Quociente de Variáveis Aleatórias

Quociente de Variáveis Aleatórias

(Parte 1 de 5)

m onica onica . barros @ibge. . barros @ibge. gov gov.. br br 1

Probabilidade I Aula 8

Mônica Barros, D.Sc. Mônica Barros, D.Sc.

m onica onica . barros @ibge. . barros @ibge. gov gov.. br br 2

Conte Conteúú do do

A regra de Bayes revisitada –exemplo extra

Vetores Aleatórios

Funções de Duas Variáveis Aleatórias O método do Jacobiano em Duas dimensões

A Densidade da Soma de Duas Variáveis Aleatórias independentes

A Densidade do Quociente de Duas Variáveis Aleatórias independentes

A Densidade do Produto de Duas Variáveis Aleatórias independentes m onica onica . barros @ibge. . barros @ibge. gov gov.. br br 3

A regra de Bayes revisitada A regra de Bayes revisitada –– exemplo extra exemplo extra

Faremos agora um exemplo um pouquinho diferente dos da aula passada, mas que étambém uma aplicação da regra de Bayes.

Lembre-se que, no caso de X ser uma v.a. discreta a regra de Bayes torna-se:

todo XY todo XXY

YX xXxyf xXxyf xfxyf xfxyf yxf m onica onica . barros @ibge. . barros @ibge. gov gov.. br br 4

A regra de Bayes revisitada A regra de Bayes revisitada –– exemplo extra exemplo extra

Exe mplo

Suponha que, condicionalmente a P = p, Y éBinomial com parâmetros n = 10 e p.

Suponha também que P éuma variável discreta, cujos valores possíveis são ¼, ½ e 3/4, e a estes valores estão associadas as probabilidades 0.3, 0.4 e 0.3 respectiva mente.

m onica onica . barros @ibge. . barros @ibge. gov gov.. br br 5

A regra de Bayes revisitada A regra de Bayes revisitada –– exemplo extra exemplo extra

Pergunta- se:

Qual a função de probabilidade marginal de Y?

Qual a função de probabilidade condicional de P dado Y = y? m onica onica . barros @ibge. . barros @ibge. gov gov.. br br 6

A regra de Bayes revisitada A regra de Bayes revisitada –– exemplo extra exemplo extra

Solução

O primeiro passo éescrever a conjunta de Y e P, que édada no problema.

Note que a forma mais fácil de escrever a marginal de P éem termos de variáveis indicadoras. Lembre-se que o indicador do evento A é:

A p se0
A p se1

m onica onica . barros @ibge. . barros @ibge. gov gov.. br br 7

A regra de Bayes revisitada A regra de Bayes revisitada –– exemplo extra exemplo extra

Então, a função de probabilidade de P pode ser escrita como:

Assim, a função de probabilidade conjunta de Y e P édada por:

I y

IIIppy pyf m onica onica . barros @ibge. . barros @ibge. gov gov.. br br 8

A regra de Bayes revisitada A regra de Bayes revisitada –– exemplo extra exemplo extra

A função de probabilidade marginal de Y é apenas o somatório desta conjunta para todo p, ou seja, para os três valores possíveis de P.

Note que isso apenas equivale a uma soma ponderada de probabilidades Binomiais, cujos fatores de ponderação são, respectivamente, 0.3, 0.4 e 0.3. No slide a seguir apresentamos as probabilidades Binomiais e a soma ponderada.

m onica onica . barros @ibge. . barros @ibge. gov gov.. br br 9

A regra de Bayes revisitada A regra de Bayes revisitada –– exemplo extra exemplo extra

A marginal de Y é:

m onica onica . barros @ibge. . barros @ibge. gov gov.. br br 10

A regra de Bayes revisitada A regra de Bayes revisitada –– exemplo extra exemplo extra

E a função de probabilidade condicional de P dado Y = y?

Lembre-se que P sóadmite 3 valores possíveis (1/4, ½e ¾) e assim esta função de probabilidade condicional sóteráprobabilidades diferentes de zero para estes valores de P.

Também, o valor observado de Y deve afetar a nossa “opinião”sobre P. Por exemplo, se nas 10 repetições observamos 9 sucessos, a experiência estános dando uma evidência bem clara de que o valor “verdadeiro”de P deve ser alto (no caso, ¾).

m onica onica . barros @ibge. . barros @ibge. gov gov.. br br 1

A regra de Bayes revisitada A regra de Bayes revisitada –– exemplo extra exemplo extra

Como resolver isso?

A função de probabilidade condicional de P dado Y = y éapenas a conjunta (que jáconhecemos) sobre a marginal de Y (que acabamos de calcular).

(Parte 1 de 5)

Comentários