Introdução à Estimação Bayesiana

Introdução à Estimação Bayesiana

Introducao a Estimacao Bayesiana Inferencia Estatıstica

O princıpio da Estatıstica Bayesiana e levar em conta toda informacao inicial que possamos ter a respeito de um parametro populacional θ. Considere uma variavel aleatoria cuja distribuicao envolve um parametro qualquer θ,θ ∈ Θ. Consideremos θ como sendo uma variavel aleatoria Θ0 com suporte em

Θ. Neste caso, X tem densidade (ou funcao de probabilidade) dada por fX(x|θ). A filosofia e que o valor de θ no experimento em questao seja o resultado de um processo natural no qual os diversos valores Θ0 se distribuem de acordo com uma densidade pre-existente h(θ).

conjunta das observacoes tem densidade fX(x1,x2,...,xn|θ) condicional a θ. Por exemplo, se as observacoes sao independentes e identicamente distribuıdas (i.i.d.), tem-se a funcao de verossimilhanca

fX(x1, x2,, xn|θ) =
gX(x1, x2,, xn|θ) = fX(x1, x2, . . . , xn|θ)h(θ).
g(x1, x2,,xn) = ∫
fX(x1, x2,, xn|θ)h(θ) dθ,

cuja integral acima esta definida em todo o espaco parametrico Θ. Entao, a densidade condicional de Θ0 dado X1,X2,...,Xn sera

k(θ|x1, x2,, xn) =
g(x1, x2,, xn|θ)
g(x1, x2,, xn)
g(x1, x2,, xn|θ)∫
fX(x1, x2,, xn|θ)h(θ) dθ

Dessa forma, h(θ) define a informacao sobre θ antes de se observar os valores da amostra denominada distribuicao a priori de Θ0 e, por sua vez, k(θ|x1,...,xn) define a informacao sobre θ apos serem observados os valores da amostra sendo denominada distribuicao a posteriori de Θ0.

k(θ|x1,, xn) ∝ fX(x1, x2, . . . , xn|θ)h(θ),

ou seja, a distribuicao a posteriori pode ser identificada multiplicando-se a distribuicao a priori pela funcao verossimilhanca.

Exemplo: suponha X1,X2,...,Xn amostra aleatoria com X ∼ Poisson(θ) e sendo X variavel aleatoria independente e identicamente distribuıda. Suponha que θ e escolhido a partir de uma distribuicao Gamma(α,β). Entao, tem-se

(i) Verossimilhanca:

fX(x1,, xn|θ) = θ

(i) Distribuicao a Priori:

O termo βα/Γ(α) e considerado constante, portanto nao e levado em consideracao nesse caso especıfico. Entao consideremos a priori aproximadamente θα−1e−βθ.

(i) Distribuicao a Posteriori:

k(θ|x1,, xn) ∝ θ

temos que a distribuicao a posteriori pertence a mesma classe das distribuicoes a priori

(Gamma), dizemos que a distribuicao Gamma e conjugada para a distribuicao Poisson.

fX(x1,, xn|θ) = g1(x1, . . . , xn) g2(T(x1, . . . , xn)|θ),

Observe que, se tivermos uma estatıstica suficiente Y = T(X1,...,Xn), entao logo para a distribuicao a posteriori teremos

k(θ|x1,, xn) ∝ g1(x1, . . . , xn) g2(T(x1, . . . , xn)|θ)h(θ)
∝ g2(T(x1,, xn)|θ)h(θ),
suficiente T(X1,, Xn).

ou seja, a distribuicao a posteriori somente envolvera a amostra mediante a estatıstica

Digitado por Thiago Bentes

Graduando em Estatıstida, UFAM Manaus - Amazonas

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