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Prova

Vestibular ITA 1999

Versão 1.0

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Principais notações Z - o conjunto de todos os números inteiros.

R - o conjunto de todos os números reais. C - o conjunto de todos os números complexos.

(a, b) - par ordenado g o f - função composta de g e f

A -1 = matriz inversa da matriz A A t - matriz transposta da matriz A

Questões 1) (ITA-9) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere as afirmações:

I - Se (E x G) ⊂ (F x H), então E ⊂ F e G ⊂ H. I - Se (E x G) ⊂ (F x H), então (E x G) ∪ (F x H) = F x H.

I - Se (E x G) ∪ (F x H) = F x H, então (E x G) ⊂ (F x H). Então: a) ( ) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. b) ( ) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. c) ( ) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. d) ( ) Apenas as afirmações (I) e (I) são verdadeiras. e) ( ) Todas as afirmações são verdadeiras.

2) (ITA-9) Listando-se em ordem crescente todos os números de cinco algarismos distintos formados com os elementos do conjunto {1, 2, 4, 6, 7}, o número 62417 ocupa o n-ésimo lugar. Então n é igual a:

a) ( ) 74b) ( ) 75 c) ( ) 79
d) ( ) 81e) ( ) 92

3) (ITA-9) Sejam f, g: R → R funções definidas por f(x) =

. Considere as afirmações:

I - Os gráficos de f e g não se interceptam. I- As funções f e g são crescentes. I- f(-2) g(-1) = f(-1) g(-2). Então: a) ( ) Apenas a afirmação (I) é falsa. b) ( ) Apenas a afirmação (I) é falsa. c) ( ) Apenas as afirmações (I) e (I) são falsas. d) ( ) Apenas as afirmações (I) e (II) são falsas. e) ( ) Todas as afirmações são falsas.

4) (ITA-9) Seja a ∈ R com a > 1. O conjunto de todas as soluções reais da inequação a 2x(1 - x) > a x - 1 , é:

5) (ITA-9) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação

Então: a) ( ) S é um conjunto unitário e S ⊂ ]2, + ∞[. b) ( ) S é um conjunto unitário e S ⊂ ]1, 2 [. c) ( ) S possui dois elementos distintos e S ⊂ ]-2, 2 [.

d) ( ) S possui dois elementos distintos e S ⊂ ]1,+ ∞[. e) ( ) S é o conjunto vazio.

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6) (ITA-9) Sejam f, g, h: R → R funções tais que a função composta h o g o f: R → R é a função identidade. Considere as afirmações:

I - A função h é sobrejetora.

I- Se x0 ∈ R é tal que f(x0) = 0, então f(x) ≠ 0 para todo x ∈ R com x ≠ x0.

I- A equação h(x) = 0 tem solução em R.

Então: a) ( ) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. b) ( ) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. c) ( ) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. d) ( ) Todas as afirmações são verdadeiras. e) ( ) Todas as afirmações são falsas.

7) (ITA-9) Considere as matrizes

1 B e x X ,

10
01
21- 0
1-0 1

Se x e y são soluções do sistema (A -3I)X = B, então x + y é igual a:

a) ( ) 2b) ( ) 1 c) ( ) 0 d) ( ) -1 e) ( ) -2

8) (ITA-9) Sejam x, y e z números reais com y ≠ 0. Considere a matriz inversível

11- z
00y
11x

Então:

a) ( ) A soma dos termos da primeira linha de A -1 é igual a x b) ( ) A soma dos termos da primeira linha de A -1 é igual a c) ( ) A soma dos termos da primeira coluna de A -1 é igual a d) ( ) O produto dos termos da segunda linha de A -1 é igual a y.

e) ( ) O produto dos termos da terceira coluna de A -1 é igual a 1.

então o valor de sen 2x + sen 4x

d) ( ) ½e) ( ) 1

10) (ITA-9) O conjunto de todos os números reais q > 1, para os quais a1, a2 e a3, formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q e representam as medidas dos lados de um triângulo, é:

[b) ( ) ]1,
]
]d) ( ) ]1,
[
1) (ITA-9) Sejam ak e bk números reais com k = 1, 2,, 6.
≥ 0, para todo k = 1, 2,, 6. Se (a1, a2, ..., a6) é uma

Os números complexos zk = ak + ibk são tais que |zk| = 2 e bk progressão aritmética de razão -1/5 e soma 9, então z3 é igual a:

a) ( ) 2ib) ( ) i565
+c) ( ) 3 + i

12) (ITA-9) Considere a circunferência C de equação x2 + y2

+ 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação x2 + 4y2 - 4x + 8y + a) ( ) C e E interceptam-se em dois pontos distintos. b) ( ) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos. c) ( ) C e E são tangentes exteriormente. d) ( ) C e E são tangentes interiormente. e) ( ) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam.

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13) (ITA-9) Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é:

14) (ITA-9) Duas circunferências C1 e C2, ambas com 1 m de raio, são tangentes. Seja C3 outra circunferência cujo raio mede (12−)m e que tangência C1 e C2. A área, m2 , da região limitada e exterior às três circunferências dadas, é:

c) ( ) ()2

15) (ITA-9) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é:

a) ( ) 10b) ( ) 17 c) ( ) 20 d) ( ) 2 e) (

Nota: resolva as questões numeradas de 16 a 25 no caderno de respostas. Na folha de leitura óptica assinale a alternativa escolhida em cada uma das 25 questões. Ao terminar a prova, entregue ao fiscal o caderno de respostas e a folha de leitura óptica.

16) (ITA-9) Considere as funções f e g definidas por f(x) = x - 2/x, para x ≠ 0 e

, para x ≠ -1. O conjunto de todas a s soluções da inequação

a) ( ) [1, + ∞[ b) ( ) ]-∞, -2[c) ( ) [-2, -1[

17) (ITA-9) Seja a ∈ R com a > 1. Se b = log2 a, então o valor de log4 a3 + log2 4a + log2

- log

+c) ( )

18) (ITA-9) Seja p(x) um polinômio de grau 3 tal que p(x) = p(x + 2) - x2 - 2, para todo x ∈ R. Se -2 é uma raiz de p(x), então o produto de todas as raízes de p(x) é:

a) ( ) 36b) ( ) 18 c) ( ) -36 d) ( ) -18 e) ( ) 1

19) (ITA-9) A equação polinomial p(x) = 0 de coeficientes reais e grau 6 é recíproca de 2a espécie e admite i como

255 , então a soma de todas as raízes de p(x) é igual a:

a) ( ) 10b) ( ) 8 c) ( ) 6 d) ( ) 2 e) ( ) 1

20) (ITA-9) O conjunto de todos os números complexos z, z ≠ 0, que satisfazem à igualdade z + 1 + i = |z| - |1 + i| pi + kpi, k ∈ Z} pi + kpi, k ∈ Z}

w.rumoaoita.com pi . A expressão

3 sena

3 sen é idêntica a:

b) ( ) acotg1 cotga2 cotga1 2cotga1 +

2) (ITA-9) A soma de todos os valores de a ∈ [0, 2pi[ que tornam o sistema

02a) sen 2 a sen 3 (1 za cosy a senx

0a) cosa sen (2 za cosy a senx 0zyx

a) 5pib) 4pi c) 3pi d) 2pi e) pi

possível e indeterminado é:

23) (ITA-9) Pelo ponto C: (4, -4) são traçadas duas retas que tangenciam a parábola y = (x-4)2 + 2 nos pontos A e B.

A distância do ponto C à reta determinada por A e B é:

a) 612b) 12 c) 12 d) 8 e) 6

24) (ITA-9) Duas circunferências de raios iguais a 9 m e 3m são tangentes externamente num ponto C. Uma reta tangencia estas duas circunferências nos pontos distintos A e B. A área, em m2 , do triângulo ABC é:

25) (ITA-9) Um triedro tri-retângulo é cortado por um plano que intercepta as três arestas, formando um triângulo com lados medindo 8m, 10m, e 12m. O volume, em m3 , do sólido formado é:

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Observações

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