Calculo I UFRPE

Calculo I UFRPE

(Parte 5 de 5)

Durante o primeiro volume do Livro de Cálculo I vimos como derivar a função e também a função . Agora, fazendo a composição da função com , temos . Como derivar a função ?

Uma forma é desenvolver o binômio e em seguida derivar a função. Mas imagine se a função a qual queremos derivar tenha expoente 10. Desenvolver a expressão não é uma das tarefas mais simples.

A regra que iremos mostrar agora estabelece uma forma mais simples para se obter a derivada da função composta em termos das funções elementares já estudadas.

A função composta tem derivada dada por:

Cálculo I

Vejamos como aplicar a regra da cadeia na função

Inicialmente precisamos identificar quais são as funções elementares envolvidas, a saber:

e .

Já sabemos que a derivada de uma função composta é dada

pela expressão . Como vem que e como vem que a sua derivada é .

Substituindo esses valores na expressão , ficamos com:

Vejamos mais alguns exemplos onde utilizamos a regra da cadeia: Ex1:

Ex2: Ex3: Ex4:

Solução:

Ex1: . Tomando e e em seguida aplicando a expressão já

enunciada anteriormente, a derivada de é:

Ex2: . Para esse segundo exemplo vamos tomar e . É importante lembrar que

(aqui aplicamos a regra para derivada de um quociente). Mais uma vez, utilizando a

expressão e fazendo as devidas substituições:

Cálculo I

Ex3: . Para e . As derivadas de e de são respectivamente

e . Substituindo as funções e suas derivadas em :

Ex4: . Para e , as suas derivadas são e . Fazendo as devidas

substituições em , teremos:

Atividade de Estudo

Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada das funções abaixo:

a. b. c.

Tutor Virtual, é a seguinte:

, então

Alguns exemplos onde usaremos as noções que acabamos de enunciar são mostrados abaixo:

Ex1: Ex2: Ex3:

Solução:

Ex1: . Para calcular a derivada dessa função, vamos inicialmente aplicar a regra da derivada de um produto:

Ex2: . A sua derivada é

Ex3: . Mais uma vez fazendo uso da regra da derivada de um produto de funções:

3.3.3 Derivada das funções trigonométricas

Todas as derivadas de funções trigonométricas podem ser demonstradas através da própria definição de derivadas. Em qualquer momento do curso você cursista poderá questionar essa demonstração com o seu tutor virtual. Também em livros de cálculo é possível de se encontrar essas demonstrações. Nesse volume do Livro de Fundamentos de Cálculo iremos focar as aplicações das regras para as derivadas das funções trigonométricas listadas a seguir:

Derivadas das Funções Trigonométricas: i. i. i.

Cálculo I

iv. v. vi. vii.

Vejamos alguns exemplos onde podemos aplicar as derivadas das funções trigonométricas:

a. b. c. d. e.

f.

aSua derivada é
cNesse exemplo inicialmente aplicaremos a

As soluções: b. , possui derivada y’ = -3 sen3x regra para a derivada da diferença entre duas funções:

d. .Já estudamos a regra para a derivada do produto entre duas funções:

eEssa função pode ser escrita como .

ainda Em seguida podemos aplicar a regra para a derivada do produto:

fPela regra da derivada do produto de duas

funções: .

Cálculo I

Atividade de Estudo

1. Calcule a derivada de cada uma das funções dadas a seguir: a. b. c.

d.

2. Calcule a derivada das funções abaixo: a. b. c.

d.

3. Observando as funções trigonométricas a seguir, encontre suas derivadas:

a. b.

c. d.

e. f. g. h. i.

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