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Prova

Vestibular ITA 1996

Versão 1.0

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ITA - 1996 01) (ITA-96) Seja a ∈ ℜ, a > 0 e a≠1 e considere a matriz A: ( ) a A. Para que a característica de A seja máxima, o valor de a deve ser tal que: a) a ≠ 10 e a ≠ 1/3 b) a ≠10 e a ≠ 1/3

c) a ≠ 2 e a ≠ 10d) a ≠ 2 e a ≠3 e) a ≠ 2 e a ≠10

02) (ITA-96) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes afirmações:

Sobre essas afirmações podemos garantir que: a) Apenas a afirmação I é verdadeira. b) Apenas a afirmação I é verdadeira. c) Apenas a afirmação I é verdadeira. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Apenas as afirmações I e I são verdadeiras.

03) (ITA-96) Numa pirâmide triangular regular, a área da base é igual ao quadrado da altura H. Seja R o raio da esfera inscrita nesta pirâmide. Deste modo, a razão H/R é igual a:

a) 13+b) 13− c) 1331++
d) 1331−+e) 13+

04) (ITA-96) Dadas as afirmações:

n 1n

I- n,1,2,3kN,n .

k-n n k

I- Existem mais possibilidades de escolher 4 números diferentes entre os números inteiros de 1 a 50 do que escolher 6 números diferentes entre os números inteiros de 1 a 50. Conclui-se que:

a) Todas são verdadeiras b) Apenas a afirmação I e I são verdadeiras. c) Apenas I é verdadeira. d) Apenas I é verdadeira. e) Apenas I e II são verdadeiras.

05) (ITA-96) Considere o polinômio:

a) Apenas uma é real. b) Apenas duas raízes são reais e distintas. c) Apenas duas raízes são reais e iguais. d) Quatro raízes são reais, sendo duas a duas distintas. e) Quatro raízes são reais, sendo apenas duas iguais.

06) (ITA-96) Seja a ∈ R [-pi/4, pi/4] um número real dado. A solução (x0, y0) do sistema de equações:

tgax)a(cosy)a(sen é tal que:

a) x0. y0 = tg ab) x0. y0 = - sec a c) x0. y0 = 0
ae) x0. y0 = sen a

07) (ITA-96) Seja *:+ℜf → ℜ uma função injetora tal que f(1) = 0 e f(x.y) = f(x) + f(y) pra todo x > 0 e y > 0. Se x1, x2, x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que i i

, então o valor de x1 é: a) -2 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1

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08) (ITA-96) Um hexágono regular e um quadrado estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distância entre estas arestas paralelas será:

09) (ITA-96) Tangenciando externamente a elipse ε1, tal que eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de ε1 e cujos eixos têm mesma medida que os eixos de ε1. Sabendo que ε2 está inteiramente contida no primeiro quadrante, o centro de ε2 é:

y = x2 - 3x + 1/4 cujos vértices são denotados, respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que contém V1 e V2, então a distância de r até à origem é:

5b)
7c)
7
17e)
a) 2b) 3 c) 5 d) 9 e) 10

12) (ITA-96) Se (x0, y0) é uma solução real do sistema yxyx então x0 + y0 é igual a:

a)47b)49 c)4
1d)4
13e)4

13) (ITA-96) Considere A e B matrizes reais 2x2, arbitrárias. Das afirmações abaixo assinale a verdadeira. No seu caderno de respostas, justifique a afirmação verdadeira e dê exemplo para mostrar que cada uma das demais é falsa.

a) Se A é não nula então A possui inversa b) (AB)t = AtBt

c) det (AB) = det (BA)

d) det A2 = 2 det A

14) (ITA-96) Seja a ∈ ℜ e considere as matrizes reais 2x2.

3Ae 

O produto AB será inversível se e somente se:

- 5a + 6 ≠ 0b) a2
- 5a ≠ 0c) a2
- 2a + 1 ≠ 0e) a2

15) (ITA-96) Seja α um número real tal que α > )21(2+ e considere a equação x2 - αx + α + 1 = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são cotangentes de dois dos ângulos internos de um triângulo, então o terceiro ângulo interno desse triângulo vale:

Então, o valor de α+α

= 3 cossen 2senyserá:

17) (ITA-96) A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre o volume e a área total do poliedro cujos vértices são centros das faces do cubo será:

3 x cm b)

3 x cm c)

3 x cm

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3 x cm e)

3 x cm

18) (ITA-96) As dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 3 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694 cm2 , então o volume deste paralelepípedo, em cm3 , é igual a:

19) (ITA-96) Três pessoas A, B e C, chegam no mesmo dia a uma cidade onde há cinco hotéis H1, H2, H3, H4 e H5. Sabendo que cada hotel tem pelo menos três vagas, qual/quais das seguintes afirmações, referentes à distribuição das três pessoas nos cinco hotéis, é/são correta(s)?

I- Existe um total de 120 combinações

I- Existe um total de 60 combinações se cada pessoa pernoitar num hotel diferente

I- Existe um total de 60 combinações se duas e apenas duas pessoas pernoitarem no mesmo hotel a) Todas as afirmações são verdadeiras. b) Apenas a afirmação I é verdadeira. c) Apenas a afirmação I é verdadeira. d) Apenas as afirmações I e I são verdadeiras. e) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.

20) (ITA-96) O valor da potência 93

21) (ITA-96) Sejam a1, a2, a3 e a4 quatro números reais (com a1 ≠ 0), formando nessa ordem uma progressão geométrica.

Então, o sistema em x e y

31 axaaxaa

1xaxa é um sistema:

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