Projeto de Um portão vertical

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2.7 - Critérios de Dimensionamento

Vários critérios diferentes, a respeito da falha dos materiais, foram propostos ao longo do tempo:

  • Teoria da máxima tensão normal proposta por Rankine;

  • Teoria da máxima deformação normal, proposta por Saint-Venant;

  • Teoria da máxima tensão de cisalhamento, proposta por Coulomb em 1773 e por Tresca em 1868;

  • Teoria do atrito interno, desenvolvida por Mohr e por Coulomb;

  • Teoria da máxima energia de deformação, proposta por Beltrami em 1885;

  • Teoria da máxima energia de distorção, desenvolvida por Huber em 1904; Von Mises em 1913 e Hencky em 1925;

  • Teoria da tensão octaédrica de cisalhamento de Von Mises e Hencky.

Cada uma destas teorias propõe um critério para a causa da fala do material.

As experiências feitas em tempos recentes mostram que, entre as teorias apresentadas, algumas são equivalentes e outras são apenas de interesse histórico, já que não apresentam resultados compatíveis com os obtidos.

Neste texto apresentar-se-á os critérios baseados em algumas destas teorias.

2.7.1 - Critério da máxima tensão de cisalhamento ou Critério de Tresca

Este critério se baseia no fato que para os materiais dúcteis o principal mecanismo de deformação plástica é o de escorregamento nos planos de maior densidade atômica.

Assim, a tensão equivalente (σeq) é igualmente perigosa a um estado de tensão quando ela apresentar a mesma tensão de cisalhamento máxima que o estado da tensão.

Figura 2.34 – Círculos de Mohr para um estado de tensão e para uma tensão equivalente.

Sabendo-se que as tensões de cisalhamento máxima nos dois círculos de Mohr podem ser determinadas por:

A igualdade das duas expressões fornece:

2.7.2 - Critério da máxima energia de distorção ou Critério de Von Mises

Este critério propõe que a ruína por escoamento seja associada a valores críticos de certa porção da energia de deformação do ponto material em estudo. Quando as tensões principais possuem valores diferentes, o cubo que representa o ponto se transforma em paralelepípedo. A energia (U) para esta distorção é dada por:

Onde E é o módulo de elasticidade do material e υ é o coeficiente de Poison.

O mesmo fato acontece com a tensão equivalente já que nesta situação σ1= σeq e σ2 = σ3 =0. Para a tensão equivalente, a energia de distorção fica:

Igualando-se as expressões 1 e 2 tem-se:

OBS: Note-se que os dois critérios apresentados levam em conta a ductilidade do material e possuem como tensão de falha a tensão de escoamento ou seja, valem apenas para materiais com características dúcteis.

Note-se, também, que no caso da solicitação chamada hidrostática (σ1= σ2= σ3), as tensões equivalentes para os dois critérios possuem valor igual a zero. Assim, não é possível dimensionar nesta situação por um destes critérios.

2.7.3 - Critério de Coulomb-Mohr

Este critério é particularmente interessante para materiais que apresentam resistências diferentes quando solicitados à tração e à compressão. Este tipo de comportamento, em geral, é apresentado pelos materiais frágeis.

A figura 2.35 mostra os dois círculos de Mohr para a tensão de ruptura à tração e à compressão de um material frágil qualquer.

Figura 2.35 – Círculos de Mohr para um material que resiste à tração e à compressão.

A proposição deste critério e que os estados são igualmente perigosos quando forem tangentes à reta apresentada na figura.

A tensão equivalente para este critério é:

Onde:

σT= Limite de resistência à tração

σC= Limite de resistência à Compressão

A figura 2.36 é um gráfico comparativo entre os critérios de resistência apresentados.

2.8 - Fadiga

2.8.1 - Critério de Falha por Fadiga

  • Soderberg

É o critério mais conservador, pois elimina a necessidade de invocar a curva do escoamento e liga Se ou Sf ao limite de escoamento Sy .(entender como Sy = σy, Sm = σm, e assim por diante ).

Onde: Sa / Se + Sm / Sy = 1

Temos que:

e

  • Goodman Modificado

Tanto a curva de Goodman quanto a parábola de Gérber passam pelo limite de fadiga corrigido Se ou pela resistência à fadiga Sf no eixo da amplitude de tensão e por Sut no eixo de tensões médias, onde:

Onde: Sa / Se + Sm / Sut = 1 (para Goodman);

Sa / Se + (Sm / Sut )2 = 1 (para Gerber).

As figuras 2.37 e 2.38 trazem respectivamente uma comparação entre estes critérios e o diagrama completo destas teorias.

Figura 2.37Diversas curvas de falha para tensões pulsantes.

Figura 4.77 Diagrama completo de falha para tensões pulsantes.

2.8.2 - Fatores Modificadores do Limite de Resistência à Fadiga

Sendo o eixo escalonado, existem vários pontos de concentração de tensão devido às descontinuidades das seções, onde os diâmetros são distintos. Por isso, devem-se calcular os fatores que solucionem este problema. Em um projeto, então, deve-se encontrar o valor do fator de concentração de tensão (Ke). Isto é possível graças a um gráfico onde se relaciona Ktcom a razão r/d.

  • Resistência à fadiga teórico(Sn’)

Também é utilizado como fator de correção do limite de resistência à fadiga e é dado por: Sn’ = 0,5Sut para limite de ruptura de até 1400 MPa, ou Sn’ = 700 MPa para um limite de ruptura acima de 1400 MPa

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  • Fator de acabamento superficial (Ka)

Esse fator depende do processo de fabricação usado para o eixo. Para diferentes processos teremos diferentes acabamentos superficiais e consequentemente fatores influentes na resistência à fadiga. Alguns processos estão relacionados na tabela abaixo.

Processo de Fabricação

Fator a (MPa)

Expoente b

Usinado ou estriado a frio

4,51

-0,265

Laminado a quente

57,7

-0,718

Forjado

272

-0,995

Tabela 4.8: Fatores de acabamento superficial.

Assim, temos:

O cruzamento da linha que sai do limite de ruptura a tração (Gpa) com a curva de “laminado à quente”, indica o fator procurado.

Figura 2.39: Fator de superfície.

  • Fator de tamanho (Kb)

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