Calculo I UFRPE

Calculo I UFRPE

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Cálculo I

Cláudia Dezotti Bruno Lopes

Universidade Federal Rural de Pernambuco

Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena Coordenação Geral de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos

Produção Gráfica e Editorial Capa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Italo Amorim, Arlinda Torres e Heitor Barbosa Revisão Ortográfica: Marcelo Melo Ilustrações: Claudia Dezotti e Bruno Lopes Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos

Capítulo 1 – Limite e Continuidade5
1.1 Introdução5
1.2 Noção Intuitiva de Limite5
1.3 Cálculo de Limites7
1.4 Definição de Limite9
1.5 Principais Propriedades dos Limites9
1.6 Limites Infinitos1
1.7 Limites no Infinito12
1.8 Limite Fundamental Exponencial15
1.9 Consequências do Limite Fundamental Exponencial16
1.10 Limite Fundamental Trigonométrico18
1.1 Continuidade20
Capítulo 2 – Derivação24
2.1 Introdução24
2.2 Retas tangentes24
2.3 Derivadas27
2.4 Estudo das derivadas como uma função28
2.5 Regras de derivação30
3.2 A Regra da Cadeia (Derivada da Função Composta)41
3.3 Derivadas das Funções Elementares43
Capítulo 4 – Comportamento das Funções48
4.1 Introdução48
4.2 Derivadas Sucessivas49
4.3 Análise Gráfica das Funções51
4.4 Funções Crescentes e Decrescentes56
4.5 Extremos Locais – Teste das Derivadas Primeira e Segunda59
Capítulo 5 – A Integral62
5.1 Introdução62
5.2 Primitivas62
5.3 O Conceito de Integral65
5.4 Propriedades da Integral68
5.5 A Integral como Área69
5.6 Teorema Fundamental do Cálculo72
Capítulo 6 – Métodos de Integração78
6.1 Introdução78
6.2 Integração por Substituição78

Cálculo I

Capítulo 1 – Limite e Continuidade

1.1 Introdução

Para este módulo vamos trabalhar com Limites de Funções.

Inicialmente estudaremos a noção intuitiva de um limite partindo de uma função, assunto já estudado na disciplina de Matemática I, analisando gráficos e tabelas até chegar à definição de limite. Também veremos as principais propriedades, características e os tipos de limites. A partir desse estudo definiremos continuidade e sua aplicação a uma função dada.

Atividade de Pesquisa

Para esse módulo a atividade de pesquisa é sobre produtos notáveis e fatoração de polinômios e frações algébricas. O estudo desses conteúdos é de grande importância para o cálculo de limites de uma função.

1.2 Noção Intuitiva de Limite

Observe a função . O domínio desta função é o conjunto dos números reais, , ou seja, para qualquer que seja o número real

, o valor de está definido. Vejamos alguns exemplos:

1. Para a função . Quando , temos

Dessa forma, dizemos que a imagem de é o valor

No gráfico:

Cálculo I

Figura 1

Agora considere a função . Ela está definida para todo número real, com exceção quando assume o valor 2. Por

quê? Quando fazemos a substituição de por 2, teremos uma indeterminação matemática. Observe:

é uma indeterminação matemática. Que tal uma pesquisa sobre indeterminações matemáticas?

A partir de agora vamos estudar o comportamento do gráfico da

função quando assume valores próximos de 2. Através de tabelas, chamadas de tabelas de aproximações, observaremos o

comportamento da função quando assume valores próximos (chamaremos de vizinhança) de 2, mas diferente de 2.

Começaremos atribuindo a valores próximos de 2, porém, menores que 2: (Tabela 1)

Atribuindo a valores próximos de 2, porém, maiores do que 2: (Tabela 2)

Cálculo I

Através da análise das tabelas 1 e 2, podemos tornar tão

casos que se assemelhem a este. Vejamos o gráfico de quando .

Figura 2

Mais exemplos:

1. Determinar . Ao simplificarmos a expressão , teremos:

Agora vamos substituir esse valor em , ficamos com: .

Esse limite quando tende a 1 é dado por .

Cálculo I

Mais uma vez faremos uso de simplificações para determinar o limite da função dada. A expressão

O nosso limite agora é

1.4 Definição de Limite

o próprioDizemos que o limite de quando se aproxima de

Seja uma função definida num intervalo contendo a, exceto é , onde , e escrevemos , se, e somente se, os

limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais à L.

Simbolicamente: . Caso contrário, dizemos que o limite não existe e indicamos por .

Uma proposição muito importante no estudo de limites é a Unicidade do Limite enunciada a seguir:

Se e , então . Se o limite de uma função num ponto existe, então ele é único.

1.5 Principais Propriedades dos Limites

Se e . existem um número qualquer, então: a) . b)

c) . d) = .

e)

Cálculo I

Atividade de Estudo

a

1. Utilizando os limites laterais, determine o valor de: b.

c.

d.

2. Fatore as expressões e simplifique as frações para obter o valor de:

b.

c.

d.

3. Aplicando as propriedades de limites, calcule em cada caso:

a. b. c.

d.

e. 4. Calcule os limites abaixo:

a. b.

c.

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