Integrais de Linha e Múltiplas

Integrais de Linha e Múltiplas

(Parte 1 de 2)

Universidade Estadual do Norte Fluminense Calculo Diferencial e Integral IV

Liliana A. L. Mescua Rigoberto G. S. Castro

Sumario

1.1 Funcao Vetorial de Variavel Real1

1 Funcoes Vetoriais 1

Parametrizada6
1.1.2 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas7
1.2 Funcoes Vetoriais de Varias Variaveis8
1.3 Exercıcios10

1.1.1 Continuidade e Diferenciabilidade de uma Curva

2.1 Parametrizacao de Curvas12
2.2 Comprimento de Arco14
2.3 Integral de Linha de uma Funcao Escalar16
2.4 Integral de Linha de um Campo Vetorial18
2.5 Campos Conservativos2
2.6 Exercıcios24

2 Integrais de Linha 12 2.5.1 Construcao de uma Funcao Potencial usando Integrais Indefinidas 2

3.1 Integrais Duplas27

3 Integrais Multiplas 27 i

3.1.3 Integrais Iteradas29
3.1.4 Integracao sobre Regioes mais Gerais32
3.2 Integrais Triplas35
3.2.1 Integrais Triplas sobre um Paralelepıpedo Retangular35
3.2.2 Integracao Triplas sobre Regioes mais Gerais37
3.3 Exercıcios42

3.1.1 Integrais Duplas sobre um Retangulo . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.2 Calculo da Integral Dupla pelo Metodo das Somas de Riemann . 28

4.1 Mudanca de Variaveis na Integral Dupla45
4.1.1 Mudanca de Variaveis em Coordenadas Polares49
4.2 Mudanca de Variaveis na Integral Tripla54
4.2.1 Mudanca de Variaveis em Coordenadas Cilındricas5
4.2.2 Mudanca de Variaveis em Coordenadas Esfericas58
4.3 Exercıcios61

4 Mudanca de Variaveis nas Integrais Multiplas 45

5.1 Parametrizacao de Superfıcies65
5.1.1 Plano Tangente de uma Superfıcie67
5.1.2 Superfıcies de Revolucao69
5.2 Area de Superfıcies69
5.3 Integral de Superfıcie de uma Funcao Escalar73
5.4 Integral de Superfıcie de uma Funcao Vetorial75
5.5 Exercıcios78

5 Integrais de Superfıcie 65 i

6.1 Teorema de Green82
6.2 Teorema de Stokes84
6.3 Teorema de Gauss (Teorema da Divergencia)87
6.4 Exercıcios89

6 Teoremas de Green, Stokes e Gauss 82 Campos dos Goytacazes, Agosto de 2010

Capıtulo 1

Funcoes Vetoriais

Ate o presente momento estudamos apenas funcoes do tipo f : D : Rn → R, que a cada ponto x ∈ D associa um unico numero real z = f(x). Este tipo de funcoes sao chamadas de funcao escalar ou campo escalar.

A seguir vamos a estender o nosso estudo para funcoes cujo contradomınio (imagem) e Rn.

1.1 Funcao Vetorial de Variavel Real

Um primeiro exemplo muito importante de uma funcao vetorial e dado pela definicao de curva parametrizada que nada mais e do que uma funcao vetorial de variavel real, denotada por:

t −→ α(t) = (x1(t), x2(t), x3(t),, xm(t))

cujo domınio e um intervalo aberto I em R e o contradomınio e Rn. Curvas parametrizadas sao utilizadas para se modelar m quantidades (posicao de um objeto, trabalho, capital de empresa, etc) que variam no tempo. A variavel t e chamada de parametro

A representacao mais importante de uma curva parametrizada e o seu traco.

Definicao 1.1. (Traco de uma curva parametrizada). Seja α : I ⊂ R → R m uma curva parametrizada. O traco de α e o conjunto C = {α(t), t ∈ I} (tambem chamado de curva C). Para cada instante de tempo t, α(t) e um ponto de Rm. O traco de uma curva parametrizada α nada mais e do que uniao de todos estes pontos de C.

Se por exemplo, α(t) representa a posicao de um objeto no instante de tempo t, o traco da curva representa, neste caso, a trajetoria do objeto.

Exemplo 1.1. Suponha que a posicao de um objeto (um ponto material) movendo-se no plano R2 seja descrita pela curva parametrizada

a) Qual e a posicao inicial do objeto?. b) Qual e a posicao do objeto no instante de tempo t = 1?. c) O objeto passa pela origem (0,0)?. d) Faca o esboco da trajetoria do objeto.

Sol.: a) A posicao inicial do objeto e a posicao do objeto no instante de tempo t = 0. Assim, para sabermos a posicao inicial do objeto basta calcularmos b) Para sabermos a posicao do objeto no instante de tempo t = 1 basta calcularmos

nao possui solucao, segue-se que o objeto nunca passa pela origem (0,0).

d) Para fazer um esboco do grafico da curva parametrizada α vamos tentar determinar uma equacao nas variaveis cartesianas x e y em R2 que e satisfeita pelos pontos α(t) =

podemos isolar t na primeira equacao, t = x − 1, e substituir o valor de t na segunda equacao y = 3 − 2t = 3 − 2(x − 1) = −2x + 5, istoe temos a equacao y = −2x + 5.

Assim o traco da curva α ( e portanto a trajetoria do objeto) e a reta y = −2x+ 5 no plano cartesiano R2. Desta maneira a trajetoria do objeto pode ser descrita de duas maneiras diferentes:

1. Como o traco da curva parametrizada α(t) = (1 + t,3 − 2t), e

No primeiro caso estamos dizendo que estamos descrevendo a curva parametricamente e no segundo caso implicitamente.

Exemplo 1.2. Faca o esboco do traco da curva parametrizada

β(π/2) = (cosπ/2,senπ/2) = (0,1). Mas ao inves de tentar obter um esboco do traco de β atraves de alguns poucos pontos, vamos utilizar a mesma tecnica desenvolvida no exercıcio resolvido anterior, isto e, vamos tentar obter uma equacao nas variaveis x e y que e satisfeita pelos pontos β(t), com t ∈ R. Escrevendo:

x = cost

Portanto, o traco da curva β e a circunferencia de centro na origem (0,0) e raio 1.

Figura 1.2: Traco da curva β(t) = (cost,sent)

Exemplo 1.3. Faca um esboco do traco da curva parametrizada

Sol.: Fazendo

x = tcost y = tsent

Portanto, a eq. cartesiana e y = √ x2 + y2sen√ x2 + y2, da qual e muito difıcil obter informacoes geometricas a partir desta formulacao implıcita.

Observe que β(t) = t(cost,sent). Assim, para cada t ∈ [0,∞), a expressao (cost,sent) representa um punto sobre a circunsferencia de centro a origem e raio 1. Observe tambem que t representa o angulo orientado entre o segmento de reta unindo a origem (0,0) e o ponto (cost,sent) e o eixo x. Agora, como estamos multiplicando (cost,sent) por t, o raio deixa de ser 1 e fica sendo t. A medida que variamos o angulo t, mudamos o valor do raio para t. O traco da curva β tem a forma

Figura 1.3: Traco da Espiral

Exemplo 1.4. A helice e o traco da curva parametrizada

Sol.: Para fazer um esboco do desenho da helice, observe que: x = cost y = sent z = t.

Segue-se que x2 +y2 = cos2 t+sen2t = 1, isto e, as duas primeiras coordenadas de α(t) satisfazem a equacao da circunsferencia de centro na origem e raio 1. Concluimos que o traco da curva α esta contıdo no cilindro circular reto x2 + y2 = 1 em R3 e que a altura z = t cresce com o tempo t.

Figura 1.4: Traco da Helice.

1.1.1 Continuidade e Diferenciabilidade de uma Curva Parametrizada

Seja α : [a,b] ⊂ R −→ Rm uma funcao vetorial que representa a posicao no espaco R m

(m=2, 3), de um determinado corpo num certo instante t, dada por:

α(t) = (x1(t), x2(t), x3(t),, xm(t)).

Diremos que α e contınua se e somente se cada uma de suas componentes xi e contınua em todos os pontos [a,b].

Diremos que α e diferenciavel (ou derivavel) se e somente se cada uma de suas componentes xi e diferenciavel em todos os pontos (a,b). Denotando por x′j(t) = dxj dt (t) a velocidade instantanea da j-esima coordenada ao longo da curva no instante t, definimos o vetor velocidade da curva em t como:

α′(t) = (x′1(t), x′2(t), x′3(t),, x′m(t))

α′(t) e tambem chamado vetor tangente a curva α. Exemplo 1.5. Considere a curva

Figura 1.5: Vetor derivada α′(t).

1.1.2 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas Sejam as seguintes funcoes: α : R → Rm, β : R → Rm, h : R → R. Entao:

1.2 Funcoes Vetoriais de Varias Variaveis

Definicao 1.2. Seja F : Rn → Rm uma aplicacao cujo domınio e Rn e cuja imagem e um conjunto de vetores de Rm. Podemos representar F pelas funcoes coordenadas.

Em outras palavras, existem funcoes f1, f2,, fm tais que
F(X) = (f1(X), f2(X),, fm(X)),

Definicao 1.3. Dizemos que F e contınua em X0 ∈ Rn se cada funcao coordenada fi e contınua em X0. Em outras palavras:

lim

Sol. De fato, F e contınua em (0,0) ja que cada funcao coordenada f1(x,y) = xy,

Definicao 1.4. Seja F : Rn → Rm tal que F(X) = (f1(X), f2(X),, fm(X)).

Suponhamos que as derivadas parciais de cada funcao coordenada fi (i = 1,2,...,m) existem. Definimos e denotamos a matriz das derivadas parciais por

∂(f1, f2,, fm)
∂(x1, x2,, xn)
(X)
(X)
(X)

mxn que e chamada a matriz Jacobiana de F.

Para o exemplo anterior onde F(x,y) = (xy,x + y,x2) possui suas funcoes coordenadas diferenciaveis temos que a matriz Jacobiana e dada por:

1. Se m = 1 temos que F : Rn → R e uma funcao real de n variaveis (Calculo I).

2. Se m = n temos que F : Rn → Rn e chamado campo vetorial.

3. Se n = 1 temos que F : R → Rm e chamado funcao vetorial. Observacao 1.2. Tenha-se em conta que:

1. Se F : Rn → R, (m = 1) tem-se quea matriz Jacobiana definida anteriormente e o gradiente de F, isto e

(X),,

2. Se F : R → Rm, (n = 1) tem-se quea matriz Jacobiana de F e a derivada da funcao vetorial denotada por F′(X), isto e

no plano, F(x,y) e simplesmente seu vetor posicao que aponta diretamente a partir da

Exemplo 1.8. Seja F : R2 → R2 tal que F(x,y) = (−y,x), um campo vetorial bidimensional que aponta na direcao anti-horaria, cujo comprimento e r = √ x2 + y2.

de forma que F(x,y) e tangente ao cırculo que passa pelo ponto (x,y).

1.3 Exercıcios

1. Determine o conjunto onde as funcoes vetoriais α (curvas parametricas) sao contınuas.

d) α(t) = (1/t,|t − 1|,sent) 2. Para cada um dos seguintes pares de equacoes parametricas, esboce a curva e determine sua equacao cartesiana.

h) x = 3, y = 2cos2t, z = 2sent, t ∈ R As equacoes a) e b) representam a mesma curva?.

3. Faca um esboco das curvas definidas pelas seguintes funcoes vetoriais: 10

4. A curva parametrizada α(t) = (2t3 −3t2,t3 −12t) da a posicao de uma partıcula que se move no instante t.

a) Escreva uma equacao para a reta tangente a trajetoria da partıcula no ponto onde t = 1.

b) Encontre as coordenadas de cada ponto na trajetoria onde a componente horizontal da velocidade e 0.

5. Ilustre o campo vetorial F dado, esbocando varios vetores tıpicos do campo.

6. Determine o Jacobiano dos exercicios do item 5 e as derivadas dos exercicios a) e b) do item 1.

Capıtulo 2 Integrais de Linha

2.1 Parametrizacao de Curvas

Em geral as curvas nao estao dadas na sua forma parametrica, entao e conveniente parametrizar-las.

Exemplo 2.1. Seja C uma curva de R2 que e grafico de uma funcao contınua y = f(x), x ∈ I ⊂ R. Encontre uma parametrizacao natural de C. A seguir, parametrize a reta y = mx + b.

Sol.: Uma parametrizacao natural de C e obtida considerando x = t e y = f(t), deste modo α(t) = (t,f(t)), com t ∈ I representa os pontos da curva. Analogamente, uma parametrizacao natural da reta y = mx + b e α(t) = (t,mt + b).

curvas C1 e C2 respectivamente. Elas possuem a mesma equacao cartesiana, embora sejam curvas diferentes.

Sol.: De fato, para C1 temos que sua eq. parametrica e x = t, y = t2,

Observamos que C1 esta representada pela parabola y = x2, x ∈ R e quanto que a curva C2 esta representada pela porcao de parabola y = x2, x ≥ 0.

Exemplo 2.3. Seja L a reta de R2 que passa pelo ponto P0 = (x0,y0),paralela ao vetor v = (v1,v2). Encontre uma parametrizacao da reta L.

Sol.: Seja P = (x,y) ∈ L, entao usando a algebra de vetores temos que −→ OP = −−→

com t ∈ R. Logo, suas equacoes parametricas sao:

Por outro lado, podemos eliminar o parametro t nas equacoes parametricas para obter uma expressao cartesiana da reta L. Se v1,v2, sao nao nulos, entao

e uma expressao cartesiana da reta L.

Observacao 2.1. Uma aplicacao importante das equacoes parametricas e que com elas e possıvel estudar uma maior variedade de curvas que nao podem ser expressadas como o grafico de uma funcao, por exemplo, o cırculo, a elipse a hiperbole, etc.

2.2 Comprimento de Arco

Seja C uma curva em R3 parametrizada por α(t) = (x(t),y(t),z(t)), t ∈ [a,b]. Podemos pensar que esta curva e a trajetoria descrita por uma partıcula se movendo com velocidade v(t) = ‖α′(t)‖.

Qual e o comprimento desta curva quando t varia de a ate b?. Intuitivamente, isto nada mais e do que o espaco percorrido pela partıcula no intervalo do tempo [a,b], isto e∫ b

onde

O comprimento do segmento de reta α(ti) ate α(ti+1) e

Aplicando o teorema de valor medio as funcoes x(t), y(t) e z(t) no intervalo [ti,ti+1], obtemos t1i , t2i , t3i ∈ [ti, ti+1] tais que

Logo o comprimento total da linha poligonal e

Portanto, o comprimento da curva C e o limite de Sn quando n → ∞, isto e,

Definicao 2.1. O comprimento da curva C ⊂ R3 e definido por

Observacao 2.2. Analogamente ao feito, definiremos o comprimento de uma curva C ⊂ R2 parametrizada por α(t) = (x(t),y(t)) com t ∈ [a,b], por:

Exemplo 2.4. O comprimento de uma circunferencia de raio r e igual a 2πr.

Sol: De fato, seja C a circunferencia de raio r com centro na origem, parametrizada por α(t) = (r cost, r sen t), t ∈ [0, 2π].

Podemos tambem calcular o comprimento de C usando a parametrizacao

2.3 Integral de Linha de uma Funcao Escalar

Sejam f : R3 → R uma funcao real e C uma curva em R3 que e parametrizada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b].

Podemos supor que C representa um arame e f(x,y,z) a densidade (massa por unidade de comprimento) em cada ponto (x,y,z) ∈ C, o objetivo sera calcular a massa total do arame.

Para isto, dividamos o intervalo I = [a,b] por meio de uma particao regular,

Obtendo assim uma decomposicao de C em curvas Ci definidas em [ti,ti+1]

Denotemos por △si o comprimento da curva Ci, isto e

Pelo Teorema de valor medio para integrais, existe ui ∈ [ti,ti+1] tal que

Quando n e grande, △si e pequeno e f(x,y,z) pode ser considerada constante em Ci 16 e igual a f(α(ui)). Portanto, a massa total M e aproximada por

onde Sn e a soma de Riemann da funcao f(α(t))‖α′(t)‖ dt no intevalo [a,b]. Logo, a massa M e calculada por

Definicao 2.2. A integral de linha ao longo da curva C ⊂ R3 e definido por∫

C f ds =

Exemplo 2.5. Calcule ∫

C (x2+y2+z2) ds, onde C e a helice parametrizada pela funcao

Como f e contınua, entao∫

Se pensarmos na helice como um arame e f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 como a densidade

de massa no arame, entao a massa total do arame e

Definicao 2.3. A integral de linha ao longo de uma curva C ⊂ R2 definida por uma funcao α(t) = (x(t),y(t)) de classe C1 em [a,b] e f(x,y) uma funcao real contınua definida em C, e∫

C f ds =

Exemplo 2.6. Calcule ∫

C xy ds, onde C e o quarto de cırculo do primeiro quadrante

Como f e contınua, entao∫

C xy ds = cost sent dt = 1

Observacao 2.3. Quando f(x,y) ≥ 0 , a formula (2.12) tem como interpretacao geometrica a area de uma cerca que tem como base a curva C e altura f(x,y) em cada (x,y) ∈ C.

2.4 Integral de Linha de um Campo Vetorial

Para motivar a definicao de integral de linha de F ao longo de C, suponhamos que

F representa um campo de forcas e calculemos o trabalho realizado pela forca F ao deslocar uma partıcula ao longo de C.

Quando C e um segmento de reta ligando o ponto A ao ponto B e F e uma forca constante, sabemos que o trabalho realizado pela forca F ao deslocar uma partıcula ao longo de C e dado por

W =F ·−→ AB = forca × deslocamento.

Quando C nao e um segmento de reta, podemos aproximala por uma linha poligonal com vertices em C, de modo que para n grande △ti = ti+1 − ti seja pequeno. Assim,

Figura 2.4: o deslocamento da partıcula de α(ti) a α(ti+1) e aproximado pelo vetor logo F pode ser considerado constante e igual a F(α(ti)) no intervalo [ti,ti+1].

Supondo que α′(t) existe para todo t ∈ [a,b], entao pela definicao de derivada, temos que

Portanto, o trabalho realizado para deslocar uma partıcula de α(ti) ate α(ti+1) e aproximadamente

Assim, o trabalho W realizado pela forca F ao deslocar uma partıcula ao longo de C e:

Logo,

campo vetorial contınuo definido em C. Definimos a integral de linha de F ao longo de C por∫

Se a curva C e fechada, isto e α(a) = α(b) a integral de linha e denotada por ∮

Note que ao usarmos as componentes de F e de α, a equacao (2.16) se escreve∫

Observacao 2.4. Se C e uma curva no plano xy parametrizada por α(t) = (x(t),y(t)) com t ∈ [a,b], a integral de linha de F(x,y) = (F1(x,y),F2(x,y)) ao longo de C e dada por ∫

Exemplo 2.7. Calcule ∫

C F·dr, onde F(x,y,z) = (x,y,z) e C e a curva parametrizada

Propriedades

C− F · dr, onde C− e a curva C com orientacao oposta.

C F · dr + b

C G · dr

3. Se C admite uma decomposicao num numero finito de curvas C1, C2,..., Cn,

Cn F · dr

Exemplo 2.8. Considere C a fronteira de um quadrado no plano xy de vertices (0,0), (1,0),

(1,1), (0,1), orientada no sentido anti-horario. Calcule a integral de linha∫

C x2 dx + xy dy =

C xy dy.

Sol. A curva C e decomposta em quatro segmentos de reta que podem ser parametrizados por:

2.5 Campos Conservativos

Definicao 2.5. Um campo vetorial F : Ω ⊂ Rn −→ Rn denomina-se conservativo se existe um campo escalar diferenciavel f : Ω ⊂ Rn −→ R tal que:

Teorema 2.1. Seja F um campo vetorial contınuo definido num subconjunto aberto U ⊂ R3 para o qual existe uma funcao real f tal que ▽f = F, em U. Se C e uma curva em U com ponto inicial e final A e B, respectivamente, parametrizada por uma funcao α(t) de classe C1 por partes, entao∫

(Parte 1 de 2)

Comentários