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Prova

Vestibular ITA 2001

Versão 1.0

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1. (ITA – 01) Se a ∈ R é tal que 3y2 – y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação 3 2x+1

a) log2 6b) – log2 6 c) log3 6 d) – log36 e) 1 – log3

2. (ITA – 01) O valor da soma a + b para que as raízes do polinômio 4x4 – 20x3 + ax2 – 25x + b estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é.

a) 36b) 41 c) 26 d) –27 e) –20

3. (ITA – 01) Se z = 1 + i3, z.w= 1 e α ∈ [0, 2pi] é um argumento de z, w, então α é igual a:

pi b) pi c)

3pi

4. (ITA – 01) O número complexo cos. cos1 α αα α sen seni sen argumento pi /4. Neste caso, α é igual a:

a) 8b) 9 c) 10 d) 1 e) 12

5. (ITA – 01) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. A partir dele, constrói-se uma seqüência de triângulos dos seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros quadrados que está mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluindo o triângulo inicial, é:

6. (ITA – 01) Sabendo que é de 1024 a soma dos coeficientes do polinômio em x e y, obtido pelo desenvolvimento do binômio (x + y)m , temos que o número de arranjos sem repetição de m elementos, tomados 2 a 2, é:

a) 80b) 90 c) 70 d) 100 e) 60

7. (ITA – 01) A respeito das combinações an = n2 e bn =

temos que, para cada n = 1, 2, 3,, a diferença an –

n2 bn é igual a:

8. (ITA – 01) Sejam A e B matrizes n x n , e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações:

I. AB + BAT é simétrica.

I. (A + AT + B) é simétrica.

I. ABAT é simétrica.

temos que:

a) apenas I é verdadeira b) apenas I é verdadeira c) apenas I é verdadeira d) apenas I e I são verdadeiras e) todas as afirmações são verdadeiras

9. (ITA – 01) Considere a matriz A =

A soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é:

10. (ITA – 01) Sendo α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que sen22β – 2 cos2β = 0, então sen α é igual a:

8 e) zero

1. (ITA – 01) O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128m3 , temos que o raio da base e altura

a) 9 e 8b) 8 e 6 c) 8 e 7 d) 9 e 6 e) 10 e 8

do cone medem, respectivamente, em metros:

12. (ITA – 01) De dois polígonos convexos, um tem a mais que outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: a) 53 b) 65 c) 6 d) 70 e) 7

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13. (ITA – 01) Seja o ponto A = (r , 0) , r > 0. O lugar geométrico dos pontos P = (x ,y) tais que é de 3r2 a diferença entre o quadrado da distância de P e A e o dobro do quadrado da distância de P à rota y = – r é:

a) uma circunferência centrada em (r, –2r) com raio r.

b) uma elipse centrada em (r, –2r) com semi-eixos valendo re 2r.

c) uma parábola com vértice em (r, –r) d) duas retas paralelas distando r 3uma da outra.

e) uma hipérbole centrada em (r, –2r) com semi-eixos valendo r.

14. (ITA – 01) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de R, não-vazios. Com respeito às afirmações:

I. Se Z ⊂ X então (Z ∪ Y) ∪ (X ∪ (ZC∩ Y)} = X ∪ Y.

I. Se (X ∪ Y)C ⊂ Z então ZC temos que: a) apenas I é verdadeira b) apenas I e I são verdadeiras. c) apenas I e I são verdadeiras. d) apenas I e II são verdadeiras e) todas são verdadeiras.

15. (ITA – 01) Se f : ]0, 1[ → R é tal que, ∀x ∈ ]0,1[,

xfxf

então a desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3,e 0

e h(x) = arctg a: Se α é tal que h (f(a)) + h(g(a) = pi /4, então f(a) – g(a) vale:

17. (ITA – 01) O conjunto de todos os valores de m para os quais a função está definida e é não negativa para todo x real é:

((1 + cos 2x) + i sen 2x)k , k inteiro positivo, x real é a) 2 senk x. cosk x b) senk x. cosk x c) 2k sen kx. cosk x d) 2k senk x. cosk x e) sen kx . cosk x

19. (ITA – 01) O polinômio com coeficientes reais tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 e i. Então, a soma dos coeficientes é igual a:

a) –4b) –6 c) –1 d) 1 e) 4

20. (ITA – 01) Seja m ∈ R, m > 0. Considere o sistema

O produto dos valores de m para os quais o sistema admite solução não-trival é:

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21. (ITA – 01) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par?

a) 375b) 465 c) 545 d) 585 e) 625

2. (ITA – 01) Sendo dado então,

a) na – 2bnb) 2a
n - bnc) na – bn
d) bn – nae) na + bn

é igual a:

23. (ITA – 01) A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de base quadrada e a área de uma das faces é 2.

Sabendo que o volume da pirâmide é de 12 m3 , temos que a altura da pirâmide mede (em metros):

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