(Parte 1 de 2)

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Prova

Vestibular ITA 1998

Versão 1.0

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Principais notações [a , b] = {x ∈ ℜ: a ≤ x ≤ b}

]a , b[ = {x ∈ ℜ: a < x < b} (a , b) - par ordenado

At - matriz transposta da matriz A

]a , +∞[ = {x ∈ ℜ: a < x} I - matriz identidade de ordem 2

- matriz inversa da matriz A

1) (ITA-98) Seja f: ℜ →ℜ a função definida por: f(x) = 2sen 2x - cos 2x Então:

a) f é impar e periódica de período pi. b) f é par e periódica de período pi/2. c) f não é par nem ímpar e é periódica de período pi.

d) f não é par e é periódica de período pi/4. e) f não é ímpar e não é periódica.

a) 1b)
c) -sec x + tg xd) –1 e) zero

3) (ITA-98) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma matriz

M inversível tal que: A = M -1 BM.

Então:

) = det Bb) det A = -det B
c) det (2A) = 2 det Bd) Se det B ≠ 0 então det (-AB) < 0

a) det (-At e) det (A - I) = -det (I - B)

4) (ITA-98) Considere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z6 = 1. A área deste polígono, em unidades de área, é igual a:

a) 3b) 5 c) pi d)

5) (ITA-98) Sejam x e y números reais tais que:

Então, o números complexo z = x + iy é tal que z3 e |z|, valem respectivamente:

a) 1 - i e 62 b) 1 + i e 62 c) i e 1 d) -i e 1 e) 1 + i e 32

6) (ITA-98) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC deste triângulo considere um ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são todos congruentes entre si. A medida do ângulo CAB é igual a:

7) (ITA-98) Seja (a1 , a2 , a3 ,...) uma progressão geométrica infinita de razão a1, 0 < a1 < 1, e soma igual a 3a1 . A soma dos três primeiros termos desta progressão geométrica é:

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8) (ITA-98) O valor de y ∈ ℜ que satisfaz a igualdade: log y 49 = 7logy + log 2y 7 , é:

c) 3d)

9) (ITA-98) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco vogais juntas, é:

10) (ITA-98) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de lado 2 cm. Sabe-se que as faces formam com a base ângulos de 45o . Então, a razão entre a área da base e a área lateral é igual a:

a) 2b)
c) 6d)

Nota: resolva as questões numeradas de 1 a 25 no caderno de respostas. Na folha de leitura óptica assinale as alternativas das 25 questões. Ao terminar a prova, entregue ao fiscal o caderno de respostas e a folha de leitura óptica.

1) (ITA-98) Seja f: ℜ →ℜ a função definida por:f(x) = -

3ax , onde a é um número real, 0 < a < 1. Sobre as afirmações:

(I) f(x + y) = f(x).f(y), para todo x, y ∈ ℜ. (I) f é bijetora.

(I) f é crescente e f( ] 0 , +∞[ ) = ]-3 , 0[. Podemos concluir que: a) Todas as afirmações são falsas. b) Todas as afirmações são verdadeiras. c) Apenas as afirmações (I) e (I) são verdadeiras. d) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. e) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.

12) (ITA-98) Sejam as funções f: ℜ →ℜ e g:A⊂ℜ → ℜ, tais que

- 9e (fog)(x) = x - 6,

em seus respectivos domínios. Então, o domínio A da função g é:

a) [-3, +∞[b) ℜ c) [-5 , +∞[
d) ]-∞ , -1[∪[3 , +∞[e) ]-∞ , 6[

13) (ITA-98) Considere a, b ∈ ℜ e a equação:

Sabendo que as três raízes reais x1 , x2 , x3 desta equação formam, nesta ordem, uma progressão aritmética cuja soma é igual a zero, então a - b vale:

a) 5b) -7 c) -9 d) -5 e)

14) (ITA-98) Seja a um número real tal que o polinômio admite apenas raízes reais. Então:

a) a ∈ [2 , ∞[b) a ∈ [-1 , 1] c) a ∈ ]-∞ ,
d) a ∈ [-2, -1[e) a ∈ ]1 , 2[

15) (ITA-98) Seja p(x) um polinômio de grau 4 com coeficientes reais. Na divisão de p(x) por x - 2 obtém-se um quociente q(x) e resto igual a 26. Na divisão de p(x) por x2 + x - 1 obtém-se um quociente h(x) e resto 8x - 5. Sabe-se que q(0) = 13 e q(1) = 26. Então, h(2) + h(3) é igual a:

a) 16b) zero c) -47 d) -28 e) 1

16) (ITA-98) Sejam a, b ∈ ℜ. Considere os sistemas lineares em x, y e z:

e

Se ambos admitem infinitas soluções reais, então:

b = c) ab =

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17) (ITA-98) Sejam as matrizes de ordem 2,

Ae 

Então, a soma dos elementos da diagonal principal de (AB) -

1 é igual a:

a) a + 1b) 4(a + 1) c)
)e)

19) (ITA-98) A soma das raízes da equação

0x2cosx2sen3tgx3 =+− que pertencem ao intervalo [0 , 2pi], é:

20) (ITA-98) Considere as afirmações sobre polígonos convexos:

(I) Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados.

(I) Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados. (I) Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar.

Então: a) Todas as afirmações são verdadeiras. b) Apenas (I) e (I) são verdadeiras.

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