Tópicos de Matrizes e Distribuição Normal Multivariada

Tópicos de Matrizes e Distribuição Normal Multivariada

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Topicos de matrizes e Distribuicao Normal Multivariada

CAPITULO 1 Alguns resultados importantes

1.1 definicoes

1.1.1 Traco

i,j cijdji5. ∑ i xtiAxi = tr(AT) onde T = ∑ i xixt i

1.1.2 Determinantes

1.1.3 Inversa

4. Se todas as matrizes inversas necessarias existem , entao a matriz particionada

1.1.4 Produto de Kronecker

Definicao Sejam A = (aij) e B = (abij) matrizes de dimensao (m × n) e (p × q), respectivamente. O produto de Kronecker , indicado por A⊗

a11B a12Ba1nB
am1B am1BamnB

Def: Vec(A) Seja A uma matriz de dimensao (m×n) e a(i)a i-esima coluna de A. V ec(A) e um vetor de dimensao (mn × 1) definido por :

Propriedades A,B,C,D : matrizes, x,y : vetores, α :escalar

1.1.5 Matrizes especiais

1. Matrizes ortogonais

Se A uma matriz quadrada, A e ortogonal se AAt = I Propriedades

(e) Se A e B sao ortogonais C = AB e ortogonal.

1 ρρ
ρ 1ρ
ρ ρ1

De uma forma mais geral,

c + b cc
c c + bc
c cc + b

3. Matriz Idempotente

A e idempotente de A2 = A 4. Matriz Positiva definida e positiva semi-definida

1.1.6 Posto de uma matriz

O posto de uma matriz A(n×p) e definida como o numero maximo linhas (colunas) linearmente independentes de A; ou e a ordem da maior submatriz quadrada de A

Posto de alguns matrizes

1.1.7 Autovalores e autovetores

Autovalores. Seja A uma matriz de dimensao (p × p).λ1,λp que satisfazem

Definicao a equacao |A − λIp| = 0 sao denominados autovalores da matriz A.Os autovalores podem ser complexos ou multiplos.

Autovetores. Para todo autovalor λi existe um vetor γ 6= 0 tal que Aγ = λiγ onde γ e denominado autovetor de A associado ao autovalor λi. Em geral vamos usar os autovetores normalizados ou seja γtγ = 1

DECOMPOSICAO ESPECTRAL 6

Propriedades

1. Seja C(p×p) uma matriz nao-singular A e CAC−1 tem os mesmos autovalores. Se γ e um autovetor de A para λi entao ν = Cγ e um autovetor de CAC−1 para λi.

Aγ = λiγ CAγ = λiCγ CAC−1Cγ = λiCγ CAC−1ν = λiν

1. Seja α escalar. Entao A + αI tem autovalores λi + α. Alem disso, A e A + αI tem os mesmos autovetores.

2. Se A(p×p) e simetrica entao todos os autovalores sao reais.

1.2 Decomposicao Espectral

Qualquer matriz simetrica A(p×p) pode ser escrita como A = ΓΛΓt = ∑p onde Λ e a matriz diagonal dos autovalores de A e Γ e uma matriz ortogonal cujas colunas sao os autovetores normalizados de A.

1.2.1 Propriedade

1. Se A(p×p) e uma matriz simetrica nao-singular entao para qualquer inteiro n, Λn = diag(λni ) e An = ΓΛnΓt.

2. Se todos os autovalores de A sao positivos, Ar/s = ΓΛr/sΓt onde Λr/s = diag(λ r/s obs: Se alguns dos autovalores de A sao iguais a zero, ento os resultados anteriores sao validos se os expoentes forem nao-negativos.

Prova. por inducao

5. Seja A simetrica entao o posto de A e igual ao numero de autovalores nao nulo de A

FORMAS QUADRATICAS 7

4. Uma matriz simetrica A tem posto 1 se, e somente se, A = xxt para algum x. Entao, o unico autovalor de A nao-nulo e dado por tr(A) = tr(xxt) = xxt.

Seja E = (1 − p)I + ρJ, os autovalores de E sao λ1 = 1 + (p − 1)ρ,λ2 ==

λp = 1 − ρ e seu autovetores de E sao os mesmos de J

1.3 Formas Quadraticas

Definicao Uma forma quadratica no vetor x e uma funcao da forma :

Q(x) = xtAx = ∑i∑ j xiaijxi onde A e um matriz simetrica.

Propriedades

Para qualquer matriz simetrica A, existe um transformacao ortogonal y = Γtx tal que xtAx = ∑ i λiy2i .

Prova. Sabemos que A = ΓΛΓt , seja y = Γtx. Logo Γ y = ΓΓtx ⇒ xt = ytΓt.

xtAx = ytΓtAΓ y = ytΓtΓΛΓtΓy = ytΛy = ∑ i λiy2i .

INVERSA GENERALIZADA 8

8. Qualquer matriz A ≥ 0 pode ser escrita como A = B2 onde B e uma matriz simetrica.

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