Transformações Lineares

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Capítulo 5 Transformações Lineares

5.1 Definição e Exemplos

Definição Sejam V e W espaços vectoriais definidos sobre o mesmo corpo k.

Diz-se que a aplicação T: V → W é uma transformação linear se: i) T(u + v) = T(u) + T(v), u, v ∈ V i) T(αv) = αT(v), α ∈k, v ∈ V.

Notas

1. Dizer que T é uma transformação linear de V em W é o mesmo que dizer que T é uma aplicação linear de V em W, ou ainda que T é um homomorfismo de V em W.

2. Se V = W dizemos que T é um endomorfismo de V.

3. Se T é um homomorfismo bijectivo de V em W dizemos que T é um isomorfismo de V em W.

4. Se T é um endomorfismo bijectivo de V dizemos que T é um automorfismo de V.

5. Dois espaços vectoriais V e W dizem-se isomorfos se existir uma aplicação linear de V em W que seja um isomorfismo.

Exemplos (Transformações lineares) 1. A aplicação

v → T(v) = 0W

é uma aplicação linear e designa-se por aplicação nula.

2. A aplicação idV : V → V v → T(v) = v é uma aplicação linear e designa-se por aplicação identidade.

X → T(X) = AX é uma transformação linear.

4. A aplicação

T : Pn → Pn+1 p(x) → T(p(x)) = x.p(x) é uma transformação linear.

5. O operador diferenciação é um operador linear, em particular

D : Pn → Pn-1 p(x) → D(p(x)) = p’(x) é uma transformação linear.

6. O operador integração é um operador linear, em particular I : Pn → Pn+1

()x ptdt∫

é uma transformação linear.

Exercícios 1. Diga quais das seguintes aplicações são transformações lineares:

a) T : 2\ → 2\, T(x, y) = (y, x). b) T : 2\ → 2\, T(x, y) = (x, 0). c) T : 2\ → 2\, T(x, y) = (x, 1). d) T : 2\ → 3\, T(x, y) = (x, y, x + y). e) T : 2\ → 3\, T(x, y) = (x, y + 2, x + y). f) T : 3\ → \ , T(x, y, z) = xyz.

= 3a - 4b + c - d.

= a2 + b2.

4. Sendo T : P2 → P2 uma transformação linear tal que T(x + 1) = x,

T(x -1) = 1 e T(x2) = 0 determine T(2 - x +3x2).

Teorema

Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo k e T : V → W uma transformação linear. Então:

i) T(0V) = 0W. i) T(-v) = -T(v), v ∈ V.

i) T(α1v1+α2v2+

+αnvn) = α1 T(v1) + α2 T(v2) + ... + αn T(vn), 12 α,α,,αn∈"k,

iv) Se v1, v2,	, vn são vectores de V linearmente dependentes então
T(v1),T(v2),	, T(vn), são vectores de W linearmente dependentes.

12 ,,,Vnvvv∈". Demonstração. Exercício.

5. Seja T : 3\ → \ uma transformação linear tal que T(3, -1, 2) = 5 e

6. Seja T : 2\ → 2\ uma aplicação linear definida por T(x, y) = (x, 2x) e

86 B ={ u = (1,2), v = (-1,3) } uma base de 2\. Verifique que {T(u), T(v)} não é base de 2\. Que conclusões pode tirar?

Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo, B = {v1, v2,	, vn}
uma base de V e w1, w2,	, wn vectores em W (não necessariamente

Teorema distintos). Então existe uma única transformação linear T : V → W tal que

T(vi) = wi, i =1,

, n.

Nota Repare-se que para conhecermos uma transformação linear basta que se conheçam as imagens dos vectores de uma base do espaço domínio, uma vez que todo o elemento do espaço domínio se pode escrever de modo único como combinação linear dos vectores de uma base.

Exercícios 7. Considere a base B = { u = (1,1), v = (1,0) } de 2\ e a transformação linear T : 2\ → 2\ tal que T(u) = (1, -2) e T(v) = (-4, 1). Determine a expressão de T(x, y) e use-a para calcular T(5, -3).

8. Considere a base canónica de 3\ e a transformação linear T : 3\ → 3\ tal que T(1, 0, 0) = (1, 2, 3), T(0, 1, 0) = (1, 0, -1) e T(0, 0, 1) = (0, -1, 2). Determine T(x, y, z) e use o resultado para calcular T(2, -3, 1).

9. Considere a base B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} de 3\ e a transformação linear T : 3\ → 3\ tal que T(1, 0, 0) = (1, 2, 3), T(1, 1, 0) = (0, -1, 2) e T(1, 1, 1) = (1, 0, 1). Determine T(x, y, z).

10. Determine a transformação linear T : 3\ → 2\ tal que T(1, 1, 0) = (2, 1),

T(1, 0, 1) = (1, -1) e T(0, 1, 1) = (0, 0).

1. Determine a transformação linear T : P2 → P3 tal que T(x2) = x3,

87 T(x - 1) = x e T(x + 1) = 0. Use o resultado para calcular T(2x2 + 3x -1).

12. Considere a transformação linear T : M2×2(\) → \ tal que

= 3, T

= -1, T

= 0 e T

= 2. Determine

Definição

Sejam V e W espaços vectoriais sobre o mesmo corpo e T : V → W uma transformação linear. i) Ao subconjunto de V

Ker(T) = { v ∈ V : T(v) = 0} chamamos núcleo de T. i) Ao subconjunto de W

Im(T) = {w ∈ W : ∃ v ∈ V, T(v) = w} chamamos imagem de T.

13. Seja T : 2\ → 2\ uma transformação linear dada por

a.1) u = (5, 10)

a.2) v = (3, 2) a.3) w = (1, 1).

b.1) u = (1, -4)

b.2) v = (5, 0) b.3) w = (-3, 12).

Exercícios T(x, y) = (2x - y, -8x + 4y). a) Quais dos seguintes vectores pertencem ao núcleo de T: b) Quais dos seguintes vectores pertencem à imagem de T:

14. Seja T : P2 → P3 uma transformação linear definida por T(p(x)) = x.p(x). a) Quais dos seguintes vectores pertencem ao núcleo de T:

a.1) p(x) = x2 a.2) q(x) = 0 a.3) r(x) = 1 + x. b) Quais dos seguintes vectores pertencem à imagem de T:

b.1) p(x) = x + x2 b.2) q(x) = 1 + x b.3) r(x) = 3 - x2.

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