(Parte 2 de 5)

2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era: I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B; I - O dobro do número de pessoas que gostavam de A; I - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B. Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a: a)48 b)35 c)36 d)47 e)37

3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 1, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi: a) 29 b) 24 c) 1 d) 8 e) 5

4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: a)século XIX b)século X c)antes de 1860 d)depois de 1830 e)nenhuma das anteriores Pode-se garantir que a resposta correta é: a)a b)b c)c d)d e)e

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5) - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e)10

6) - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

7) PUC-SP - Se A = e B = { }, então: a) A 0 B b) A c B = i c) A = B d) A 1 B = B e) B d A

8) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A 1 B é 30, o número de elementos de A 1 C é 20 e o número de elementos de A 1 B 1 C é 15.

Então o número de elementos de A 1 (B c C) é igual a:

a)35 b)15 c)50 d)45 e)20

9) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são: a)2 ou 5 b)3 ou 6 c)1 ou 5 d)2 ou 6 e)4 ou 5

RESULTADO 1) c 2) a 3) a 4) c 5) e 6) a 7) a 8) a 9) a

Divisibilidade

Critérios de divisibilidade São critérios que nos permite verificar se um número é divisível por outro sem precisarmos efetuar grandes divisões.

Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

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Exemplos : 8490 é divisível por 2, pois termina em 0. 895 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 870 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 8+7+0=15, como 15 é divisível por 3, então 870 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 0 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 950 é divisível por 4, pois termina em 0. 6532 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4. 836 é divisível por 4, pois 36 é divisível por 4. 9870 não é divisível por 4, pois não termina em 0 e 70 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 425 é divisível por 5, pois termina em 5. 78960 é divisível por 5, pois termina em 0. 976 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 942 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 6456 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 984 não é divisível por 6, é divisível por 2, mas não é divisível por 3. 357 não é divisível por 6, é divisível por 3, mas não é divisível por 2.

Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 0, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: 20 é divisível por 8, pois termina em 0. 98120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8. 98112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 78341 não é divisível por 8, pois 341 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 6192 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 6+1+9+2=18, e como 18 é divisível por 9, então 6192 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 8970 é divisível por 10, pois termina em 0. 5987 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 2
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 1
Si - Sp = 2 - 1 = 1
Como 1 é divisível por 1, então o número 87549 é divisível por 1.

Divisibilidade por 1 Um número é divisível por 1 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 1. Exemplos: 87549 439087 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10

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Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si - Sp = 10 - 21

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Como zero é divisível por 1, o número 439087 é divisível por 1.

Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 1 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+1 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.

Divisibilidade por 12 Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Exemplos: 1200 é divisível por 12, porque é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. 870 não é divisível por 12 é divisível por 3, mas não é divisível por 4. 8936 não é divisível por 12 é divisível por 4, mas não é divisível por 3.

Divisibilidade por 15 Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. Exemplos: 9105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. 9831 não é divisível por 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 5. 680 não é divisível por 15 é divisível por 5, mas não é divisível por 3.

Números Primos

Devemos antes de tudo lembrar o que são números primos. Definimos como números primos aqueles que são divisíveis apenas por 1 e ele mesmo. Exemplos: 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é primo. 23 tem apenas os divisores 1 e 23, portanto 23 é primo. 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é primo. Atenção: 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor ele mesmo. 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 36 tem mais de dois divisores então 36 é um número composto.

Como saber se um número é primo Devemos dividir o número dado pelos números primos menores que ele, até obter um quociente menor ou igual ao divisor. Se nenhum das divisões for exata, o número é primo.

Todo número natural, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplicação em
Decomposição do número 36:
36 = 9 x 4
36 = 3 x 3 x 2 x 2
36 = 3 x 3 x 2 x 2 = 2 x 32
No produto 2 x 2 x 3 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 36 a decomposição de 36 num produto de fatores primos.

Decomposição em fatores primos que todos os fatores são números primos. É o que nós chamamos de forma fatorada de um número Então a fatoração de 36 é 2 x 32

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os

Método Prático Escrever a Forma Fatorada de um Número Natural passos para montar esse dispositivo: º Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º A seguir, dividir o quociente obtido pelo seu menor divisor primo. 3º Proceder dessa forma, daí por diante, até obter o quociente 1. 4º A forma fatorada do número 120 = 23 x 3 x 5

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Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72:

Determinação dos divisores de um número primos. 1º Fatoramos o número 72. 2º Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número. 3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo. 4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. Então o conjunto dos divisores de 72 = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,36,72}

Máximo Divisor Comum (mdc)

O máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos (números diferentes de zero) é o maior número que é divisor ao mesmo tempo de todos eles.

Não vamos aqui ensinar todos as formas de se calcular o mdc, vamos nos ater apenas a algumas delas.

Regra das divisões sucessivas Esta regra é bem prática para o calculo do mdc, observe:

Exemplo: Vamos calcular o mdc entre os números 160 e 24.

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1º: Dividimos o número maior pelo menor. 2º: Como não deu resto zero, dividimos o divisor pelo resto da divisão anterior. 3º: Prosseguimos com as divisões sucessivas até obter resto zero.

O mdc (64; 160) = 32 Para calcular o mdc entre três ou mais números, devemos coloca-los em ordem decrescente e começamos a calcular o mdc dos dois primeiros. Depois, o mdc do resultado encontrado e o terceiro número dado. E assim por diante. Exemplo: Vamos calcular o mdc entre os números 18, 36 e 63.

Observe que primeiro calculamos o mdc entre os números 36 e 18, cujo mdc é 18, depois calculamos o mdc entre os números 63 e 18(mdc entre 36 e 18). O mdc (18; 36; 63) = 9.

Regra da decomposição simultânea

mdc (80; 40; 72; 124)mdc (12; 64)

Escrevemos os números dados, separamos uns dos outros por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao lado do último. No outro lado do traço colocamos o menor dos fatores primos que for divisor de todos os números de uma só vês. O mdc será a multiplicação dos fatores primos que serão usados. Exemplos:

Propriedade: Observe o mdc (4, 12, 20), o mdc entre estes números é 4. Você deve notar que 4 é divisor de 12, 20 e dele mesmo. Exemplo mdc (9, 18, 27) = 9, note que 9 é divisor de 18 e 27. mdc (12, 48, 144) = 12, note que 12 é divisor de 48 e 144.

Mínimo Múltiplo Comum (mmc)

O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais não nulos(números diferente de zero), é o menor número que múltiplo de todos eles.

Regra da decomposição simultânea

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Devemos saber que existe outras formas de calcular o mmc, mas vamos nos ater apenas a decomposição simultânea. OBS: Esta regra difere da usada para o mdc, fique atento as diferenças. Exemplos:

mmc (18, 25, 30) = 720 1º: Escrevemos os números dados, separados por vírgulas, e colocamos um traço vertical a direita dos números dados. 2º: Abaixo de cada número divisível pelo fator primo colocamos o resultado da divisão. O números não divisíveis pelo fator primo são repetidos. 3º: Continuamos a divisão até obtermos resto 1 para todos os números. Observe o exemplo ao lado.

mmc (4, 8, 12, 16) = 48mmc (10, 12, 15) = 60

Propriedade: Observe, o mmc (10, 20, 100) , note que o maior deles é múltiplo dos menores ao mesmo tempo, logo o mmc entre eles vai ser 100. Exemplo: mmc (150, 50 ) = 150, pois 150 é múltiplo de 50 e dele mesmo mmc (4, 12, 24) = 24, pois 24 é múltiplo de 4, 12 e dele mesmo

Números Racionais

O conjunto dos Números Racionais (Q) é formado por todos os números que podem ser escritos na forma a/b onde a e b Î Z e b ¹ 0 ( 1º Mandamento da Matemática: NÃO DIVIDIRÁS POR ZERO)

Exemplos:, 0,25 ou (simplificando) , -5 ou

Operações As operações com número racionais segue as mesma regras de operação das frações.

Adição e Subtração

Reduz-se as frações ao mesmo denominador. Para isso devemos encontrar o mmc dos denominadores, criarmos uma mesma seqüência de fração com o novo denominador e numerador igual ao resultado da divisão do novo denominador pelo velho multiplicado pelo numerador velho. Exemplo:

o mmc(3,4)=12 então dividindo-se 12 por 3 e multiplicando-se por 2,

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Polícia Rodoviária Federal16 depois dividindo-se 12 por 4 e multiplicando-se por 3 temos Multiplicação

Multiplica-se os numeradores e os denominadores obtendo-se assim o resultado. É importante observar se o resultado da multiplicação não pode ser simplificado ( dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número) , normalmente isso é possível e evita que se faça operações com números muito grandes :

simplificando por 3 temos como resultado

Deve-se multiplicar a primeira pelo inverso da segundasimplificando por 2

Divisão ficamos

com

Expressões Quando se resolve expressões numéricas devemos observar o seguinte:

a. Deve-se obedecer a seguinte prioridade de operação: 1º - multiplicação e divisão na ordem em que aparecer 2º - soma e subtração na ordem em que aparecer b. Deve-se primeiro resolver as operação dentro do parênteses, depois do colchete e por fim da chave, e dentro de cada separador obedecer as regras do item a

Exemplos: resolva a operação que esta dentro do parenteses :

mmc(2,3) = 6

1

Primeiro os parênteses, e no segundo parênteses primeiro a multiplicação

Números Fracionários Frações

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O símbolosignifica a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Será representado em nossa apostila da seguinte forma: a/b Chamamos: a/b de fração; a de numerador; b de denominador. Se a é múltiplo de b, então a/b é um número natural. Veja um exemplo:

A fração 12/3 é igual a 12:3. Neste caso, 12 é o numerador e 3 é o denominador. Efetuando a divisão de 12 por 3, obtemos o quociente 4. Assim, 12/3 é um número natural e 12 é múltiplo de 3. Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

O significado de uma fração

Algumas vezes, a/b é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de a/b?

Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Michele comeu 4/7 de um bolo. Isso significa que o bolo foi dividido em 7 partes iguais, Aline teria comido 4 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Aline, e a parte branca é a parte que sobrou do bolo.

Como se lê uma fração

também quando os denominadores são 10, 100, 1000,

As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e

Frações Próprias

São frações que representam uma quantidade menor que o inteiro, ou seja representa parte do inteiro. Exemplos:

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, observe que neste tipo de fração o numerador é sempre menor que o denominador.

Frações Impróprias

São frações que representam uma quantidade maior que o inteiro, ou seja representa uma unidade mais parte dela. Exemplos:

, observe que neste tipo de frações o numerador é sempre maior que o denominador. Frações Aparentes

São frações que representam uma unidade, duas unidades etc. Exemplos:

, observe que neste tipo de frações o numerador é sempre múltiplo do denominador.

Frações Equivalentes

Duas ou mais frações que representam a mesma quantidade da unidade são equivalentes. Exemplos:

, são frações equivalentes, ou seja(1/2 é a metade de 2/2 e 5/10 é a metade

de 10/10) Simplificando Frações

Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número, esta não se altera. Encontramos frações equivalentes a fração dada. Exemplos:

3/4 = 6/8 , observe que numerador e denominador foram multiplicados por 2. 12/18 = 4/6 , observe que numerador e denominador foram divididos por 3. Reduzindo Frações ao Mesmo Denominador Exemplo:

, a primeira coisa a se fazer é encontrar frações equivalentes às frações dadas de tal forma que estas tenham o mesmo denominador. Basta determinar o m.m.c entre os denominadores, que neste caso é 12.

, para obtermos, pegamos o m.m.c, dividimos pelo denominador, pegamos o resultado e multiplicamos pelo numerador, observe: 12 : 3 = 4, 4 x 2 = 8 e assim com as outras frações.

Adição e Subtração de Frações 1º Caso

Denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

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Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. Exemplos:

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