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Adriano Pedreira Cattai http://cattai.mat.br

Universidade do Estado da Bahia — UNEB Semestre 2009.2

Apresentação4
Teorema e Demonstrações4

Sumário

1.1 Números Naturais8
1.1.1 Fundamentação Axiomática8
Subtração em N1
1.1.2 Exercícios Propostos1
1.2 Números Inteiros12
1.2.1 Fundamentação Axiomática12
Subtração em Z14
1.2.2 Princípio da Boa Ordem15
1.2.3 Exercícios Propostos16
1.3 O Princípio da Indução Completa16
1.3.1 Método da Recorrência19
1.3.2 Exercícios Propostos20

1 Números Naturais e Números Inteiros 8

2.1 Conjuntos Finitos21
2.2 Conjuntos Enumeráveis e Conjuntos Não-Enumeráveis25

2 Conjuntos Finitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis 21

3.1 Corpos27
3.1.1 Corpos Ordenados30
3.1.2 Relação de Ordem30
Módulo ou Valor Absoluto31
3.1.3 A polêmica Descoberta dos Incomensuráveis: os Números Irracionais34
3.1.4 O Conjunto dos Números Reais35
3.2 Noções Topológicas da Reta37
3.2.1 Conjuntos Abertos37
3.2.2 Conjuntos Fechados38
3.2.3 Pontos de Acumulação40
3.2.4 Conjuntos Compactos41
3.2.5 Conjuntos Densos42

3 Números Reais 27

4.1 Sequências e Subsequências4
4.2 Sequências Convergentes4
4.3 Sequencias Monótonas e Sequencias Limitadas46
4.4 Sequências de Cauchy47
4.5 Limites Infinitos48
4.6 Operações com Limites48
4.7 Limite Superior e Limite Inferior50
4.8 Séries51
4.9 A Série dos Inversos dos Primos56

4 Sequências e Séries 43

5.1 Limites Laterais, Infinitos e no Infinito62

5 Limites de Funções 57

6.1 O Teorema do Valor Intermediário65

6 Funções Contínuas 63 2 ∣∣ Adriano Cattai

6.2 Funções contínuas Definidas em Compactos67
6.3 Funções Uniformemente Contínuas68

Análise Real

7.1 Derivabilidade e Derivada71
7.2 Propriedades Operatórias74
7.3 Extremos Locais e o Teorema do Valor Médio (Lagrange)76
7.4 Regras de L’Hospital80

7 Derivadas 71 Referências Bibliográficas 82

Adriano Pedreira Cattai http://cattai.mat.br

Apresentação

Análise é o ramo da matemática que lida com os conceitos introduzidos pelo cálculo diferencial e integral, tendo surgido justamente da necessidade de prover formulações rigorosas às idéias intuitivas do cálculo. Sendo hoje uma disciplina muito mais ampla, tais tópicos são tratados em uma subdivisão chamada análise real.

Se a Análise surgiu do estudo dos números e funções reais, sua abrangência cresceu de forma a estudar os números complexos, bem como espaços mais gerais, tais como os espaços métricos, espaços normados e os espaços lineares topológicos.

Embora seja difícil definir exatamente o que seja análise matemática e delinear precisamente seu objeto de estudo, pode-se dizer grosseiramente que a análise se dedica ao estudo das propriedades topológicas em estruturas algébricas.

Fonte: Wikipédia (http://pt.wikipedia.org/wiki/Análise matemática)

Este material deverá servir como referência aos estudos introdutórios de Análise Real na disciplina Análise

Real (MA0062), do curso de Licenciatura em Matemática da UNEB/Campus I. Deve-se recorrer à literatura (indicamos alguns autores na bibliografia) possibilitando uma maior formação e compreensão dos tópicos aqui abordados, que são: Axiomática e Noções Topológicas em R, Seqüências e Séries; Limite, Continuidade e Derivada.

Prof. Adriano Pedreira Cattai.

Teorema e Demonstrações

Axiomas e Proposições

Fonte: Wikipédia

Proposição é uma sentença declarativa, que pode ser verdadeira ou falsa. Geralmente, de simples prova e de importância Matemática menor.

Um axioma é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdadee serve como ponto inicial paradeduçãoe inferênciasde outrasverdades(dependentesde teoria).

Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados.

Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem logicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas). Em muitos contextos, “axioma”, “postulado” e “hipótese” são usados como sinônimos.

A palavra “axioma“ vem do grego, que significa “considerado válido ou adequado” ou “considerado auto-

4 ∣∣ Adriano Cattai

Análise Real evidente”.

Um Teorema é uma proposição glorificada. Ou seja, é um resultado importante que se destaca. Usualmente deixa-se o termo “teorema” para as afirmações que podem ser provadas de grande “importância matemática”.

São dados outros nomes para os outros tipos dessas afirmações (proposições):

Lema: é um “pré-teorema”. Um teorema que serve para ajudar na prova de outro teorema maior. A distinção entre teoremas e lemas é um tanto quanto arbitrária, uma vez que grandes resultados são usados para provar outros. Por exemplo, o Lema de Gauss e o Lema de Zorn são muito interessantes, e muitos autores os denominam de Lemas, mesmo que não os usem para provar alguma outra coisa.

Corolário: é uma consequência direta de outro teorema ou de uma definição, muitas vezes tendo suas demonstrações omitidas, por serem simples;

Escólio: é uma consequência direta da demonstração (ou parte da demonstração) de um teorema.

Provar teoremas é a principal atividade dos matemáticos.

Teoremas

A generalidade dos resultados matemáticos assumem a seguinte forma: admitindo a validade de uma ou mais premissas , decorre(m) obrigatoriamente uma ou mais conclusões, ou consequências. Um tal enunciado de resultados tem o nome de Teorema. A validade de um teorema tem de ser provada, ou demonstrada. A sucessão finita de argumentos lógicos mostrando que determinada afirmação é necessáriamente verdadeira quando se assumem certas premissas, damos o nome de prova ou demonstração.

Num teorema, ao conjunto de premissas dá-se o nome de hipótese, e ao conjunto de conclusões dá-se o nome de tese. Esquematicamente, podemos representar um teorema da seguinte forma:

Teorema: Hipótese =⇒ Tese.

Observação: Quando num teorema é válido também a recíproca, isto é, “se P, então Q” e “se Q, então P”, escrevemos P ⇔ Q, ao invés de escrever P ⇒ Q e Q ⇒ P. O correspondente símbolo lógico é ⇔ é o “se e somente se”. A forma de expressão para um teorema “se P então Q, e se Q então P” é “P se e somente se Q”. Por exemplo, para o teorema “se um inteiro x é par, então x + 1 é ímpar, e se x + 1 é ímpar, então x é par”, escrevemos “um inteiro x é par se, e somente se, x +1 é ímpar”. Em símbolos: x é par ⇔ x + 1 é ímpar. Outras maneiras de usar o símbolo ⇔ são:

(i) P sse Q (abreviada); (i) P é necessário e suficiente para Q.

Ao final de uma demonstração matemática, é usual aperecer Q.E.D (ou QED) que é uma abreviatura para

Quod erat demonstrandum, uma expressão em Latim que significa “como se queria demonstrar”. Na versão portuguesa C.Q.D. (ou CQD). Frequentemente é substituido por um dos símbolos ■ ou □.

Técnicas de Demonstração

A demonstração da validade de um teorema pode ser feita de várias maneiras, das quais salientamos as seguintes, por serem as mais frequentes. A fim de simplificar a notação, admitimos no que se segue que a

UNEB ★ 2009.2 hipótese é constituída por uma única expressão proposicional P(x) e que a tese é igualmente constituída por uma única condição Q(x). Assim, o teorema assume a seguinte forma:

Prova Direta

Constrói-se uma cadeiadecondições intermediárias(R1, R2,, Rn) que decorremumas dasoutras, de talforma

A conclusão é estabelecida através da combinação lógica dos axiomas, definições e teoremas já existentes. que a transitividade da implicação lógica nos permite chegar à validade de Q, admitindo a validade de P:

P(x) ⇒ R1(x) ⇒ R2(x) ⇒⇒ Rn(x) ⇒ Q(x).

Vejamos um exemplo.

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