo de b(30 ºC) e uc[b(30 ºC)]. Substituindo t = 30 ºC nas equações (H.17a) e (H.17b), tem-se: b(30 ºC) = -0,1494 ºC uc[b(30 ºC)] = 0,0041 ºC que são idênticos aos resultados obtidos em H.3.4. A co- variância estimada entre as duas correções previstas b(t1) e b(t2) pode ser obtida da equação (H.9), em H.2.3. H.3.6 Outras considerações O método dos mínimos quadrados pode ser usado para ajus- tar curvas de ordem superior aos pontos correspondentes aos dados, e é também aplicável aos casos em que os dados indi- viduais têm incertezas. Textos de referência sobre o assunto devem ser consultados para maiores detalhes [8]. Entretanto, os seguintes exemplos ilustram dois casos nos quais as corre- ções medidas bk não são supostas como exatamente conheci- das. 1) Considere cada tk tendo uma incerteza desprezível, considere que cada um dos n valores tR,k seja obtido de uma série de m leituras repetidas e considere que a es- timativa agrupada de variância para tais leituras basea- das em uma grande quantidade de dados obtidos ao longo de muitos meses, seja s2p . Então a variância esti- mada de cada tR,k é s m up 2 0 2/ , e cada correção obser- vada b t tk R k k , tem a mesma incerteza padrão u0. Sob estas circunstâncias (e sob a suposição de que não existe razão para se crer que o modelo linear seja in- correto), u0 2 substitui s2 nas equações (H.13c) e (H.13d). NOTA - A estimativa agrupada de variância s p 2, baseada em N séries de observações independentes da mesma variável aleatória, é obtida de: s s p i N i i i N i 2 1 2 1 onde si 2 é a variância experimental da i-ésima série de ni obser- vações repetidas independentes [equação (4), em 4.2.2] e tem graus de liberdade i in 1. Os graus de liberdade de s p 2 são i N i 1 . A variância experimental s p 2/m (e o desvio padrão experimental s mp / ) da média aritmética de m observações in- dependentes, caracterizada pela estimativa agrupada da variância s p 2, também tem graus de liberdade. 2) Suponha que cada tk tenha incerteza desprezível, que uma correção 0k seja aplicada a cada um dos n valores tR,k e que cada correção tenha a mesma in- certeza padrão ua. Então, a incerteza padrão de cada b t tk R k k , é, também, ua e s y 2 1( ) é substituído por s y ua 2 1 2( ) e s y2 1( )1 é substituído por s y ua 2 1 2( )1 . 90 Anexo H Exemplos Expressão da Incerteza de Medição H.4 Medição de atividade Este exemplo é similar ao exemplo H.2, a medição simul- tânea de resistência e reatância, na qual os dados podem ser analisados de duas maneiras diferentes, fornecendo es- sencialmente os mesmos resultados numéricos. O primeiro enfoque ilustra, mais uma vez, a necessidade de se levar em conta as correlações observadas entre as grandezas de entrada. H.4.1 O problema de medição A concentração desconhecida de atividade do radônio (222Rn), em uma amostra de água, é determinada pela con- tagem por cintilação líquida comparada com uma amostra padrão de radônio em água, tendo uma concentração de atividade conhecida. A concentração de atividade desco- nhecida é obtida, medindo-se três fontes de contagem con- sistindo de, aproximadamente, 5 g de água e 12 g de emul- são cintiladora orgânica em frascos de 22 ml de volume: Fonte (a) um padrão consistindo de uma massa ms de uma solução padrão com uma concen- tração de atividade conhecida; Fonte (b) uma amostra branca equivalente de água não contendo material radioativo, usada para obter a taxa de contagem de fundo (background); Fonte (c) a amostra consistindo de uma alíquota de massa mx com uma concentração de ativi- dade desconhecida. Seis ciclos de medição das três fontes de contagem são re- alizados nesta ordem: padrão - amostra branca - amostra; cada intervalo de contagem T0 , corrigido para tempo mor- to, para cada fonte, durante todos os seis ciclos, é de 60 minutos. Embora a taxa de contagem de fundo não pos- sa ser suposta como constante durante todo o intervalo de contagem (65 horas), supõe-se que o número de contagens obtido para cada amostra branca possa ser usado como re- presentativo da taxa de contagem de fundo durante as me- dições do padrão e da amostra no mesmo ciclo. Os dados são fornecidos na Tabela H.7, onde: tS, tB, tx são os tempos desde o tempo de referência t = 0 até o ponto médio dos intervalos de contagem T0 = 60 min, corrigidos para tem- po morto para os recipientes com o padrão, a amostra branca e a amostra, respectivamente; embora tB seja dado para a completeza, ele não é necessário à análise; CS, CB, Cx são os números de contagens registrados nos intervalos de contagem T0 = 60 min, corrigidos para tempo morto, para os reci- pientes com o padrão, amostra branca e amostra, respectivamente. As contagens observadas podem ser expressas como: CS = CB + 0 AST0mSe-ts (H.18a) Cx = CB + 0 AxT0mxe-tx (H.18b) onde: 0 é a eficiência de detecção da cintilação líquida para 222Rn, para uma dada composição de fonte, suposta como sendo independente do nível de atividade; AS é a concentração de atividade do padrão no tem- po de referência t = 0; 91 Expressão da Incerteza de Medição Anexo H Exemplos Tabela H.7 - Dados de contagem para determinação da concentração de atividade de uma amostra desconhecida Ciclo Padrão Amostra Branca Amostra k tS (min) CS (contagens) tB (min) CB (contagens) tx (min) Cx (contagens) 1 243,74 15 380 305,56 4054 367,37 41 432 2 984,53 14 978 1046,10 3922 1107,66 38 706 3 1723,87 14 394 1785,43 4200 1846,99 35 860 4 2463,17 13 254 2524,73 3830 2586,28 32 238 5 3217,56 12 516 3279,12 3956 3340,68 29 640 6 3956,83 11 058 4018,38 3980 4079,94 26 356 Ax é o mensurando e é definido como a concentra- ção de atividade desconhecida da amostra no tempo de referência t = 0; mS é a massa da solução padrão; mx é a massa da alíquota de amostra; é a constante de decaimento para o 222Rn: (ln ) / , min2 1 258 94 101 2 4 1T ( , min).T1 2 5505 8 As equações (H.18a) e (H.18b) indicam que nenhum dos seis valores individuais, seja de CS ou de Cx, dados na ta- bela H.7, pode fornecer uma média diretamente por causa do decaimento exponencial da atividade do padrão e da amostra, e de pequenas variações na contagem de fundo de um para outro ciclo. Em vez disso, deve-se trabalhar com contagens corrigidas para o decaimento e para o fundo (ou taxas de contagem definidas como o número de contagens dividido por T0 = 60 min). Isto sugere a combinação das equações (H.18a) e (H.18b), para obter a seguinte expressão para a concentração desconhecida em termos das grandezas conhecidas: Ax = f (AS, mS, mx, CS, Cx, CB, tS, tx, ) = = AS m m C C e C C e S x x B x S B s t t ( ) ( ) (H.19) = AS m m C C C C eS x x B S B x st t ( ) onde (Cx - CB)e tx e (CS - CB)e ts são, respectivamente, as contagens, corrigidas para contagens de fundo, da amostra e do padrão no tempo de referência t = 0 e para o intervalo de tempo T0 = 60 min. Alternativamente, pode-se simplesmente escrever: Ax = f(AS,mS,mx,RS,Rx) A m m R R s S x x s (H.20) onde as taxas de contagem, Rx e RS, corrigidas para conta- gens de fundo e para decaimento, são dadas por: 4 5 R C C T ex x B O xt / (H.21a) 4 5 R C C T es s B O st / (H.21b) H.4.2 Análise de dados A tabela H.8 resume os valores das taxas de contagem RS e Rx corrigidas para contagem de fundo e para de- caimento, calculados a partir das equações (H.21a) e (H.21b), usando os dados da tabela H.7 e = 1,258 94 x 10-4 min-1, como fornecidos anterior- mente. Deve-se notar que a razão R = Rx/RS é calcula- da, de forma mais simples, pela expressão: [(Cx - CB)/(CS - CB)]e( )tx t s As médias aritméticas RS , Rx e R, e seus desvios padrão experimentais s( RS ), s( Rx ) e s( R ) são calculados do modo usual [equações (3) e (5), em 4.2]. O coeficiente de correlação r(Rx , RS ) é calculado pela equação (17), em 5.2.3, e pela equação (14), em 5.2.2. Em vista da variabilidade comparativamente pequena dos valores de Rx e de RS, a razão das médias R Rx S/ e sua incerteza padrão u(R Rx S/ ) são, respectivamente, quase as mesmas que a razão média R e seu desvio padrão expe- rimental s(R), tais como listados na última coluna da tabe- la H.8 [ver H.2.4 e a equação (H.10)]. Entretanto, ao cal- cular a incerteza padrão u R Rx S( / ), a correlação entre Rx e RS, como representada pelo coeficiente de correlação r R Rx S( , ), deve ser levada em conta, usando a equação (16), em 5.2.2. [Essa equação fornece, para a variân- cia relativa estimada de R Rx S/ , os últimos três termos da equação (H.22b)]. Deve-se reconhecer que os respectivos desvios padrão ex- perimentais de Rx e de RS, 6 s Rx( ) e 6 s RS( ) indicam uma variabilidade nessas grandezas, que é duas a três ve- zes maior do que a variabilidade deduzida pela estatística de Poisson do processo de contagem, sendo que a última é incluída na variabilidade observada de contagem e não precisa ser contabilizada separadamente. H.4.3 Cálculo dos resultados finais Para obter a concentração de atividade desconhecida Ax e sua incerteza padrão combinada uc(Ax), pela equação (H.20) são requeridas, AS, mx e mS e suas incertezas pa- drão. Sendo dadas como: AS = 0,1368 Bq/g u(AS) = 0,0018 Bq/g; u(AS)/AS = 1,32 x 10 -2 mS = 5,0192 g u(mS ) = 0,005 g; u(mS )/mS = 0,10 x 10 -2 92 Anexo H Exemplos Expressão da Incerteza de Medição H.5 Análise de variância Este exemplo fornece uma breve introdução aos métodos de análise de variância (ANOVA). Estas técnicas estatísti- cas são utilizadas para identificar e quantificar efeitos ale- atórios individuais em uma medição, de modo que possam ser apropriadamente levados em conta quando se avalia a incerteza do resultado da medição. Embora os métodos ANOVA sejam aplicáveis a uma ampla faixa de medições, por exemplo, a calibração de padrões de referência, tais como os padrões de tensão Zener e padrões de massa, e a certificação de materiais de referência, os métodos ANO- VA por si só não podem identificar efeitos sistemáticos que possam estar presentes. Existem muitos modelos diferentes incluídos sob o nome geral de ANOVA. Por causa da sua importância, o modelo específico discutido nesse exemplo é o arranjo aninhado balanceado1. A ilustração numérica desse modelo envolve a calibração de um padrão de tensão Zener; a análise deve ser relevante a uma variedade de situações práticas de me- dição. Métodos ANOVA são de importância especial na certifi- cação de materiais de referência (MRs), por meio de en- saios interlaboratoriais, um tópico abrangido minuciosa- mente no Guia ISO 35 [19] (ver H.5.3.2 para uma breve descrição da certificação de MRs). Como muito do mate- rial contido no Guia ISO 35 é, de fato, largamente aplicá- vel, esta publicação pode ser consultada para detalhes adicionais relativos à ANOVA, incluindo arranjos ani- nhados não balanceados. As referências [15] e [20] po- dem ser igualmente consultadas. H.5.1 O problema de medição Considere um padrão de tensão Zener de 10 V nominais calibrado contra uma referência de tensão estável, por um período de duas semanas. Em cada um dos J dias durante o período, k observações repetidas independentes da dife- rença de potencial Vs do padrão foram realizadas. Se Vjk denota a k-ésima observação Vs (k = 1, 2, ..., K) no j-ésimo dia (j = 1, 2, ..., J), a melhor estimativa da diferença de potencial do padrão é a média aritmética V das JK obser- vações [ver equação (3), em 4.2.1]: V JK V Vs j J k K jk 1 1 1 (H.24a) O desvio padrão experimental da média s(V), que é uma me- dida da incerteza de V, como uma estimativa da diferença de potencial do padrão, é obtido de [ver equação (5), em 4.2.3.]: s V JK JK V V j J k K jk 2 1 1 21 1 ( ) ( ) ( ) (H.24b) NOTA - Supõe-se ao longo deste exemplo que todas as correções aplicadas às observações, para compensar efeitos sistemáticos, ten- ham incertezas desprezíveis, ou que suas incertezas sejam tais que possam ser levadas em conta no final da análise. Uma correção nesta última categoria, e uma que pode por si mesma ser aplicada à média das observações no final da análise, é a diferença entre o valor certifi- cado (suposto de ter uma dada incerteza) e o valor de trabalho da tensão de referência estável contra o qual o padrão de tensão Zener é calibrado. Assim, a estimativa da diferença de potencial do padrão, obtida estatisticamente a partir das observações, não é, necessaria- mente, o resultado final da medição; e o desvio padrão experimental da estimativa não é, necessariamente, a incerteza padrão combinada do resultado final. O desvio padrão experimental da média s(V), como obtido da equação (H.24b), é uma medida apropriada da incerteza de V somente se a variabilidade das observações dia a dia for a mesma que a variabilidade das observações realiza- das em um único dia. Se existir evidência de que a variabi- lidade entre dias (denominada variabilidade entre-dias) seja significativamente maior do que se possa esperar da variabilidade em um mesmo dia (denominada variabilida- de intra-dia), a utilização dessa expressão poderia levar a uma declaração consideravelmente incompleta da incerte- za de V. Assim, duas questões surgem: como se deve decidir se a variabilidade entre dias (caracterizada por um componente entre-dias da variância) é significante em comparação à variabilidade em um mesmo dia (caracterizada por um componente intra-dia da variância), e, se isso ocorrer, como se deve avaliar a incerteza da média? H.5.2 Um exemplo numérico H.5.2.1 Os dados que permitem tratar as questões acima são fornecidos na tabela H.9, onde: J = 10 é o número de dias nos quais as observações da diferença de potencial foram realizadas; 95 Expressão da Incerteza de Medição Anexo H Exemplos 1 NT: Essa expressão corresponde, na versão original, a “balanced nested design”. K = 5 é o número de observações da diferença de po- tencial realizadas em cada dia; V K Vj k K jk 1 1 (H.25a) é a média aritmética das K = 5 observações da diferença de potencial realizadas no j-ésimo dia (existem J = 10 mé- dias diárias); V J V JK V j J j j J jk k K 1 1 1 1 1 (H.25b) é a média aritmética das J = 10 médias diárias e, conse- qüentemente, é a média global das JK = 50 observações; s V K V Vjk k K jk j 2 1 21 1 ( ) ( ) (H.25c) é a variância experimental das K = 5 observações realiza- das no j-ésimo dia (existem J = 10 estimativas da variân- cia); s V J V Vj j J j 2 1 21 1 ( ) ( ) (H.25d) é a variância experimental das J = 10 médias diárias (exis- te somente uma estimativa da variância). H.5.2.2 A consistência da variabilidade intra-dia e a vari- abilidade entre-dias das observações pode ser investigada, comparando-se duas estimativas independentes de W 2 , a componente intra-dia da variância (isto é, a variância das observações realizadas no mesmo dia). A primeira estimativa de W 2 , denotada por sa 2 , é obtida da variação observada das médias diárias Vj . Como Vj é a média de K observações, sua variância estimada s Vj 2 ( ), sob a hipótese de que o componente entre-dias da variân- cia seja zero, estima W 2 /K. Segue, então, da equação (H.25d) que: s K s Va j 2 2 ( ) (H.26a) K J V V j J j 1 1 2( ) que é uma estimativa de W 2 , tendo va = J - 1 = 9 graus de liberdade. A segunda estimativa de W 2 , denotada por sb 2 , é a estima- tiva agrupada da variância obtida de J = 10 valores indivi- duais de s Vjk 2 ( ), utilizando-se a equação da nota H.3.6, na qual os dez valores individuais são calculados a partir da equação (H.25c). Em razão de os graus de liberdade de cada um destes valores serem vi = k - 1, a expressão resul- tante para sb 2 é, simplesmente, sua média. Assim: s s V J s Vb jk j J jk 2 2 1 21 ( ) ( ) 96 Anexo H Exemplos Expressão da Incerteza de Medição Tabela H.9 - Resumo dos dados de calibração do padrão de tensão obtidos em J = 10 dias, com cada média diária V j e desvio padrão experimental s(Vjk ) baseados em K = 5 observações repetidas e independentes Dia, j 1 2 3 4 5 Grandeza V j /V 10,000 172 10,000 116 10,000 013 10,000 144 10,000 106 s Vjk( ) /V 60 77 111 101 67 Dia, j 6 7 8 9 10 Grandeza V j / V 10,000 031 10,000 060 10,000 125 10,000 163 10,000 041 s Vjk( ) /V 93 80 73 88 86 V 10 000 097, V s Ks Va j 2 2 2 25 57 128 ( ) ( ) (V V) s V j( ) 57 V s s Vb jk 2 2 285 ( ) ( )V 1 1 1 1 2 J K V V j J k K jk j ( ) ( ) (H.26b) que é uma estimativa de W 2 , tendo v J Kb ( )1 40 graus de liberdade. As estimativas de W 2 , dadas pelas equações (H.26a) e (H.26b), são s Va 2 2128 ( ) e s Vb 2 285 ( ) , respec- tivamente (ver tabela H.9). Como a estimativa sa 2 é basea- da na variabilidade das médias diárias enquanto a estimati- va sb 2 é baseada na variabilidade de observações diárias, sua diferença indica a possível presença de um efeito que varia de um dia para outro, mas que permanece relativa- mente constante quando as observações são realizadas em um único dia. O teste-F é utilizado para verificar essa pos- sibilidade e, conseqüentemente, a suposição de que o com- ponente entre-dias da variância seja zero. H.5.2.3 A distribuição-F é a distribuição de probabilidade da razão F v v s v s va b a a b b( , ) ( ) / ( ) 2 2 de duas estimativas independentes, s va a 2 ( ) e s vb b 2 ( ), da variância 2 de uma variável aleatória normalmente distribuída [15]. Os parâmetros va e vb são os respectivos graus de liberdade das duas estimativas e 0 $F v va b( , ) . Valores de F são tabulados para diferentes valores de va e vb e vários quantis da distribuição-F. Um valor de F v va b( , ) 6 F0,95 ou F v va b( , ) 6 F0,975 (o valor crítico) é usualmente inter- pretado como indicação de que s va a 2 ( ) é maior do que s vb b 2 ( ), por uma quantidade estatisticamente significativa, e que a probabilidade de um valor de F tão grande quanto aquele observado, se as duas estimativas forem estimati- vas da mesma variância, é menor do que 0,05 ou 0,025, re- spectivamente. (Outros valores críticos podem também ser escolhidos, tal como F0 99, ). H.5.2.4 A aplicação do teste-F ao presente exemplo númerico fornece: F v v s s Ks V s V a b a b j jk ( , ) ( ) ( ) 2 2 2 2 (H.27) 5 57 85 2 25 2 2 ( ) ( ) , V V com a J 1 9 graus de liberdade no numerador e b J K ( )1 40 graus de liberdade no denominador. Como F0 95 9 40 212, ( , ) , e F0 975 9 40 2 45, ( , ) , , conclui- se que existe um efeito entre-dias estatisticamente signifi- cativo no nível de 5 por cento de significância, mas não no nível de 2,5 por cento. H.5.2.5 Se a existência de um efeito entre-dias é rejeitada porque a diferença entre sa 2 e sb 2 não é vista como estatisti- camente significativa (uma decisão imprudente, pois poderia levar a uma subestimação da incerteza), a variân- cia estimada s V2 ( ) de V deve ser calculada da equação (H.24b). Esta relação é equivalente a agrupar as estimati- vas sa 2 e sb 2 (isto é, tomando-se a média ponderada de sa 2 e sb 2 , cada uma ponderada por seus respectivos graus de liberdade a e b - ver nota de H.3.6) para se obter a melhor estimativa da variância das observações; e divid- indo essa estimativa por JK (o número de observações) para obter a melhor estimativa s V2 ( ) da variância da média das observações. Seguindo este procedimento, te- mos: s V J s J K s JK JK a b2 2 21 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (H.28a) 9 128 40 85 10 5 49 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V V ( ,13 V) ou2 s V( ) 13 V (H.28b) com s V( ) tendo JK - 1 = 49 graus de liberdade. Se supomos que todas as correções para os efeitos siste- máticos já tenham sido levadas em conta e todos os outros componentes da incerteza são não-significativos, então o resultado da calibração pode ser declarado como V Vs 10 000 0097, V (ver tabela H.9), com uma incerteza padrão combinada de s V uc( ) 13 V, e com uc tendo 49 graus de liberdade. NOTAS 1. Na prática, haveria, muito provavelmente, componentes adicio- nais de incerteza que seriam significativos e, portanto, deveriam ser combinados com o componente de incerteza obtido estatisticamente a partir das observações (ver nota de H.5.1). 2. A equação (H.28a), para s V2 ( ), pode ser mostrada como sendo equivalente à equação (H.24b), escrevendo-se a dupla soma, denota- da por S, na equação como: S V V V V j J k K jk j j 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )J s J K sa b1 1 2 2 97 Expressão da Incerteza de Medição Anexo H Exemplos