Calculo I UFRPE

Calculo I UFRPE

(Parte 4 de 5)

c. d.

2.5.3 Derivada de uma soma de função.

Se e são funções diferenciávéis em , então a função tem a derivada dada pela expressão:

Vejamos um exemplo:

Vamos derivar a função . Observe que a função é composta por outras funções, mostradas a seguir:

que possui derivada ; que possui derivada ; que possui derivada ; que possui derivada igual a zero.

Desta forma e como foi definida, a derivada de , indicada por , é dada por , ou seja, .

De uma forma geral, podemos dizer que a derivada da soma de duas ou mais funções é a soma das derivadas dessas funções.

Cálculo I

Abaixo seguem mais exemplos onde aplicaremos a regra de derivação estudada:

Achar a derivada das seguintes funções: a. b. c. d. e.

f. Solução: a. b. c. d. e. f.

Verificando: a.

“possui derivada , possui derivada e 4 possui derivada 0 (zero).

b.

possui derivada , possui derivada e possui derivada .

possui derivada igual a 0 (zero), possui derivada e possui derivada .

d.

possui derivada , possui derivada , possui derivada 1 e 1 possui derivada 0 (zero).

Cálculo I

possui derivada , possui derivada , possui derivada 1 e -1 possui derivada igual a 0 (zero).

f.

possui derivada , possui derivada , possui derivada e possui derivada 0 (zero).

2.5.4 Derivada de um produto de funções.

Se e são funções deriváveis em , então o produto . também será e:

De uma forma geral, podemos dizer que a derivada do produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.

Vejamos algumas aplicações:

Queremos determinar a derivada da função . A função é composta por duas funções:

que possui derivada ; que possui derivada .

Pela definição vista, temos que . Logo, fazendo as substituições, ficamos com:

Observe outros exemplos onde a regra de derivação do produto entre duas funções pode ser aplicada:

Calcule a derivada das seguintes funções: a. b. c.

Cálculo I

d. e.

Solução: a.

Vamos separar a função em duas:

e e calcular as suas derivadas.

Temos que e . Pela definação mostrada,

. Fazendo as subtituições, ficamos com:

. b.

Vamos fazer como sendo a primeira função, ou seja, , e como segunda função, .

As derivadas de e , são, respectivamente, e .

Já sabemos que “a derivada do produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira”. Então:

Se e são deriváveis em e , então o quociente tem derivada dada pela expressão:

Podemos escrever que a derivada de um quociente de duas funções é a derivada do numerador vezes o denominador menos a derivada do denominador vezes o numerador, tudo isso dividido pelo quadrado do denominador.

Vamos mostrar agora alguns exemplos onde podemos aplicar essa regra de derivação:

Determinar a derivada das funções abaixo:

a. b.

c.

Cálculo I

d.

e. Solução:

Vamos utilizar para esse exemplo e . Já sabemos que .

Como , temos que 3. Como , temos que .

Substituindo esses valores em , ficamos com:

b.

Observe que a função é composta por duas funções:

que possui derivada e que tem como derivada .

Nosso próximo passo é fazer a substituição dos valores acima na expreção :

c.

Se chamarmos e , achamos como derivadas dessas funções e .

Cálculo I

Aplicando esses valores em , ficamos com:

d.

Para esse exemplo, vamos chamar de com derivada e de que possui derivada .

Mais uma vez vamos fazer uso da regra de derivação estudada:

e.

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