UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

DISCIPLINA: MAT 05 – ÁLGEBRA LINEAR

PROFESSOR: ÂNGELA

Aplicação da álgebra linear em um problema prático de engenharia: Manipulador Robótico

Nomes: N.º:

Bruno Alexandre Roque 85732

Guilherme Augusto de Oliveira 85733

1. Introdução

Um manipulador robótico pode ser esquematizado, do ponto de vista mecânico, como uma cadeia cinemática aberta, formada por corpos rígidos ou flexíveis (braços), conexos em cascata por meio de juntas rotacionais ou translacionais. A cinemática (estudo do movimento, levando em conta apenas posição, velocidade e aceleração) relaciona as variáveis de junta e posição com a orientação de cada segmento (braço) do robô.

Com isso, têm-se dois tipos de cinemática: a cinemática direta, que define a posição do atuador em função das variáveis de junta (comprimentos e ângulos); e a cinemática inversa, que determina os valores dos ângulos para que o atuador atinja a posição determinada. Para representar a posição e orientação de um braço utilizam-se as transformações lineares matriciais homogêneas que descrevem as translações e rotações dos braços decorrentes da variação do ângulo das juntas. Para cada posição x do Domínio da transformação T, T(x) é dado por Ax, onde A é uma matriz m x n.

Dessa maneira, o objetivo é gerar resultados analíticos na representação da cinemática direta e inversa que definem a posição das articulações, integrando esses conhecimentos aos recursos computacionais, a fim de desenvolver animações que simulem o comportamento do robô no espaço.

2. Desenvolvimento Teórico

Para solucionar os problemas de cinemática direta e inversa, “basta” saber computar as relações matemáticas entre as posições de cada elo ( posição, velocidade, aceleração e suas derivadas).

    • Adora-se um sistema de coordenadas por elo.

    • Utilizam-se conceitos de álgebra linear de transformações lineares:

Figura 1 - Desenho esquemático do movimento das juntas do manipulador robótico

Uma descrição é uma matriz utilizada para descrever os objetos com os quais um manipulador deve tratar. A descrição de uma posição é uma matriz 3 x 1:

A descrição de uma orientação é uma matriz de rotação 3 x 3. Denota-se a diferença entre a orientação desejada e um sistema de coordenadas qualquer:

Um sistema de referência é uma descrição da posição e orientação de um objeto de maneira conjunta. É composto por 4 matrizes, que equivalem a uma matriz de posição (origem do sistema) e uma matriz de rotação.

A matriz de posição, para se adotar a origem do sistema, podem ser as seguintes origens:

  • Sistema de coordenadas do mundo.

  • Sistema de coordenadas de juntas.

  • Sistema de coordenadas do ponto de montagem.

  • Origem do sistema: Centro do Atuador.

Os mapeamentos descrevem a relação entre os descritores de dois sistemas de referências. Permitem a mudança de um sistema de referência para outro. Podem ser:

    • Translação.

    • Rotação.

    • Combinação dos dois.

Figura 2 – Representação cartesiana da rotação em três dimensões

x0 = x1 + xf,

y0 = y1 + yf

x0 = x1 * cosq - y1 * senq

y0 = x1 * senq + y1 * cosq

Figura 3 – Representação cartesiana da rotação em duas dimensões

Figura 4 – Representação cartesiana de uma rotação em três dimensões

A seguir, as matrizes de rotação em três dimensões são as seguintes:

Pode haver a relação entre dois sistemas, como, por exemplo, uma rotação e uma translação, bem como a combinação de muitos processos, como por exemplo em um manipulador robótico complexo, com vários graus de liberdade.

Figura 5- Representação cartesiana de uma translação e rotação em duas dimensões

Para representar tal transformação, a matemática usa as coordenadas homogêneas. Para implementar a composição de translação e rotação se torna complicada quando se deseja realizar diversas operações. Fato comum em Álgebra Linear, usada em Robótica e Computação Gráfica. Matrizes de transformações homogêneas permitem compor transformações de maneira elegante,em rotações, translações e escalas, bem como em qualquer dimensão do espaço

Uma representação homogênea de um vetor n-dimensional utiliza um vetor com n+1 elementos.O vetor real é obtido dividindo-se todos os elementos pelo elemento n+1. O elemento n+1 é um fator de escala.

Através de uma matriz homogênea, pode-se representar um conjunto de transformações em duas dimensões através de uma de matriz quadrada de ordem 3:

A matriz de transformação homogênea 3D é da seguinte forma:

A seguir, serão enunciadas algumas interpretações acerca da matriz de transformação homogênea:

  • A matriz 4 x 4 de transformação homogênea pode ser interpretada como a descrição de um frame: descreve o frame {B} em relação ao frame {A}.

  • Uma transformação de mapeamento, mapeia .

  • Uma operador de transformação, que utiliza apenas um frame e muda os objetos de posição: R(q), por exemplo.

A seguir consta um exemplo simples, apenas para demonstrar o uso da teoria até aqui apresentada:

Um frame {B} se encontra rotacionado com relação a um frame {A} por 30 graus (sobre o eixo z), e transladado de 10 unidades no eixo x e 5 unidades no eixo y. Dado que um ponto se encontra na posição (3,7) no frame {B}, onde ele se encontra no frame {A}?

Pelo uso da definição, tem-se:

A seguir, será evidenciado o método de Denavit-Hatenberg, que será utilizado para a solução do problema proposto neste trabalho:

Um manipulador consiste basicamente de uma série de corpos rígidos unidos entre si, por meio de articulações. A figura 1, mostrada anteriormente, representa o esquema de um manipulador. Cada junta do manipulador pode ser enumerada de 0 a n. O ligamento da base, que é usualmente fixo em relação ao mundo externo, é enumerado por conveniência como 0, e o efetuador, que é o último ligamento, é enumerado como n. Assim, objetiva-se a posição e a orientação do efetuador em função da posição de cada uma das articulações. Para representar a posição e a orientação do efetuador, é posicionado o sistema de coordenadas fixo na base. Define-se , para cada um dos demais n ligamentos (juntas), um sistema de coordenadas próprio. Assim, é possivel determinar-se a posição e a orientação i em relação ao sistema anterior, i-1, através do uso das matrizes homogêneas, já citadas e evidenciadas anteriormente, relacionando-se a transformação entre estes sistemas. Dessa forma, a posição e a orientação do efetuador em relação à base é obtida por uma composição de transformações homogêneas consecutivas, partindo-se do sistema da base para o sistema do efetuador. Para posicionar os sistemas de coordeadas nos ligamentos do manipulador de forma sistemática, é utilizada a notação de Denavit-Hartenberg.

A notação baseia-se no fato de que para a determinação da posição relativa de duas retas no espaço, são necessários somente dois parãmetros. O primeiro é a distância medida ao longo da normal comum entre as duas retas e o segundo é o ângulo da rotação em torno da normal comum, que uma das retas deve girar, de forma que fique paralela à outra. Observa-se que normal comum entre as duas retas no espaço é definida por uma terceira reta que intercepta as duas primeiras retas, com ângulos de 90º. Além disso, a distância medida entre as duas retas, ao longo da normal comum, é a menor distãncia entre as mesmas. A figura a seguir apresenta duas retas no espaço e os dois parãmetros necessários para descrever sua posição relativa:

Figura 6 – Posição relativa de duas retas no espaço

Sejam dois sistemas, de coordenadas coincidentes, XoYoZo, X1Y1Z1 o sistema de ordem “o” ficará fixo, e será imposta uma rotação em torno do eixo Zo:

Aplicando a translação do eixo Zo, temos:

Aplicando a translação ao longo do eixo X1, tem-se:

Aplicando a rotação em torno do eixo X1, tem-se:

Após o as operações, os parâmetros usados para determinar o distanciamento da base são:

A matriz de transformação, usando os parâmetros de DH, fica da seguinte forma:

As variáveis θ e d são especiais, pois são as informações de juntas de rotação e junta de translação, respectivamente:

θ Junta de rotação variando è Constantes: d, a, α

d Junta de translação variando è Constantes: θ, a, α

a, α nunca são variáveis, são constantes

O procedimento simplificado a seguir ajuda na obtenção dos parãmetros D-H:

3. Problema a ser resolvido

A figura abaixo representa o esquema de um robô Stanford, com 6 graus de liberdade, sendo 5 articulações de revolução e uma prismática.

Figura 7 – Representação do robô de Stanford

Tabela – Parâmetros D.H do robô

Os parâmetros com asterisco representam o parâmetro variável da articulação.

Por Denavit-Hartenberg, tem-se as seguintes matrizes de transformação:

Figura 8 – Robô Stanford com as coordenadas de articulações

Através das relações de transformação matricial, chega-se a:

Os elementos da matriz são dados pelas seguintes equações:

Observa-se que os elementos Rij formam a matriz de rotação da transformação do sistema da base para o sistema d efetuador, ou seja, a orientação do efetuador, e os elementos , que representam a posição do efetuador.

4. Conclusões

Com este trabalho, foi possível perceber a importância das transformações lineares na robótica, sobretudo com o advento da informática. As transformações lineares podem nos fornecer todas as informações necessárias para a programação de robôs e manipuladores, amplamente utilizados em nossos modernos processos industriais.

Bibliografia

[1] - www.fem.unicamp.br/~hermini/Robotica/Apresenta/aula3p1.pps

[2] - www.ece.ufrgs.br/~rventura/ExerBasico.pdf

[3] - www.fei.edu.br/.../robotica/ROBOTICA-MS-04-A-Cinematica%20Direta.pp

[4] - www.mec.ita.br/~adade/robotica.htm

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