Física Quântica - part IV - Eisberg e Resnick, Notas de estudo de Física

Baixe Física Quântica - part IV - Eisberg e Resnick e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! ) \ ", ) \ I \ I -tl ,l _ì \ I I ,'i l. \ \ à \ ,:ii ür ,r ,ù \iy à\À/ .à \-:-' r¡ úda-média, o número de núcleos que ainda nâ'o decaíram di¡ninui de um fator igual a e, co¡s indicado na ftgwa. Encontra,¡¡e também indic¿da a meia'vida T1¡2, que é o intervalo de tempo necessário para que o númcro {e núcleos que ainda não decaíram diminu¿ de um fator igual ¡ 2. A relaç5o entre esses dois intcrvalos de tempo é obtida di¡etamente a P¿út¡r da lci de decai. mento Ttn = (ln 2)T = 0,6937 (t 6.s) ¡l(r)=¡Í(0)+t /v(¡)=9*o,s /y(r) =¡ffQ* ! 0,5 0,693 I '-tltl FIGURA t6.3. A lei de decåimento exponencial ¡v(l) rcfcrcntc ao númcro de núcleos quc sobrcvivem após .um intervalo de tempo f. Também sa--o mostradas a úda-média 1e a meia-vida T,,r. Obse.r- ve que jv(t) é expresso em unidades do núme¡o original de núcleos r'ú(0), enquanto o temPo é expresso em unidades da vida-média L Em um sistema típico, existem vários núcleos radioativos correlacionados decaindo suæs' sivamente uns nos outros através do decaimento c (e/ou outros processos de decaimento)' Por exemplo,oe2u23a decaiporemissãocnoeoTh230,que,pof st¡avez,emiteumaoutrapartf' Cula c, decaindo nO sBRai26, etc. Assim, um sistema inicialmente formadO aPenas Pof e2U234 conterá eventualmente uma mistura de todos esses núcleos. As equações diferenciais que Sover' FIGURA 164. Uma representaça:o esquemática de uma família de decåimentos sucessivos. nam o comportamento geral de tais famíliæ podem ser facilmente escritas e, em certos casos' podem sef iesolvidas sem muitas dificuldades. No caso mais ¡mportante, as característicæ bá' i¡c¡s da soluçã'o podem ser discemidas ðtravés do seguinte argumento qual¡tativo' Considere 702 ot è I=T ,0 + I = l/R famÍlia radioativ4 na qual o núcleo pa¡ possui uma taxa de decaimento bem menor (oú 'úra vida.m¿¿¡a bem maior) do que os demais. Esta situação é indicada esquematicamente na Fgvß tøa' t* "T1,_1'-':li di-::i!_1iÏ'ï:':"1*T11':-t:li:lî:lj" ry!_"1'ç':d:i iri ¿rr.i exponencialmente. Entretanto, em uma escala de tempo muito menor, comparável à hda.mé¿ia dos núcleos lìlhos, a população dos núcleos ppis permanece essencialmente cons- tante e, assim, o número destes núcleos que decaem por segundo parece constante, Como os orimriros núcleos fìlhos decaem rapidamente logo apos sua forma$o, sua população é go- Lrnada pela alimentação Pfoveniente do decaimento dos núcleos pais. Desa forma, a popu- Þp'o dos primeiros núcleos filhos permanece constante, o mesmo acontecendo com os segun- dos núcleos filhos, un¡a vez gue estes são formados a uma taxa constante a partir de uma po- pulaSo constante dos prime¡ros. Na realidade, as popula@es de todos os núcleos fìlhos perma- necerão constantes enquAnto considera¡mos intervalos de tempo pequenos em comparação com a vida do núcleo pai, durante os quais a população desses núcleos não se altera substan- cialmente. (Se considerarmos inte¡valos de tempo maiores, a população dos núcleos pais e as de todos os núcleos f¡lhos ¡adioativos decrescem exponencialmente com a mesrna taxa de decaimento.) Asim, em uma escala de tempo Pequena, temos uma condição de equilíbrio que exige que a seguinte relaçâ'o seja satisfeita: y'y'sRs =¡y'¡R1 =y'ú¡rR¿ =' ' ' (16.6) por exemplo, o primeiro membro da primeira igualdade é o número de núcleos Pais que decaem pr segundo para forÍur os primeiros núcleos filhos. enquanto que o segundo membro repre' ienru o número dos prinreiros núcleos lìlhos que decaem por s€gundo. Se a taxa de formaçalo dos primciros núcleos fìltros não for,igual à sua taxa de decaimento,sua poPulação não per' m¿necerá constante. A relaçá'o (16.6) descreve o caso mais importante de uma famÍlia radioa- tiva, Ela é algumas vezes usada para determinar os valores de .R ou I, a partir de medidæ de /Ve de unr¡R conhecido. po4enros agora compreendcr como núclcos enrissores a com vidæ'médias muito cu¡tas ,l'po¿m ser encontrados na natureza. Por exemplo, o Eapo212, com I - 10-6 s, pode ser ex' :i ìraído de rninérios que ocorrem naturalmente e que Possivelmente foram formados há bilhões i:, ¿e anos. A razão é simplesmente que os emissores a de vida'média curta estão em equilíbrio ät "- r"-¡¡". ^^* .ú^1"^l neis de vid¡.média lonsa e oue são chamadas séries radioøtivas.Exts'.ijJem famil¡as com núcleos pai i a. i g q Ëit.. tre, dessas séries que ocorrem naturalmente: a sërie 4n ctJio^núcleo Pai é o e0Th233 com i'=î,lt; iõ;;;t,; série 4n + 2 cujo núcteo Paiéo e2ui38 coml=6,52x loe anosea þrie Án + 3 cujo núcieo pai 6 o e 2gzrs iom 2n= I,02 x loe anos. Os nomes das séries caracte' i¡2"* os valorei de ,4 de æus membros. Por exemplo, o núcleo pai da série 4n * 3 tem como A quatfo vezes um número inteiro mais trés, onde esse inteiro é 58. Como em cada decaímento c' o valor de.4 é reduzido de quatro unidades (e os outros pfocessos de decaimento não altefam ö valor de ,4), todos oS núclios filhos dessa série terão também,4 igual a guatro vezÊs um intei' !o menor mais três. I Existe naturalmente a posibilidade pafa uma série 4n * l. Na realidade, tal série existe eonúcleopaiéoe3Np237cujavida.médiaé1=3,25x106anos.Estasériepodeserproduzida Èartifìcialmente através'da formaçeo do núcleo pai Por uma reaçaio nuclear;entretanto, elanão ë encontrada na naturez¿. pois a vida-média de seu núcleo pai é muito cuila em comparação ;'àt u idade da Ter¡a, estimada em - l0r0 anos Por considerações geológicas e cosmológicas :,t-r¡..-.rpf" l6.tJ:-ilt. forma, quaisguer núcieos pa¡s inic¡almcnte presentes já serão de' '; caÍdos.. Ènlrelaça-ocomesefato,obsefvenalìgura ló-l queasenergiasdedecaimentodosnú- cleos pais ¿asirês séries que ocofrcm naturalmente são em parlicular baixas' Se essas energias 703 fossemlMeVmaiores,asresp€ctivastaxasdedecaimentoseriamtlomaioreseasvidas,¡nddia tão menores que - l0'o t""t, ' t¿t* 9l It::::,: î"'.ltTt5:*T;ff:ffi'fli:fi:tl :';i iäïLi";#;;":i;i,äi*i, ¿. *o.å*:j"1*il1îj'#il:i" por que oi element.s que ocorrem nriuiii.n,., conheciáos presentemente, não possuem Z su¡æríot a 92. Tal fato acontece porqul'*.n.rgias de decaimento d dos núcleos comZ) 92 são sulìcien' temente altas para perm¡t¡i"ö-æ-Ïq^'aea-f i;1'1.c¡1?1Xi:'"1"1':'JÏ:'.'"1;i*'J: ff:lfflliJ"i:: 'iå'lJÏi"Ë'çt" ;: ü;{lu:l ll" z <lzmostra que os erementos cor' i" respondentes ,eo opo"n"^ìlü'i'*ly-::*i:"*::'*:lo d Porque suas enersiassão r:' il:i:ää: ö ;ft;;':Jdias são incomensuravetmente longæ' os estudantes rr.qurnìlln.ite æ surpreendem.pof aue os núcleos de Z eler¡¿dos emitern :. esDontaneâmente partículas ï,';ù;;, mas neo emiiern .rponttnutttnte qualquer un'la das partículas 2He3, rH2, ou ïrii, *iom a emissão detas reduz¡ a energia coulombiana do nri' " cleo. A razão é simplesmente'q;;; ;;;. partículas.outres Que o 2Hea' a energia deligaçãopot nûcleon AEIA êmuito mtnã'lut '' ptå-ut núcteo rípicä' Asim' a emisslto dessas partículas nãoéfavorá,ælenergettcament..l.'i,,eodeumnúcleode2CóporumoutrodeZelev¿do pode ser favorável energeticamente' porque corresponde a um alto àElA e também p rque reduz, consideravelmente' ;;;tg* åoutàmbiana ão. núcleo' Da mesma forma' a emissão de um núcleo le um Z*n;; ;;;qt ïÎlgi mais provável devido å reduÉ'o crescente da eneryiacoulombiana.tatprocesso.edenominado/isy,-oespontânea'Paraosnúcleosqueocof. rem naturatmen,. . *rruínîï; ;;; altos v¿lores de l, isto é, para valores de Z ínferiorcs c próximos de g2, a,u*rîJl..rirento por fìssão espontânea é muito menor do que e texa de decaimento por eñissã.;;;il; t piobabili<tade muito pequena Para que uma partícula de massa relativamente g""¿ì p"t"1ut"9"'1 "'nt b;;;;i;;ulombiana mais alta' A medida que Z se tornâ supefior . iõò," ir*. de decaimento passe a sef comparável (ou eventualmente maior) à taxa de decaime"iä-p- tiitto" 1l-:tTlt ãttto é que' com o aumento de Z'a ene¡' giadedecaimentoporttssãoespontâneacrescemaisrapidament:edo:uel":nergiadedeøi' mento pof emissão ¿. p.îtr.uiá, a, facilitando a penetia*o. na barreira coulombiana corres' pondente à fissâ'o esPontânea' Êxiste uma recenler e ainda na-o ve¡ificada, prediçâo de quc o núcleo do elemento com Z = ll0 c A = 294possâ ref u.. "i¿.-iåi.'ï".ri.li. i""e., a. ;¡,11î ä.-tó'' tnot. supondo coÍeta essa pf€di' ,"1", *;; po,:,""1 qï" "', #,*î*lälill"*Ï''Ï:hk"*:,:',*: ïilîË{ïËïï¿i"ii,i'gandes quantirlades houvesse¡ de um resurta.ro teori"o, s"gundî;;;;;;;.'t taø--n"ïîåi"ï¡ "*'' :.:1Ï::1 z = rt4 e ¡ão ä-iää;1",,=:*-et*ïi*fî1T.tr"äîfå'*Ï:*lf :i*'":*"*'mi:äi+:ii IV = 126 é um núñero magtc tambérn quc .lv = 184 u "*ri iîårî-rnãei* p"lâ neutroni'-inttttanto na-o existem evidências experr' menrais no que diz respeito 8;Ïil;j;ä ryit-" ,.]..t.'ioõ;; ;; que os núcleos correspon'lenlcs ainda nalo foram descoberto';: ;;;;"-;' ainda nâo " ;ü"t"ï': ü6';;i núme¡o^másico' As dire' fenças entre as f€centes o"u'iåtîä;;;;-d de camadas.';;ttttçt-t aoi números másicos elevados pan prótons e para nêutfons, ";ï;i.;;;;, prótons terem, ,-riïîo'po,"n"ial nuclear, um potcncial repul' sivo coutombiano ou" tt to"i"it*'-'"ìît pt" ìtro'"' "]::il; ¿" z' ',l" tende a le'¿ntâr todos os nivers de p¡ótons, especialmènte "q"irt'ît corrlspondem ' ptçä' ralotes de I' para os quais as densidada de orobabitidade, ,ao trrt.nt". îïöi,iä ;, pr*iri¿rd", iî.."it"-¿" niiå'"o,-ond" o potencial cou' tomiiano é mais rorte' t"t""i"lî'åî"; ;r;ti' zr ".¡p ir'"Lå'"uão' "t t"t"e-ot:iîi yiäïi. '"î1'îi'" "j""i u'"r'-ît:^^'ï* lï'l;1:tr'=iil';lîîî,î"#ll"î","ïålqiiT.:1 hmbém se err l¿ = ll4. Assim, o nucteo t contra próximo, .*tor. neo iåîrî ^ .** ¿. est"uifi¿r¿..åî"x'iä;rü;; partir d'e uma extnpolat'o da fórmura de massâ semi-emprr,J';";ä; a. got, tíquid..'Ëm out,", prir"r"r' espefâ'se que o núcleo z = 14 e N= 184, ou , ='iiî "-,q='iia, ,.¡. ã"prr."nr'J'igi."""ì"" i"ü' t'1":"frïJ::^ir':"'i'i estável de Z pan aquere*;; d; i' øi*r"ít"rn o modelo colctivo indicam que o mer ir .. tt- L' Ë{i:-ilïi}iïihi*';ffi rd,frri':"È"îf-i'$* j.Hffi,"'iË ^-:,';;rissab csponrânca "'';"ï;i;;; ':*:'1 9-l-11î1fr*Jff: å :",.'f.Ï|iï'=" l,î:Ïi"rü':::Lü ;*;"ãr t o t"i'eficaz na rcdus-o da enctsrâ coy._-^:^,"do como sendo .r."ìiä ã" .rr"biridade em um mar de fissa-o cspontânca". mcrrv'- "- EXEMPLo t6'2 pfiro**f6*ii;1ry*p#,*1pgi:{r'r'fr Se o número de núcleos t¡ Urtt iniciâlmente forúados fo¡ rV' o número cxlslenlc gtuâlmentc s¿rá flrr. = ¡ve-Rr = ¡¡,'tÎ -- Y'-t ¡c'st !. ',( I 1.* ilil:i"::i:il:iï:;;å".ï':l':ìåiJ:;":H:"""'lï'o* " númerodenúcreos'¡u'!' Inicrårñcntcror' N "' = N¿-t |r'o2 A abundânci¡ atual do "t Uttt é IV,,, ? x l0-r=- rVrr¡ * iv ril - e-(lr,oz-tl6,s2) - e-o'821t I ,o,821t --=143' ?xl0-! O,827 t = ¡n1143¡ = l'96 4.96 t = =6'0 0'82? o que nos mostra que o tempo deconido é I = 6,0 x lOt anos A estimativa o51¡¿¡ ¿travós dc-sse arsumcnto simnles csú cmrcd: 3"#iJ;;i:tttîlimatiras da idade da ;.t*,':i;; jrtir* '*rtt' "utidas atravós tlc argumentos gcoro 16.3 O DECATMENTO BETA Uma descrição mais completa do processo que ocorre em uma série radioatrva 4né aprc' ¡_ N,,, Ne-t lßn N,iiffi t flrr, ( .( {\ t ) $ 3 rl -h ì \¡.;/ ¡ h -iJ ,l À .U' ./"t L .d:t ,/\l.;;, tr. )\ (.-. t'¡\ .¡ ¡. também podc ocorrer, Vemos, assím, que há uma faixa na qual a diferença de massas atômic¡¡, é tal que e coptura eletrônica é possível enquanto a enrissâ'o de pósitron é energeticamente proi. bida. Na prática, as diferençaq de massæ atômicas freqüentemente se encontram nessa faixa,g que explica o pequcno número de emisso¡cs de pósitron na naturezâ. Em todos esses Proccssosr a cnergia de decain¡ento É. corrcspondente aos diferentcs casos varia desde uma frag{o de I MeV até mais de l0 MeV, sendo tipicamente um pouco ínferior a I MeV. EXEMPLO Tó.3 Os únicos núclcos conhecidos com I = ? salo ¡Lit, cuja massaatômicaé,Mr,, = 7,01600u, eo'8et, cujr massr ¡tô¡nica é M.., = 't ,0L693u, Qual dcsscs dois núcloos é estável cm relaçaio ao decaimcnto p? Qu¿l dor proccrsos dc decai¡nõüto p é cmpr(Eado na transformaplo do núcleo instável no núcleo cstável? Oomo r massa ¡tômica do ¡ Li' é a menor, é ele o núcleo estável em relaçío ao decaimcnto É. No que diz respeito À conservaçalo de ca¡ga, o núcleo t Ber, instÍvcl por decaimento p, Pode se desexci- t.r por c"pi*" clet¡ônic¡ ou por emissa-o de pósitron, No que diz respeilo à oonservação de energia, somentç á posível-r captura clctrônicat uma vez que a difcrcnça das massasatômicasM.., - !r., = 7'01693u - ?,01600t¡ =0o0093¿, é inferb¡ a duas massas de um elét¡on 2m = 0'00110u. Dessa fo¡ma, a capturaele' t¡ônic¡ é o processo cmpregado no decaimento P do 'Be? no I Lit . ¡ Vamos agora considerar uma questão muito ¡nteressante que acontece com a energia de deca¡¡nento nos processos de decaimento p. Suponhamos o processo mais cotrente, o da emissÍo dc clétron. Um nrlcleo Z,A, que suporemos estacionário no estado inicial, emite um elétron e recus, como indicado na {igura 16-9. Se existem apenas du¡ls partículas no estado lìnal, a con' seryação do momento linear determina como a energia liberada no decaimento deve ser reparti da, Na ¡ealidade, como os núcleos têm uma massa tão superior à do elétron, suas velocidades de fecuo são extremamente baixas e eles praticamente não possuem energia cinét¡ca. Asim' prati' cåmente toda a energia de decaimento E apuece sob a forma de energia cinét¡ca do elétron. Contudo, observapes realizadæ num estágio inicial dos estudos de radioatividade, usando es' pectrôrpt¡os magnéticos, mostraram qr¡€ os elétrons são emitidos com um esp€ctro de energias cinéticasK", como ilustra a figura l6'10. Durante muitos anos, era muito misterioso e p€rturbador o fato dos elétrons serem emiti' doe no decai¡nento P oom todo um esPectro de energias. Os elétrons emit¡dos na extremidade super¡or r(ãlu do espectro transportavam toda a energia de decaimento ¿', uma vez que se ob' s€rvou serÅ?ex igual a E dentro da precisão exPerimental. Isto é Klu =6 (l 6-10) Entretanto, a maioria dos elétrons detectados posuíam ur¡u enetgia bastante inferior a E,eaer gia essa quer segundo as diferenças de massas medidas' deveria ser libertada no proceso' A im' lreseo qtæ esse resultado dava era que a energia não estava sendo conservada! Realizaram's¿ vá¡iæ tentat¡vas, no æntido de descobrir a energia desaparecida, porém todas elæ foram mal su' Cedidas, como, por exemplo; aguela em que um material instável por decaimento É foi coloc¿do dent¡o de um calorÍmetro revestido de paredes mu¡to esPessas de churnbo' A situaçlÍo se apre' S€ntava sufìcienterÌ¡ente grave Para gue alguns fíSicos começasem a consíderar seriamente o aba¡rdono da lei de conærraEl da inergia relativística, quando Pauli propos wna alternat¡va menos drástiqa. Em 1931, Pauli postulou que u¡na partícula, hoje chamada de antineutrino Í, também era em¡tlds nO pfocesso de emisão dc elétron e que não cra normålmente detectada devtôo a W s' trc¡ramente lrau inleraçäo com a nulér¡¡. Postulou também que o antineutrino Posuía;(l) caryq ,ala,(2) spin inlrínseco s = l12 e (3) nasv de repouw rula. A pnmeira propriedade man' 7t0 ,'inl,a r .ont tt ção de carga na emisã'o do elétron. A segunda Propriedade permitia o momento lioulur r.t conservado. Para melhor compreender esse feito, considere um núcleo Z, A emitindo l¡i elétron e se transformando num nírcleo Z * l, I . Suponha também, por exemplo, que ;4 se- irgat.Enøo o spin nuclear i é um número inteiro nos núclcos inicial e final. Se somente um O''^ I I ô Elétron Estado inicial \.)z+r'e { Estado finat FIGURA I 6-9, O proc€sso de emissalo de elétron, supondo (incorretamente, como veremos) que apenas duas partículas eslã'o Pres€nles no estado final' elétron, cujo spin intrínseco é t/2, fosse emit¡do, seria impossível conservar o momento angular (a soma de um momentO angular semi-inte¡ro, o do elétron, somado a um momento angular inteiro, o do núcleo hnal, só pode ser igual a um número semi-inteiro). Se um antineutrino com ¡ = t/2 fosse também emitido, a dificuldade seria removida. A terceira propriedade foi postula' da pua concordar com a observação de que a extremidade superior Kfâx do esP€ctro de elé- trons é igual à energia de decaimento É'. Ou seja, quando ocorre um elétron com energia Kfax, ele transporta toda a energia de decaimento e nenhunra energia é deixada Para a massa de re- pouso do antineutrino. Na emissã'o de pósitron ou na captura eletrônica, a partícula que é emi' iida, embora muito difícil de ær observada, é chamada neutríno v; como o antineutrino, ele também tem carga nula, spin I /2 e masa de repouso nula' f \ \ Ponto final Kfax \ \ -8Ett :9 Ëeg .95 s4 93o \azz t 0,r 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0'8 0,9 1'0 I'l l'2 l'3 Energia cinética de elétrons, i("(MeV) FTGURA 16{0. O espect¡o de clétrons emitidos no decaimento p do d Bitro A relaç5o sntte neul¡inos e antincut¡inos ê expliøda pela mecánica quântica re¡ativista dc Di¡ac' Esta teoriamostraquecadaputículacomspinint¡ínseco s=l12tem suaantipartícula'Umexemplofamiliar,e û¡t¡g¡t¡meÀte ligado ao irrunto, ó o eÉLon e sua antipartícula, o písitron. (Out¡os exemplos, menos lþados, so o p;¡i;; riã¡piOto", " o€utron " o ¡nt¡nêutron.) A teoria também mostra que, quando uma partícula 7lt é produzirta, uma antipartfcula conclacionâd¡ tambem é produrlda. O GxÊrnplo famítia¡ é, mals uma elétron c o pósftton - que sâo produzidos cm pares. Este fato tåtübénr é verificado nos t¡ós processos dcd; caimcnto g. Na cmlssalo de elétron, uma partícula (o eldtron) é produzida com üm¡ antipa¡tícuh (o añtincs trino), cnquentb que, na emis$o de pósitron, uma part ícuta (o neut¡íno) é produzida oom umâ antípanfcuh i (o po¡itron), A c¡ptura eletrônicâ sc enquadra nesse csquemâ, umâ vet que na teoria de Di¡ac a destrrriça'6 ¿l I um c!étron é idêntica à øbçat de um p<ísitron. A figura l6-l l ilustla esquemâticsmente a emissa'o de elét¡on e de pósitron em tcrmos dos diag¡atìar'.1 de nÍvcis dc Dirac pen pa.rtícul¡s conelacionadas, elétrons e neutrinos, Vimos n¿ discussilo dâ fbus 2.ls quc, na produçat de um pü, ¡ energh de um fóton ¡bsorvido torna possível a transiçâo de um elétron ¿¡ massa de repouso m de um dent¡c os níveis eletrônicos preenchidos que estendem dede - r¡ct até un <to¡ níveis razios superiores c que se cstendem alé +mcl. Disso resulta um clét¡on em um níræl dc ene4ia pqsf tivo e um buraco em um níycl de energía negativo, ou seja, um pósìtron, Tat tiansiça-o pode ser reptesenbdâ por umaflechaverticâl ligando os níreis de elétron inferior e superioi. De ume maneira sçmelhantc, uma ksn. siçã'o conespondente e uma emissao de elétron pode æ¡ represcntadâ por uma flecha diagonal lig4ndo unr nível de neutrino preenchido até um nr'vel de elét¡on razio, como ¡lustn r figure l6-lt. A energh tornâû disponível devido à diferença nas.måssls nuclea¡e¡ ttensfotma um ncul¡íno do ma¡ de neutrinos er¡ u¡ elétron, criando um buraco em um nível de neutrino, ou æja, um ant¡ncutrino, A flecha dtagonal quc t¡g¡ um nível.de elétron preenchido e um nível de neut¡ino razio representa uma emissa-o de pósitron, Þob o rcsultado é um neutrino e um buraco em um nível de elétÎon, ou seja, um pósitron. Observe que não h¡ ume bande proibida separando os níveis de neutrinos preenchidos e razios, po¡que os neutrinos lêm un1¡ massa de repouso nula. Observe tåmtÉm que a energia mínima que â difercnç8 de massa nuclear deve fo¡nc aer r f-rm de toma¡ possível o prooesso de decaimento p é a energia ract cofiespondente â massa de repoug deum clét¡on, em acordo com (16'74) e (t6-9a). Exlstc uma distinÉ'o clúa cnlre uma partícula c sue antipeflfculâ quando elas sa-o canegadas cletrìcr, mcñte, porquc $¡es carBes têm sinais opostos. A distinÉo é rnais sutil sÊ r parîículâ e a antipartícub sfo n¿utrús, como o neutrino c o rntincutrino. Nalo oblante, existe realmcnte uma diferença, Evidêncies ¡eccn. tcs, que discuthemos um pouco mais adiânte, mostram que a component¿ do momento angular de spin int¡ínseco ao Iongo da direça-o de movimento é sempre -nl2 pan um neutrino e sempre +t{2 para um antincutrino. Emissío de elétron hoduçâo de pa¡ FIGURAI6-tl. DhgramasdenívcisdeencrghdeDiracilust¡andoaproduçaiodeumpar,acmissalodcclé' tron e a emissâo de pósitron. O problema relativo å emissão de elétrons possuindo todo um espectro contínuo de ener: gias é resolvido pelo postulado de que um antinãutrino é também emitido num decaímentoP' uma vez que dessa forma a enerBia de decaimento E pode ser repartida entre a energiä cinética 712 f,, do elétron e a energia cinética K¡ do antineutrino. Asim, Kr*K¡=E (r6-r t) onde desprezou-se a energia de recuo nuclear. Como existem muitas maneiras de se faær esa fepartição de energias, os valores de K" formam um espectro. Acordos detalhados com as fof. mas medídas dos espectros de decaimento É podem ser obtidos, se o argumento é tomado quen. titativamente. Isto envolræ o uso de técnicas estatísticas, embora semelhantes mas mâis compli. cadas do que aquelas usadas nos Capítulos I e 11, para determinar o número de divisões de ¿nergia em cada intervalo de K". Os resultados slfo mais convenientemente expressos, e explicados, em funçfo do espectro de rnomentos R(p"), que é a taxa de emissâo de elétrons posuindo momento linear p" por uni. dade de tempo e por unidade de momento. Encontra-se que t t' \ .i: i:. ..1ì il .. I I'f. \- t' ç rì r,.i R(p;=lWr)r., oîde M ê, o elemento de maftiz de decaimento þ (r 6-r 2) u =f ,t;a*,a, (r 6-1 3) Na expressão (16-1 2), o termo (E - K")'=.(l é proporcional apf,oquadradodomo' mento linear do antineutrino. Assim, a taxa R é proporiional ao produto de dois fatores, cada um dos quaís é o quadrado do momento de cada uma das partículas em¡tidas no decaimento P. Esles fatores p2 medem justamente o número de estados quänticos porunidade de lntenalo de momento no interior do qual o antineutrino, ou elétron, pode ser emitido no decaímento. Btes duas quantidades podem ser obtidâs graçås a uma modifìcaçlÍo trivial no argumento rPresentado no exemplo 1.3. Se o compr¡mento de onda perm¡tido )\ relativo à fÌgura l-7 foi tomado como r¿ndo o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula no¡nteriordeumacaixa,então (t-t 5) pode ser imediatamente transcríta da forma N(r) o r' à forna /V(p) cr Pt , Pois a quanti- dade r nessa equaçã'o é inversamente proporcional a L e, segundo de Broglie, Ié inwrsamente proporcional ao momento p da partícuta. Vemos então que ff(p), o número de estados permi. tidos por unidade de intervalo de momento para um antineutrino ou Para um elétron de mo' inento p que se encontfa confinado em uma caixa,é proporcional ep2, Esta ceixa matemáticâ éusada para normalizar as funções de onda da partícuta livre que representa o antineutrino ou o elétron, como foi discutido na seçfo 6-2. . Em outras palawas, se uma partícula é confinada em uma caixa (de dimensões arbitrárias) þua que sua função de onda possa ser normalizada, eta deixa de ser uma partícula livre,no sen' tido estrito do termo, e passa a ter um conjunto de estados quánt¡cos discretos (embora espaça' dos por uma distância arbitrâriamente pequena). O número desses estados por unidade de mo. mento é proporcional ao quadrado de seu momento. Se fìzermos entlÍo a hipótese estatísticâ usual de que todas as divisões de energia ou momento possíveis ocorem com a mesma probabi. lidade, a taxa de decaimento p corres¡rondente a ume divisão particular será proPorcional ao nú- tneÌo total de estados existentes nessa divisão, valor este igual ao número dc estados de uma par. tícula multiplicado pelo número de estados do outro. Em conseqüéncia, a lar'a R será propor- \ ( \. I (. ( l':713 ) J .b ,Ð \ T I cional ao fator densidade de estados de momento correspondente ao antíneutrino vezcs o fa. tor densidade de estados de.nronrento corrcspondente ao ek!tron, Vemos então como a f9¡.' ma do espectro de momento. do elétron é governada pelos termos dentro do colchete e¡¡ As equaSes (16.12) e (ló-t3) foram obtidæ iniciatmente por Fermi,sob ahipótesesim' 1' plificadora de gue a interação coulombiana entre os núcleos e os elétrons pudese ser despreza' "' \ .:J ù \5It -J à \ r1'r' \ 'l i I ì \ :., (16.t2). Assim, o espectro é simétrico em relação ao seu valor máximo, situação em que existe :{i' uma repartição eqüitativa entre os momentos do elétron e do neutrino. Essa simetria vem ds ii? fato de que æ uma dessas partículas é contemplada com um momento maior no deca¡mento,¿ ìi outra será ¿t¡ibuÍdo um momento menor, e assi¡n o produto dos dois fatores densidade de estados decrescerá, !:.. O termo M'M em (16-12) governa o r¿lor absoluto do esPectro de momento e, cons€. qüentemente, a taxa global de emissâ'o de elétrons no dec¿i¡nento p. A equap--o (16'13) mostla que ¡l,l depende do valor de uma certa quantidade p gue será defìnid¿ nos pardgafos seguintes. Ë.r. trr*ä depende também da autofunção úi¡ do núcleo no seu estado inicial (antes do ds. ca¡¡nento p) e ão complexo conjugado da autofunção Ú¡do núcleo em seu estado fìnal (apóso decaimeoto). Veremos que o elernento de natÅz M de decaimento É é realmente uma medid¿ da facilidade que o núcleo tem de mudar de seu estado inicial para seu estado lìnal. As equages (16.12) e (16-13) são análogas às (8a2) e (843), que foram derivadas na análise da taxa de enrisslo de fótons no decaimento de um estado excitado atômico. Em par. . ticulu, o elemento de matriz de decaimento p d análogo ao elemento de matriz de momento dipolar elétrico lIr,"r,o'l utilizado na teoria do "decaimento por fótons" dos átomos. O elemento de matriz de decai. mento P é uma integral de volume da qruntidade ß, alelada pela autofunçao do núcleo em seu estado inicial e pelo complexo conjugado da autofunção do núcleo em seu estado fìnal. Ders¿ founa,M é algoligado ao valor médio da quantidade p, determinado durante o processo de de' caimento .* lur ó núcleo se apresenta como uma mistura desses dois estados' Fic¿ então claro que o papel da quantidade p no govemo da taxa de decaimento p é muito semelhante ao papl do roi*ito dipolu elétrico er no go\€mo da taxa de decaimento por fótons no caso åtômico. t da. Etc também supôs que p fose uma coßtante universal, chamada constante de øcoplt' ,, menio do tteca¡meito É.'Neisas circunstáncias, o elemento de matriz M de decaimentopr I reduz imediatamente a w =¡[*;,t,¡a, ,\ ..s . .t ( u = afviv,dr= ßM, onde M'é conhecida como elenenlo de ¡¡øtriz nuclear A teoria de Fermi da emissalo de etétrons petos núcleos está intimamente relacionada co¡r¡ 8 'ì teoria da emissão de fótons pelos átomos. Tãlvez a maior diferença seja a complicaçâ'o na t€of¡ . de Fermi dcúdo ao fato de haver emissão de duas partículas, as quais dividem entre si a€n€r8¡r ' Oirponivtt. &ttamente a maior scmelhurça é que, ãm a¡nbas as tËorias, nenhuma das particulð ' rr¡t¡¿¡s é considerada como existentç antes que o processo se inicie - elas são CriÚdss ß momnto da emissão. 7t4 7t5 ri Deve ser enfatizado que o decaimento p não é uma conseqüéncia de interações ou de for' cas nucleafes'r- Ao invés disso, o decaimento p é uma conseqüência de uma intera$o que nãohavÍamos cncont¡ado antefiormente em nosso €studo de física quântica - a ínter1çlo decaimento p.Ela ¿ uma das qrutro interações fundamentais da natureza, As outras três são as interapes nuclear, eleuom.gnétic. e gravitacional. Na próxima seção estudaremos as propriedades da interaç.Ífo de drca¡tnrnto É, onde veremos que ela se caracteúzÀ, em relação às outras ¡nterações fundamen' i¡r, por sua intensidade, a qual é governada pelo valor da constante de acoplamento do decai' nento p. Encontraremos também que a interação decaimento p tem propriedades relativas à puidade que são surPreendentemente diferentes das outras interafes' A funçalo Rþr) de (16-12) é o espectro de momento dos elétrons emitidos. Ela tambem r aplica ¿ em¡ss¡o-à. pósitron. A-equaÉ'o prediz que, em um.gráfìco a"^$øt)tyll,li 17y1Sg P lCA a ¡SSaO Oe Poslt¡oll.  ç El¿v P¡çu¡& rl ' ¡'¡ q¡¡ Ü,¡4¡¡ev lv L'tv'ettí¿ t(t) Xrl, ou simplesmèn rc vrrlsus Ke,.devemos enconlrar uma linha reta. A frgura l 6;13_Ïu' ìim ¿esæs gr¿l¡c os de Kurìe para o mais simples de todos os processos de emisÍo de elétrons ont _)tH¡ +e+i (16-16) que é o decaimento de um nêutron liwe 0¡l em um próton I Hl mais um elétron e e um anti' neutrino -¿ O nêutron decai porque fMo¡ - Mr,rlc'= *0,?8 MeV, e a vida'média desse proces' so é da ordem. de 1.000 s. (Um nêutron em um núdeo.estável não decai em um próton porque a interação nuclear, muito m¿is forte do qUe a intera$o decaimento p, o impede.) A compara' (? Ê6 ã o( € É t: f-lt -q I *.1 0 Ext¡emidade superlor Klax 0J û2 0¡ 0,4 o,s 0,6 0,? 0,8 0'9 l'0 K€(McV)+ F¡GURA t6-12. Um gráfico de Kurie para o decåimento P de um nêut¡on' (r615) ri iþ ^ortr.d. na fìgura ló.12 ilustra o bom aco¡do normalmente obtido entre a teoria e a expel t ¡iência para o decaìmento p de núcteos de baixo Z. Pequenos desvíos na inclinação dos dados - cxperirnentais em baixas energiæ são algumas veæs obs€rvados, mas eles usualmente represen'' tam problernas experimentaislevido à ãuto-absorçã'o dos elétrons de baix¿ energia no interior ' tla fonte onde ocorre o decai¡nento 0.' Para núcleos de Z elevado, existem divergéncias reais entre as predises da teoria de' Fe¡mi e a experiência. Estes desvios são devidos à interação coulombiana, desprezada nesse tratamçnto, entre o núclco fìnal e o etétron, ou pósitron, emitido. Esta interação desacelera os mada, um núcleon não emparethado da out¡a especie - no segundo núcleo encontr.rot. t.rl ma confìguraçå-o, apenas invertendo as espécies de núcleons. ll FICURA l6-14. Configuraçõcs do modclo em c¿madas correspondentcs aos estados fundamentais dos nú. cleos rHr e rHet. EXEMPLO 16.5 Use o r¡¿lor FI do dccaimento p do cxemplo l6-4, assim como a conclusrlo de guc M'= I nesse caso. para calcular a clnslante de acoplamenlo P do dccaimenlo p, A e4urçí'o ( I 6'1 8) fo¡nece lnt¡oduzindo os rzlores numé¡icos 2nr ht I pt = -- FTms c' M'*M' 2rr(t,05 x l0-¡ J*)' n?- 1,2 x l0! s x (091 x l0-r kt)t x (3,0 x l0! m/s)' I ou Flnalmente obtemos = 1,4 x l0-r¡r J2 -m6 0 = 3,7 x l0-'¡ J-mr Existem vários outros pares de núcleos cujos estados fundamentais tém as mesmes conlì. gurapes no modelo de camadas, exibindo o mesmo tipo de simetria entre nêutrons e prótons como ilustra a figura 164. Um outro exemplo dessa situação é dado pelo par 3 Li7 e 4 Be?. Um membro de cada par se transforma no outro via decaimento p, com um etemento de matriz nuclear M' que. certamente, deve ser quase igual a l. Os valores F? medidos desses decaimentos levam, através de cálculos como aquele do exemplo l6-5, a valores de p que estf,o em bom acordo com o valor obtido nesse exemplo. Concluímos então que a constantc de decaimento do decaimento ß tem um valor extremamente baixo: p - lO-ó2 J-m3 U6-22') Se dividirmos p pelo volume de um núcleo típico, (5 x l0-rs m)3 - ¡g-er ms.obtcrcmos 720 ¡ Her Flo-.t J-m3/ l0-43 13 = ¡6-te J= 10-6 MeV.PodemosagoracompararacneEiacarecrerís.i 1¡s¿.dessa interaçâ'o com a energia da ordem de I MeV que caracteriza e inter¡çllonücleãr. Corno é o quadrado da constante de acoplamento do decaimento p que aparece nas qu¡¡ntidades nensurávc¡s, como o valor F7, ó apropriado alìrmar que.a înteraçíio decaimento S ë mais fraca'io qut o ínteração nüclear por um fator da ordeñ de | 0- I 2 ]. L¿vando em consideraçllo que a inteiaçã'o nuclear é apenas uma ou duas ordens de gran- deza mais fo¡te do que a interaçab eletromagnética (veja a seção l5-2), a interaçifo decainrento p é tambem muito måis fraca do que a interaçã'o eletromagnética. Por outro lado, a interaçf,o sravitacional é cerca de 40 ordens de grandeza mais fraca do que a interação nuclear (veja ianbem na seção l5-2\ e, assim, a interaçá'o decaimento p é mais forte do que a interaç¿fo gravitacional de aproimadamente 30 ordens de grandeza. Existem então diferenças extrema--rant. pronun.iadas de intensidade entre a interaça-o decaimento p e as outras interações fundamentais. Btes æsuntos ærão discutidos mais extensamente no próximo capftulo, onde será viito, por exemùlo, que a interação gravitacional é a mais flagrante na vida cotidianã. aPesar de ser, de muito, inerentenrente â mais fraca. Tal fato se deve ao seu longo alcance e também por apresentar semPre o mesmo sinal' O alcance de uma interaçâ'o é uma característica tâo importante quantosuaintensidade. A interaç¿fo gravitacional tem um longo alcance pelo fato da energia de interaflo gravitacional entre dois iorpos décrescer lentamente à medida que a distância r entre eles âumenta (ela varia proporcionalmente a l/r). A interação eletromagnética também tem um longo alcance, pois a eneigla de interaçÍo entre dois objetos carregaäos varia, em função da distância entre eles, tfo lentamente quanto a gravitacionâl. Já a interaçaA nucleat é de curto âlcance Porque a ener' gia de interâça1o à.ct.r.. abruptamente quando dois núcleons se afastâm mais do que 2F, A ín- ieração rìecaimento ß é de alcancc exrremamente c¿lrfo. Algumas evidências desse fato estiÌo presentes nas considerações seguintes. A cxpressâ'o do elemento de matriz M do decaimento É usado na teoria de Fermi dada por (l ó-14) é obtida a partir da hipótese de que a extensa:o espaciat da interaçlio decaimenlo p é muito pe' quena cm comparação com as dimensões do núcleo. Sem essa hipotesc. o inlegrando emilseria nf,o mais úiú¡,nas a média dessa funça-o fcita sobre um volume igual àqucle correspondente ao alcance da interação. Se este fosse o caso, ill seria afetado de tal maneira que haveria uma alte- Ìaçfo nas predições referentes à forma dos cs¡rectros de momentos dos elétrons emitidos no de' caimento p. Entretanto os espectros de momentos obscrvados concordam perfeitamente com as predições teóricas como fòram feitas. Conclui-se assim que é provavelmente correta a hipótese da interação decaimento p possuir um alcance muito curto, sobre a qual as Predições se basea' ram. Algumas Outras evidéncias adicionais que corroboram essa conclusão serão apresentadas no próXimo capítulo. O valor muito pequeno de p explica poÌ que os neutrinos e antineutrinos interagem tão fracamente com a maréria e saio de detecçaÎo muito difícil. Os cálculos mostram que, quando etes são produzidos em decaimento p que se segucm às rcações nucleares no centro do sol, po' dem percorrer todo o interior até a superfícic com uma probabilidade mínima de serem absor' vidos. Tal fato tem um efeito na procluçfo dc encrgia solar, As interações decaimento p de elétrons e pósitrons salo igualmcntc fracas, mas, como essas partlculas lambëm interagem com a matéria através da interaçäo eletromagnética, elas slo de fácil detecçlo' ' O t"r*o intcraçâ-o fracu, para a intcraçío dcrîinìcnto ¡l' ó dc uso frc(li¡entc' u = of*ì,t,,a, 721 a'\ t'\ r¡'\ í\ ( É\; l -) l ) ) J J J ...Ð ,à\,y I\:, \tti:l' t\ \.--ll 'I \._j \\¡/ å \ùt \,rh .,,1 Apesar de todas as {ifìculdades óbvias devido à intensidade extremamente fraca de sr¡ interação com a matéria, ö! antineutrinos foram detectados em 1953 por Reines e Cowan. Eles se serviram da reação ¡ t + rHr *ont +ê onde o sÍmbolo ã representa um pósitron. Ela é a reaçalo inversa de o n, +-e*lHI + t que é a forma altemativa do decaimento do nêutron (16-1 6) ont+lHl *e*v (Obæne que as duas formæ de decaimento do néutron indicam a equivaléncia da destruição de um¿ antiputícula, o pósitron, e a cria$o de uma partÍcula associada, o elétron, Na teoria de Dirac esses proc€ssos são idénticos.) A reaçalo de Reines{owan ocorre no hidrogênio de u¡n enorrtrc contador de cintilação (uma versalc moderna do contad'or de ZnS de Rutherford, onde os olhos foram subst¡turdos por fotocelu.las na detecção dosfløshes luminosos.) O conta- dor foi cxposto a um fluxo intenso de antineutrinos emitidos em proc€ssos de decainento p in. duzido¡ por fissões no interior de um reator nuclear, sendo que os pósitrons foram detectados atrsÉ$ das c¡ntilações que eles produz¡ram no mesmo contador. Métodos sofisticados tiveram quc ser usados para minimizar a cintílação smbiental. Esta providência se tomou necessária devido à fraca interaçã'o do dccaimento p, cujo efeito experimental se traduzia pela ocorrência de apenas uma reaçáo por minuto apesar do fluxo intcnso de antineutrinos e das grandes pro' porfes do alvo. Discutiremos agora brevemente duas outras experiéncias, efetuadæ na.década de 50 e que nos informam sobre uma propriedade unica da interaçã-o decaimento p, Wu e colaboradores estudaram o deca¡mento 27coóo+tENi60+e+t atravds da observaçã'o da direção de emissão dos elétrons em relação à orienta$o dos momentos dipolares magndticos dos núcleos 6. zzçoó0. Os momentos dipolares magnét¡cos foram alinha' dos graças I um c¡¡mpo mâgnét¡co externo muito intenso e a baixissimas temperaturas para mi' nimirar a desordem térmica. A fìgura l6-15 representa esquemat¡camente a experiência, ntos' trando um núcleo típico e unr elétron emitido típico. Para trazer essa representaçã'o mais pró' xima de uma realidade física, um anel de çorrente de carga positiva é usado para indicar a orien' taçã'o do momcnto dipolar magnético. Wu encontrou que os elétrons nã'o säo emitidos sime' tricariente em relação ao pluro do anet de corrente. Ao invés diso, há uma direçalo preferencial de emislo que é relacionada com a circulaçfro do anel de corrente da mesma maneira que a di' reçâ'o de avanço de um parafuso de rosça esquerda é relacionada com a sua rotaçiio. A fìgura mostr¿ também a experiência vista por meio de um espclho. A dircção preferida de emissdo não é alterada, mas o sentido de circulação da corrente é inrærtido. Vistos por meio do espelhb,os resultados da cxperiéncia podem ser descritos afìrmando-sc que a relaçaìo entre a dircçã'o tíPica de emissão de u¡n eldtron e a de circulação do anel de correntc d como a de um parafrso de ros' ca direita. Asim,¿ descrição desse decai¡nento ß(c dc outros) rrão é a nrcsnuqueadescríçäo baseada nas im4gens criadat pelo espelho, Esta parecc ser ums propriedade única da intcração decaimento P, entre todas as ¡nleraçÕcs funrla¡nentais da natureza (nuclear, eletromagnética, dc' 722 \ ri.;, à {¡o¡ .à L/ trj ,l\.1"[;r I 1-\ L-l Vlsalo no 1 espetho Circulação de cargBs positivas no ancl de co¡fente Visalo no¡mal FIGURA l6-15. Um desenho esquenrático da experiência que provou que a paridade não é conservada no decâimento p. Ela tambem mostra a imagem em um espelho desla expøiência. caimento p e gravitacional). Por exemplo, uma carga, circulando ao longo de uma espira de cor' r€nte macroscópica, emite fótons através da interaçâ'o eletromågnética po¡que a c:¡rga está ace. ,; Ierada. Os fótons entretanto são em¡t¡dos simetricamente em relaç¿Ío ao plano da espira e' dessa P l, (x'!'z) I i il=-r-----.,, Antes da op€raÉo puidade P xl(-x,-y, -z) Depois da opeta@ puidade FIGURA 16-16. A opcraçalo paridade (xSt,z) - (-x,-y,-z). Nesta figura a operaplo É efetuada at¡avés d¿ invc¡sii'o de direçalo de c¿da eixo de coo¡denadas conse¡vando fixa a localização do ponto P (comparc com o l-rgura l8-5). Antes da operaçalo, tcmos um conjunto deeixosdlrctoE,isto é, como um parafuso de rosc¿ di¡eita tal que em s€u avanço na direçã'o do eixo r, sua rota- çalo faz com que o eixo x se mova em direção ao eixo y. Após a operaçalo paridade passamos a ter um conjunto de eixos inve¡sos. Esta mudança pode também ser obtida através da con. sideraçalo da imagem em um espelho, que t¡ansforma eixos di¡etos em eixos inve¡sos, Dessa forma, a operaça--o imagem no espeúo é relacionada com (embo¡a na1o seja idêntica à) opera- çalo paridade, 723 forma, a descrição desse processo através da ¡mâgem no cspelho nlfo difere da dcscriçáo norm¡. Como a opcração de consideru å imâgem no esPelho reladon¡'¡e cûm â Op€regfo paridadc, corno é ilutraào na fìgurra l6.1 6, dizte quc o decaimento p nÍo é inta¡lante pela operação pa¡. . dade, ou que a parìdade ¡tão ë consewada no dæaímento (ela o ê enlrclønto na ínteraçlo elø trctrugnët¡ca). Medidas efetuadas por Gotdhaber e cotaborado¡es mostrâram que a chamada helicidadc do ncutrino é responsávcL petos rcsultados da experiência dc Wu. Usendo um método relatl'n rnente complexo, que nlo ærá cxplicado aqui, eles €ncont¡erem qtæ, sob umâ visãoriolmal al¡ nãturcza, o spin de um antineutrino mânt¿m-se essencialmente paralelo à direção dc'çu mo. mento linear. Diz*e então que o antineutrino tem a helícídade de um parafuso de rosca direlta, como representado na figura l6-17. Etes tambdm encontrsram guc o neutrino tem e heücidadc de um parafuso, de rosca esquerda; isto é, seu spin é esæncialmcntc antiparalelo ao scu momcn- to tinear. O dec¿irnento p estudado por Wu envolvia a transiçfo do es.tado fundamental do Dhcçã'o do tnomênto angutar dc spin Dlrc$o dc proPagaçfo ê do momento lineå¡ Pa¡afuo de rosca dl¡elta (antineutrino) FIGURA 16-17. As helicidades de um parafuso de ¡osca dheita e de rosc¡ csquada. Dhcçio do morñento angulrr de spin Per¡fi¡so de rosca csquerda (ncutrlnÖ) 2tCo60, de paridade par e i = 5, para um estado excitado do 2tNi60, de paridade Per e i =4. Trata+e então de uma transiçÍo pcrmitida ægundo Gamow'Teller nt qual a consenåÉo do mo' mento angular requer que o antineutrino e o elétron sejam emitidos com seus vctores spin csen' cialmente-paralelos aoi do 2?Co60, ou paralelos a um vetor represcntando seu momento dlpolar magnético: Além disso, em tal transição, o antineutrino e o clét¡on tendem a ser emjtidos com vetores momento linear em dire$es opostas. A figura 16.18 mostra como essÍts relaç¡ca entre vetores, asociadas à relaçtro exigida pela helicidade do neutrino refe¡ente ao paralelismo entre segs vetores spin e momento linear, fazem com que o elétmn tfpico æja emitido na dl¡e' ção mencionada. Vista por meio de um espelho, a helicidade do antineutrino se áltera, exata' mente da mesma forma que a helicidade de um parafuso real se altera, conduzindo então à mudança na descrição da imagem no espelho da experiência de lilu. FIGURA 16-18. O decaimento p d6 ttÇo'o alinhado. Os rætores indicam es dheç6es c scntidor do momcn' to dipolat magnétíco ¡ e do çin l, do spin Sy c do momcnto linear Pgdo neutrino,¡sritll como o spin Se ê o momento lineu P" do ilétr.n, A parldade não é conserrada por4uc $e 5 se mantêmessenci¡lmcnte paralelos' 724 lltltttt+t+t S¡ çî S¿ P¿tt r' Det¡ scr cham¡il¡ r atcnçÛo de quê não Èx¡stc viohçio da conærraçalo dc paridedc pelos arfclaør no dccrtilcñto do ttGo'o¡ ao rr Ni'Û. Ambos o¡ estado¡ m¡cleares envolvidor sfo dc parld¡dc p¿i È, úÐnscqilcn- lør¿nt¿, nab hf llteração dc prriladc nuclear' cm conco¡dån¡re com as rcgrar dc sctcção dc Grmow.Tcller. Dcw¡no! tâmbéñ obsrrrrr que na-o é posíwl prn um ¡ntiñculr¡no ou psra um ncuüino ter una heli- dd¡dc ber¡ definida, em um¡ visalo ñomal da rutulez¡ r mcnos que sue mss!. dc rcpouso rÊJr cxrtârnenlc nul¡. Sc cþ tlvcssc umâ mass¡ de tcPouso nâb nufa' elc podcrie sc deslocar 6ûm urna wlocidade infcrior ¡ c, o qúc Perrnithia que fosse cnconl¡ado um sisteme de refcrônci¡ cm relaçifo ro qual o aentldo de 3cu veto¡ íorîento linear pudesse sc¡ inve¡tido. Como seu spin pcrmanecerh inaltcrado nesse mudançe dc refc¡cncial, ¡n hctlcHadc stth invcrtür. Uma vcz quc r cxperiência dc Goldhebq motrf, quc os rntinculrbros possuem dcliramentc hêlicidâder bcm definidas, e coño ¡s{o nilo seria possível se as helícidadcs dcpendesern do rderenchl usado para eludd-las, concluímos que $¡8s massâs de rcpouso säo cxâtamentc nulas. Medidas dirrtås dâs mas$r de repouso dessas partÍcutas confÚmâm esta conclusalo. 16-5 DECAIMENTOGAMA Existem raios 7 emitidos por muitos dos núcleos das séries radioatiras. Os raios I sã'o fó. tons de radiaø'o eletromagnética que liberam a energia excedente quando os nrlcteos efetrum transigões, W decdfuento ?, de estados excitados pan estados de energia mais baixa. Como as díferenças de eneriga entre os estados nucleares excitados são superiores a - l0-3 MeV, as ener. gias dos reios 7 são superiores a essa energia (ræja figura 24). Freqúentemente, o decaimento I ocorre quando um deceimento P anterior produziu algrns dos nf¡cleos fìlhos em estados de vá. rios MeV de energia de excitaçÍo; este situação ocorre quando es regres de seleçâo do decai. mento P irnpedem o decaimento direto ao estado fundamental. Umexemplo é mostrado no es. qucftr dc decaimento do r7Cl38, figura l6-19. Existem também outras maneirris de produzir núcleos em estados èxcitâdos que, em seguida, se desexcitam por decaimento 7. Por exemplo, cstedos de energia de excitâção da ordem de 7 ou 8 MeV são produzidos quändo essa quantida- de de energia é liberada por ocåsião de uma captura pelo núcleo de um néutron de bai¡ø ener- gia. A técnica mais precísa de determinação da energía de raios ? consiste na análise de suas difra$es por urn¡r rede cristalina em que os espaçâmentos internos sejam conhecidos. Esta é exatemente a téørica de difração de raios X, mas como usualmente as energia¡¡ dc raios 1são superiores ås de raios X, seus comprimentos de onda sâo um pouco menores, e isto infeliz. mente obriga o uso de instrumentos de difraÉ'o de grandes dimensões pare que os pequenos ângulos de difração æjam medidos com precislfo. A técnica mais comumente usada na deter- minação das energias de raios 7 baseia-se na trarisferéncia de energía dos fótons a etétrons por intermédio de um dos processos descritos no Capítulo 2,.a saber, o efeito Compton, o efeito fotoelétrico e a produçlfo de pares. As energiæ dos elétrons síÍo medidæ etravìús do uso de um contador de cintilaçá'o NaI ou um contador semicondutor, o qual tem uma resposta elétrica proporcional à eneryia que lhe foi entregue por uma partícula carregada. O espectro de ener- gia observado dos raios 7 emitidos em transições entre os estados excitados dos nrlcleos é usa- do para determlnar as energias desses estados, exatamente como o espectro de fótons emitidos por um átomo é usado para determinar as energias dos estados atômicos. Naturalmente, tais fontes de informações sobre o nrlcleo são extremamente preciosas. Outra fonte de informações valiosa ê a laxa de transição R de decaimento de cada esta- do excítado. Em alguns casos R pode ser medldo diretamente. Em outros, pode ser medido in- di¡etamcnte através da determinação da vida.média ?n do estado. Se apenas uma transiçalo pode ocorrer entre ess€ estado e um outro de energia mais baixa, a expressão (164) nos mos- ha que I = l/R (após feita uma correçå'o devida a um processo de "convenl[o interna" que se- rá discutido no final da seção). Quando ?n for superior a t0-r0 scgundos, R pode ser deter. minado cronometrando-se eietronícamente o atraso mCdio entre a excitaÉ'o de um estado e o æu decaimento. Quando 1é înferíor a esse valor, R poile em alguns câsos ser determinado utiliza¡do+e o efeito Mösbauer (que será discutido na próxima seção) para medir a "largura" I I \ t t ( { { i (' l- t '125 J J À V¡9 à A ,l ,_l ).':. ì ¡ì ,\ .T \ :'' .rq 8-J ,A (..1., [; tr ln r ( { 'i I tipolar oscilante do núcleo. {s componentes tfansversa¡s são responsáveis pelo decaimento 1 (veja o Aprgndice B). Afigural6.20apresentaosvalorescalculadosdoscoelicientesa¡ldeconverúointerruI da camada K para o átonro de ao zr. Esscs coeficientes fepresentam a razão entfe a,probabilidade de que um elétron K ,"¡ ,-it¡¿î-. a probabilidade de que um raio 7 seja emitido. os cálculos' devem ser bastante pr*.iro, fåtque fatores tl":ly.tndo propriedades nucleares não muito co' nhecidæ æ cancelam n.rr"-rJøo. Como a probabilidade de ocorrência de conversão Ínterna au' menta rapidamente à medidafie os valores da autofunça1o do elétron atônúco se tornam impof' tafitesnaregiãoocupadapelonírcleo,c¡aurnentarapidamenteàmedidaqueZcresce,poisisso acarr€ta u¡n sumento Aa atraFo couloäb¡ana' Pela mesrr¡a ra-To' fra "tt 011:,1 t 'E a quanti' dade c¡ é normalmente ,"¡L ¿" que a quantidale a1. Além disso, nessas circunstânciæ,a guantidade a¡çla¡ degende fortemenìe do valor de .L da radiação 7 e do fato dela ser elétrica ou rnagnética. Medidas pr..ú'ã;;;þ¿;;; t* aliás relativame*t.fä:t: t-::::T feitas' consti' træm asi¡n um excelente m¿todo à" i¿entif¡cação do-tipo da transiso e, conseqüentemente' de determinação dos spins t p"iJuatt relativos dos estados nucleares envolvidos' l0'l I l l0l t00 l0-¡ l0r l0-r l0- è l' I v ð v € iJ c :f ,9ZE .9> .9Xtõoo CJ tt FIGTJRA t6'20. Coeficicntes de conve¡salo interÉ dÀ camada K para o'oZr'As c¡ys c111inuas corrcsPon' dem às rransifJJ"r¿uio. , as tfaccjadas .orr"rpona.m àr transi$es magnéticas. os núme- ros æ ¡efc¡em à multiPohridade l' A conversão interna não compete com a emissâ'o de raio 7 no sentido dc que um pro@sso inibe o outro. Estes processos são alternativas independentes e assim a taxa totalR, pafa tfan' sições entre os estados nucleares inicial e fìnal é a soma l0-t t240.1 o,2 0,4 Encrgia da transiçã'o nuclea¡ (McV) R, =R *R.¡ (t6-2e) onde¡ReRcisã,ofespectivamenteastaxasdetransi$oparaemissãolepal,.conversãointema. Ela também Pode ser escrita sob a forma 730 R, =R * a¡R =R(l + c¡) 731 onde rr = oK+a¿*ay*...éocoeficiente deconrersão internatotal.se.oestadoinicialsó oode decair em um único estado fìnal, como é normalmente o caso de decaimentos relat¡vos a gr"ndts vidas-médiæ' a expressão (164) se escreve ll| =- =-Rr R(l +ûr) (r ó-30) os valores experimentais da vida-média I podem então sef rsados para obter a taxa de transi' çã'o rR, uma vez que s, pode ser calculado com precisão' ' A figura 16-21 apres€nta urna comParação entre as taxas de transiça1o asim obtidas e as nredicões do modelo de camadas, correspondentes a um grupo de transições que foram identi' ilroñ;;-"ï-.q.*p"rr"t magnéticas (L = 4, com tioca ¿e paridades). A concordáncia é pî,.*. U.r inspeção ào diagrama do modelo de camadas apreæntado na fìgura l5'18 mostra' iá que todrs essas tr¡Insiøes ó.ott.tn entre estados bastante próximos daqueles que são preen' chidos nos números nrágicos. Essa situação corresponde ao caso onde melhor se aplica o mode' þ. para outras transições, as predises do modelo de camadæ nÍo se ajrstarn bem com as me' ¿¡¿.r. ¡, predições dô modelo coletivo podem ser entretanto uadas com sucesso nesses casos' iJ; .,-," ,no¿.io pode descrever com precisão as oscilaSes complicadæ das distribui$es de cafgas ou de correntes que sâ'o responsáveis pela emissâ'o de radiaç5o elétrica ou magndtica' .fr ¿i ;r¿ :t' F¡GURA 16-21. valorcs de vi<la.média p¡¡¡a um gfupo de transições yia dècaimcnto.Thaxadecapola¡esmag- néticås' o P';;;-;;; " toel¡tmo decimal de I (em segundos) pelå sexta potência do ¡aio nuclea¡ t'äri il;Içaäem funfo da energia do raio t (em koV)' os pontos g,o os a"ao, txpoimeitai't t li"hi*" é a predição do modelo de camadas' A vida-média de um estado excitado é freqtientemente exPressa em termos de su largura' Deacordocomoprincípiode¡ncertezåenergia'tempo'seumnúcleomédiosobrevivenumesta' do excitado pof qm ¡nterr¡-o lr ,.rp. iguat à viOa'media Idesse estådo,então a inærteza so' l4 t2 l( roo zoo 500 Ene¡gia (MeV) --'--> bre sua energia é da o¡dem de ft, onde F satisfaz aproximadamente à relaSo h f=- T (l6-3t) Desa forma, segue{e que os estados excitados nâo têñ ume energia perfeitamente defìnida, pois suas cnergiai æ distribuem sobre um intervato de largura I'. Um tratàmento mais aprofun. ôado mostra qu., n. t/erdade, (16'31) é satisfeita exatemente, à condição que I seja a largura a meia altu¡a d-a distribuição de energia do estado indicado na figuta 16.22. Estinremos âgora o vator dessa largura para um estado instável por decaimento 7 e tendo uma vida-média tí¡pica de T -lO- Io s. Encontramos que h lO-rs eV* f =:: - *= l0-5 eVT l0-'" s Energia FtCtlR.â, 16-22. ^ largura I dc um estado excitado. Uma expressío matemática para a curE apresentadå nessa fiSu¡a é dada em (16'32)' VemoS então que, em comparação com ulna energia de E = I MeV, típica para esses estados, a largura F é extremamente pequena. Na realidade, o valor tão Pequeno da tazão F l0-5 eV- -== -'= ¡g-tt cxplica por que desprezamos até agora as larguras dos estados excitados de b.aixa energia nos deôaimeñtos iadioatlvos. Quando considera¡mos estados excitados de alta energia em reafes nucleares, \æfemos que alguns destes possuem larguras relativamente importantes e não po' dem ser desprezadæ. I64 O EFEITO MOSSBAI.JER Em 1958 um estudânte de pósgraduaplo chamado Mössbauet fez uma descobe¡ta que pcrmitiu o uso de razões extremamente pequenas entre a largura e a energia dos primeiros estâdos excitados como um espcc' trômetro de energia de altíssima resoluçlfo, A lddia básica d_o elelto Mëssblu-et é ilust¡ada na figgra t6-23' Urn núCteo emlsso-r que se .n.onttt "t um eslado excitado efetuâ ume trsnsição pa6 o seu estado fundamen' tai, emltindo um r.io 7. Esse raio 7 é absorvido em seguida pot um núclco, na'o excitado, do mesmo tipo que o primeiro, que efetua uma transição para um estado cxcitado idôntic! âquele em que se cncontrava o núcleo cmisrc¡. As iotencialidades como espectrômetro de energh sc to¡nam evidentcs quando pcrccbemos quc mu' danças na energia ¿a fonte, da .n.rgi" do absorvente ou da energia do raio 7 em vôo dest¡ui¡alo a ab$rÇat ..reSsonante" - mesmo Se as "ariaçãeS de energb forem apenas de aþumas pafics em 10rl ! Duranle vá¡íoS anoS oS físicos tentaram usat cssâs potcncialidadcs, mas com muito pouco sucessO. O problcma principal rela' 732 733 \ì. t l; ,ionrrr-ra com o rccuo do núcleo duranle a cmiss¿-o assim como durantc â absorp:o do raio ?, como vercmos nO esemPlo abaixo. EXEMPLO I6.7 Nas cxperiências dc aborçâo rcsson¡ntc originais dc Mdrsbaucr. usavam-se raios 1 emitidos nas Úsnsþ ç6es entrc o prímeiro €stado cxcitrdo (0.t 29 tt'tcV¡ c o cstîdo fund¡¡mcntal do tt lr rt¡ . 1a ¡ Considcrc o recuo åo núclco por ocasiío da cmissaÌo do raio 1 e dclcrminc o dccrtiscimo na cncrgi.a do rab Tdevido à encrgia cinética do Íecuo nucleal, (b) Compa¡c cnlaìo cssa vrriaçío dc energir com a lrrgura do primeiro estado exci- tadodo ttttrtr,quetcntumavida'módi¡dc7= 1.4 x l0-ro s. (a) Uma rez quc o momenlo tins.r tolal do núcleo emissor é zero entes da emissfo do ¡aio T, o módulo do momento de rccuo nuclear pn aprís essa emisfo prccisa scr igual ao módulo do momento p? trensportado ¡rclo raio 1 cmit¡do. Como ¡ massr nuclea¡ M do nrÍcleo é elevada, a vclocidade de ¡ccuo nuclc¿r é baixa o quc nos pcrmítc usar a expressaio clássica Pn=,fTlìF para rclrcionar pn com a ene4ia cindtica de rccuo nuclea¡ ¡(. O momento linca¡ de ¡aio t. pr,é rclacionado com a sua energia f pcla expressio ¡clativística Temos entío que E pt=T E P*=_= Pn=.tîilT E,_ =2MK c' E2 K=- 2Mc2 --r- -----r- Decairnento | ;_ lr-.:,"*?l I' Y Z,A Z,A t I '. ,¡ {^ iFIGUR^ l6-23, A absorcîo rcssonante, base do efcito Mossbauer. Como a rcma da energia ¿. do ¡aio 1 com a energia dc recuo nuclea¡ K precisa ser igual à energia disponível no decaimento r (igual a 0,1 29 McV, encrgb do frimciro €slado excitado),vemosquef é inferioràenergiado p¡imeiro cstado cxcitado dc uma qulntidadc iguala ^K. Este é o dcc¡óscimo Af na energia do raio 1deÙido ao ¡ccuo nuclcar: E' AË=-K 2Mc' \ ,| r J ) -) Ð à I \ ) \ \<t/ À\¡y h I ) \.j \,/ -ì -\4./ rJ .,rrìil l',\: : -'.:j-' i. t, I i:r . \t:-' ) t..' Como o y¿lor de M é clevado, ôe é bastante pequern comparado com E. Podemos estima¡ o vaþ¡ de AE fa. zp¡do E = 0,1 29 MeV e usando a.rclaÉo uc' = 9ll MeV para exprirnir em MeV a energia correspondent€ à massa de repouso do núcleo: (0,129)¡ Mev¡ 6E= - = -4,1 x l0-' MeV 2 x 191 x 931 MeV -4,7 x l0r eV O mesmo resultsdo pode scr obtido considcrando*e o raio 7 como cmitido por uma fonte móvel,o núcleo quc tecu¿. util¡z¿ndo{e a fórmula do cfeito Doppler longitudirul do cxcmplo 2'7 para calcular o dccrósciino dc su freqllência ou de sua energia. &) & ¡ vidsmédi¡ do primeiro estado excitado do t?If¡er lot T= 1,4 x l0-ro s, sua lugura será rr 6,6 x l0-t' eVt " =7= r¡ , to-"r =4'? x lo-¡ ev Fic¡ cnüio cts¡o quc o raio 7 emitido durante o decaimento do primeiro cstado excitâdo do núcleo emisso¡ tr¡¡tt¡ nlo pode exc¡ts¡ um núclco sbsorvente ??Ir¡tr, inicialmente no estado fundamental, ao seu primeiro estsdo excilådo. O decréscimo da eoe¡gia do raio 7 devido ao recr¡o nuclea¡ é l0' vezes maio¡ do que a la¡- gura do est¿do que se descja forme¡, Dessa forma, a cncrgb do ¡aio I se encontra complctamente fora de res- ronÂnc¡¡ e ¡ absorça:o ressonÀntc é dest¡uíd¡. (Se houve¡ de fato uma absorçâo, haveria na ve¡dade duas o¡i- ten¡ ps¡a o dcc¡éscimo totrl de recuo; uma deyido so recuo do núclco cmisso¡ e outfa devido ao ¡ecuo do ¡úcleo ¡bso¡vcntg. H¡vq¡i¿ também duas orþens para a largura total da ¡essonÄncia, unu devido à hrgrua do cstsdo emissr do rab t e s outra devido à largura do elado que o absorve.) a l,fosbaue¡ descob¡iu que era possível obtcr absofção rcssonantc se os núcleos emisso¡ e absorvente se enconl¡assem em cristais cuja tempcratura fossc suficientemcnte baixå, Em tais cÛcunstâncias, os cristais po' dem ¡ecua¡ @mo um lodo, sqndo quc os núcleos en¡issores e absorventcs pcrnunecem prcsos às suas posições ra ¡edc cristalina e naîo h¿vendo excitado tipo úbrações da rede (fônons). Posuindo uma mass¡¡ ¡ncompara' vet¡ncnte s¡¡io¡ do que o núcleo, o cristal lranspgrta o momento de reçuo necessá¡io sem Eansporta¡ uma quant¡.tÂdc ¡Unificante de energb cinétic¡. Mõssbaucr demonstrou a ¿bsorção ressonânte da seguinte for. m¡. U¡¡ndo um¿ fonte c um absorsor do ?tlrrtl cfistalino s uma t€mperatura de 88 K, ele fez com que a -0,04 0 0.04 0,08 0,012 Velocid¿de do cmiss¡ (m/s) rtrtt tt -30 -20 -10 0 t0 20 30 40 50 Desloc¿mento¡ Doppler (10-' eÐ FICUR 1G24. O efeito Móssbauer no tttrtr a 88 K, Obærve as velocidadcs extremamcnte baixar da fonte e as rariações de Doppler resultantes, também cxtremaments ba¡xas, que sio sufic¡entes para eli¡ninar s absorça1o ressonante. .o I¡ d og Eos coo o e. 734 735 lan o or"*r" lentamente ao longo da tinha entre a fonte e o absorvente. Este movimento produziu variagões i;iï;;...""s oonprer eo{ry::-:Ylï: A-i-Ti:1"¡-d:-::::.";^'31'31t:";"i."ü;;:::,fi;:Ëtä:ä;'ffr;if.frai-.* t¡ $¡¡ ;DesE¡¡. per* iotnr., a energia'óo raiol v¿¡iav¡ þnt¡c v¡lo¡es infe' ¿rp¡ a suDgrorês a energ¡¡ c¿ ¡essor¡ánci¡, iue era de g,tzi Mev.-co¡¡espondente à enetgh do Pri¡ne¡ro i:i"-;;iil;";;ü;i-A fg'¡ra t6-24 m-o*¡a ¡ curv¿ de ¡bsorção obtid¿ fazendo a energia do ¡aio z Bfisf cm to¡nO da cnerg¡8 resso-n¡nte. Su¡ ls¡tu¡a a mc¡¡ sltr¡¡s-é-örca de l0 x l0-r eV. EstG resultrdo @îc/)tdzpler¡amente com r expect¡tiva de quJcle deveria ser o dobro da largrua I dos dois estados nucl€' I cnvoÞidos, urn¡ y€z quo sr¡¡¡ v¡¿astné¿¡¿¡ medirta¡ fornccem T = 1,4 x l0-ro s, o gue couesPonde ¡ f = lî i fO-. cV. Este sco¡do ta¡¡bém mostn ¡ r¿llJade de (16-31), us¿d¡ pa¡a cslq¡l¡¡ r r pa¡tir de I' c' con' früenæmentc, comProra o PrhcíPio dc insertez¡ tempo+ner8¡41 -- MörrbooofoiagrrcirdocomoPrêmioNobelemlg6l,pp¡queoefeitoporcledescob€loconduiu mr si ó a uma enorme ra¡ied¿de de medid¡¡ de energia exl¡emå¡nente precisrs. A mtbrlt8¡te dos usos ä.",.r J."" .f.ito lid¡ com medidas de desdob¡amentos hiperfuros mu¡to poquenos de níveis de ene¡gh ¡r¡clea¡es (nÍo ¡tômicos), or quais salo originários. de lnteragões ent¡g os mom€ntos nuclea¡es dipol¡ mag' nérico o quadrupola¡ etétrico -r ãr ori'por r!Éttl* g .*.é!fo p¡e,.ntes T ¡.*ialo da-¡edc c¡ist¿li¡¡s ä!ñ¿i p'"r";örro, ls ra¡¡nõi * iiõäir-å" ronte e¡ou dó auso¡so¡, causas do eparecirnento dos desdo' iãårntoì, são determirudss cm termos dãs desloc¿¡nentos Doppler necesEí¡bs pars trazer de volta a resso' ;;;:-Gù";"r rís¡cos nuclc¿¡e¡ pooÀ u* campos conheciáðs pua medirem os momentos; os físicos de o¡t¿do ólido medem os *rpot ndt caso¡ ondc os momentos slío conhecidos c, mcsmo se os momento¡ nÃo ¡¡-o conhecidos, godem rhda apt."¿t ãtto ¡obre como ra¡iam or campos qruado ¡ estrutl¡¡s ctbtal¡t¡ é ¡ltsr¡da. ô efeito Mússbauer é tambem usado como um espectrômetro de energla Pa¡a medi¡ variafes muito pequcnas nas energias ¿o r"¡, î¿r"i¿o s fenômenos deìchtiúdade especiaiou gcral Um exemPlo disso é r verificat'o do deslocamento å""it".¡-f pan o vermclho, previsto pela ¡ehtgd¿de geral. parl rabs 1 cm um cspectômet¡o Mtßtbau€¡ õ¡þntado yertlcat¡nente t posuindo 22J m de ¡ltru¡. A wrbça-o de en€rgb i'J. .i.-t J""r parreJ cm l0¡¡ ¡ no entanto, este deslocamento foi medi¿o oom uma prccisão melhor quc l0% e conco¡da, dentro dcssa prå.¡o.io, com as predises da_teo¡ia da rehtividade geral de Einstein' Espec' Eômet¡os Mössbauer r.rnu¿, i¿r sidå usados na verificaçalo do deslocamento Doppler transverso da rela' tividade especial, sssim como --".iU¡o'"it das predições deiså teoria I ¡espeito do 'þradoxo dos gêmeoC" 16.7 REAçÕES NUCLEARES 'it Deixaremos agofa o decaimento nuclear PaIa estudíumos 8s feagões nucle¿Ifes' una fazão importante pla qtul as reaøes nuc¡e¡ues são estudadæ é que elæ fomecem inforr¡agõæ sobre os estados exc¡tados do núcleo que suplementam aguelas fomecidæ pelo decaimento nucleaf' Outras razões importantes tomar{edo aparentes guåndo à fissã'o e a fusão nuçleaf forem discu' tidas nas æções subseqüentes. Em Palticulaf, o equilÍbrio energético rus reagões é estudado Porqì¡€ nos informa ¡obre.as massas dos núcleos envolvidos nessas reaçõe8' Emnossotratamentodasec¡ors+fefefenteaobalafiçoencfgéti@na.slafesnucleafes' já havíamos considefado . .pu."øo das leis de conærvaçáo da energia relativÍstica total' do monrento linea¡ e da carga aos estãdos inicial e final de unta rea$'o. A tÍtulo de resumo' enume' la¡emos essas leis de conserva$o como também outf¿¡s qì¡9 se aPlicamå qualguef feação' e en' tão vamos usá'las num e)r€ ^pio,.t^ e*huer rcaçdo nucleü' as qwnt¡d^des seguíntø þrecívm setconsenadas:(t,aenöritot¡rür¡*,otot,i2¡o^o 'ntolinør'(3'¡omomcntoangubt''(4) a carga, (5) a puida¿i1 G) o ¡umero.de ruitlænl Em todas as rea$es que discuti¡nos *i.r, o i¡*.rã ¿õ n¡deÀ r" óonr.oou, isto é, o número total de núcleons existentes antes 6a reação é igual ao ",i-ui" i"t¿ r¡ttrntt depois. Foi Yerificado que ¡sso é verdade para qual' quer reação nuclear' NÍo havíamos c,onsideradona æçã'o 154 a cons€rYaøo do'momento angtr' la¡ ou da puidade, porq* rrr.r qu-,id.¿tt náo afetam o equilÍbrio enef8ético' Entfetanto' afetam aE taxas, ou u seçles ãe cËoque dessas reqÉes' como veremos um Pguco mais ad¡ante' É;1.;;;;;;*J;'.r,tular precisa sef cons€ryado em ru¡¡,r fe¿ção nucleaf. A puidade é consefvadaPofqucainterasoexistenteemuÍurfeåçãonucleaféainteraçãonucleafforte, que co¡rsers¿ a paridade, c iåã u in*oçao decaimento Fftaca'que nÍo conserva a paridade' A mecánica quântica pode ser usada na análise dæ rnedidæ dc cspalha¡nento elástlco pa. ra determinar o potencial nuclear que etua sobre o núcleon espalhado de alta energia. Encon. trou{e que esse potencial é esséncialmente o rnesmo que o potencial do nodelo de camadr¡ que atua sobre o nrlcleon no estado fundamental do núcleo. Há, entretanto, uma diferenp importante entre eles; o potencial que atua sobre o núcleon nfo ligado, chamado potet¡ciat do modelo ótico, ¿ parcialmente absomenle. Essa absorçl[o desc¡eve a posibllidade de coll. sfo entre o nrlcleon de alta energia e um núcleon do núcleo, absorvendoo do feixe incldente. (Ee é absorvido no æntido de que nlo tem mais e mesma cnergia inicial, ou o mesmo con. primento de onda de de Btoglie, e, assim, nfo pode haver mais inlerferéncias entre sua funçfe de onda e a fungro de onda do núcleon incidente.) Caso o núcleon incidente seja sufìciénte. m€nte energético, as colisões stro possíræis, ume. \ez que o prlncípio de exclusão nl[o inte¡- vém com o seu efeito inlbidor usual, pois tento o núcleon incidente quento o núcleon atingi. do podem saltar facilmente para estados desocupados. O núcleon lncidente pode ser tambén cspalhado pcla parte nfo absonænte do potencial, a qual nos é mals familia¡. (lsto é, ele pode também lnteragir com o núcleo considerado como um todo, interaçtlo essa representada pelo pgtencial atrativo usual, sem colidir individualmente com qualquer núcleon do núcleo.) 0 modelo ótico é essencialmente uma generalização do modelo de camadas, o que permite a descriglfo de núcleons de qualquer energia e não apenas a descriçâ'o daqueles ligados ao nricleo devido ao valor de suas energías, Se a probabilidade de espalhamento é obærvada como uma funçfo da energía da partÍ cula incidcnte, muitos picos bastante largos s,lfo v¡stos alguñas yezcs cm certæ energias. Eses plcos slo manifestag6es das chamadas ressonâncias de lornu ou estados de partíanlas ìndepm- dentes. Como os dois nomes dizem, eles podem ser interpretedos de duæ maneiræ dlferentes, a saber: (l) interferéncias construtivas cntre a parte da função de onda lncidente que foi espa- lhada pela região anterior da superfície nuclear e a parte que foi espalhada pela regifo posterior; (2) níveis.de energia da partÍcula incidente no potencial nuclear. O primeiro ponto de vista d relacionado com aquele desenvolvido na nossa discussã'o sobre o efeito Ramsauer na sefo 6-5; cntretânto aqui veremos que o iegundo ponto de vista é mais útil. Os picos slfo largos porque os estados de partícula indepcndente tambCm o sfo. Se estima¡mos o tempo necessário para um nricleon de 50 MeV percorrer um diâmetro nuclear típico, encontrâremos T = D lv - t0-14 m/ t 0E m-s- I = lO-22 , Uma vez qu€ esse tempo tambdm caracteriza a duraçlo do processo de espalhamento, ou da vida-média da partícula no estado de partfcula independente, a largura l' do estadoé tipicamente l=hlT - l0-ri eV*/10-22 s = l0? eV=l0MeV.Observeque a largura de um estado de partícula independente de alta energia é cerca de I 2 oidens de gran- deza maior do que a largura típica de um estado instável de baixa energia, como aquele consi' derado no fìnal da seçfo t6.5. Reconsideramos agora âs colisões entre o próton incidente e os núcleons do nrjcleo. Antes da colisâo o momento linear do próton é praticamente paralelo à direção de propagaçffo do fei' xe e seu môduto é muifo maior do que o de qualquer núcleon do núcleo. A conservação do momento linear implica que, após a primeira colisfo, os núcleons tendem a æ deslocar em dire' çôes próximas à direçâo do fcixe, sendo que este comportamento é paiticularmente verdadeiro pâra o câso em que o nrlcleon emitido transporte a maior perte do momento ou da energia ini' cial. Um núcleon de energia mais alta é o que mais tem chance de eScapar âs teflexões internas na superfície nuclear e de ser emitido em um processo que é chamado interação direta, Co¡' serva{e nesse processo a seguinte tendência: partículas emitidas têm de se mover na direçáo geral do feixe incidente, embora haja um pouco de refiação por ocasif,o de sua passagem atra' vés da superfície nuclear. Na fìgura 16.26 ê apresentado o espectro de prótons de alta energia emitidos num dado ângulo por um nrlcleo típico. O pico que corresponde à energiamaisaltaé produzido potpr6' 740 F¡sfis espalhados elasticamente, Estcs prótons têm quasc a fTresma enorgia quc os lnddentË (urÍe pequenâ parte da energia foi absorvida devido ao recuo do núclco rcsidual)c foram etp. ¡¡ados pela açifo dos potenc¡â¡s de espalhamento coulombiano e nuclcar. O grupo dc alt¡ cner. rla seguinte correspondc aos prótons espalhados lnelosticamente c tcm su¡ origcnr ñrs lntcm. foes diretas. Quando um prôton é cmitido parâ cssc grupo, o núcleo rcsldual é formado no scu øimeiro estado excitado. Se o próton corresponde 8o Srupo de cnergia lmtdietañrcnte lnfc¡ior, rqæle núcleo é formado no seu segundo estado cxcitado, ctc. Assim, o cqecffo dc eneryla per. ¡¡títe ídentlticor ímedidtdmente os posíções dos estados do núcleo resìdual. Grupo elástico Grupo inclásl¡co dc €ñcrgiå mais rll¡ r0 20 30 40 Encr8ia dos prótons emitidos (MeV) l'l(;1.,R 16.2ó. O espcctro dc cnergia dc prólons emilidos a ângulos pequcnos oblido rp5r o bombr¡dcþ ¡ror prótons ¡lc 50 McV rcbrc um núcleo hipotético de propriedrdcr lÍpicrs, Os primeiros níveis dc encrgia do núclco ¡esidual concspondcm ros 8rupoi incláJlico3 dc olta cnergh. Como esles níveis sc sobrcp6cm ¡rare formar vm &nllnuuñ,o mcsmo ¡contcoc com o especrro rneláslico, O cort€ apres€nlado no cspcclro pos vollâ de t0 MeV representa o cfei' , ,o inibidor da reflexaìo interru G da barreira coulombiana sobre ¡ fugr dos prótons. .' A tendência geral para emissão sob ângulos pequenos apresentada pctos núcleons dc eltu :.energias prorænienfes das interações diretæ, é mostrada na fìgura 16:27. A cr¡rv¡ rcprescnte a :¡seçâo de choque diferencial dofdQ para os prótons correspondentes eo gupo dc cncrgia mals .; alta espalhado inelasticamente, apres€ntado na fig.rra anterior. Também sc cncontre indicado I.nessa fìgura a tendéncia de doltllt ser desfavorecida em ângulos bastantc PÊqucnos, caso haja ,i necessidade de se transferir momento angular orbital ao núcleo pelo próton incidentc' devido eo ¡ frto d. que o momento angular de spin ilo cstado cxcítado do núcleo resldual é dlfcrcnte daque' 'L le Ao æu estado fundamentâI. Este comportâr¡renlo pode ser melhor cntendldo através do argu' inento semiclássico ilustrado na lìgura ló-28. Basicamente, essa tendéncia rcfìetc o fato de que ', é difícil para uma partícula - que experimenta ãpenas um ligeirodecréscimo no módulo de seu momento linear ao interagir com um alvo de raio limitado - transferir morn€nto angular orbi' lal ao atvo, a menos que haja uma rariação significativa na direção de propagaçfo. Não se deve estranhir que o modelo baseado em bolas de bilhar, quc prediz coffetamente o comportamento geral da inieraEo, fathe ao não prerær as oscilações vlstas-na fìgwa 16'27. A origem dessas oscilações se deve às interferências entre âs componentes da função de onda do núcteon emitido e que sâo formadas nas diferentes regi6es do núcleo. A estrutufe da æç'lfo de choque diferencial do grupo inelástico pode ser analisada com vistas å obtenção de informaçôes sobre o spin nuclear e iobrc a paridade do estado do núcleo residual excitado. Os nrétodos utili' ados nessas análiæs são muitp complicados Pala serem tralados aqui, mas pode*e afìrmar que também confìrmam que a pàridude é conservdda na interaçíiqnuclør' c o .ô È ! o 5 o Ë.tz :I ,l ,l t! 74t 'I ! i.Ì l;/1,\å t \r .'[\ff '' [Ì\[ iR\f t'l\... i/Íå¡- .6LF Ëi*[ (l¡ \L È' Il ¡,1 lq tl '.i-t L ',tå ,,' ''i[ii \-. ''I:l :iÞl ¿ ':Ni "lu ,.,{li z 'i{$ Lí$l ÅqS L,ilg .d Ed .ú8 .3 \.:.; ,;J ¡..t ti # $ fl 1l C ( ie $s ¡'e $c t's t'.e ì-s ì'Q I,o ¡l.s Ì-,m t0 EÔ \'î. :í l"-. t' fl' 'ì I ,, f:' -¡0' t o.1?ë d!= $ 5'3'o. E.E É.ã ¡_ ro ITIGURAtó.27.Seçãodechoquedife¡cncialdo/úlfldogrupodcenershmaisaltacoffesPondenlcaocsp¡l}r¿.':ffi mcnto inclásrico dc prótons de 50 Mev po, ur ni;r"o h.ipotético dc^pro.pricd d típicas' A tendêncla pua cmissa:o scgundo os ângulos ãianteiros é uma ca¡acterßtti'*'lT::::: "S de interaçdo Oir,rt'"i"*."i.podehavcifortcdecréscimo dedold{l paraos:¡ri'utosmulto }tt Pequcnos " t'ou"ti lransfcrôncir at totunro *gulor orbital - Ï:l::T O"rante a ru' ""1i çalo. No caso 'ip"*tntt¿o pt' csu f911,r]J/afl corresponde a uma rcaçalo na qual o est¡' 'di docKcit¡¡doooiú.l"orcsidualpossui"',,;å;i;;;ä"'"".antula¡ofbitalamrisluc'l EmboraaprobabilidadedequeoPfótonincidentecolidacomumnúcleonaoatfavessaf0 núcleo seja da ordem ¿e so%,.^ åp.n.i I0% desses evèntos haverá um núcleon emitido devido a uma ¡nteração direta' o ;;;;"; é que o próton e o núcteon atingido sejam ambos ca¡ tu¡ados pelo n{rcleo tt"u¿'-ã' "flt*ot' inte'nai' Apenas em cerca de l% dos cæos essas duæ partículasconseguemt"upt"*"usmomentoslinearespuderementãosermedidos'umain' formaçãoPfecios¡tpoaeser'outiaaarespeitodomomentoinicialpossuindoassimonú. cleon atingido no intrno, ão "i.ì." te neiessário purr,-to aplicar correções devid à refra' çâ.o e à absorção oo proton .o deixai o potencial ótico nuclear). Tal técnica tomou{e fecen' temente uma área ¡mportante de pesquisa em física nuclear' -- O tempo necesúrio ptã-t'ptit"titt coÏ:ã: é I to-tt s' uma vez que' nesse lapso' um núcleondevelocidadetípicapercorreumadistânciaigualaumdtît::t:-lît]tartípico'tu etapæsubseqüentesnâc¿scatadecolisõesocolfememintervalosdetemPodesamesmaor. dem de grurdeza. N* p'i'i'i'ä ã*'ìu t'ct etapas' há posibilidade 9t 1* :T dos núcleons paftiç¡pantes desæ colisões escape; no entadto,.essa pottlbitidtdt diminui rapidamente porque as ¡ntefaÉes entre elas .";l;;; ; uma repartiçao,áe energia. As reflexões internas no poten' cial nuclea¡ tornam*e ,.oiäit"-tit*i"ärt ¿ ittt¿¡ot o::-1,:ittlt:"'"î::*::|;iåff;.,i o cstado lundamcnlal' líbrio é chamado ¡ucleo comPosto' iil,itr"|iffiff,ä ;;ø ,*io, apareæ pois ,, Ën*gi.. dã excitação dos núcleons tor' nan{e inferior* a, ,.rp".tiä;;";;; de rieaùo' ¡Pos cãmpletadas.:1":t :Ït l0 etâPas da cascata. o que ocoûe ,rr, - f g- i,-t, ".n.rgi*. ¿irir¡uu¡ sobre a totalidade dos nûcleons do núcleo. Nenhum desses nU'itonJ tem ìnergia iuficiente Para €scåP¿¡r.; * :"11111Î' tles troøm mutuamentesuasenergiasnumProcessoanálogo.o,quilíb'iotérmico.Estesistemaemeqtlt. ;"iiffi:ffii"iriä,u," um número muito grande de partículæ (/ -100),flutua', --'^l^r---.o Ce acnntêCÊf QlÉcomo esse srstema "i:^;':'Ï:':JÏ;ï;;i.i or.tion.rtente' se acontecÊr qtre @es importantes na repartiøo.dt.:"::l:t- T"TTj:," rrô ñrre normalmenre possui, ele feta ffi Jîi",i::i::iåJå'ä';gil.';ïä"i.i'i:ä:i::"i::;:'mr,å:'."ï,:lÏi 11"ååii::i;"iä'i'.iüd;i;"e:'1:yÏ:*,tffii j,ì:î,'ff ,iï:å#ï':';;:,iJiå1':.ii,ïi:1iläï?ii;å;Ëilö3l;11:",:i:i:':l"î:lîî##ä ffi:Ï.f ï.;å'.ü. å:::'ill! J:: ïiiäffidil"'ö: ::n*: :::ïi:. "##iÍ!i:#iifi ::il"#i'J;Ëä."e:iä"öîiri;1t j:ï'jtf *iÍ::n:.ry;::'í 'j:':',ii:','i#i.":'iå',ïlii.iiå'äll;Ïoli."il,iü';.;;;;;';;deexcitaçaosurr 742 143 FlcuRA 16.28, O diagrama acÛnâ ilustfa a rehçalo entfe os momentos angulares line¿¡ e orbital t¡ansfe¡Í- dos num ,rp.n"ã*,o inetástico ao núcleo alvo via interaglo dLeta e que o leva ao pf imei' to estado .*.iuìå, iour.rve que os núcleos alvo e residual sa:o os mesmos, nessa colMo.) O momento l¡** ¿à-n¡ttto incidcnte é p¡ e aprís a coüsa--o é p¡' O ângulo entre essesdois Yetores define o ângulo de emissa:o 0' Supondo que' após a cotiøo.' 9 núcleo ¡esidual seja deixado em urn "rtido de baixa energia de excitaça:o, a energia cinética do núcleo emit¡do scrá aproximadamente igual eo do núcleo incidente e, conseqüentemeîle| pf = p¡ = p. Vemos, dessa forma,que o momento ap = p¡ - P¡é transferido ao núcleo re'sidual essen' c¡almente porque a aileçaó Ae 9¡diferc da direção'de P¡' No diagrama foi conside¡ada uma "otir¿o tangcnc¡"r p"rq". é narl" ."* que a tfansfeféncia de momento angul¡¡ é a mais eficientc, o n,on'.lnio u'sul¡¡ t¡ansfe¡idò aL é enta:o dado pof ÁL = ¡' x Áp, onde r' é o raio do núcteo ¡t"o. Comã nas intera$es dLetas o ûngulo c = e 12 entre r' e Ap tende a ser pcqueno, ¡emos Aú = ¡' Ap sen e = r' Apa' A figura mostra que Ap = Tp'a = 2pe'o qu,e . conduz a A¿ = 2r' pa'' Para o c¿so em gue apen'ls uma unidade de momento angula¡ é fornecida ao núcleo alvo, ¿¿=J-I'(TTIJ¡= t,¿t, Dessafo¡ma e2 = l,4{zt'p=L,4l|lzt'(hlx)=1,414ilr'/À)'onde Àéo comprimento-d-e de Broglie do próton. Co,oo ¿ ii*utiø nå iexto, ¡/r = 5/3 pa¡a um próton de 50 MeV' movendote ¡través de urn po,.*itl de 50 MeV de profundidade em um núcleo de ¡aio típico igual a 5 F' Com estes vaþrer' o¡ = 1,4/4r(5/3) = 6 x l0-¡ ou seja, c = 2J x l0-¡ rad = 15". Conseqüentemente' para a transferôncia de uma unidade de momcnto anguhr, o enguro I "*i;';; ã qu" t'* circur-o se1¡tis^s-r1,:tf:-u: =-3; ;j]i::ïäi:":'';;;;;ä'*.::::1..1*-":::;,f"'åTi'å:iiJ*""#,ä:30", Pa¡a ã-ngulos multo -trrv¡¡v¡Er ev - :ência de momentos anguhfes ñi;.i;¡. -poãe*e concluir gue æ r.colisão envolv€ a ttl*:'- ^-.-r^ r,,ñ.rrñenrâr e o q'rn:ïÏ:llå.ffi:;;*;ä";;"ã"-i;tñ"ç" entre o spin d".'1to,ir::1-1'::::li,i'.t:i*tt orollals mó¡e¡çr' r¡slsJs¡¡v¡ ---'--råriã*r, t"ìorat t"tb¿* serão os ângulos dc$ dos primeiros estados excitados do núcleo S , emissa--o envolvidos' ff' ii ; issâo de um outro núcleon' Então' como já å A:'ff.ru"::1"ï"":;i#,""ïi:ï::#iiiÏ;;;.;; ãi*ip., os úrtimos pou'o' M'v d' î ene¡gia de excitação. E";;';t,PJrtrtil que øolibeådas por ocæiâ'o dessas flutuações'os néutrons sÃo bastante favorecidos por nat terem que atravesrai uma barreira coulombiana' Em un núcleo composto, a energia de excitação é repartida entre muitas partículas. estados excitados do núcleo são conseqüentemente chamados estddos de muitos partíctias;S¡' contraste com os estados de partrcula independente, que sfo muilo largos, os estados de muitet pârtículassãobastanteestreitos.Comoonúcleocompostonecessiladel-t0-ts s,paradesai¡ por emissão de néutron, a largura I típica de um desses estados é f =h/?n -10-ts eV-s/I0-rs eV= I eV Estes estados estreitos podem ser observados atravCs da medida da probabilidade, em função rta energia do núcleon incidente, de formação de um núcleo composto. Na prática, essa probab¡ti. dade é expressa em termos da seção de choque total, delìnida em (2.t 8). Com o aumento 6¡ cnergia de excitaçllo, a separaçfo entre os estados de muítas partículas decresce rapidamenle, enquanto que suas larguræ crescem; assim, torna*e mais fácil observá.las quando a energia do núcleon incidente é a menor possível. A fìgura l6-29 ilustra um exemplo de estados de muitas partículas, tamMm chamado ressonâncias do núcleo composto, observados quando néutrons de energia muito baixa incidem sobre um núcleo típico. t00 200 Energia dos nêut¡ons incidentcs (eV) FTGURA l6-29. Sct''o dê choque total parâ quc um nêutron incidente de cncrgiå mu¡to baixa produza qual' quer reat'o outre qu¿ o espalhemcnto elástico por um núcleo de propricdades típicas. Os estados de muitas partículas do núclco composto, cuja cnergia de excitaçã-o é da ordcm de 8 McV (cor¡espondente à cnergh de ligaçâo cedida ao núcleo pelo nêutron incidcntc), sâo pedeitamcntc visívels nos resultados epresentâdos, A forma de qualquer uma das seções de choque de ressonância ilustradas na figura 16'29 é descrita pela fórmula de Breit lttigner É åro s FP, or(Ð= nQtl2tr)' @:ffi (t6-32) onde a seção de choque total de reacfo o,(E) é a seçá'o de choque de formação de um núcleo composto que decai por qualquer Proc€sso outro que a emisã'o de um néutron com a mesme energia que o incidente;.8 é a Lnergia do nêutron incidente, e )\ é o comprimento de onda de dc Brogìie correspondente ; E ¡ é a energia de ressonância; F é a largura a ñeia alt ura da ressonáncia; ln é P vezes a :zrzto eî1ue a probabilidade de decaimento do núcleo composto por emissãodc um néutron com a mesma energia que o incidente e a probabilidade total de decaimento Por 744 745 toilos os processos, l, é análogo a Fn, onde a emissâo do nêulron é substituída porumoutro i"*r* qualquer. A mesma lórmula \16-22), com F, no lugar de l' fornece a seção de þoque total de formação de um núclco composto seguida de seu decaimento por emisão dc uñ n€utron com a mesme energia que o incidente, ou seja, a seção de choque or(Ð de espalha- ¡¡ento elástico via núcleo composto. Uma fórmula similar descreve a forma das ressonârrcias de raios 7 apresentadas nas fìguras 16-22 e 16-24. Na realidade,a mesma forma básica é encon' Íaða pan as curvas de ressonância em qualquer tipo de movimento oscilatório ou ondulalório ¡mortecido. O estudante já pode ter visto a derivaçâo dessa expressâo noi casos de um t'ndulo anonecido ou de um circuito ressonanle resistivo' Um aspecto muito interessante de (l ó-32), parlicular ao caso de ressonâncias de néutrons de baixa energia, é o fator t(hl2n)z, que determina o valor máximo possível das seções de choque totais de nêutron no pico da ressonáncia. Observe que esse fator nlfo representa a área de círcuto com o raio nuclear r' e sim a área de um círculo de raio igual ao comprimento de onda )\ de de Broglie do néutron dividido por 2r. Como )\ Þ / para nêutrons de energia sufì' cientemente baixa, a seçiÍo de choque total de espalhamenlo ou de reação no pico da ressonân' cia pode ser muito maior do que a seçalo de choque gcomútrica r¡r'2 do núcleo. Isto é possível porque o nóutron de baixa energia se comporta como uma onda e não Como uma parlíCulâ ildssica: nas circunstâncias de uma rcssonîncia ele pode interagir com o núcleo alvo toda vez que o valor esperado de sua posiçâo corresponda.a uma diståncia do núcleo da ordem de tr/21. Veremos mais adiante que essa propriedàde é muito importanle na opcfaçf,o de um reator nu' clear. Uma outra característica <to núcleo composlo é que, por ter uma vida'média relativamen' te longa, ele sc csquecc dos detalhes ocorritlos durantc a sua formação' Por exemplo' como o morn.nto linear oiiginal da partícula incidente se distribui entre diversas partículas que sâo excitadas no núcleo aorporio, a prcferrlncia para emissã'o de néutrons em determinadas dire' $es é drasticamente rcduzida'' Àfigura l(r'30 mostra um exemplo de scção de choque dife' '! Ernbor" cquecendo detalhcs da sua formação, o núclco composto nâo equece o momento angul3¡ lo' lal que é conscrvado durante a rcap-o. Dcssa forma, a dircçalo do feiie conlinua sendo um eixo de silnetria prívilegiado, cxccto nos casos em quc o momcnto angular orbitâl antcs c/ou apóS a reaçalo é nulo (enc¡8ias nuito baix.as). Ve¡ tantbém nq Capítulo l7 a qucstío 3. il'iii *l.; -i,. i. I l 'i 'li.. äi -.hì t.[l n i'$.ìu ,[i. Ì$1'- .ti 3 ) r "ó, :à .ì h I ì ,t J à rå9 h ..tf) 5 \ ..:' Naturalmente, como vimos nas discrssões sobre o modelo coletivo e sobre momentod quadrupolares elétricos nuclbares na s€çã'o l5-l0,os núcleosly'-par, Z-ímpar ouJV'ímpar,Z-¡p¡,' com os yatores de N e Z entre '9s números mágicos, tém quase semPre uma forma elipsoidal. ¡ tendência que esses núcleos têir para apresentar uma forma elipsoidal é particularmente fodo para os elementos na região dæ terras raras (os tantanídeos) e é relativamente forte na região do uránio e dos elementos que o sucedem na tabela periódica (os actnídeos)' uflu vez quc, nesæ regiões, tanto Z quanto ¡y' são bastante distantes dos nú¡neros mágícos. O fato que é novo é a evidéncia que a formaelipsoidal tambCmé apresentada pelo núcleo N-par,Z'pu e2U2rs. Lembre que na seçâ'o 15.2 havíamos concluÍdo que se um núcleo possui spin nuclearnuloeø:'1ji seu estado fundamental, como é o caso do e?923E " outros núcleos N'par,Z'par, entlfonão Ï ..c ¡ 1é.', à\;/ ,$\ seria posÍvel obser\¡ar uma forma elipsoidal no seu estado fundamental, mesmo se ele posuú. "ii se efet¡vamçnte essa forma, a partir de medidæ de valores médios no temPo como æ determina.,,liiS l W ç t SA f A, A f toas egl rt¡u as ucr rllunâ.ìrl.lìi ções de desdob¡amento hiperfìno do momento quadrupolar elétrico. As medidæ refe¡ente¡ iiÌ ao decaimento nuçlea¡ e às reaf,es nucleares que permitem a determinaç.lfo dos níveis de ene¡.:1ìi gia do e¡1J238, apresentados na fìgura 16-23, são sensíveis à forma real do núcleo -.e n¿0,?ii apenæ à média no tempo de todas æ orientações posíveis da forma, como acontece com æ:'.1 medidæ de desdobramento hiperfino em nf¡cleos de spin nulo. Esæs métodos de medidæ mais 'ij ænsíveis mostram que o núcleo é elipsoidal. Medidas sìmila¡es mostram que isso é,emgera[ì, verdadeiro para todos os núcleos, indiferentemente æ y'ú e Z sÍo pares ou ímpares, As únicas r.i exc€ções são os núcleos com y'l ou Z iguais ou muito prórjmos aos números mágicos, ondc -j efeitos coletivos são desprezí\æis. Btes núcleos são realmente esféricos. Como a deformação da forma nuclea¡ de esférica pua elipsoidal é uma conseqüência de efeitoscoletivos,núcleoscomooe2U2ss -nosquaisestesefeitossã'oacentuådosporposuf- rem tanto /V quanto Z distantes dos números mágicos - têm deformaÉes razoavelmente 8¡an des e rígidas nos seu.s primeiros estados excitados. Estes estados sã'o formados pelas diferentes rotações permitidas pela mecánica quántica. Os núcleos para os quais /Ú e/ou Z não são mui. to distantes dos núme¡os mágicos têm deformações que não são muito importantes e que não são rígidas. Quando se encontram nos primeiros estados excitados, esses núcleos vibram de tal maneira que sua forma varia continuamente entre um elipóide alongado na direçlo de seu eixo de simetria e um elipsóide achatado nesa direção. O movimento é ainda mais compliø. do deúdo ao fato que o núcleo pode ainda girar, Nãoobsta¡rte,osprimeirosestadosexcitados de núcleos desse tipo são razoavelmente bem espaçados, como os níveis de energia de umosci' lador harmônico simples. Como exemplo podemos citar os nÍveis do ?8p1r02, apresentados na figura l6-34. Observe quc os estados coletivos mais baixos dos núcleos elipsoidais, sejarn - (31) - (4r) - Q+) - 12+¡ - 16+¡?.flrrt FTGURA l6-34. Os primciros estados cxc¡tados do t! Pl rr' , Ncslcs cstattos, esse núctco apÌcsßnla cxcitat'ø do tipo vibracional e rqta!.ional, 750 t'o I I I I>tot I .E 0.5t . 4t otÉtr¡l I L 0 F.L, ,ot".ion.is, vibracionais ou uma combinaçâ'o de ambos, têm energia de excitação muito .i þnot do que os estados do modelo de camadæ mais baixæ. Este fato pode ser constatado stravés da compara$o das fìguras 16'33 e 16'34 com a fìgura l6'32. Uma outra regularidade referente aos primeiros estados excitados é encontrad¿ comparan- doos em crrto, p.rr. de núcleos, para os guais as descriçõés do modelo de camadæ são idén- ii..r, ,*.",o que os nêqtrons e Pfótons são Permutados. Um exemplo desses chamados pares de øitrot npano é o I Hl , 2 He¡ cujas descrições do modelo de camadæ dos respectivos estados 'ñndamentais foram apresentadæïa figura t6.t+. Um outro exemplo é o 3U? e aBet' Em c;ral, dois nricleos formam um par espelho se eles contém o mesmo número de núcleos e se o iúmero de prótons de um deles é igual ao número de nêutrons do outro. Vimos que os pares ,ip.f,o, têm um papel importante na detehina$o experimental da constante de acoplamento ãäu¡r.n,o p. Essã importância se deve ao fato de que as forças nucleares sa--o ¡ndçp€ndentes da -wga, neo distinguindo os prótons dos néut¡ons, o que acarreta a identidade entre os estados iun'¿.*.nt.¡r desæs núcteos, exceto pelo efeito de pequenas diferenças existentes devido às forças coulombianæ relativamente fracæ se o valor de Z for baixo' Pela mesma r¿zão, os auto' ,lár.s ¿. æus estados fundamentais são quase idênticos, ou æja, æ energias ou as massas de seus estados fundamentais são aproximad¿rmente as mesmas. Älém disso, as autofunøes e os autovalores dos primeiros estados excitådos de um par espelho devem ser essencialmente os mesmos se as forçai nUcleares são independentes da carga' Deve haver então uma corresPon' dência estreita entre os spins, as paridades e as energias desæs estados nos dois membros do par espelho. Encontroutaser este realmente o c¡lso. Um exemplo é mostrado na fìgura ló'35' gu, ,irur.nt. os primeiros estados excitados do 3Li7 e do aBe?. Relações mais complicadas são encontradas entre os primeiros estadgs excitados de fr¡i¡des eSpelho, como o tBtt, o eçI2 e o tNtr, e mesmo entfe os integrantes de conjunto maiores de isóbaros (núcleos que possuem o mesmo valor de .4). Esas relaFes seralo discutidæ sumaf¡amente no capÍtuo se' guinte, numa seça:o int¡tulada lsospin' (slz-) - (s12'l- (712-) -ç12-r-(312't- ¡ Lit - (slz-, - (slz-), ¿ - 7tz-) Èoo f4 - (tl2-'t -ß12-) t Bet '! i¿:; S rrcunn 16.35. os primci¡os cstados excitados do par cspelho ¡ Lit e t Bc". A energia do estado fundamen- : ----"----'"ì ã;-.8."¡; ;;aüdade,cercade0.5 MeVacimadadoesladofundamentaldo¡Li' 'i¡; j-""i¿o ¡ .*tg'" dc repulsalo coulombiana extra que existe no 'Bet ' +' 16.9 FISSÃO E REATORES AfissãofoidescobertaporHahneStrassmanemlg3g.Usandotécnicasdequímica' encontraram que o bombar¿cio ¿e urânio por nêutrons produz elementos do meio da tabela periodica. percebeu-ç imcdiatamente que uma enorme guantidade de energia de ligação pode' 751 ria ser liberad a na lìssalo de ¡¡m núcleo de Z elewdo cin dols núclcos de Z intermediário, cfi conseqtiéncia da redução da cnergia coulombiana positiva. M¿dldes togo após mostreram quc uma energia da ordem de 200 MeV por fìssão era liberada nessË prooesso e que o ere em grandc parte sob a forma de energia cinética dos dois /ra3ørentos d¿ fßeV. Mostrou*e também expe. ¡lmentalmente que dbís ou trés néutrons €ram emitidos em cade fisão. F*sa propriedade suge. ria fortemente q* esr.s nêutrons poderiam induzir outros nticleos de urânio å fìsslfo,Serando aslm outros nêulrons que induziriam outras fissões, etc., num processo de reaçlÍo em cadek. Um cálculo trivial mostrava que sc todos os núcleos num bloco de urânio pudesem fissiona¡ numa reaçlfo ein cadeia, a energia tiberada seria - 106 ve¡es maior do que aquela obtida na queima de um bloco de carvfo ou na explosão de um bloco de dinamite de mesma massa. (Es. te é o fator l0ó usual, que æ obtém quando compalamos as energias nucleares com as eneryies atôm¡cas ou moleculares. Devido à escala de tempo extremâmente curtâ que caracteriza o's pro. ccssos nuclcares, poder.6e-ia esperar que a energia fosse liberada muito mais rapídamente do quc numa cxplosfo qutniica. As potcncialidadcs de tal fenômeno como uma arma eram óbvias, em particulai 6evi¿o â iminéncia da Segunda Guerra Mundial. Os eventos que se seguiram dominarn a hlstória desæ século;contudo, limitarnos€mos, aqui, às apllcaFes pacíficæ da fissão. Num re¿to¡ nuclear, a fìssf,o ocorre com uma tax¡¡ cuidadosamente controlada. Uma fonte contínu¡ de energia é, entâo, obtida a partir da en'ergia térmica produzida quando os fragmentos de lìsfo são detidos pelos materiais do reator. Depois de muitos anos de desen- volvimento tecnológico, os reatores nucleares torneram-se fontes de energia que são comp€ti- tivas, ccOnomicamente, com o carvfo ou com o óleo. Eles também sâo fontes importantcs de isótOpOs instáveis, que não sfo encontrados normalmente nâ natureza, e que sfo usados como traçadores no diagnóstico de operações de uma variedade de proæssos de interesse medicinal, biológico, químico ou de engenharia, ou ainda empregado em terapia por radiação. Os isótopos sâo pioduzidos em reações nuclcares induzidas pelo fluxo intenso dc nêutrens prescntcs no reatof. A fisslto ocorre nos núcleos de Z elevado porque a energia dc repulsão coulombiana en. tre os prótons de um núcleo é consideravelmenle ¡eduzida quando o núcleo se dividc ent dois outros núcteos menoÍes. A energia de superfície nuclear aumenla nesse processo, mas sua dcnlribuiçâo é muito menor do que a energia coulombiana e, conseqt¡entemente, o aumento da energia de superfície nâo altera o fato de ser mais favorável a um núcleo de Z elevado fisio' nar. A energia coulombiana é mínimizada se o núcleo se divide em dois fragmentos contendo o mesmo número de prótons; entretanto, essa divisão nlfo é em geral completamente simétri' ca, devido à preferéncia pelos números mágicos. No exemplo l5ó, usamos os valores experi' menteis da energia de ligação para mostrar que a energia associada à fissão do e2UtiE é pró' xima de 200 MeV, Este valor é, aliás, bastante típico da energia de fìssâo para outros isótopos do urânio. oÇffi?3?1 FIGURA tó.36. Uma icpresentaçaio esqucmática dâs ctaÍtas cnvolvidas no proccsso da fissã-o nuclca¡. As etapas envolvidæ na fissão sâ'o indicadas, esquematicamente, pelo conjunto de desr' 752 ne ligurâ 16-36, Pode+e ve¡ neles o parâmetro s que caracteriza a evoluçâo da fìsão 'fiûøvés da distância (embora inicialmenle imprecisa) que separa os fiagrnentos de lìsão. A ,t' 6gura 16-37 é um desenho esquemático de lr(s), que representa a parte da encrgia do sistema que é função de s. Podemos compreender que, pata pequenos aumentos no %loldes,há ume uriaçfo relativamente pcquena da energia de repulsã'o coulombiana, mas e área superfìcial do núcleo aumenta rapidamente. De acordo com o modelo da gota líquida, o aumento da área da superfície produz um aumento de energia superficial. Assim, para pequenos ralores de s, ¡z(s) aumenta à medida que r aumenta. À rædida que s continua â aumentar, um efeito de ten. sâo superficial produzido pela energia superficial obriga o núcleo a apresenter uma forma em que duas regiões bem defìnidas são interligadas por um lìno estreitamento. Nesta situãçf,o, o núcleo eventualmente se separa por completo. Após essa divisão, a enetgia superfìcial nâoémaisfunçãodese/(s)passaadecresceråmedídaqueraumenta,seguindoodecrés. cimo da energía de repulsâo coulombiana dos dois fragmentos. Como lz(s) inicialmente aumenta e em seguida decresce, deve necessariamente apresentar um máximo, Uma araliaçllo baseada no modelo da gota líquida mostra que, para um núcleo típico de Z elevado, este máximoé cerca de 6 MeV maior que lz(0). Vimos antcriormentc que t(0) é da ordem de 200 MeV acima de lz(æ). Concluímos que os núcleos sâo normalmente estáveis com relaçllo à fìssão, pofque se enconlram, quando têm energia total f = lz(0), no fundo de uma depressão do potencial lz(s).  fissdo pode processar-se por intermédio dc penetração em barreira mas, devido å depcndên- cia exponcncial da massa no cãlculo de penetrabilidade de barreira (6-55), a piobabilidade de haver uma Íal penetração é muito p€quena quando sâo grandes as massas. Se o e2U238 decafs- sc apcnüs por esse processo defissoit esponlônea,sua vida-médía seria -lÖr6 anos. / f cnrîo I - 200 McV su pcrficia I Repuluï cou lonr hia na i: ; Unr processo muito mais importante é a fissão induzi¿la, quc ocorre habitualmente com o núcleo por ocasião da caplura dc um néutron de baixa energia. Como a energia de lígação En ''.do últirno ntÂutron em um núcleo <lc Z elevatlo d da ordem de ó McV, nos casos favoráveis o '.ñúcleo logo após a captura possui suficienle cnergia para transpor o pico da barreira de lìssfio. i Muito freqiicntcmente essa energia dc excilaçâ-o ó utilizada em vibraçõcs coletirras, graças às ¡quais o núcleo se lorna sufìcienlemcrrte alongado c se fissiona. Esse processo assemelha.se ao '' dc um núclco composto altamente cxcitado, no qual a maior parte de sua energia de excita..Fo se cncontra na forma de vibraÇões violentas. À fissfo induzida é, lalvez o melhor exemplo de movimcntos coletivos que o modclo da gota líquida implica, formando aliás a base domo- delo coletivo. O processo é indicado em termos dc um diagranta de energia na figura 16.38. Como vimos ¡o exemplo l5-7, a cnergia de ligaçfo É, dc nôutron para o e2 tJz3s , liberada por ^ ló.37. Unr dir¡rrnrr dt'cnergLr para um núclco fissionávcl. i¡; li ,.¡:; ú¡ 'f#Ì ,iÀ .li?, 'åid. ,$j ''}Í,')iirlcun -,k. ,'i;' I I ; ú H 753 f':r F; ( \ ,.î^ tI' t I \ i\ \ \. t' a ,a" iÉ. J ) å -Þ h<t/ ì "{t -\ "iy .\ \ ',\ h fÈ/ ,h \ ì\ r'l ,ì I :\ .\ Cl¡, (i) i\ t\ -[:t" rfà v'y .3 \ : ( t. F¡GIJR.A, 1638. Um diagnrna de energia ilust¡8ndo s fissa-o induzida' ocâsião da captgra de um n€utron,é c*tca de 6J MeV e' dessa r¡tane¡ra' a fisão Pode ocq¡¡gf ¡¡¡esmo s€ o nêutron capturado possui u¡na energia cinética desprezível. Tal fato tambémé vá' lido para o ez U233 . Eniretanto, quando o e2 U23E caPtur¿ u¡¡ néutron, aPenas 5 MeV de ener. $a de ligaÉ'o são liberadqs e ass¡¡n o nêutron precisa ter cerca de I MeV de energia cinética !ar" pt*ocr a fissão nese núcleo. A diferença entre os comPortamentos desses isótopos pro. vém õa diferença da energia de emparelhamento, como foi explicado at¡avés do exemplo l5'7. ^ .E N Ê f¡¡ f+ FTGURA 16.39. Um¡ barrei¡a de fisâo com duas co¡cov¡s. A hipStesc dc quc o núck¡o ante¡ dc fission¡¡*e é esférico no sou estado fundamental simplifiø-u cnormemente noss¿ discussão sob¡e fissÂo. N¡ ¡eatid¡dc. úmos na scçalo 16€ quc os núcleos de u¡6¡lo ¡fo elipsoidais noc seus êstados fundamentais - o que significa que mesmo sntes de recebes qualquer cncrglr do ' cxcitaçat.o núcleoJC é um pouco slongado. lsün, por ocasia-o da captu¡¿ de um nêutron, ele recebe cc¡ø do I 6 MeV de energia, torna,¡c rnais alongado, l¡anspõ€ o pico da barreira de fissalo e fissio¡u'se' Recentemente, têm*e scumulôdo cvidênciss que indicam que r barreira de fissà'o ¡/(s), most¡8ds n¡l f[uras 16.3? e l6-38, t¿mbem é, provavclrnente, muito sirnplificada e que possui na. ¡e¡l¡dade un¡8 cuP¡¡ corcov¡ mai¡ ou mênor como iniiä¿o na frgura 16-39. No seu eslado fundamental, o núcleo ro cncoo' ús muito próximo do fundo da dcprcssio mais profunda com Um alongamento de est¡do fund¡mcnl¡l .l scndo poir c¡tÁvcl, Êxc€to por um proocsso a¡tamente improvóvel de lenetraçío dc bar¡ct¡a' C{lo¡lOr base¿do¡ no modelo coletivo, iriã ¿, nur" combinaçifo ¡lo modclo da gota líquida com o modelo do c¡' madas. prevêem ¡ existêncis de uma segunda dcpresâo mcnos profunda' em t/(s), corcspondendo r t¡lt¡ .ìã,ts"'rr"t ¡. ma¡o¡ que s'. Com "rJ no"o alorigånìcnto, o núcleo continuari sendo est¡ível. cxcoto P.. ls psnct¡aç¡fo de bð¡roifa, ¡e nâo tivcr nenhum¡ encrgia dc cxcitação' Uma predig¡lo des¡¿¡ cdldol, ' Um¡ tripla corcora foi sugerida muito ri!çcntcmcnte para o Thzt¡. (N. do TJ ' 754 755 é gue deveria scr possível coloc¿¡ um núcleo fission'ávcl num estade com alongamento s", no qual permane- oeria por muito tcmpo. Aþumas experiências com fissalo espontâne¡ fornecem fortes indicat'es de que isso é w¡dade, O fato desses cálculos se¡em os mesmos que aqueles que predizem o número mágico Z = tl4, ¡nencionado no final da seçalo l6-2, contribuiu signifìcativamente pata que os físicos examinasæm as predi- ções a respeito de Z = ll4 com bastante æ¡iedade. No que diz respeito à fisão induzida, c presença de uma åepressa'o mais rasa em f(s) r¡a:o ¡nt¡oduz proravelinentc Srandes alteraÉes' A possibilidade de usar a fissão para produzjr energia nunr¡l reação em cadeia baseia-se no fato de que dois ou três nêutrcnE úo emitidos em cada processo de fuúo . Uma idéia de como isso acontece pode s€r obtid¡ através da fìgura 1640. Nela são rePresentados os valores de Z e ¡V dos núcleos ma¡s estáveis para cada valor de / (como na fìgura I 5'l I ), constituindo a cha- rnada curva de estabilidade. O cÍrculo preto maior indica a posição do núcleo fisionáræl e os dois círculos menores indicam os fragmentos de fissão. Btes fragmentos não são, em geral, si¡nét¡icos, possu¡ndo um deles a preferência pelos vâlores Z = 5O e N =S2,presumivelmente Wr razöes energéticö, Entretanto, Os dois fragnentos Possuem aproximadamente a mesma ruão ZIN que a do núcleo que lhes deu origem. Como seus valores de .4 são muito menores, vê.5e gue as respect¡vas nzões ZfN sâ'o menores que aquelas correspondentes aos núcleos está- veis com esses mesmos valores de /. Assim, relativamente, os fragmentos de fisão tendem a ter neutrons demais. A maior pafte da subseqüente readaPtaç¿Ío dos fragmentos de fìssão ocorre lentamente através de uma suæssão de decaimentos P, sendo que Parte dese reajuste se ope' ra no instante mesmo da fissã'o. Parte do decaimento do núcleo comPosto que se fissiona ocor- re através da evaporação de dois ou trés nêutrons que possuem vários MeV de energia cinética. A fìgura I ó41 fornece mais informa@es sobre a assimetria dos fragmentos de fiss5o. indicanrlo a distribuição de seus valores de ¡{. 0 1020304050 lo0tl0t20l30l40l50 FIGURA 1640, Lstc di¡grama ilusua a tendência que os fragmentos de lis!€:o tûm dc possu¡tem um núme¡o exccssivo dc nêutrons. 100 90 80 60 ?0 80 90 N=(A-Z) Um outro processo também fesponsável pela Produçã'o de nêutrons, embora Com u¡na probabilidade pequena (cerca de l% da probabilidade de eû¡issão imediata de nêutrons através da evaporaçâo dg'núcleo composto excitado) mas de grande importância Por facilitar o contro' le de um räator, é o de emisúo de nêutrcn| com atraso. como exenrplo, considerafemos o pr¡meiros instantes, o æguinte conjunto de proæssos tcria ocorrido 9¡r a t¡¡r 1e *î t+ tHl .+onl *? r¡¡t 4ort + tgl +ont +7 e+a+7+l' 1+e+ê passando a have¡ um equilíbrlo, a tempcratures muito altæ, entre nêutrons, prótons,€létrons, pósltrons, antinoutrinos e radiação 7. A radiaçfo, "esfriada" pÖr sucessivos deslocamentos Doppler na subseqäente expansão do sistema, teria constituído a radiaçf,o de corpo negro iso- trópico de 3K ctija detecçâo reccnte fornece alguma evidéncia experimental sobre a validade da teoria do bìgbang(veia e seção 1.5). l{a distribuição de equilíbrio de alta densidade que eistiu por um pequeno intewalo de tempo antes que o sistema se exPend¡sse, o hélio teria sido formado pelas reações Cálcutos detalhados, envolvendo seSes de choque referentes a todas as reações desses dois con' juntos, mostrem que uma quantidade sufìciente de hélio podería ter sido formada para explicar a abundância de cerca de l0% observada atualmente no espaço interstelar, Os demais 90% de matéria estariam, de acordo com o que é obserrrado, esencialmente sob a forma de hidrogénio, pois a maioria dos prótons teria sido formada pclo decaimento p dos nêutrons que se encon- travam no espaço liwe após a explosfo inicial. De acordo com o nossô entendimento atual, a prirneira etâpa na formação de uma estre' la a partir do material gasoso extreñ,Emente rarefeito do espaço. ¡nterstelar envolve alguma es' pécie de flutuaçCo na densidade. sobre uma grande regiã'o. Néssa flutuaçfo em que há um aumento de densidade, o gás se concentra formando uñ eglomerado, Se ele for suficiente' mente grende, uma estabilizaFo é obtida devido å atração gravitacíonel entre os átoÍlos nele contido e um processo de crucimento é iniciado através da atraçlio de outros átomos. À me' dída que o aglomerado aumenta, a intensidade crescente das atrações gravitacionais Provocå um aumento da pressão interna com a conseqúente elevação da teñPerature interna. Quando e tempefatufa na região central do aglomerado ultrapassa - lQs K, os átomos de hidrogénio desa região æ ionizam completamente formando um plæma de prótons e etétrons' E quando a temperatura ultrapassa - l0? K, o movimento térmico dos prótons é tal que têmenergia ci' nética suficiente para penetrar, embora com uma probabilidade reduzida, na barreira coulom' biana repulsiva que tende a afastC-tos. (Os lO% de hélio presentes nâo participam nessa etaþa, devido â temperatura muito baixa para uma p,enetreçâo na barreira coulombiana mais alta qur envolve esses núcleos.) nssim, ãois prótons iodem iundir'se formando um dêuteron, segundo a rea$o tHt +onr - rH2 *7 r ¡¡z .u r¡12 * lrH.r + ont {tH3 +tHt 2Hel+onl+ IH!+lHr tH3+tH2* 21¡.44onr 760 t¡¡t 4 t¡1t -rH2 +3+v+ol2MeV onde 012 MeV é a enetgia libeÌada no processo. Como estè processo ¡mplica ,¿rro nume penc. tfaçâo de barreira quanlo ñe intefsÉo dec¡imcnto p, fraca, ele ocorrp numr texa cxtfrma. ¡nentc baixe, A necesidade de .decaimenlo f provém do fato dc que as forças nuclcercs náo sto capazes de manter ligado o sistema 2lle2 1o dipróton) por razôes que serfo explicadas no próximo capítulo. Embora a taxa de formaçlfo do déuteron seja extremamente baixa, a exis- têncía de uma grande quantidade deles provoca a formação de grandes concentrações de hélio através de processos qæ têm uma taxa relaiivamentc alta graças å presença de interaçoes nu- cleares fortes. O hélio é formado nas estrelas num ciclo de rea@es chamado ciclo próton-pröfoa, que cónsiste das duas reações precedentes, seguidas por duas das reações rH2 + rHr *2Her +7+ 5þ9MeV e por uma reação nã qual os dois núcleos 2He3 formados se unem da maneira seguinte 'lle3 + zHe! *2lle4 + t¡¡r 4 t¡¡t + l2,86Mev Levando enr consideraçlÍo os I Ol MeV liberados cada vez que um dos dois pósitrons se aniquila ao encontrar um elétron, a energia total liberada num ciclo é 26,72 MeV. Contudo, unl pouco mais de l% dessa energia é liberado da estrela pelos dois neutrinos. O restante, mais a contrã- çã'o gravitacional, continua a aquecer o interior da estrela. Quando a densidar,lc de hélio (incluindo o hélio inicialr¡ænle presente) na região cen- tral do aglomerado que se transformou em estrela se torna sulìcientemente alta, o carbono pode ser formado. O que ocorre é que dois núcleos de 2He4 se combinam para formar o o Be8. Esse núcleo pode, entâo. combinar+e com um oulro 2He4. para formar o óCr2, à condiçfo de que cssa segund:r reação ocorra logo após a printeira. lsto porque o oBes não é estável, decaindo de votta em dois 2Heo em cerca de l0-rs s,a menos que haja captura de umte¡- ceiro 2f leo. A taxa dessa reaçai quc paruce improv:Ível seria essencialmente zrro, se não fos. se a existência de um estado excitado do "Cr2 a unra energia de 7,ó5 MeV. Quando a temPe- ratura é da ordcm de 108 K. existe uma ¡essonância nessa reação fazendo com que a seçâo de choque aumente substancialrnentc, uma vcz que as energias cinéticas dos três núcleos de 2He4 envolvidos. mais o valo¡ de Q, sã-o iguais à energia do estado excitado do 6Cr2. Processos simplcs envolvendo a adiçalo sucessiva de núcteons ao 2Heo nlio intervêm na formaçfo de ele- mentos com zl maiores que 4, porque tais processos são impedidos pela complela instabilidade de núcleos com I = 5. Quando uma quantidade suficicnte de c¿rbono tiver sido formada no núcleo de esttela, a principal fontc de produçeo de cnergia passa a ser o ciclo do carbono, no qual o ca¡bono tem unr papel de catalisador (ou seja, reaparecc no final do ciclo) para ajudar a fusäo de quatro lHt em um 2 lleo e diversos pósitrons, neulrinos e raios 7. O ciclo do carbono consists no se' guinte conjunto de reaço-es 6Cr2 + I Ht + ?Nr3 + f + 1,94 MeV ?Nr3 +6cr3 + erv* l,2oMev óCrr + rHr + ?Nr4 +7+ 7,55 MeV ?Nra + rHr +8Or5 +7+7,29MeY Eots + ?Nrs + ë * v * 1,73 Mev TNts + rllr +óCt2 +2lie4 +4,96MeV (. \ \ i t t \: \ \ (' L ¡l { l. \, I t{"- (. ) } å å ,1 \ ì -.J 't .i.J \ .3 ),i ì I à À. lt .i l ¡ ¡:.-. \.. - \ Contando a energia liberada com a aniquilação dos dois pósitrons, a energia total tiberada e¡¡ um ciclo é 26,72 MeV, exatafi¡ente a rrÉsû¡a que em um c¡clo próton-próton. No ciclo do cu. bono, um pouco mais de 5% {a energta é perdida pela estrela através da emisfo dos doi¡ neutrinos formados em decaimento É de energia mais alta. A taxa ægundo a qual o ciclo do carbono ocor¡e é muito maíor do que a taxa referente ao ciclo próton-próton; a razão disso é qæ nenhuma etapa do ciclo do ca¡bono é tão lenta quanto I primeira etapa do ciclo pró. ton-préton, O sol, no $eu desenvoly¡mento, einda não atingiu s etaFa na qual o ciclo dq ca¡. bono é o processo mais importurte na produçfo de energia, embora eústa uma PequÊna pa¡. cela dese cido se processando. Em uma estrela com unra nussa aproximadamente maior do qræ duas massas solares, a contração gravitacional é muito rápida e a temperatura na regi& c€nt¡al atir¡ge rapidamente o valor - lOE K neces¿frio para a formação do c¿¡bono e Provoca¡ o aparecirncnto de seu ciclo, À ¡rrdida que a concentraçy'o do núcleo dæ estrelæ aumenta, sua temperatura iguåI. rEnte au¡r¡ent8 e clerpntos nuis pesados do que o ca¡bono começam a se¡ formados. Irúcíal. nænte,isoserealizaatravésdecapturassucessivasde2He4 peloóClz,formandoocOló,em seguida o ¡0Ne2o e após o trMg2a, Quando a temperatura at¡nge finalmente loe K,eses nú. cleos posræm energia térmica sufìciente para trar¡spor su'c ba¡reiræ coulombianas, formando diretarænte núcleos de A pu até o 2óFe5ó. Os núcleos com valores deA ímgat comparáveis a esæs podem ser formados guando núcleos de,{ par sã'o forçados por turbulências a sair do núcleo da est¡ela para as partes extemas nais friæ onde o ciclo próton-próton ainda s€ praces- sa. Nessa zona ma¡s externa podem ocorrer reaÉes do tipo r0¡r:oalHl+¡lNa2l +7 ¡lNa2l+loNe2l+ã+y Algwrs desæs núcleos de/ ímpar podem entllo participar de reações produtoras de.nêutrons, Um exemplo de u¡na dessas reafes é toNe2l + 2Het * lzMg2a + or¡l Os elenrentos mais pesados do que o ferro não podern ser fo¡mados por fusão, porque têm r¡lo¡es de z{ superiores s A = 60 para o qual a energia de ligação por núcleon Passa Por u¡n máximo: aci¡na do valo¡,{ = ó0, a repulsão coulombiana entre os prótons torna-se tão grar¡d€ quc scspturadeumnúcleopor umoutro não é mais favo¡ecid¿ energeticamente. Entretanto,ela é cerBmente favorecida no c¡rso da captura de um nêutron pof um núcleo, urn¡¡ vez que esse processo libe¡c = 6 MeV corespondente à energia de ligação do nêutron, Os núcleos até oE3¡¡2oe são formados por urna sucessâ'o de capturas de néutronse decaimento ß,apartitdo zE¡.tó. Os nêut¡ons são proyen¡entes de reações, como a mencionada no exernplo acima, c o decaimento p ocone quurdo for nccesá¡io reajustar para um valor estdvel a razÍo ZIA deum núcleo. As abundânciæ dos núcleos formados através de um¿ suc€ssfo de capturas de nêutron sifo inve¡sanpnte proporcionais às respectivæ seções de choqræ média da captura de nêutrons; esta módia deve se¡ feita sobre a distribuição térmica de energia dos nêutrons existente nessas altísimas tcmperaturas. Observe que, s€ um núcleo tem uma grande seção de choque de caPtura de nëutrof¡, é grande a probabilidade de gue capture um nêutron e se converta em um outro núcleo. A abur¡dância dos elementos no s¡$tcn¡a solu pode ser inferida furdamentalnBnte a partir da composis'o do sol obærvada næ medídas dos espectros atômicos e, também, a partif da produçÍo de ¡aios cós¡nicos interceptados na Tera. Outros dados sfo igualmente obtidos em riteteor¡lo$, como também a partir da composição da própria Te¡¡a. A cu¡va de aburdâ¡rci¡ 762 'fli do ferro até o bismuto foi apreæntada na figura l5-1. Essa curva é muito puecida com o inve¡- so da cr¡rva de æ$o de droque de captr¡ra de nêut¡ons, Em média, a æção de ctroque aumenra i*" 1a r sbpr¡d.ância deøasce), à medida quc o \¡alor do ¿{ do núcleo aumenta, simplesnrnte porqw',' 9 ¡úcleo s€ torna c:;dÃvez ¡naio¡. Existem, entretanto, alguru desvios pronunciados desa mé- dia devido a efeitos de subcamadæ completas sobre 8s afinidades dos nêut¡ons e sob¡e as 4ergas de ligação, a¡i quâis, por sua,vez, modifìcam as seções de choque de captura de nêu- ffor¡s. O elemento rnais pesado qræ pode ser formado pelo proceso de captura de nêut¡ons - aqui discutido - é o bismuto. A rczlo disso é qræ, quando o a3 g¡zoe captura um nêutron, ele så tfaf¡sfomia no E3 3¡2 t 0 c, em segu¡ds, por decairnento c, se transforma no e t '¡'¡20e - o qual tern r¡Íta meia-vida de apegas cinco dias. Esse decainBnto é tão rápido græ ocoûe antes que haja tempo para que o c3Bi3¡0 captr¡re uûr outro nêutron pertencente ao fluxo mode¡ado de ¡êutrons nor¡n¡l¡oente ex¡st€ote nusu estrela. Quando algumas estrelæ começan a atingir o finel de stus údas, após terem esgotado quase completamente sr¡as reservas de hidrogênio, o "calor nuclear" qræ é gerado na su.¡¡ re. giÍo cæntral nÍo é sufÌciente para evitar um colapso gravitacional extremamente rápido. Essas est¡elas então explodem em algruu ægundos com ur¡ra tremenda violëncia, produjndo um er¡orme fluxo de nêutrons. O exemplo mais espetacula¡ de uma dessæ wpørovas, já docu. æntådo pela história, é dado por uma estrela vista brilha¡ com ta¡ intensidade em 1054 D. C. qræ foi possírtl obærrá-la por r¡sr ctuto período em pleno dia, Os ¡e-síduos desa estrela for- rum hoje a cl¡a¡rudanebr¡losa do Carurgæjo. Acrediþ-se qræ os elementos mais pesados do que o.bismuto sejan forordos a partû dlo E3Bi20e por cåpturas sr¡cesivas de n€ut¡ons provenien- les do intenso fh¡co dc r¡êutro¡¡s criado numa supernova, Nesæ carc, o proæsso é tão rápido que o decaimenlo o 6o t33¡tt0 é Íneleva¡rte. A disctssão que acabamos de apresentar sobre a história da vida de uma estrela pressu- põe qtæ sua composig,ão original seja uuricamente uma m¡stua de 90% de hidrogênio mais l0% de hélio. Existe¡n vários exemplos dessas est¡elas de 'þrimeira gera$o". Também há muitos exemglos de estrelæ de *segunda" ou "terçeira geraç5o", æ gruis se supõem forma- das parcialmento por resíduoc de supemovas - o sol é um exemplo. Nesæ estrelæ os elemen' . tos pesados estarão prescntes c, na realidade, devem ser razoavelmente aburidantes,, mesmoj ar¡tes qræ æja atingida I €tapa em qu o ciclo do c¿rbono constitru a fonte principal de ener' i ea. 763 1 l. ( QUESTÕES Dê uma explicaç.lio qualitativa sobre como uma partícula d Pode penetfar em uma ba¡rei' ra coulombiana. Qual seria o efeilo sobre as vidas-médias de decaimento a' e, conseqüentemente, sobre as abundâncias terrestfes, dos elementos compreendidos enlre A = 200 e I = 260, se não existissem os números mágicos, Ou seja, se as energias de decaimento c da fìgura l6't seguissem o comportamenrá geral predito pela fórmula de massa semi+mpírica? Exisle uma séria radioativa 4n * 4'! Quais seriam os locais propícios para a procufa de lraços do elemento superpesado Z = ll0,A = 294 prcvisto teoricarnente? Construa uma figura iluslrando um caso no qual existam três núcleos estáveis por rlecai' mento P com o mesmo valor de '4 Par' Ëxplique por que a emissÍIo rlc uma partícula. com as propriedades postuladas por Parrli. elirnirra as dilìculdldes rclativas iro monlenlo angular no decai¡nento p. Ii cont relação ¡ìr dificultllrdcs lclarlvas ilo rll()rncnl() linear'l De que nraneira os neutrinos e antineutrinos se diferenciam dos fótons, se para todos eles a crrga e a massâ de repouso sa-o nulas' como vocé cxplica o fato de serem os elétrons cmitidos pelos núcleos por ocasião do de' cti¡nento É, sc através do exemplo 6.6 mostramos que nfo existem elétrons no n(rcleo? Na experiência de Wu, qual é a direçâo do campo magnético aplicado para alinhar os nú' clcos se o fenômeno é observado (a) direlamente; (b) através dc uma reflcxão num espe' lho? E o que se pode diz¡¡ sobre o sentido do fluxo de corrente no en¡olamento do elc' troímã que produz esse camPo? considere, na experiência de wu, a observaçâo através de umespelho.hofizontal situa' do embaixo do núcleo, ao invés de um espelho verticat situado ao lado do núcleo. Ex' plique como ôs argumenros no texro poderiam ser modifìcados, mas, modificados dc tal maneira. que conduzam às mesmas conclusões. .As moléculas de açúcar têm uma helicidade bem definida. Qual é a origem dessa proprie' dade? Considere os momentos monopolares, dipolares e quadrupolares elétricos e maBnéticos de um nrlcleo. Encontrou-se ,igu.. u.r, para cada um deles, um valor constante nfo nulo? E com um valor oscilante? Explique por que alguns de¡ses casos podem nâ'o ocof' rer e corno os núcleons se comportam nos casos em que ocorrem' 3. 4. t0. I l. t2. 24. 76s 1:, 13. 14. r6. 17. 18. 20. A radiaçøo dipolar cldtrica é emitida çom ume configuraçfo espacial quc lhe é caracte. rística (veja o Asndice B). Este fato lhe sugerc umâ tdcnlca expcrlmental visando r de. terminação do tipo de radiação emitida durante um decaimenro 7? euais seriam as difì. culdatles no uso dessa técnic¿? Nos decaimentos ? corr.espondentes a transi$es ent.re estados êxcitados, cujas energias de exçitação são da ordem ou inferior a I MeV, e o estado fundamental, as radÍaç6es dipolares elétricas são raramente observadas. Use o modelo de camadæ para explicar esse frto. Prediga, com base no modelo de camadas, as regiões da tabela periódica nas quais os primeiros estados excitados dos núcleos possuem vidas-médias particularmente longas com relação ao decaimento 7. Suponha que uma medida de desdobramento híperfino fomeça o resultado de que o spin do estado fundamental de um núcleo seja i = 312. Nesse caso, quais os valores possf- veis de I da súbcamada ocupada pelo núcleo responsável pelo spin? Que outra infor- mação especificaria qual desses valores é o valor real? O que se poderia medir para obter essa informação? Explique exatâmente por que o potencial do modelo ótico, experimentado por um nú. cleon incidente de 50 MeV de energia ao interagir com um núcleo, é diferentc do poten. cial do modelo de camadas sentido por um dos núcleons do próprio núcleo. Como vooê imagina que seja o potencial do modelo ólico para um núcleon incidente com 5 MeV de energia? Por que é mais fácil para um núcleon incidente penetrar em um núcleo do que um dos núcleons do núcleo escapar após a primeira colisão do núcleon incidente? Quais são as diferenças entre um estado de partícula independente e um estado de muitas partículas? Como eles æ relacionam? E em relação aos estados de decaimento 7? Se o núcleo composto lozn64 se esquece dos detalhes de sua formaçáo, ele nfo deveria saber se foi formado atraræs do bombardeio de prótons sobre o ?eCu63 ou de partícutas a sobre o zr¡¡eo, supondo que os mesmos eslados de muitas partículas tenham sido exci- tados. Imagine umaexperiência paià testar essa prediçalo. Especifìque a diferença, se houver, entre uma dcformação elipsoidal permanente em um núcleo, tal como ela é vista no estado fundamental e nos primeiros estados ex.citados de muitos núcleons com Z par, lÍ par, e um momento quadrupolar elétrico nuclear. Por que é ¡azoável esfæraf que a distribuição espacial de prótons em um núcleo é apro. ximadamente a mesma que a distribuiçáo espacial de nêutrons? Os reatorcs nucleares sãO partiCularmente convenientes para a produçfo de energie em submarinos. Dê razões quejustifìquem esa conveniência' Vocc é capaz de imaginar, ainda que grosseiramenle, uma confìguraçãt rle campos magné- ticos que pudesse confinar os núcleos num reatòr de fusão térmica? ,,1 ,.f\ T ll'. I ( t I i. 3 "9 3 *? 3 3 1 'a 'a n "sl "1 -,\ ') \ para o decaimento P do l.l ttt t . t¡¡z I tsprt + r4sj2e + 2He4 t ¡¡z .r tr5¡er r tc5¡30 1 I ¡¡t tH2 + las¡3o + r4si3r + lHl 0 = 8,158 MeV 0 = 8,388 MeV Q= 4,364MeY 23. 24. 22. .Consídere uma autofunção onda Progrcssiva unidi¡nensional ú(x)= ëk' onde *=,/zm(tZhtn Suponha que o potencial V æja complexo, podendo ær escrito sob a forma V = Vp + íVr, (a) Mostre que /< æ torna complexo, podendo æ escrever,t = ka * íh. (b) Mostre entto que a amplitude da onda progressiva é unu fiurção exponencial decrescente de ¡. Auto. fiurções como esta sã'o usadæ na descrição da absorç5o de partículas que atravessamo po. tencial do modelo ötico complexo. (c) A que distância a densidade de probabilidade asso. ciada decrescerá de um lalor lle? A seção de choque total de fìssão do e2U23s relativa a nêutrons incidentes de I MeVé aproxir¡tadamente igual a I bn. & um desses nêutrons atfavessa uma lâmina uniforme de eru235 e de mæsa por unidade de área igual a t0"¡ kg/m2, qual é a probabilidade de que produza uma fissão? Qu¿ndo um feixe de l0- E A constituÍdo por prótons de 17 MeV incide sobre uma folha alvo de 2eCuó3 de nussa por uidado de área igual a lO-2 kg/m2, observa-s- que, num detectof de l0-5 m2 de área, distante I m do alvo e situado a 30" em relação ao feixe incidente, são detectados 240 prótons espalhados elasticamente por minuto. Dete¡mine o valor da seção de choque diferencial. Há uma resonância na seção de choque para néutronsincidentessobre e2U23s paraa qual se determinou o seguinte conjunto de parâmetros Breit'Wigner: E¡= 0,29 eV; f = 0,140 eV; F¿ = 0905 eV. (a) Mostre que I = ln * l' e então determine Fr. (b) Calcule a æção de choque total de reação, o.(E), no pico da ressonância. Resultados experimen' tais most¡am que cerca de 75% de or(E¡) correspondem à fìssõo. (c) Calcule a vida'média do núcleo composto formado nessa ¡essonância, As energias e os spins dos quatro primeiros estados excitados do ?2 Hf¡ 80 são : 0,093 MeV' i = 2; 0,309 MeV, í = 4; O,641 MeV, t' = ó; 1,085 MeV, i = 8. (a) Qual é o acordo entre æ razões dessas energias e as prediço'es de (16-33)? Use esta equação pa¡a esti¡nar o m0' rpnto de iné¡cia do núcleo. (a) Use (15-16) Gom @ = 0 para calcular a energia perdida por um neutron de fisão de I MeV ao ser espalhado elast¡camente, sob um ângulo típico de 90o, por um núcleo de óCrt "sado como moderador em um reator nuclear. (b) Qual será a perda de eneryiz nu¡n espalhamento a 90", quando sru energia tiver sido reduzjda a 0001 MeV? (c) Em média, qual deve æ¡ sua energia sc se encontrar em equilíbrio térmico a urna temPeratu' ra operacional de 500K? (d) Estime o núme¡o de espalhamentos necessário prralßzet o néutron até o equilíbrio térmico. 25. 26. a1 770 771 28 Compare a energia liberada, por guilograma de combrstível consumido, na reação de fusã'o térmica indicada em (16-34) com aqræla obtida com a fisão do e2 U23s . P articulas E lementares nwnonuçÃo 77s forças nucleônicas como uma interface cntre a física nuclear e a física de partículas; son' dando a microestrutura da matdria FORçAS NUCLEÔNICAS 776 revisão das informaçöes consideradas antcriormente; o estado fundamental do dêuteron e a assimetria do potencial; a dependéncia com o spin; a independência de carga;o espa' lhamento com troca de carga e o potencial de Serber;o caroço repulsivo; o termo spin-ór' bi ta ; descriçâ'o apro xi mada da intera gâ'o núcleon'núcleon : : :\ /'' \ I ISOSPIN 790 sistemas de dois nrlcleons conelacionados pelo isospin;isospín de um único núcleon;ní' veis anátogos isobáricos; conservação do isospin na interação núcleon-núcleon PIONS 793 campos de pions; o processo de troca como origem da interação núcleon-núcleon;o argu- menio do princípio de incerteza para a massa do pion; o potencial de Yukawa e a equaçáo de Klein-Gordon; a determinação de números quânticos de spin, paridade e isospin; o nú- mero bariônico; decaimento; muons e neutrinos muônicos; interações fracas e fortes MUONS æ2 léptons; dcterminaçõcs dc números quânticos; a consèrvação do número leptônico; bóson intermediário I ,/.\ /r\ _r'\ /\l I ,r'"\ I\| r^ïlI ..iil \ ,:H ^H( j-,fi '. ¡iÌlt 773 ) ) J ì d I ,È ì I ,^.:1 .i¡ \ \ ì å \ I \;;lr à \d, , ',fl r.$ À \.,;,, 'í',) o: -,.,).,1 \;J *þ .à\.t Àl1 ì. f:- i 174 AESTRENHEZA 8O4 produçlfo de í e Â; dete¡mina$es de nún¡eros quiînticos; isospin de antipartículas;¡ conservaçlo rlo número bäriônico; decaimento K e Â; mudança de isospin na interaEo fraqa; introTuçáo da estranheza; estra¡rheza das antipartículas;a conservação da est¡a¡ùe. za na ¡ntefaFo forte e mudança na interaç5o fraca;as paftículas Ð, E e O;regras de con. servaçfo para o isospin e a estranheza na ¡nteraçáo eletrornagnética; os mésons 4. 17.7 INTERAçÕES FUNDA¡'GNTAIS E LEIS DE CONSERVAçÃO 810 resumo das intensidades, propriedades quãnticas de campo, alcances e sinais das intera. çqes fundamentais; discusslÍo da interação graútacional; resumo das quantidadcs cÆnserva. das em várias interações; conjugação de carga e reversã'o temporal na experiéncia de Wu¡ o teorerna CPT; o decai¡rento do sistema Ko , Ko e a rerærsão temporal; leis de consen¡¿. ç5o e propriedades de simetria 17€ FAMILIASDEPARTÍCULASELEMENTARES 8I5 resu¡no dæ propriedades dæ partículas; híperons; hadrÍons; resonâncias bariônicas e nresônicas; prediSes sobre as reagões entre partículæ decor¡entes das leis de conservafo 17.9 HIPERCARGAEQUARI$ 818 introduçá'o da hipercarga; su(3); propriedade dos quarks; mésons e bárions em termos de quarks; problemas com o modelo dos quarlc; Partons QUESToES 822 PROBLEM.AS 825 774 ,! lest A lista, desde então, jí aumentou e ac¡editate na existência de æis quarks' (N' do T') P artículas Elementares l7.r INTRODUçÃO Este capítulo se inicia com uma discusão qrølitatira, |¡ias bastante completa' sobre as forças nucleares gue agem entre dois núcleons. o assunto situa-se na frontei¡a entfe os caln' þ, Au fiti.. nuclear e-da físic¿ de partículæ elementares e a sua análise constitui um mcio na' iural de abordar o estudo de todæ æ partículas elementa¡es. Ao longo de noso estudo, obte' remos também uma visã'o global das propriedades b¿isic¿s, asim como dæ inter'relações, das in' tsrações fundamentais e dæ leis de consenação da natureza' A história da físic¿ guântica pode ser vista como uma seqüência de sondagens, cada vez ¿'bm uma resolução maio¡, da natufeza microscópica da matéria' A primeira etapa foi a des' iÏ '*Urrt. de que a matéria é composta de ærca de 90 átomos diferentes. Nessa ocasião, os átö' },*' "1- cón¡iaer¡a3¡ 1*o.s'1ao æ.n{iculas:!T:1i:''^!9-t':T"Íi:i::::'"Îå::i:g,i J*i¡.. indivisível.) Descobriuee ¿epois que os átomos eram constitu¡dos de núcleos e Htät¿tånr. Em seguida encontrou* que ôs núcleos eram constituídos de nêutrons e prótons' fi.o 6,¿g¡o, tr-avia uma situâÉo bastante satisfatória - toda a matéria apuecia como sendo túorport. ãe váriæ combina@es de um pequeno núme¡o de pa¡¡ lculæ elementa¡es: o néutron, tó ;;-d;. o .uuon. Contudo, descobriu+c em seguida qræ existiam os mésons ¡r. Esta des' 'ö¡Ûerta foi suc¿dida pela descoberta de vá¡ios outros mésons conelatos e de um grande nú. h; dr Attr.ulæ relcion¿¿as com os próprios prótons e nêutrons. Atulmente, o número A; ildü ;rcr.nt"r., tàrnou*e no\¿mente tão grande que é razoável especular se podem å, æ¡ tmpostas de váriæ combinapes de um pequeno conjrurto de partíc¡læ ain^da mais ele- 14,-i*-r.,-i ^^-^ .^ ^o"^ dnc írnmos Para fìnaliz^r o caoítulo e o liwo, faremos umai *"i;; -;;; o;;" no c¡¡so dos áto s. r li a p !i rüscrssao sobre o que pode ser o começo da última etapa dessa seqüência-: o postulado de que i exist. u¡¡ .on¡*to de três partículæ, ihamadæ quarks, que seriam verdadci¡amente elementa' de cspalhamento nêutron.próton também fcproduz os ralôrcs da æçâo dc droqræ dc lharnento próton.próton. Isto rião signifìca que ß sG$cs dc choqrr scJarn æ mesmt. No pdhâmento próton.próton, o potencid coulombiano, que cdstc além do potencial núcleon, afeta o espalhamento €m ângulos pequ.nos e o princfpio de exclusfo també¡n o cspalhamcnto pois provoca a supress¿Ío de certos €stados quÁntlcos. O espalhamento de um núclcon de baixa cnergia por um outro núcleon n¿fo fomccr informações sobre a forma do potcncial nricleon-núcleon, Obscn¡¡do cm um sistcna de ¡ç: fe¡€ncia no qual o centro de messa do sistcma é cstacionário, o espalhamento é indcpcndcnh do ângulo, ou seja, é tsotróplco. Asim, a æçfo dc choquc diferendrl de cspalhamento do/de, que é proporciond å probabilidade de cspalhamento aos diferentet ångulos, é a mesma pa¡ todos os ângulos ncssc sistema de refer€ncia. A scçfo de choque difercncial fornecc entfo aprc. nas uma informaçlo expcrimcntal que é o valor mcdido dedoldfu. Bta quantidade medida¡c. ¡á usada pera determiner apenas o valo¡ de uma única quantidade teórica que é a intensidarlo do potencial (qtc ê V6t'7 pera um potencial tipo poço quadrado).A tæão pla qual o espallu. mento é isotrópico nesse sistcma de referência, chamado referencial do centro de massa, é qu, em energiæ baixas, o comprimento de onda tr de de Brogtie associado ao espalhamcnto é muito maio¡ do qræ o raio / do potencial associado ås forçæ que produrem o espalhamento. Sc À >> ,t, eîtão a separaçfo angular entre dois mfnimos adjaccntes da fìgfua de difraçfo no espalhamento é, segundo (154), e = l/' )) I . Como o intery¿lo angular de cspalhagrcnto é ePenas Í, essa desigualdade traduz cssencialmentc a ausêncla dc mlnlmos. Em out¡as pdauæ, o potencial aparece para a onda incidentc como scndo um ponto c, tssim, o cspalhrmcnto !ó pode ær isotrópico. Sc a energia do núcleon espalhado for cntretanto sufìcicntementc eltâ pers que À seja menor do que ,/, entlfo 0 =1,/r'( l. Nessæ circunstilncias, a fìgura de difraçfo tc. rá estrutura e doldll coriterá informa$es sobre a forma do potenc¡al que provoca o espalha. mento. Dessa maneira, apenes ruicleons de alta enetgia têm pder de resoluçño wficíentepøa serem sondas elîcíentes no estudo das fonrus do potencial nuclæn-núcleor Mostra¡emos no cxemplo l7-2 que se o raio do potencial é considerado como sendo igual a 2F, podemos cs. P€rar que a æçllo de chogue diferencial de cspalhamento dofdî deixe de ser isotróplca quan. do a energia cinética do nrlcleon incidente for superior a - 40 MeV. As prímeiræ experiéncias de espalhamento n€utron-próton de ¡lta cnergia foram efetua. das com nêutrons incidentes possuindo cnergia cinétice de 90 McV. Esperavarc que umr tal cxperiência pudesse fornecer informações sobre a dependênda radial do potencial nucleônlco, Ílâs, como vcremos, ela na realidade nos cnsina sobre um aspcsto diferente da forma dcste potencial. Espcravate também que a seç.¿fo de choquc diferenciel do espalhamento do/d0, ti'u. se uma forma parecida com uma fìgura dc difraçlto, na qual do/dQ eumentasse à medida qw ol ângulos de cspalhamento fossem diminuindo. A, ¡azão pela qual se cspcreva esa preferénch pelos ângulos dianteiros é indic¿da na figura 174. Se a profundídade do potencial núcleon. Angulo de espelhemento Momenrorinar :' å:i:råî Momento inicial FIGURA lT4.llustraçâo mostrândo por que o ânguto de espathamento deve ser pequeno se um núclæné . espalhâdo por um potcncial ayaz de transférir ao núcleon rpênas um momento æjo nó' dulo é pequeno em comparaçalo corn o momento inlciâ1. Estã é a situaçir'o quc se csperarh cn@ntrar no caso da cnergia cinética do núcleon ser muito maior do que a profundidedc do potencial. 780 lz(r) é sensivelmente menor do que a energia cinética do nêut¡on.incidentc, o mo. 'm¿nto linear máximo que o potencial pode transferi¡ ao n€utron tem um môdulo que é sen. hltnent. menor do que o módulo de seu monæ¡to linear inlcial. Nessas circunstâncias, uma I I I I q¡ande variaçeo na direçâo ito momento linear do nëutron nllo seria possíræ1. A fìgura l7-5 iostra a dofdî detennnada experimentalmente para um espalhamento nêutron-próton a öô UrV. Fstes resultadosr como de hábito, sfo apresentados no refercncial do cent¡o de massa. ^Dsrt1 superior da fìgura l7{ ilustra que, no referencial do centro de massa, o argumento ,rirpntr¿o conduz à previsfo de uma preferëncia pelos ângulos diânteiros. Entretanto as me. did., rortr.r que doldl para o espalhameilo nêufion'próton é aproxítrudamente símêtrì- ú em reldçdo ao ângulo de espallamento de 90" , Verifìcou¡e pois uma preferência acenttrada para gfandes ângulos de espalhamento. 0,00101- ã' 0,1 =.o P o,os o o€ E oor oÀ ¡-0003 < Þ iI, ¿li Ii ? !. FIGUR l7.5.Valo¡es expe¡imentais da seçalo de choque dife¡encial doldn de Gspalhâmcnto de néutrons por prótonì. A cnergia dos nêut¡ons incidentcs é de 90 MeV. Os dados râ:o oblidos em um ¡eferencialnoqualoalvodepótonsseencontfavaemlepoulo.Ele¡foramemsegulda tfansposros p.r, u'n out¡o refcrcncial no qual o centfo de m¡ssa do silema é estacionário. ^ quantidade 0n¡y é o ânguto de espalhamenlo do nôut¡on nestc silcms' A parte inferior da fìgura t7{ representa a interpretação física sobre a orlgemda prefe' rência constatada pelo espalhamento em grandes ângulos. Nd metade dos casos aproximada' meile o nêutron se transforma num próton e o próton em um nêutron, quando os dois n(¡' cleons se aproximam sufìCientemente. Embora o momento transferido em cada espalhamento se¡a pequeno, quando a troce ocone eta tem por efcito produzir um grande ângulo de espalha- mdnio. -Numa ieçeo posterior, vcfemos que tanto um nôutron podc se transfo¡mar num pró' ton, através da emissãO de um méson carregado eletricamente, como um próton pode se trans' formar em um nêutron através da absorção desse mesmo méson' Uma interpretação mais formal dãs resultados obtidos nas experiências de espalhamento nêutron-próton é que o potencial nricleon-núcleon I/ que produz o espalhamento tem uma foima que pode ser escritaaproximadamente por Vb\ + VO\P V = -:-:--'--':-2 (r7-l) 781 0". cu í"\ \ ,) ) ) ) ) ) J .r-/ 'ï ) ) ì .) ì\ -.;,' ì I \ ¡ I :,J ¡ìl t\ '.-éJ rì \ at \¡p i¡ i\ F¡GURA l7ó.Parte vpeilor: Espalhamento nêutron-próton visro no referencial do cent¡o de massa. Se æ energias cinéticas dos núcleons saìo grandes em comparaçaìo com a profundidade do poço de potencial, os monentos t¡ansferidos sa:o pequenos, o quc inrplica que os ângulos de espalhamento do próton e do nêutron tambdm o æjzm, Porte inferbr: tdem, para um cs. palhamento no qual durante a inte¡a@ o nêut¡on tenhe se t¡ansfo¡mado em próton e viæ. versa. Embora os momentos t¡ansfc¡idos ainda sejam pequenos, a operaça:o de t¡oc¿ faz con que os ångulos de espalhamento sejam grandcs, onde P é vm operador de troca que transforma um próton em um néutron e um nêutron num próton e onde V(r) é o potencial núcleon-núcleon ordinário já discutido anteriormente. Opo' tencial núcleon-núcleon I/ assim constituÍdo participa de expressões ligadas à seção de choque de espalhamento através do elemento de matriz Úi vÚ¡ onde úi é a autofunção que dcscreve o sistema néutron-próton inicial (antes do espalhamento)e úfé o complexo conjugado da autofunção correspondente ao sistema nêutron-próton fìnal (após o espalhamento). Assim, é intercssante considerar a quântidade i ,i ,ì v(r) 2 1\ I,l /'i .' ,¡ _).' \. ,ì ,',=\rc#fr,= a qual pode ser reescrita sob a forma v(r) Vþ,=¿þt+,1 VO\ lt,+ --:Ptr,2' vbli r*, (t7.2) \.,.: .ft onde o número quântico / foi wado para indexar o momento angular orbital do sistenra inicial. Conro uma trocí¡ entre o nôutron c o próton dc ¡nasas iguais é equivalente a urtu troc¿ tle si' nais das coordenadas que cspccilìcaln suas posiç<lcs rclûtivas a utna origcm s¡tuada no cent¡<¡ do massa do sistema, a opcraçã'o dc troc¡r é cquivalcrrtc, ncssas circunstâncias particulares. à op' 782 iY øclo paÄdade. Conæqüentemente, a retação habitual (847) entre o número quântíco rnoræn- ':i 1o'srgular orbital e puidade é aplicável, o qtre resulta P{t= (-\tþ, tsto é, a paridade de uma autofunfo ú¡ de um potencial esfericamente simétrico é positiva æ i'ïo, p r,'" é negatirra æ I for ímpar. Asirn, o operador paridade (ou operador de troca) man' Lr r .utof*çAo inalterada na segunda Pafcela do segundo membro de (17'2)' se I for par, e produz uma ¡nversão de sinal desa paræla æ I for ímpar' Temos ehtão qw ,,¡,, = f, v, +| w r = Wü v<,1v, Deste resultado podemos ver gue o potencial núcleon-núclcon pode ær escrito aproximada' rnente, æm o uso do operadOr de troca, nuÍla forma denominada potencial de Se¡ber v =\Ðvç'¡ (t7.3) Observe qw V = 0 æ I for ímpar. Concluímos que o potencÍal núcleon'núcleondependefor' lemente do momento angulat otbítal dos dois núcleons que ínteragem, Eendo este medido no reÍerencial do cen¡o de ¡nsssø. O potencial é aproxítrudamente nulo quardo o twmero qwântico do momento angubr orbital I tem um valor lmpar' (Veremos Posteriormentc que V = 0 para um valor ímpar de , somente se for efetruda uma média de seu efeito sobre todos os estados quiânticos correspondentes a esæ valor de /, como é o cæo da maíoria das situa{es.) ,'¿ :.; IL ,4 it-,.1, ) FIGI;R.A, l7.7,Dois núcleons, cada qual com um momento lineå¡ do módulo p, c¡uzando'se a u¡n¡ distán' . c t t/ . cada um dos núcleons possui um momçnto sngula¡ orbital d. .99"1o pt/ 12 em rclz' ça:o ao centro iltassa do sistema' O módulo do mõmento aryula¡ orbitat do sisteme fo¡- mado por esses dois ¡ítcløns é L = P¡" Umargumentocláss¡co,ilutradopelafiguralT.Tnoreferencialdocentrodemassa' ''mostra gue existe um¿ expressão pÍ¡ra o tnaiof,valor possível do momento urgulu orbital'L , de um sistema de dois núcleons de momento linear p qræ interagem' t *!:::* é L = pt/ ' onde r, é a sepafação rnáXim¿ segu¡ldo a qual os do¡s núcleons podem interagir e que é igual ao alcançe da força nucleônica ou igual ao raio do potencial núcleon'nrlcleon' como L rela' ciona.se com o n{¡mero quântico I através da expressão ¡ = t/T(TT)h' torna'se fácil araliar' ö;; ffi;d"t ¡è i, o ,alor ¡náximo possível l'.* do número quântico em fun$o dos momentos lineares ou das energias cinéticæ dos dois núcleons' 783 EXEMPLO I7.I Dols núcleons intcragem com uma força nuclcônlcr cujo alcancc é / = 2OF' num clado cm q¡. númcro quântico do momcnto angular possui o æu maior ralor possfwl. Sccslcralorélr"r= l,qu¡lú0r,Ê rer a cnergb clndtica dc cada núcleon no refserrcial do ccnlro dc mar¡a? Qurl a energh cinétlcs tot¡ln!$Ê mesmo sistema? Dctc¡mine a encrgb cinética do núclcon incidcnte (cm um feixe) no ¡eferencial do tório. ou scja, num sistema dc refe¡ência no qual o outro núcleon se encontre inicialmente em sepous (em um a¡vo). Na expresäo lntrcduzindo o ralo¡ l= l** = l, tcmos Pol outro ledo ou seJa ¿=¡T(Tjs z, =7ìlïîT¡r'=.,Ær, L=pl t ,/î¡ P=-=- l' ,/ Entfo r cnc4la cinética de cada núcleon no refetenchl do centlo de massa (CM) é p' 2hr K =- =-2M 2Mr'1 (1,05 x l0-r J's)¡ = 1,6 x l0-r¡ J 1,7 x1011 kg x (2,0 x l0-rr m)' = l0 McV A energia cinética total nesse ¡cfetenci¡l é simplesmente (rot"t CM = 2( = 20 MeV N¿lo cx¡stc dificuldade em molfe¡ quc, numa colisa-o, se os dois núcleons possuem a mesfna me3e, r ene4i¡ cinética do que se mover com feleÉ'o a um rcferencial no qusl o outro núcleon se cncontrâ iniclål' mente em repousor é o dobro da energia cinética tolal em rclaçalo ro rcferenchl do centro de massa. Asim, a energia do núcleon incidente é Kincidente = 2Ktotal cM = 4o M"v Ê,XEMPLO l7-2 Mostfequeacondiça.ol."x=0éequiralenteàcondiça.oo=l\þ.Þl'aqualimplicaqueaseça:o de choque diferencial de espalhamento doldll *ia isot¡ópica. De acordo com o cílculo efctuado no ixernplo l?-1, notamosquc 3caenerglacinéticaKdcc¡da núcleon no referencial do centro de massa é infc¡ior a - l0 MeV, enlaT câdâ um delcs terá um momcntop tel que rt¡hp<_=:_ ¡' J2m', 784 785 seja oodemos então consid€¡ar que h_ > r[_2" ptt Usândo a relaçalo de de Broghe PaIa estimar o comprimento de onda À dos núcleons a pefik dC scüS mO' mentos P, obtemos À_ -> ^/2¡ À ->>l De ecofdo com (154), a scparaçaio ent¡e dois mfni¡nos adjacentes na figura de esPelhamento é 0 = \I/, o que nos Permite escrever u =lrr, r' Como foi mencionâdo há aþumas páginas atrás, esa dcsigualdade significa que nlfo ex¡stem mínimos,ou seja' fr; ; "ç"-" de choque ¿U*nlúl ¿Ë "çalhamento iloltlç. é isotrópica. Vimos no exempto l?'l quc f = 10 üeV é a'conai6o jara rer 1."* = ¡ lsupondo que o alcance da força nucleônic¡ sda r'=2F).Assim.para tr < l0 Mev apenas poaität tet lr"* = 0' Mostramos dessa fo¡m¿ que lt", = 0 é equit¡¿lcnte a 0 ='\l¡' )) l. concluímos no exemplo l?-l que, quando a cnefgi¿ de cada núcteon é l0 MeV no ¡cferenchl do cent¡o de masså, â encr8ia cinética do núcleon incidcnte no ¡eferencial do laboratótio é 40 MeV' Podcmos eäa-o tamUém concluirlue devemos csper¡ú que dolda * afale de uma disrribuição ¡sotrópicá somcnte q"rìl.l .i"rer, cinótica ¡o núctcon inciàcnrc for iguat ou superio¡ a ce¡ca de 40 Mev. a o .o o € o c a It c þ \. FIGUR l7-g. valo¡es expcrimentais da seça;o de choqu e dilercncizl do ldo pata o cspalhamento próton'pró' ton.0sistemade¡cfcrðnciaconsidcfadoéorefe¡cncialdocentfodemassa.Acnagbdos prótons incidentes ó de 330 McV' ocl*'t i-'\ f\ fl\ { i;* ír' ', f\ ¡') -\ i f"-- \ .l ,-) .\ /"') f ") ) ) I 'I ji .gÐ c l¡l ) -) ) J s I ì :r \ 1a-ì À d, h sé, .h .|..'| com , ímpar, os resultados obtidos reproduzem razoavelmente todas as propriedades do dêute. ron (com exceç5o dos dados dòexperiências sensíveis à polarizaçato dos núcleons). 0 F¡GUR.A 17.13, A depcndúncir radial dc unì potcnc¡ûl núclcon-núclcon rclativo a utn estado dc I triplcte. A forma aci¡na do potcncial está ern ¡azo¡ivel aco¡do con¡ a expcriôncia. Saio tambémapre. scntarlos o autovalor c a quantidade tÂ(¡) ¡cl¿tivos à autofunçalo do único elado lþado des- se potcncial, o qual v: cncontra localizado a -2,22 McV, Estc cstador quc corresponde ao dóutcron, d lracamer¡tc ligadoi ol¡scrvc ta¡¡lbdm quc ¡ll(¡) aprcscnta um nr:íxilno que por pouco nfo sc cncontra fora da regialo atrativa (con¡parc com a figura I 7-10). O quadrado dc rR(rl ó rzR'(tlR(/) que rcprcv:nla a dcnsidadc dc probabilidadc radhl corrcspondcntcÀ probabilidade dc sc cncontrar os dois núcleons no déutcron com uma scparaçaìo próxima dc f. A fìgura l7-13 apresenta ainda o autovalor e a dependencia radial da autofunção relativa ao ún¡co estado l¡gado do potencial triplete, isto é, do déuteron. Obærve que a regiâo atrativa é ligeiramente super¡or ao mÍni¡no necessário para superar o efeito do caroço repulsivo e obter a ligaçdo dos núcleons. Em conseqüôncia, existe uma apreciável probabilidade de que os doh núcleons no dêuteron lenham uma separaçã'o n¡å¡or do que o alc:ü¡cc das forças nucleônicas. Naturalmente, os verdadciros potenciais núcleon-núcleon não podem ter uma dependên. cia radial tão abrupta qu¿ùrto os potenc¡ais simplificados ilustrados nas fìguras l7-12 e l7-13. Numa æção poster¡or veremos que a teoria mesônica fonlece previsões sobre o comporla- ¡nento desses potenciais para raios rclativamcnte grandes, mostrando gue os limites da região atrativa sâ'o difusos. l7-3 lsosPIN A figura l7-14 ¡nostra esqucmaticarrrentc os níveis mais baixos para os tre-s sistemas pos' siveis com dois núcleons: o dinêutron or2; o dóutcron rH2 e o dipróton 2tlc3. O prirìcípio de excltsão perrnite apenâs ao dêutero¡r possuir unt estado tripletc, indexado s = I , e, devido ao fato dos forças nuclcônicas sercrn dcpendcntes do spin, apents csle cstado possui utn nÍvc¡ 790 de energia sulìcientemente baixo para que æja ligado. Entretanto todos os três sistemas Pos' suem um nÍvel de energia corfespondente a um estado s¡nglete quase ligado e que é indexado s = 0, Devido ao fato das forças nucleônicæ serem independentes da carga, o nível s = 0 se encontra à mesma energia em todos os três sister¡as, exceto p€lo pequeno efeito da energia de repulsão coulomb¡ana ex¡stente apenas no dipróton. A simetria qu€ é aparente nesse conjunto de diagramas de níveis de energia, e que será ainda mais aparente nos outros conjuntos que consideramos poste¡iormente, pode ser descrita de uma maneira bastante conveniente através do conceito do isosPÍnT. ottt ¡ Hz ¡=0,I=l s=1,1=0 FtGLJR l7-l4.Diagrama comparativo dos níveis de energia mais baixos dos três sistemas possíve¡s f( .ma- dos por dois núcleons, Como æu nome indic¡r, o isospin tem propriedade nu¡temática que são similares àguelæ do spin e que nos já s¿o familia¡es. Entretanto não existe uma relação fÍsica di¡eta entre ambos. O isospin é r¡sado para ¡dent¡fìcar estados quânticos ou níveis de energia que se corresPondem em conjunto de isobaroü isto é, em conjr¡ntos de sistemas nucleares que possuemo mesmo núû¡ero / de núcleons. Para o conjunto apresentado na fìgura 17-14,o nível mais baixo é dito pertencer a um estado singlete de isospin, especifìcado Por 2F= 0, enquanto que os trésníve¡s relacionados correspondem a um triplete de isospin esPec¡fìcådo por T = l. A palawa triplete ú apropriada não apenas porque existem trés níveis que se correspondem,mas também porqw associado a f existe uma componente, chamada Tz,gt;r- podeassumirtrêsvalores (Tz=-L,0, +l) quando T= L Acomponente I, é usada para identifìcar umnívelParticulardeummulti' ptete de isospin, especificarido a relaçÍo entre o número z de prótons e o número /V de nêutrons do isóba¡o ao qual o níyel pertence. Essa relação é ¡ He¡ - ¿ llll ll z-NT=-'2 (174) Nafignra l?-l4,ost¡êsníveisI= I sãoindexados porTz=Q-2)12=-lpa¡aodinêutron, T, = (l - t)/2 =0 para odêuteron eTr=(2- O)12= *l para o dipróton. Para o nfvel s¡nglete de isospin I = 0, existe apenås urru¡ poss¡bil¡dade para o valor de 1" que éTr=g e que corres' ponde ao déuteron. Em geral, a relação entre o valor de I e os possíve¡s valores de T, é daòa por Tz= -T, -T + 1, ",,+T - l,+T (1 ?-s ) Observe que essa relaÉo matemática é análoga àquela entre o número quântico que descreve quålquer vetor morænto angular, incluindo o vetor spin, e os possíveis valores do número quán- ttco que desçreve Su¡¡ componente z. Deve ær ressaltada, entretanto, que o isospin ruþ é um vctor ctn alg,urn espaço físico posuindo urna componentç ao longo de um eixo de coordenada 791 H I I desse espaço. Ao contrário, o isospin é uma construção matemática existente em algum espaçs i"äà",'" q". nfo impede que ele æja extrerflåmente htil pæa a descriçfo dæ propriedades de simet¡ia de sistemas que contêm o mesmo nrlmero de núcleons.Ëssæpropriedades resultam da maneira simétrica com que o princípio de exclusão trata núcleons idénticos de ambos os tipos, como também da maneira simétrica com que a força nucleônica independente da carga atua ¡obre todos os nrlcteons' Um sistema contendo um í¡nico nrlcleon possui I= ll2,com dois posfveis r¿lores de T,Tr=-ll2eTr=+ll2.Segundo Q7a)a prinreirapossibilidadedescreræonêutron,pois (Z - N)12= (0 - iyz - -llz,enquento que a segunda descreve o próton, pois (Z - N)12= (l - o)12 = *l12. Assim, o isospin nos permite falar do nêutfon e do próton como sendo duæ mønifestações ¡eferentes å mesma partícula, o ruicleon T = l12. A primeira manifestação, cha- mada nêutron, corresponde aTr= -ll2 e aoutra,chamadapróton,corresponde aTr=*l12- Esta maneira de nos expressarmos é análoga àquela que usamos parâ dizer que um próton com spin 'þara cima" é e manifestaøo'm¡ = *ll2 do próton s = l/2, enquânto que o próton com spin "para baixo" é a nianifestaçtro ms= -ll2 desa partfcula' Desse ponto de vista, as propriedades de troca de coordenadas em mecáni€ quântica Podem sef expressas de uma maneira bætante geral e que é a æguinte: æ a função de onda total do sistema é um produto de uma função de onda espacial por umâ funçâo de onda de spin e por uma funçlio de onda de isospin, a simetrie de cada uma delas deve ser tal que, pela troce de coordenadas de duas partf' cutæ quaisquer, a função de onda total æja mantida anti+imétrica, pois núcleons são férmions. Como aplicação dessa propriedade, consideremos os níveis do sistema de dois núcleons indicados na fìgura 17.14, Como todos eles possuem f = 0, os estados correspondentes têm auto- funpes espaciais simétricas. Conæqüentemente, pala cada um deles a autofunção de spin si- métrica precisa ser æsociada a uma autofunt''o de isospin anti-simétrica, ou vice-versa. Para o spin e para o isospin, devido às suas propriedades matemáticas análogas, um estado singlete é descrito at¡avés de autofunção anti-simétrica e um estado triplete é descrito Por uma autofun' ção simétrica. Asim, os nlveís de spin singlete (s = 0) devem conesponder a isospin triplete (1 = l)e, inversamente, os nfveis de spin triptete (r= l) devem ter isospin singlete(I=0).4 inspcçro da referida fìgrra demonstrará que ese é realmente o caso' A utílidede do isospin na ldentifìcação de estados quânticos correlatos em conjuntos de sistemas contendo um grende nrlmero de núcleons é mostrada na fìgura 17'15. Ali estão repre' æntados esquematicamente alguns dos primeiros estados excitados do conjunto de isóbaros tBtt, 6ctt, ?¡t4, tgl4 e eFr4. Os entÍo denominados níveisdndlogos isóbaros de um parti cular multiplete de isospin são indexados por T e T, como antes. Exceto por um pequeno au' mento sistemático de suæ energias em função de I'' aumento esse devido âo aumento da ener' gta de reputsâo coulombiana å medi<ta que'Z aumenta, todos os níveis análogos isóbaros tém a mesma energia. A explicação dese fato i qu. tt autofunções totais desses sistemas sío todæ au' ttifunções id=enticas (se desprezarmos os efãitos coulombíanos) de uma equação de Schroedinger para as mesmas forças nuclá$nicæ, æ quais nã'o dependem de ?n" poissão independentes da cuga' Contudo, as forças nucleônicas dependem de 1, pois sllo dependentes do spin. Havíamos consi' derado anteriormente ess€ fato como sendo uma dependéncia como spín;entendemos agora que os rÇquisitos de troca de coordenadas mostram que há também uma dependéncia com o isospin, A natureza da dependência com o isospin é tal que o estado de menor I corresponde ao menor nível de energia possível do conjunto desses sistemas. As fìguras 17-15 e 17-14 ilustram tal comportamento. A afirmaçÍo de que as energias resuttantes da intefação nrlcleon'núcteon ná'o dependem de 1, mas sim ãe I é consistente com a afìrma$o de que o isospin I é conservado em pfoces' Sos q:ue.envolvem essa interação. Para melhor. compreender esse fato, comparemos a afìrmação ae que O momento angular iotd "f ¿ conservado em Proc€ssos que envolvem uma interaçfo 792 ..- T=2 .F' 6Ct. ?Nr. tOt. tFrl FIGURA. t7-15. Os primeíros nl'veis de energia dos ióba¡osl = 14. Obnewc que as ¡rosições dos nfrrcls de energia correspondentes aos estados fundamentais æ localizam sobfe ume parábola, tal como foi discutido em conexa-o com o decaimento P. I(r) esfericamente simétrica com a afìrmação de que as ener$as resuttantes dessa intera¡5o nfo {ependem de sua componente J mæ apenas de seu módr¡lo /, A concluslto, porém, de qw o isospin é conservado na interação nrlcleon¡ficleon é de uma generalidado maior do que a conclusâ'o baseada nas experiências sobre a independência de carga, de que a interaçâo núcleon' núcleon depende de ]n mas nfo de 1r. Dessa forma, tomam-se necessáriâs outræ verifìcações experimentais adicionais, Veremos que a física de partículas fomeæ muitasevidëncias sobre o assunto. Dentro do contexto da fisica nuclear, algumas evidéncias podem ser apresentadas como, por exemplo, através da rea$o t ¡¡z 4 agte + ?Nl4 + 2He4 Em todas as situåFes experimentais, o nrlcleo incidente lH2 e o núcleo alvo E6l6 tn' contram-se nos respectivos estados fundamentais. Se a energia cinética do nrlcleo incidente nâo é muito alta, o núcleo emitido 2Hea precisa esta¡ também no seu estado fundamental, porque seu primeiro estado excitado possui uma energia da ordem de 20 MeV' Todos estes Lês ìúcleos tê f, Tz = 0 em todos os seus estados e, quando se encontram nos sèrts estados fundamentais, eles iem o menor valor de I compatível comT'., o que, nesse caso' coresPon' de a I = 0. O mesmo é verdade para o estadoiundamental ão núcleo residual ?Nla. Entre' tanto, como podemos constatar n. fìgrm l?-15, o primeiro estado excitado do ?Nla possui I = l. No que diz respeito à conservaçã-o de energia, do momento angular ou da paridade, a reação pode produzir o ?Nra seja no seu estado fundamental, seia no seu primeiro estsdo excitadó. A rærificação experimørtal através dessa reação de que o ?Nr4 não é produzido no seu primeiro estado excitado fomece uma forte evidência em favor da conclusão de que t interação núcleon-núcleon conserva o isoryín T. t74 PTONS Nas æções anteriores, âpresentamos uma descrifo das propriedades das forps nucleô' nicas que são obscrvadas experimentalmente. Embora uma análise teórica tenha sidoemprega' da nessa descrição, ela foi essencialmente usada para correlacionar as observa$es experimen- T=l T=0 T=0 I=l 1=0 tBt. d I I ¡- dlcr++ lltl[il ¡Sd'r}¡J 793 f I T I !- : c h¿ J J Þr À w E .A ù -rit \ I \.;/ .è.\,./ -\ (: ,â lâr à 4 \.-"¡, tais e não pala explicar suas origens básicas. Existe, contudo, urna teoria que obteve sucesso ao explicar como certas propricdades das forças nuclcônicas Provém de proPriedades mais fundamentais da natureza. Trat¡+e da lcoria nßsôrúca. que sc originou com o trabalho de Yukawa,em 1935. Yukawa propôs que u¡n núcleon freqüentenrcnte enitisse uma Partícula possuindo umâ apfeciável massa de repouso e que é agora chanuda d,e núson Í oúpion. Antes de ser reab. sorv¡da pelo núclcon, essa partícula orbita próx¡lno ao núcleon no chamado campo mesônico lt dufantc um intefvald de tcnrpo muito cufto. Durante csse Pfocesso, o núcleon cons€fva su¡l massa de repouso oríginat, o quc constitu¡ uma violaç5o da lei de consetvaçá'o da massa+nergia, pois há mais massa de rePouso presente do que antes da emissão do pion ou dePois de sua ab- sorção. o pr¡ncípio de incærtezz tempo+nergia mostra, no entanto, gue essa violação pode sef possível, càm a condição de que ocorra em um lapso de tempo suficientemente curto. Natu' ialmente, o r¡éson r não pode libertar-se permanentemente do núcleon, Porque a lei de conser- vação massa€nerg¡a seria assim permarrentemente violada. Se dois núcleons estão entret¡nto suñcientemente próx¡mos pafa que seus camPos mesônicos se suPefPonham, é possÍvel que um méson rr p¿¡sse de um campo a outro sem que permanentemente haia uma variação da energia total do sistema de dois núcleons. Tal interação entre esses campos é ilustrada esquernatica' mente pela figura l?.1ó. Na interação, o momento transportado pelo méson z é transferido de um campo a outro e, conscqüentemente, de um núcleon a outro. Mas se há trarsferência de mo' mento, ô efeito é o ntesmo que o Provocado Pof uma força agindo entre os núcleons' Assim, de acordo com Yukawa, L troca de um pion entre os dois núcleos dá origem à força nuclcônica que atua entre eles, (Havíamos chegado a uma idéia similar quando discutimos, na seção l4'1, a respeito da troca de um fônon cntre dois elétrons dc um par de Cooper') FIGURA t?-16, Unu ilustraça-o esqucrnática da trocå de um méson r entre os cåmpos dos dois núclcons em ¡nteraç.îo. Ao îat*;. essa sugestão, Yukawa foi guiado por duas analogias que dispunha naquele tenr' po. Uma delæ é a ligaçå'o covalente existente na molécula de H¡ e em diversas molécu¡as or8â' nicas (veja discussão na seção l2-3). Neste processo, uma força é criada a partir da repartição - ou trocå - de um elétron entre dois átomos. Uma outra analogia ainda mais próxiÍia relacio' na{e corn I foÍça coulombiana qræ atua €ntre duas partículæ carregadås. Segrurdo a teoria bæturte bem suc¿dida da eletrodinâmica quárìt¡ca (nrcncionada na seção 8-7), um campo de fótons ci¡cunda cada carga e a força coulombiana resulta da troca de fótons entre os campos' A eletrodinâmica quántica mostra que o longo alcancc da força coulombiana é uma con' seqüência do fato de que os fótons têm massa de fePouso nula. Yukawa adaptou a teoria ao c¿so de dois núcleons que interagem através de uma força nucleônica de curto alcance,îüßî' do a hipótese de que a partÍcula trocada tenha urna nrassa de repouso nño nula. Qua¡¡do fez essa sugestão, os p¡ons ainda não tinham sido detectados, mas Yukawa, fazendo u¡n cdlculo ?94 Ant€s sirnila¡ ao do exemplo abaixo, pôde est¡rnar ur¡a massa de repouso para essas partículæ que fosse compatível com o alcance observado. EXEMPLO I7.3 Use a conærvaçaT da energia, lerando em consideraçã-o as modilìcaçõcs devidas ao princípio de ince¡- ¡sz¿ energia-tempo, pa¡a gstabelecer uma relaçaio entrc o alcance ,/ da força nucleónica c a m¡ssa de repourc m, do méson r, cujo comporlamento é rcsponrível pela origcm dcssa força, Us€ então essa relação para cs- timar o valor de mo, supondo / = 2 F,. O alcance dã força nucleônica é da ordem do raio ¡' do camPo mesônico r que circunda um núcleon, já que os dois núclcons expefim€ntam essa força somcnte quåndo seus camPos mesônicos se superpõem. para avaltat o ¡aio do campo. consíderemos um processo no gual um núcleon emile um méson de massa de repouso rn' o qual se afasta até fo¡a dos limites do campo e entâo rctofna ao núcleon,onde é abso¡vido. Nese processo, o méson r pefcorre uma distáncia da ordem de r'. Enquanto isso acontece, há uma viol¡- çat da cons€rvaçalo da massaenergia: antes c depo¡s do processo, a energia total do sistema é þual à energia da massa de repouso de um núcleon e ru-o poderia ser l¿mbém þual À energia da massa de repouso de um núcleon mais, pelo menos. a de um méson r, durante o prooesso. O princípio dc inceftez¿ tempo+ncrgia mostfa entrelanto que ur¡ul violação da çonsef ça:o de energia por uma quânt¡¡l8de a,E _ m{1 é posível dcsde que ela ná'o persista por um intervalo dc tempo maior do que ôt, onde AgAt - h lsso porquc uma tal violaçå;o não poderia ser detectada, uma vez que a energia nalo pode ser medida é.-. um tem- po A¡ e ter uma precisalo superior a A.8, Como ¿ vclocidade do pion naio pode ser superior a c, o tempo ncccss¿í¡io para que cle percorra uma distância de o¡dem de r' é, pelo menos Combinando cstas tlês ¡elåções temos At -- c hhc mJ7 -- -- Af r' ou hn,-i (t7{) Se conside¡a¡mos agora t' = 2 F, (l ?{) nos dá uma esti¡nativa de massa de repouso do méson h lxl0-r'J-s ñt Este valor tambem é igual a -2xl0nrkB r"c 2xl0-rtmx3xl0'm/s mr-20Om - 100 MeV/c' onde m é a massa de repouso de um elét¡on, lgu¿l a 0J I I MeV/c¡ É interessante fessaltar o argumento usado no exemplo l7'3.Pua um rn¿son cuja ¡nassa de repouo mr - hffc,a força nucleônica posui um alcanc€ -r', uma vezque os núcleons não poder¡am efetuar a troca de méson se e¡es estivessem separados Por uma distância muito maior 795 para fótons, que sa:o os quanta do campo eletromagnétic,o' A cquâça:o de onda clássica admite uma soluçâ:o elacíoná¡ia da forma czl *=- 4*"; o quc þode se¡ facilmente constatado pol sublituição di¡eta fazendo o uso da relaçalo v.¡v onde rr = V(¡). Pua mn # 0, a equação de Klein4ordon tem uma soluçaîo estacíonária da forma e-4t' lt=-82- f onde = 111,lL\r'dr\ ¿, I r>0 ¡>0 h ñ¡c como também pode ser facilmente verlficado por subrituiÉo. C¡mo ¡ rcluçâo da equaçâo de onda patr quentÀ dÊ massa úe repouso nula fo¡n¿cc o potencial de interaça:o coulombi¡no P¡ua o cåmpo cletromagné. tico, sup6e*e que r rclu$'o paia quenta de rnassa de repouso nâo nula corrcspondc ao potencial de lntera. t'o pan o campo mesnico, isto é, ao potencial de Yukawe dado pot (17'9). A constânte de acoplamento g¡ determina a intensídade do potencial de Yukawa, da mesma forma quc r constente ¿t (o quadrado da carga do elét¡on) determina a intensidade do potencial cqulombiano, Observe que a quanti{tede adimensional gt/rrc poszui o t¡lor = 15, enquanto a quantidade adimensional ct l4aeohc (a constante de estrutura fina) possui o valot - lll37. A comparaglo entte esses dois ralo¡es fornecc uma indicaçalo sobre a intensidade da forg nucleônica' ^ Pions isolados e livres podem ser criados em colisões de alta energia entre núcleons, como Pof exemplo p+p-î+ +d (17'Il) onde d é o dêuteron ou entâo podem ser destruídos em col¡sões entre pions e núcleos, como POr exemPlo Í+ +d+p+p (t7.r2) Destas relações concluímos imediatamente que os Pions n¿fo podem ser férmions. à |azÃo disso é que o número de férmions num sistema isolado permanece sempre constante,no senti- do de que se um féfmion é produzido (ou destrufdo), esse fato sempre ocorre em conjunção com a produøo (ou destrqiçao) de um antiférmion. Como exemplo, podemos citar a produçlto ou aniquila$o de um par de elétrons. Os piOns s6o bósons, como os fótons, e Podem ser emiti' dos ou absorvidos isoladamente. Assim, como bósons, os pions devem ter sPin inteiro, ou seja, r = O ou l, ou 2,. .. Osresultadosexp€rimentaismostramque pa¡aos tréstiPos' fl-,Ío eÍ+, o spín do píon é 0. Na primeira desas medidas foi aplicado o princfpio do balanço detalhado (ve' ja a discussão de (l l4)) â razão observada dæ æções de choque em afibos os sentidos das reat'es indicadas em (17-l l) e (17-12). o valor do spin do r¡+ influencia a seøo de choque das reações (17-t l), porque a taxa de reação é proporcional â densidade de estados que podem ser popula' 800 'tii¿or, o que por sua vez é proporcional ao fator (2s + l) de degeneresoência do sFún. A razão das l^ ^L^^iià -nctra ¡rro c = Osefes dc choque.mostra qu: t: 9'*- - Ufn, própriedade muito interessante dos pions é que os pions têm paridade ¡ntilnseca ne- gativø. Aevidência inicial proveio da reação ¡- 1d+n*n (l 7-l 3) ^ nion r- é capturado pclo déuteron depois de transitar por uma seqtléncia de estados seme- ilínirr .o, estaàos eletrônicos num átomo e atingir o estado I = 0, no qual sua funçäo de onda I superpOe em grande pafte com a do déuteron. Assim, o momento angular total no PÍimeilo ;;il de (tr-l3¡ é dado essencialmente pelo spin I correspondente ao estado fundamental dodêuteron.Aconservaçãodomomentoangularpermiteentfoqueosdoisnéutronspossam ser emitidos seja com o momento angular orbital t=0ou 2e spin"paralelos"'seja coml= î, rpr"t "antiiaralelos". As primeiras possibilidades devcm ser eliminadas porque a elãs cofies' i-ão u,n. ,uiofunçeo total iimétrice para o sistema de dois férmions. conseqäentemente, os nêutrons são emitidos num estado no qual o momento aneulal orbital total é l= l' A paridade desse estado é negativa, segundo a fegra habitual que a pariãade é dada por (- l)'' Dessa forma, ui. u., qu, . p.iidrd. é conservada pelas interapes nucteares ou nucleônicas' a paridade do sßteña n- + d deve sef negativa. Lembrando que a paridade do estado fundamental do dêu: tefofi é positiva e que a reg; (- t)l especifìca que.aparidade associada com o movimento I = 0 entre o méson e o núcleon É t.ÀU¿t positira, conclui-se que a paridade intrínseca do méson rl- deve ser bem defìnida e negativa. o mesmo raciocÍnio pode ser emPreBado para os outfos pions, obtendo-se a mesma conclleo. Como o número de núcleons Presentes em uma reação não é alterado, a paridade de um núcleon é indeterminada; convenciona6e entretanto çonsiderá'la como Positiva. otripletedepionstemmassasbempróximaslpossuemnúmerosquánticosidénticose participam igualmente na interaç5o núcleon-núcleon. É natural cntão dizcr gtte o p¡on é urur DaltíaiadeisospínT=l,quepossuiumamanifestaçãoT,=-.|chamadaÍ-'umamanifestação i;;ô, õ;ä no,. uåa manifestaçãoTz=,+l que é o n+. Fazendo iso,generalizamos a relação entre T, e a carga elétrica. n rott. (l?a)que usamos inicialmente para ntcleons é equivalente à relação { l, !: { onde 0 é a catga em unidade da temos 0 = 0 para o nêutron 1z = os pions a relação é diferente Pois carga do elétron, tomada em valor absoluto' Por exemplo -ilz " Q = | para o próton Tz = +l12' como antes' Para Q=Tz * ll2 (núcleons) (17'laa) (pions) (17-l4b)Q=T" Podemos no entanto agruPar essas duas relat'es numa única forma escrevendo Q--Tz + Bl2 (núcleons e Pions) l7'l 5) (r 7-l 6) 801 \ \ I ( \ ti /? ls. \ \ ta onde 8 é ontimero bariönico,cujovaloré I para um núcleone 0 Pafa um Pion' os pions sã.o instáveis. o n0 decai espàntaneamente, através de uma interação eletfomag' nética e .àr urn. vida-média da ordem de l0-rs s, em dois fótons de alta energia ¡o *"lt^r ,. À ,\ tt* ou, o que é mais raro, num par elétron-pósitron e um fóton. Embora esse valor paleça um tem- ¿.,.t$ po de deCaimento muito curto, deve ser comparado ao tempo de 10-23 s que caracterizariaq .i decaimento æ ele ocorrese atr.avés da interação forte núcleon-núcleon (ou ¡uclear). O valo¡ 10-23 s corresponde simplesmente ao intervalo de tempo que uma partícu¡a, movendo+e com uma velocidade c - i0t m/s, necessita para percorrer uma distáncia t' - l0- r s m da o¡- dem do alcance das forças nucleônicas. As razões invocadas inicialmente para identificar a naturezå eletromagnética do decaimento ¡o baseavam-se no fato de que os fótons participar¡ apenæ de interapes eletromagnéticas e que a vida-média de dec¿imentos desse tipo são muito maiores do que o lapso de 10-23 s ca¡acterÍstico de uma interação mais fofte. Os outros pions nâ'o decaem do mesmo modo que o p¡on neutro. Na realidade,o n+ de- cai com uma vida-média muito maior, da ordem de l0-E s, segundo o esquema n+ +p+ *v, (t7.17) onde ¡¡+ repfesenta o muon de carga positiva e v, é o nantrino muônico. O r- decai com a mesma vida-n¡ddia ægundo o esquema ¡¡- +pr- *lu (r 7.18) onde¡¡-éomuondecarganegativaelréoantineutrinomuônico.Omuonpositivoéaanti. partícula do muon negativo, da mesma maneira que o pósitron é a antipartÍcul¿ do elétron. Aliás, sob todos os pontos de v¡sta, com exceção de suas massas de repotso que são maiores, os muons æ assemelham muito aos elétrons. O decaimento do pion carregado envolve uma interaçáo que é uma das duas especies mencionadas. Como talvez já se tenha percebido a par- tir da te¡minologia usada, a outra espécie é a interação decaimento É da física nuclear. O fato de que a vida.média do decaimento do pion carrègado ser muito maior do que a do decaimen- to eletromagnético do pion neutro reflete o fato de que a interação envolvida naquele decai- mento é muito mais fraca do que a intcraçat eletromagnética. L¿mbremos que uma compa- ração similarjá foi feita no caso do dec¿in¡ento p. Por essas razões tanto o decaimento de um nêutrcn num próton mais elétron e (como vamos passar a chamá-lo) um antineutrino eletrô- nico, quanto o decaimento de um pion positivo ou negativo em um muon positivo ou negativo mais um neutri¡o ou antineutrino muônico, sâ'o ditos ocorrer através da interaçio fraca. Esla termínologia conduz natrualmente à interaçå'o núcleon-núcleon ser chamada de intetação ÍoÌte. No caso específìco da física de partículæ, os termos interação forte e interação f¡aca sâ'o usa' dos pua identifìc¿r o que habitualmente chamamos em física nuclear de interaçã'o nf¡cleon' nficleon (ou interação nuclear) e interação decaimento p. l7-5 MUONS Os muons não participam na teoria de Yukawa sobre a origem da interação forte, embora tal fato tenha sido percebido muito tempo depois de sua descoberta, em 1936, por Andenon e Neddermeyer. Btes investigadores encontraram partícul¡u¡ na composição da radiaçío cósmiø e mostraram que su¡¡ massa de repouso situava+e entre a massa de repouso de um elétron e a mass¡ de repouso de um próton. Sabemos agora que tais partículæ são produzidas na radiação cósmica devido ao decaimento dos pions. Em 1936, entretanto, os pions ainda nâ'o tinham sido descobertos e supôs-se naturalmente que os p+ e. os r¡- eram os mésons de Yukawa (na reali' dade foram chamados inicialmente de mésons g ), Desde então, unra acumulaç5o de evidðnciæ mostrou contudo que a interaçã-o dos ¡nuons com a matéria é muito fraca. Por exemplo, os muons ds radiaçã'o có¡mica conseguem atrav€ssar largas cãmadas de matéria sólida com urnå F' 802 guena atenuação, pois podem ser detectados em minas profundas. Asim se comPortando, os ¡nuons dificilrnente poderiam ær as partÍculæ responsáveis pela interaçalo forte, apesar de sua ¡¡asa de repouso ñu+=ñ,t- = 106MeV/c2 ser muito próxima do valor predito por Yukawa. Esta situação gerou uma imensa confusío nos dez anos que precederam a descoberta dos pions. Após a descoberta destes, porém, compreendeu-se imediatamente que os pions eram os mésons de Yukawa, pois logo se mostrou que su¡r interação com a matéria é, forte, Assim, os pions são intimamente assoc¡ados aos núcleons e interagem através da interação forte, Os muons så-o intimamente æsociados aos elétrons e interagem através da interação fraca, O muon e o elétron, os neutrinos muônicos e os eletrônicos, assim como suas respectiv¿rs antipartículas, constitæm u¡na famflia de partículæ e são chamados de léptons, Algumas das razões que permitem uma associação entre o muon negativo e o elétron sâ'o: ambos são fér- mr'oru, ambos têm carya eléttÍø -e e spin I12, e ambos tém momento dipolar magnético cor- respondente a vm føtor g de spin igurl a 2, srus antipartrculas, o muon positivo e o pósitron, tém cargas e momentos dipolares magnCticos com o.sinal oposto. Os neutrinos muônico e ele- trônico são também lérmians de spín l/2, tnas tém cårga e momento dipolar magnético nulos. Eles podern ser distinguidos fisicamente de suas antipartículæ por intermédio de suas åel¡'ci- dades (veja æção t64) que são helicìdde à'equerda pøra neutrinos e à direita pøra antíneu- fi'r¡or. Não é apropriado definir urna paridade intrÍnseca ou um isospin para qualquer uma des- sæ partículas participurtes da interação fraca. A razão disso é que a paridade não é co,cervada nessa interação, como vimos na seção 164, o mesmo acontecendo com o isospin, como será most¡ado em u¡¡ur seção mais adiante. Os muons decaem espontanea[¡ente, através da interação fraca, de acordo com os seguin- rcs esquenus (l 7-l e) (l 7.20) (r7-2t) (t7-22) (t7-23\ y+ +e* *v"*î, It- + e- *1" * v, onde usamos a notação e+ pua o pósitron e e- pua o elétron. A vida-média para ambos os decaimentos é a mesma, sendo. que seu valor é aproximadamente igual a l0-6 s. A necessidade de æ fazer uma distinção ent¡e o neutrino eletrônico u, e o neutrino muônico u, foi demonstra- (la experimentalmente, em 1962, através do fato de que os neutrinos muônicos obtidos a partir do decaimento de pions (17 -17) e (l 7-l 8) nã'o induzem um decaimento p eletrônico. Como os lépûons sfo férmions, slo criados ou destruídos em pa¡es putÍcula/antipartícula. Conseqüentemente, o número deles preænte num sistema isolado permanece constante, adotan- dore o critério de qw cada partícula fomece uma contribuição positiva à contagem e cada anti- putícula fornece uma contribuigo negativa. Devido à distinção entre os léPtons eletrõnico e muônico, cada t¡po satisf¿z isoladamente uma le¡ de consentaçdo do número leptônico, as quais se escrevern E l, = const Ð ú, = s.tt, Onítmero leptônico elet¡ônico Leé +l para umelétrone -l para um pósitron;eleé *l para lun neutrino eletrônico e - I para um antineutrino eletrônico. O número leptônico muônico Lu 803 é *l para um muon negativo e -l para um muon Positivo; é tl pata um neutrino muôniso,, c - I para um antineutrino muônico. Notar*e-á que, em todos os cesos, o número de ldptons é 1l pam umd partfatla e -l para a ila antiryr¡i"u/¿. Deræ*e também notar que os esquemas dc decaimento (17-20) do muon satisfazem às duas leis de consewaçäo, da mesma forma que s¡ dccaimentos p eletrônicos discutidos no Capítulo l6 também satisfazem. Veremos posteriof. rrænte que existe uma lei de conservação análoga para o número bariônico 8, o qrul é * I para um núcleon e - I para um antinúcleon. Ernbora muito se conheça sobre a interaçaÌo fraca e sob¡e as partt'culas que participam dela, âlgumas qucstões fundamentais ainda permanecem sem resposta. Por exemplo, por que e natueza necessita do elét¡on (m,¡is o neutino essociado asim como as resp€ctivas antipartículas) como tombém do muon (mais o neutino associ¡rdo e suas antipalículas)? Exceto pela diferença existente entte suãs massas de repouso, o clét¡on e o muon sa-o tão parecidos que se tem a impressío que um deles é redundante. Uma ouEa quetalo sem respostâ diz r€speito åo quentum de campo dr lnteraglo fiaca. A interagi fortc ortÍm{c de trccas, entÎe as duar paf ículas em ¡nteraÉ'o, de seu qn4ntum de campo (rePresentado pelo pion, arþs propriedades saîo bem conlecidas, e proravelmente tamtÉm por outros mésons, que ainda discu, thcmos, orjas propriedades sio razoavelmente conhecidas). A intaaçat eleüomagnétic¿ enrolve trocas de scu quentum de campo (¡epresentado pelo fóton, cujas propriedades sai c€rtamenle muito bem conhccidas). Atd tnesmo a interaçfo gravitacional envolve t¡ocas de quântum de campo (o g¡aviton, cujas propriedades maisim. portentes 3fo tambem conhecidas, como menciona¡emos mais adiante). Dessa forma é natural supor que e inte. nfo fraca também cnvolva tfocas com seu quântum de campo. Este quentun tem um nome: bóson ln¡¡Jt. mcdíárlo. C¡ntudo, além do fato dele ær um bóson (como acontece para todor os quantâ de campo) e de tci ptottrvÊlmcnte s?in 1, muito pouco s€ sabc a seu respelto. O bóson intc¡mediÁrio nunca foi deteclado, en. bon as busca¡ expcrimentais por ele tenhÂm molrado que sua maslr de repouso deva ser maio¡ do que cer- cr de dtz m¡ssas nucleônicas. Esse limite inferior deve slgnificar que a intenfo fracâ tem um alcance ex. t¡cmâmcntc qrrto. O ponto importânte é que a relaçalo inversa entre e massa de repouso do quantum de carn- po c o rlcance da interaçalo associada, estebelecida pela expressalo (l?{), deve ser válida para todas as quatro intetaÉes fundamentais da naturezå. 174 AESTRANHEZA Não muito depois da descoberta dos pions nos raios cósmicos, essa mesma fonte começou a fornecet eúdênciæ sobre uma nova famtia de mésons, que apresentavam rnÂssas de repouso da ordem de três vezes a da dos pions e que agora s¿to chamados de mésons K. Além destes, os raios cósmicos também indicavam a existência de uma outra partícula com uma massa de repou' so de csrca de 1,2 vezes a massa de repouso do núcteon e que agora é chamada de particula N . Experiências mais recentes mostraram que a massa de repouso do ^o é fît¡o = lllíMeYlc2 (t't.24) valor ese superior às mæsas de repouso do próton e do nêution que são resp€ctivamente 940 e 938 MeYlc2. Da mesma forma que o nêutron, a partíc1rla l\o ë um férmîon neutro de spin ll2 e de parídade íntilnseca Wsitíva. Pelo fato de não haver uma outra partícula com massa de repouso próxima à sua, o Âo é considerado o único membro de um singlete de isospin; isto é, o Âo possui T=Q,Tr=9. Experiénciæ efetuadas com aceleradores de alta energia mostram que existem quatro tipos de mésons K: os mésons K+ e K-, cujas cargas são respect¡vamente positiva e negativa, e os mésons neutros Ko e F . Analogamente aoi mésons a, todos os mésons K úo bósons de spitr 0 e de pridade íntrlnseca nqativa. Suas massas de repouso são 804 m¡ç+ =m¡¡- =494MeYlc' (7-2s) 805 m¡o = mp = 498 MeV/c2 (t7.26) O ^o é produzido em associaçáO com um K, sendo que a sua grande seç.ifo de choque de produçã'o sugere uma interação forte. Como exemPlo Podemos citar a reaçifo tt- *p+^o +Ko (t7.27) Vamos supor que, como em física nuclear, o isosPin seja conservado na interaçfo forte,oque vai p€rmitir que essa reaçfo sejâ usada para determinar os números quánticos de isospin dos nésonsK. Uma vezque 1= I para r.-,f =l12palno Próton e f = 0 parao Âo,asúnlcas posi- bilidades para o K0 sfo I = l12 ou T = 3/2. No câso da segunda possibllidade ser a verdadeira, haverla u¡¡ quarteto de valores Q e a família de mésons K se espalhárla sobre quatro estados dc carga elétrica diferentes, Na reatidade,existem aPcnas tr6s estados decarya:Q=-1,0e *1. Conseqúentemente, I = U2 para o Ko e pra os outos mésons K. Observe também que, como 1, tem os valo¡es -l pare o ?r-, +ll2para o próton e O Para o Â0,é necesáñoqueTr=l12 para o Ko . Considerando a maneira com que @ depende de 1" em outras situações, dirfamos naturalmente Sg o méson K com T = I 12 e T, = + I 12 ë o K+'o K- é a antiPartícula do K+, âssim como o F é a antipartícula do rff . As duas antipartículæ deræm ter também T=112. [s determinaçOes de seus I, devem lerar em consideração que o Ir deutruantìpanlanlapr+ cl;¡ ter síru\ contnirÍo ao Tz da pørtlcula correspondente. Este fato pode ser visto facilmente se.considerarmos a feação da produção de um par próton antipróton, a qual se processa etra' vés da interaç,llo forte. p+p+p+p+p+þ (t7-28) Fntlo T, = -ll2 pa¡a o K- e T, = +1 ¡2 r*o o * . A reação descrita po¡ (17-28) é um excelente exemplo da lei de conservafio do número baríôníco t B = const (t7-2e) ondconúmerobariônicoBtemovalor*lparaumnúcleone-lperaumantinúcteon.Devido ao fato dos núcleons serem férmions, o número total deles num sistema isolado derrerá, em todæ as cilcunstânciâs, perrumecer constante se a contagem for feita da maneira indicada. Co' mo veremos um pouco mais adiante, a lei de conservaçfo também se aPlica às situações nas quais o sistema contenha c€rtas partículas, diferentes dos núcleons, também chamadas bárions. Os mésons K decaem através da interação fraca em pions ou em léptons. A vida'média do K+ e do K- é cerca de l0-8 s. Estæ duas partículas têm uma distribuição invulgar de tempo de decaimento que se encontram compreendidas entre uma mistura eqäitativa de duas exponenciais: uma, correspondendo a uma vida-média de cerca de 10-ro s; c outra' com uma virla.média maior e da ordem de l0-8 s. A presença de duas vidas'médiæ tem uma origem nuito interessante. Elas provêm basicamente de interferê¡cias entre autofunses degeneradæ que de:crevem duas partículæ de mesma massa, o |f e o.F , que participam da mesma manei' ra no decaimento via interação fraca, mas que s{o duas partículas distintæ. Voltaremos acse assunto ainda nestâ seção após analisar outræ informa@es e discutiremos, na seøo æguinte, a surpreendeite conclusão retiiada desse fenômeno. ù: \¡ '\ T rtft a \ I rt (^ r li¡ þ Ë JY ?l Ë 't ,i - 'I ".ir ,¡l .Í Þ,'Jt Ín (. ,. ,.rtì. I a(*/ 11 .ã1.,' ( :{ ¡ I que seja igual a l0-lE s. Observe que nesse decå¡mento via interação eletromagnétic¿ a compo. nente z do isospin será coñservada, se atr¡buirmos T, = 0 ao fóton ? (uma vez que ?nz = 0 para o Eo e para o Âo). É geralmente observado que ln, é conservado na interaçá-o eletroriagnética. O decaimento E- indicado por (1740) não pode oconer em um tempo relativamente cu¡1q através da interaçãoeletromagnética, pois in, =-l12pano7-,Tr=0Para o lf eTr=0para o 7. Assím, o decåimento deve ocorrer mais lcntamente através da interação.fraca. Considerando+e (17'36) toma-se imediatamente ap¿uente que a conservação de T, aa interaçâo eletromagnética signifìca qu€ S ¿ consenndo na interuçlo eletrotragnética, à rczão é simples, po¡s como @ e B sâ'o con. servados cm tod¿s as circunstâncias, a conservação de T, implica na de S também. Entretanto, T t ão ¿ consemado na ¡nteroçiío eletrcmagnética. Isto pode ser visto lembrandose que a intera. ção forte conserya o isospin e é independente da carga, Sem dúvida alguma a interação eletro. magnética não é independente da carg,a e, dessa forma, não pode conærvar o isospin Deve ær d¡to também que, em I 961 , Gell-Mann usou conceitos int¡mamentc relacionados com s estf¡mheza, os quais veremos poster¡orment€, para prever aexisténcia domésonno edo mëvn rf , os quais foram depois observados experimentalmente. Estes mésons neutros tém massas de repouso entre a de um méson K e a de um núcleon B+SQ=Tr* , mno = 550 MeYlc2 mn'= 960 MeYlc2 (1742) (1743) Identicamente aos outros mésons, eles são bósons de spin 0 e de paridade intiínæca negati\¡¿. Todos os dois têm também S = 0. Cada um deles é um singlete de isospin com I= 0 eTr=0. O 40 decai eletromagneticamente em cercÅ de l0-te s, qr¡as€ sempre dando origem idois fótons. O 4' também decai vía interaçá'o e¡etromagnética, m¡rs sr¡¡t vida-média não é conhecida. No æu modo de decaimento predom¡nante, ele produz um 40 e dois pions. l7-7 INTERAçÕES FUNDAMENTATS E LE|S DE CONSERVAçÃO A tabela l7-l apreænta um resumo de certas informaSes, obtidas na seç.¿io precedente e nas primeiras seFes desse livro, relativæ às quatro interações fundamentais da nattrre?À foile, eletronugnética, fraca e gravitaciotul. A comparação das diferentes intensidades depende de certa forma da escolha do atributo a ser comparado; os valores apresentados foram obtidos a partir de compara$es feitas na maneira usada na seção 164. Todas æ entradas da tabela já foram discutidas anteriofmente, exceto ru¡ que se referem às características do quantum do canr go gavitacional. O quantum do camPo gravitacional é denominado graviron. Sua massa de repouso deve sef nul¿, um¡ vez qu€ s hteraç5o gravitacional tem o mesmo longo alcancc que a intaraça--o eletromagnética, cujo quantun é o fóton' de mas¡a de repouso nula. Sabe-se que o spin do graviton é 2, à nzao disso é a auséncia de mass¡ gravitacional negativa, irnpossibilitando a cxistência do rtipolo gravitacional oscilante, o qual conesponderia à irradbçio d€ um graviton de spin t. Á font€ gavitacional oscilante de mult¡polaridade mais baixa posívcl é do tipo quadrupohr (oorrcspondendo a oscilações de massa entre as formas clipsoidais achatada ealo¡rga' da), ¡espon$vel peta emisã-o de um quantum de spin 2, Este argumento é cssencialmente o mesmo usado 8¡0 d Éo Éúç h oroq ßt o É -.: F rJ f¡¡ E I'i É É IA Q)q F si a u) o 3 Aoú o€ ø 6 oÀ É() o.E Ê, = Éç =o O Ë oz t)tc.o 'ô áo ,5 o Eoz .¡ 8a,EEÈ r 9-øo9 Z, ÞÈ;e ãe P gËËP áE E ÉË*e .EÊ E" Ë.55C eË ,g Eñi2,å o\èoÊ Fu à ûç ,ål åÈ .'3 rË îL5'Ë äiF.g ;( óø orto dq r É.9 r,Èøo t a,ÇQ,a () -o OË-?:9 > ÈË€E bitr>À ¿ ã€e ^ o'cç ç ciÉ I.ï aÞ 'ãü äE ö .E o E .:3bbå / 6to! ,.8 É9 .sE.,ã I Eô !rË? ãg HfE àeE{? ,Ë= ti"Ë õ' ï I na seça:o 16-5,ocasiá-o em que sc concluiu que um fóton tem spin I porquc ná'öctdstemmonopolos€lctro. mrgniticor oscilåntes No momcnto em que este liro esti sendo cscrho, há controvórsias s respcito d¡ dt. tecçå'o ou na:o de gravitons, os quais se¡iam emitklos quando uma ¿sltelâ na fast final de sua vidr colapg, t¡ansfo¡mando.sc num "butaco negro". Contudo, certåmcntc não hd cont¡ovérsi¡s sobre o fato de quc ¡ in. tereçaì gravitacionat é a única d¡s qualro interações que é, ao me3mo tcmpo' dc longo alcance e sempre de mcrmo sinal. Assim. seus cfeitos sio åcumulatþos e, conseqflentemente, a ¡¡aúdede - apcsar de sua fiaquez¡ lnt¡lnseo - é, de longe, a intera#'o me¡s óbvia do mundo macrosa5pico. A tabela 17.2 apresenta as três interaÉes do mundo microscópico, isto é, da flsica quânti. ca, c todas as quantidades que sáo conservadas em certas intereÉes. O símbolo * ou - signifì. q¡, respectivamente, que uma dada quantidade é conærvada ou nlÍo' Já discutimos todas as en- tradasãessa tabela, exceto aquelas que se ¡eferem à conjugação de carga e à reversão temporal, TABELA 17-2. Aplicabilidade das Iæis de conservaçlfo Fundamentais com Relação às Interações Fundamentais (+ Signifìca Conærvação; - Signifìca Nã'o Conservação) Quantidade Conservada Forte Eletromagnética Fraca Encrgia Momento linear Momento angular Carga Número leptônico eletrônico Número leptônico muônico Ntlnæro bariônico Módulo do isospin Projeøo z do isospin F¡tranheza Paridade Conjugaçfo de carga Reversfo temporal + + + + I + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + (AT = | l2para nâ'o leptônico) (ATr= l12 Pâra não lePtônico) (AS = I para não leptônico) - ) (Exceto para uma violação - ) Pouco freqüente no decaimen' + | to lento do sistemaKo, KT) A conjugação de carga é o proceso pelo qual cada partícula de um sistema é transfor' mada na sua antipartícula. Por exemplo, a conjugaç.lfo de carga do átomo de deutério em seu estado fundamental dá um núcleo com um antinêutron e um antipróton - assim como um pó' sitron atômico. Todas as evidências experimentais disponíræis slfo consistentes com a conclu' são de que tanto da interação forte quanto da interação eletromagnética nã'o s,fo afetadas (ou são inv¿riantes) pela operação conjugação de carga, Por exemplo, essa invariância é encontra' da na aniquilação, via interação forte, de um proton e um antipróton, com produção de um par partícula/antipartícula K+, K- e de outras partículæ; ela também é encontrada em exp€- ¡en.i6 envglvendo o decaimento eletromagrético do méson 40. Assim, acredita'se que o núcleo do átomo de antideutério (cujo comportamento é govemado pela inteta$o forte)' as' sim como o pósitron (cujo comportã*tnto é governado Pela intefação etetromagnética) te' nham um coÀportamento idêntico ao núcleo e ao elétron do átomo de deutério rtormal. pois 8t2 ambos se encontram no mesmo estado quántico e possuem a mesnu energia. Pode¡nos dizer, cntáo, como o símbolo * indica na tabela, que a conjugaçlto de carga é conservad¡ næ intcra' pes forte e elettomagnética, pois a descriçlo de urn sistema governado por umâ dessar duas ínteraçõcs é invariante na op€raçifo em queslfo, Ânalogamente, o símbolo na iabela indica, por exemplo, que a paridade não é conservada na inte. ;y'o fraca po¡que a descriçifo de um iirtemr, cujo comportamento é govemado por esta interação, n¿fo é inva¡iante pela operaçalo paridade. Na realidade, a evidéncia experimental para o símbolo - na tabela, indicando que a con' jugat'o da catga não é conservada na interaçâo fraca (isto é, que a intcração fraca diferencia um sistema de um outro obtido atravds da conjugação da carga), é a mesma que a evidência experimental para a n¿fo conscrvaçâo da paridade nesa interação. Se o estudanle se ¡eferir ao esquema já discutido da experiéncia sobre a paridade no decaimento P do 2?Co6o, apreséntado na tìgura 16-15, e imaginar a op€raçfo da conjugaçäo de carga sobre a visão normal,veráime' diatamente que a descriçlfo do decaimento p do anti-2?Coóo difere da descrifo do decaimen' to p do 2?Co6o. A conjugação de carga Provoca a inversâo do sinal da carga na espira de cor' rente, o que ímplica em uma inversllo do sentido de circulaçlIo da corrente positiva na espira. Entretanto, essa operâção não afeta a direção preferida de emisalo de partícula por ocasiã'o do decaimehto. Vemos assim que, Para o 2tCooo, um parafuso de passo esquerdo descreve a rela' ção entre a circulação na espira de corrente, a qual representa seu momento dipolar magnético, e a direção preferida de emissão da partícula durante o decaimento, Por outro lado' para o anti.2?Co60, um parafuso de passo direito descrevb a relaçfo entre essÍ¡s quantidades.Dessa forma, as experiéncias relativai ao decaimento p mostram que na coluna da interaÉo fraca da tabela l?.2 devemos ter o símbolo - correspondendo å paridade e à conjugaøo de carga. Observe que, se a opcraçlo conjugação de carga é efetuada sobre a visalo normal da ex- periência de decaimento 0 ilustra<ta pla figura ló-15, e se, em seguida,a opraçá'o de reflexão no espelho (note que aquela mostradr pela fìgrrra l5-16 corresponde å operaçã'o paridade) é efetuada na obtida com a conjugação da carga, os efeitos dessas operações se cancelam. Isso porquc o sentido da circulação da corrente na espira é invertido em cada uma dessas operações sucessivas. Varnos ver agora o que esse resultado nos ensina sobre o comportamento do sistema sob a operação de reversão temporal. A rcyerúo temporal é o proæso de modifìcação do sinal das variáreis de tempo que des- crevem a evolução de um sistema * Ou seja, é a mudanca do sentido do fluxo do tempo, como ocorre numa projeção cinematográlìca "passada de trás para frente"' Quando aplicada à expe' riência do 2?Co60, segundo a vistfo normal da figura l6-15, a reversão temporal inverte osen' tido do vetor que descreve o movimento do etétron e inverte também o sentido de circulaçâo da .corrente na espira. Assim, após a inversitro do tempo, a relaçlto entre a direçllo e a circulação não é alterada, continuando representada por um parafuso de pæso esquerdo' D^essa forma, no que diz respeito à reverslio temporal, não podemos usála diretamente Pafa verificar quc existe urna ,ssimetria, com retação aoplano da espira, da distribuiçâo angular de enússão do elétron no caso do decaimento É do 2ico6o. Note que essa assimetria éjrstamente o resultado que permite a defìnição de uma direção de emissão preferencial. Na operação teversão temporal,a ãescriça'o da experiência não pode ser atterada de uma maneira essencial qualquer que seja o cæo. Assim, a experiência nâ'o nos diz diretamente se o decaimento p diferencia ou não entre os sentidos de escoamento do tempo. Entretanto, indiretamente, ela nos revelaessa informação * A, cquaç6,cs básicas da mccáncia clássiø ficam invariantes pela invetsäo do lempo, isto é, se fizermos r * -r. i\ cquaçaÌo de Schroedinger, pof oulfo lado, cnvolve uma derivade primeíra em relação ao lempo e nâo ficará invariantc p.t. trrnrfoiruião acima. Mas se tomarmos também o complexo conjugado de toda a equaçå:o,cstaficaráinvariante. l\reve'rúote'nporol se¡cfereaambasoperações'(N'doT') 813 \ ,t" i c, \ .þ â.p È -{1, ìì¡ /:1 h-:,., r ; )''' Þ )l F )l. I I r' I r Þ. h .r¡ I f. ,,|\ \,.-, h (.-,-, \..... ! , !... graças a um teorema muito geral da tcoria quânticå relativístiça e que é o seguinte : Em qwlquer ) sistema, governado por uma\nteraç.lfo qualquer que obedeça à imposição relativista que ¿¡ c¿üs¿ darc proceder o eleito a aplicagâo sucesiva da conjugaçâo de carga da operação paridade e d¡ operaçã'o ¡eversão temporal não podem altcrar esscncialmente a desøiçá'o do comportamentq . do sistema. Como uma conseqüéncia dessc leorcma, conhecido como o teoremø CPT, os sím. bolos -, tanto parâ a consenåç.¿fo da paridade quanto para a conser\4ação da conjugaçã'o de carga, apresentados na tabela para a interaçã-o fraca, implicam num símbolo + correspondente à reversão temporal para a mesrna interaç5o. Assim, no dccai¡nento p a interação fraca não diferencia entre os sentidos de escoamento do tempo, embora dife¡cncie tanto um sistema de sua imagem no espelho qua¡to um sistema de seu ar¡ti-sistemå. Em 1964, porém, Christenson e colaboradores encontraram que no decaimen. to via ¡nteraçå-o fraca do componente de grande vida-média do sistema degenerado K0, Kl , exis. tia, embora raramente, uma violação da invariância com relação à reversã'o temporal.llabitual- mente esse decaimento ocorre com formação de trés pions, o que corresponderia, como no d9. caimento p, a unr sí¡nbolo - na tabela, tanto para a paridade como para a conjugação da carga e, conseqüentemente, corresponderia a um símbolo * para a reversâ'o temporal. Entrctanto, c¿rca de 0,1 % do decaimento ocorre com formação dc dois pions, obrigando a indicaçáo por símbolos-e*respectivamenteparaaparidadeeaconservaçãodecarga.Segundooteorernâ CPT, tal fato implica quei para este decaimento, o sÍmbolo p¡ua a reversão temporal dcve ær -. Ou æja, existe evidência que através do modo raro do decaimento via interação fracå da componente de grande vida.média do sistema Ko, P , a tatutaa pode distinguir, en um nl- vel microscôpico, o sentido do escoamento do tempo. Este resr¡ltado impressionante deve ser encarado como sendo muito signifìcativo. O significado exato do que isso representa ainda não foi entendido, da mesma forma que sua origem ainda permanece desconhecida. A confìança na validade do teorcma CPT que foi usado na obtenção desse resultado é encontrada na tabela l7-2, através dos três símbolos * correspondentes à paridade, à conju. gafo de ca¡ga e à reversão temporal, tanto para a interação fole quanto para a eletromag. nétic¿. O teorema diz, em essência, que o produto desses três símbolos deve ser * em todos os casos. Medidas independentes para æ três operações foram feitas e confirma o teorema o fato de que o produto dos trés símbolos seja realmente * para as ¡nterapes forte e eletromag- nética. Uma experiência independente posível para verifìcar a reversão temporal numa ¡nte- ração forte consiste na compara$o da seção de choque da reação t2yr2a 12He4 - l3Al27 + ¡Ht com a seç5o de choque da reação inversa 13¡¡22 4 lHt + t2Mg2a + 2He4 feita de tal maneira que os vetores momento linear do núcleo incidente e do núcleo alvo na segunda reação sejam escolhidos como ændo iguais e posuindo sentidos opostos aos dos ntlcleos fìnais da primeira reaçã'o. Evidéncias para a invariância com relação à revers¿Ío temPo' ral na interação eletromagnética podem ser obtidas através do estudo do comportamento de um s¡stem cujas cargas interagem segundo um certo conjunto de condições iniciais e compa' rando{ com o estudo do comportamento do mesmo s¡stema quando os vetores momento iniciais são invertidos, O comportamento do s¡stema em um câso apresenta-sc como sendo a projeção cinematográfìca de trás para a frente do outro caso: ¡sso porque a ¡nteraç¿fo€letro' nragnética não diferencia entre os dois sentidos de fluxo do tempo e opera e)øtamente do mesmo modo em a¡nbos os casos. 814 Existem relaçôes ent¡e cada lei de conservaçio e ur¡ra ç€rta propriedade de si¡net¡i¡ de um espaço físico ou matemático. Por exemplo. a simetris do espaço físico com relação à translaçalo (significando que o €sp¡¡ço vazio em nosso unive¡so tem as mesÍus propriedaJcs em todos seus pontos) corresponde à conscr- raç"-o do momento line¡r. Entretanto es.sas reh$es ó podem sef entendidas de uma fo¡ma må¡s ger¿l na bas€ de uma teorie quânaíca mais sof¡sticada do que aqueh que foi desenvolúda neste li\to, I7.8 FAMILIAS DE PARTÍCULAS ELEMENTARES A tabela l?-3 apreænta a relaøo das partículas elementares (salvo osgravitons)queslfo estáveis ou que decaem apenas através das interações eletromagnética ou fraca. As partículas correlatas sãó classihcadæ em familias: o fóton, os léPtons, os mésons e os bárions' Os léptons e os bárions sã'o férmions; o fóton e os mésons sã'o bósons. Os bárions de massa superior àdos núcleons sâ'o algumas vçzps chamados de hiperons, mas esta denominação está sendo abando' nada. Os mésoni e os bárions - isto é, as partículæ que particiPam da interação forte - formam gapo qur é cham¿do freqüentement e dos hadnbns. As entradas da tabela sÍo: nome da famflia; v¡¿a.m¿d¡a; cÃfra Q)sp¡n intf ínseco r; númefo leptônico ú" ou ¿r, númefo bariônico B; e, para mésons e bárions, paridade intrínseca P; isospin 1; componente z do isospin 7, -e' hnalmente' a estranheza S. A ãtribuiçao convencional da puidade do bárion e a atribuição 1, = 0 para o fóton sa-o também apresentados. Todos os léptons e bárions têm antipartículæ, embora estas não sejam apresentadas'na tabela. compafados com um lépton ou um bárion, os "númefos quânticos" das respectivas antipartÍculai têm: @ com o s¡nal trocado; o mesmo s; L, L u ou 8-com o sinal.trocådo ; pare báriãns, p com o sinal trocado; o mesmo T;T, e S com o sinal trocado. Uma antipartrcula tem exatamente a mesma masa de repouso e a mesma meia'vida que a P¿utícula' Estas duæ igual' dades são preditas Pelo teorema CPT e foram verifìcadæ experimentalmente' As antipartículas dos mésons sã'o apresentadas na tabela. Já havíamos discutido anterior- mente o fato doK- e oKõ serem,respe¿tivamente,asantipartículasdoK+ edoKo'Umains' peção na tabela confìrmará que a reta6o entre os númeroi quánticos dos K+, K- e dos Ko, F- concorda com as regras das partículas/antiparticulas estabelecidæ anteriormente para os léptons e bárions, exceto que a paridade intrínæca não se altera no caso Kl anti-K. As regræ de paridade preditæ (e confìrmadas exPerimentalmente) para as partículæ/antiParticulas re- fletim o fato que os mésons sâ'o bósons e que os bárions sâ'o férmions' Uma inspeçfo mais de' talhada mostra¡á que a relação entre os números quânticos do n+ e do tt- é a mesm¿ que aque' la entre os números quânticos do K+ e do K-. Podemos diz¿r, assÍm, que o 'l- é aantipartí' cula do ff. Deste ponto d€ vista, podemos também dizer que o 'fo é a sua própria ant¡Partí' cula, o mesmo acontec€ndo Pafa o 40 e o ?'. Não se encontra apresentado na tabela l7-3 um grande númefo de entidades de vida muito curta que podem ou não sef chamadas de partículas elementa¡es. como um exem' plo, nas ,*p".iênõi., de espalhamento pion.núcleon realizadas por Fermi em 1952, encon' trou6e uma intensa ressOnânCia næ sepes de choque de espalhamento coÛesPondendo a unra energia do pion incidente de 195 MeV. A figrua 17-20 ilustra a seção de choque z+ *p em funçao aa energia total do sistema, no referencial do centro de masa, incluindo as massas de ,rpó*o do pioñ e do nrlcleon. Como o z+ posui T = l,T, = +l e o p posui T =ll2'T'.= +ll2,osistema s€ encontranoestado T=3-l2,Tr=312'(o-sistema Í- +pnoestadoT=312' Tz = -ll:&apresenta o mesmo tipo de resonância na seção de choque na mesnra energia' fome' c€ndo dessa forma uma eúd€ncia adicional para conclus¿Ío que, embora a interaçâ'o forte depen' da de ?F, não dePende de T"') A largun àmeia altura D da resonância' cujo máximo ocorre a uma enefgia total de niá'iiv,í urca de 120 MeV. Isto signifìca que o pion e o próton devem temiorariamçnte formar uma entidade composta que os mantém ligados durante um lapso de t : hF - lg-ts eV-s/lgs eV - 10-23 s. Se essa ent¡dade se move a uma velocidade 815 ^- (1236' a0 (1236) a+ 0236) a++ 0236) E-0385) Eo(t385) -312 -r -rl2 +ll2 +l +tlz F¡GLJRA 17-Zl. O decuplete de b&ions de spin 3/2 e pa¡idâde positiva' çses fortes e eletromagnéticas, todos os membros de uma confìguração devem ter a mesma ánergia de massa de repor¡so, sendo que a interaçâo forte ¡emoræ Parte dessa degenerescéncia (desdobrando a energia de masa segundo I), enquanto a interação eletromagnética remove a outra parte da degeneresoéncia (desdobrando a energia de massa segundo 1r). Dessa forma, a m.str io O- pode ser predita através da extrapolação da dependência da massa como Y, to' mândo por bæe os membros já conhecidos do decuplete. Pode se¡ observado nas figuras 17.21, 17-22 e 17.23 que tanto a conlìguração octeto, que é r¡m hexágono, quanto a configuração decupleto, que é um triân8ulo, têm uma simetria iotacional ternária em relaç.¿to ao æntro. Pode*e dizer certamente o mesmo para a confìgura' ção singlete, uma v€z que é apenæ um ponto no centro. Este fato levou Gell-Mann a PostulÍIr i existência de quarks, um conjrurto de três partículæ que sob dife¡entes combinações pode formar os mésons e os bárions. A tabela l?4 apreænta os números quânticos não'inteiros dos tr€s quarks et, 4z e q3. Os antiquarks d, -qz e q-3 foram também postulados, sendo que para cada um destes, os valores de Q, B, P, Tz e Y têm sinais opostos daqueles dos quarks corres' pondentes. TABEIJ\ 174. Os Quarks Símbolo Quark O s 0 Tz Tz 4t 4t 4t +213 l12 +ll3 Positiva l12 +l 12 -ll3 ll2 +ll3 Positiva ll2 -rlZ -l 13 ll2 +U3 Positiva 0 0 +r13 +t13 _213 Todos os mésons podem ser ent¿fo formados por uma combinação de um deses très quarks e um desses três antiquarks. As nove combinaç6es possíveis descrevem exatamente os números quánticos dos nove mésons de spin 0, à condição de que se suponha que o quark e o antiquark istejam em um estado t.Se no quâl sela momentos angulares totais sejam nulos, pois seus momentos angulares orbitais sÍo nulos e seu spins são essencialmente antiparalelos' Além 820 dísso, as ressonâncias mesônicas, cujos spins vão até 2, podem ser descdtæ pcrmitindose ao sistema quark/antiquark se encontrar no estado 3.9 ¡ ou nos estados t P6,t P, e t P2.. Os bárions podem ser considerados como combinações de estados,s de trés quarks. Exis. tern ao todo 27 combina$es possíveis e cada uma delæ posui números quánticos conespon- dentes a um dos bárions conhecidos. Estas partículas slÍo classificadænas confìguraçõesocteto e decupleto, ilustradas nas figuras 17-21 e 17'23, assirn como em duas outræ confìgwapes, umâ octeto e outrâ singlete. Estas duas últimas configurações octeto e singlete são populadas por ressonâncias bariônicas. Existem no entanto problemas com o modelo de quarks. Um desses problemas relacio- na-se com o fato de que o decupleto de bárions de spin 3/2 e paridade par seja composto por três quarks no mesmo estado .S com spins "paralelos" e tais que dois ou três deles sejam idên- ticos, como por exemplo 1l- = qúsqt,lsto não poderá ocorrer caso os quarks de spin l/2 sejam férmions, como pode ser visto em todos os outros casos envolvendo entidadescomspin l12. Um outro pr.oblema é que, apesar dos grandes esforços empregados, ntfo foi ainda possí- rel detectar um quark liwe. Se um quark fosse liberado de um sistema formado por dois ou trés quarks ligados, por ocæiã'o de colisões de altas energias produzidas por raios cósmicos ou por um acelerador, ete deveria se¡ estável já que sua carga não inteira nlío o permitiria decair de forma alguma sem violar a conserv¿ção da carga. Além disso, essa carga não inteira o torna. ria facilmente detectáræI. Talvez a nzão pel.a qual os quarks lirrres ainda nfo tenham sido observados provenha do fato de que as colisões visando sua produçâ'o ainda não sejam suficientemente energéticas. lsto é, é possível que tenham energias de massa de repouso extremamentc altæ e æ iuntem entrc eles para formar mésons ou bárions com energias de ligação igualmente elevadas, fazendo com que somente energias muíto altas sejam capazes dc separá-los. Experi€ncias recentes' envol' vendo espalhamento de elétrons de alta energia por prótons, têm indicado que o próton é com' posto por partículas puntifofmes. Estas partículas receberam o nome de pørtons mas, na reali' dade, podem ser quarks tigados. Esperare que futuros trabalhos exp€rimentais e teóricos possam esclarecer.a situaøo dos quarks na física quântica. í"\ lk- ,l\ i .* t. (- \ù k; Í { 2. 3. 4. 5. 6. 7. 'â r6it 'lÈ R "l .: q Eì !:. 1. \..: fi\ ; h rà I. QUESTOES Por que 3P¡ não é uma componente do cstado fundamental do dêuteron? O que é quc se pode dize r sobre t.Ss? Que experiências podem scr realizadas para testar a eústência de um s¡stema estiivel de dois prótons? E de dois nêutrons? No referencial do centro de massa, a seção de choque diferencial para o espalhamento nêutron-próton d isotrópica a baixas energias. Descreva qualitativamente o comporta- mento da seção de choque diferencial num sistema de referência em que o prófou alvo esteja inic¡almente em fePouso. Considerando-se o comportamento qüántico de um sistema de duas partículas idénticas, falamos de troca dæ coordenadas dessas partículas. Considerando-se o espalhamento nêutron-próton, falamos de troca dæpartículas. Qual é a razão dessa diferença? Por que a seçalo de choque diferencial de espalhamento próton-próton é necessariamente simétfica com relação a 90" no referencial do centro de massa? Explique por que a s€ção de choque diferencial de espalhamento é isotrópica se, e somentese,oestadol=0éoúnicoqueparticipadainteraçãoqucproduzoespalha- mento. Grande parte do que conhecemos sobre as forças que atuam nos átomos é obtida atra- vés do estudo dos estados ligados do mais simples dos átomos, o de hidrogénio. Por que é que apenas una pequena parte do que sabemos sobre æ forças que atuam nos núcleos é obtida através do estudo de estados ligados do mais simples dos núcleos, o do deutério? Por que é que o nome isospin é apropriado para ser usado no conc€ito discutido na seção t7-3? O princípio de exclusão pode ser expresso em termos de isospin? Veja a fìgura 174. Existe uma imagem física de como o momento de um méson z, transferido entre os cam' pos de dois núcleons, produz uma fotça atrativa entre eles? Do ponto de vista do princi pio de incerteza posição-momento, é realista supor que essa i¡nâgem possa scr encontrada? Que t¡pos de mésons z podem ser trocados em um espalhamento próton-próton? E no espalhamento néutron-né utron? Qual é a partícula que se forma quando um próton enúte um méson zr-? E quandoum néutron emite um méson a+? Por quc é que ocanrpo de próton nalo pode conter um méson z-, assim como o campo de néulron nâo pode conler um méson n+ ? Por que æ acredita que o caroço repulsivo de unt potencial núcleon-núcleon provém da troca de mésons mais pesados que o pion? L 9. 10. ll t2. t3. 822 27. 823 15. ló. 14. Com relação a um s¡steÍur isolado, que exemplos foram considerados nos primeiros cåPÍ' tulos sobre a conservação do número de férmions e sobre a nã'o conserrraçã'o do número de bósons? O que significa exatamente a afìsnaçã'o de que um pion tem puidade intrúrseca negativa? A comparação entre a taxa de decaimento em vôo de muons dos raios cósmicos com a taxa de decaimento de muons em repouso fo¡nece a primeira verifìcação experimental da dilata$o do tempo relativista. Qual seria uma maneira possível Para efetuâr tal compa' n$o? Os muons dos raios cósmicos têm sido tentativamente usados para descobrir cámaras fu' nerdrias escondidas nas pirâmides do Egito, da mesma foima que os raios X são usados para descobrir irnperfeições internas causadas por bolhæ de gás em peças fundidæ de metal, Por que sío usados muons? Existem outras pa¡tículas além dos neutrinos e antineutrinos que tém helicidades bem defìnidæ? Explique. Por que todos os quanta de ca¡npo Precisåm ser bósons? Existem quatro tipos diferentes de núsons K. Por que não se pode lhes atribuir o número quántico de isospin T = 312 p¡ua gue eles possam constiturr um quårteto de isospin? O que exatamente especilìca o número qu:întico estranheza.S? Por que é que, æm o conceito de estranheza, a produção abundante de partículæ Â0 e K é muito difícil de ær conciliada com seu decaimento lento? Como pode a estranheza fazer esa reconciliação? Existe algum conflito entre a afirmação de que o módulo do isospin não é consen¿do na interação eletromagnética e a afìrmação de que a componente z dos isospin é conser' vada em tal interação? Seja a experiência do decaimento É ilustrada pela figura 16'5. Considere que ela esteja sendo observada por intermédio de um espelho coloc¿do horizont¿lmente por baixo do núcleo ao invéi de um espelho colocado verticalmente ao lado desse núcleo. Exptiqræ como os argumentos do texto relativos ao ap¡uecimento da imagem no esPelho do con' jugado da carga devem ser modifìcados, mas de t¿l forma a conduzir à mesr¡r conclusão. Dê um exemplo de um sistema microscópico cujo comportamento æja invariante pela re. versão temporal de um sistema macroscópico cujo comPortamento não seia invariante com relação a essa operáção. Por que podemos dizer que o méson r0 é sua própria antipartícula? Todas as partículâs possuem ¡rntipartÍculas? O guÊ se Pode dizer a esse resp€ito sobre o fóton? Parece-lhe :;rtnável afirmar que r¡¡na ressonância mesônica ou bariônica é uma partícula elementar? O que é exatá¡nente uma partícula elementa¡? tt. 18. 19. 20. 2t. 22. 23. 24. 25. 26. 28. 29. É dito algumas vezes que a estranheza nf,o é o número quántico mais fundamental para ser usado, devido ao fato que a conservaç.lfo da estranhezâ é na realidade uma combinaçfo da conservaçlfo da hipercarga e da conservaçâo do número bariônico. Explique. Existem constituintes da matéria que nâo podem ser dcscritos at¡avés de combinações de quarks e antiquarks? 824 82s l. 2. 5. PROBLEMAS Considerc a discussalo do potencial ccntrífugo da seç5o I 5.8 e então: (a) Escrera a equa. ção que detcrmina a dependencia radial Â(r) da autofunça-o do déuteron, calcularrdo (7-17) para t = 0. (b) Mostre que ela também podc ser escrita sob a forma lt2 d2 uU\ - ,, ,f + v(r)u(r) = Eu(r) onde u(r) = rR(r) (c) Compare essa expressâo com a equaçío de Schroedinger independenle do tempo para problcnras unidimensionais. (d) Dê uma interpretaça-o física de u'(r)u(r). (e) Calcu. le e rié uma interpretaçalo física da massa rcduzida ¡l . Na equrçâo obtida no problcma l, considere o potencial núcleon*rúcleon l/(r) como sendo um poço de potencial quadrado de raio ¡'e profundidade /s, como indica a figura I 7-2. (b) Mostre por substituiçâo que a soluç:îo geral da equaçío obtida é u(r)= ¿ sen k¡r * B cos /c1r u(r\= ç¿-k'r * Dek" r 1r' r) r' (c) Calcule ,k¡ e k2 em termos de F, Vo e da encrgia de ligaçâ.o do déuteron Af. (a) Aplique à soluçá'o gcral obtida no problcma 2 as condiç6cs em que R(r), e conseqüen' temente que u(r), deræ ser finita, contínua, unívoca e ter as primeiras derivadas com æ nìesmas propriedades. (b) Mostre quc a aplicaçâo dcstas condiçôescmr= 0,r=r'e7+* conduz à relação J 2tt(Vo - LE) ,lTTEtr Mostrc, por substituiçâo, que a rclaçfro obtida no problema 3 tcm um¿ soluçllo com LE = 2,2 MeV (que é a energia de ligação do déuteron observada experimentalmente) quando o potencial tem um raio ¡' = 2,0 F e uma profundidade Vo = 36 MeY . (a) Usc os cálculos feitos nos problemas de I a 4 para estimar a dependência radial da autofunção relativa ao estado fundamental do d€uteron num potencial de raio 2'0F e profundidade 36 MeV. (b) Esboce o potcncial V(r) e a funçio u(r) = R(r)' (c) Esboæ tambdm a densidade dc probabilidade radial P(r). Um núcleon incide sobrc outro inicialmcnte em rcPousdÌ Sua energia cinética, que é tam- ?--t lt/2p(Vo - LE) |cotf-r'l=-Lh_l 4. I I L ij ir I lì. i:, t. t, I iì ii ir t; t; t.: ii I' iÌ li li h; t, t '{ þ -þ ä,w h 1ù Y\ q !./' h h !?l å Ð .þ tícula em qualqucr instante de tenìpo. Quais são as relações e¡ìtre estes dois conjuntos de nú. rncros? Segundo a física clássica, sdo y'=¡-ur y,=y t'= t d2xntfi= Fx dzvmV= Itr d2zm-* Fz dt" (^-l) (^-2) Estas relafes são conhecidas como Tronsþrnaça-o Galileatw. Os argunrentos sintples da físi. cã clássica que levam a elas são: l. Se os zeros das escalas de tempo utilizadæ nos referenciais diferentes sdo por definição iguais em algum instante e posição, entã'o segundo a física clássica as duas escalas de tcmpo per. manecerão as mesmas para todos os instantes e todas as posições, de forrna que r'= r. 2. Como por construção os planos x?' e xy coincidcm sempre, tenìos z' = z; e, de manei- ra s¡milar, temosY'=Y. 3. Como no intervalo de tempo entre zero e I' = t o plano y?' se move no sentido positivo do eixo ¡' uma distâ¡rcia uf, a coordenada ¡' será nrenor do que a coordcnada x por cste valor. Assim,x'=x - vt. A transformaçáo de Galileu constitui a resposta dada pela fr'sica clássica à primeira ques- tão proposta anteriormente. FIGURA A-1. Um sistcma dc ¡cfcrôncia x', y', z', f' sc translildando conr vclocid¡dc constantc ucnt relaçaìo a unr ¡cfc¡encial x, y, z, L Supomos quc os cixos x'c x scjam c¡linca¡cs- A resposta à scgunda questdo é dada pcla nrccánica clássica usando-se a transformação de Galileu para convcrtcr as equrçõcs dc Newto¡r no rcfcrcncial.x, )r, z, f .z' eixo cixo na forma que essas equaçõcs tomûrn rìo refcrencial x', y', z', ¡'. Obscrve quç para quc (A'2) seja válida é necessdrio que o rcfcrcncial x, y, z, t scj'à un relercnciul inercial, isto é, utrr rcfe' 830 cixo y cixo y' fencial no qual um cofpo que nã'o sofre açalo de uma força, e que está inicialmente em repouso' permanece em fepouso. Diferenciando duas vezßs cada uma das três primeiras equações de (A-l) em rela$'o a f' e usando a quarta P¿¡¡a escrever f' = f, é trivial demonstrar que Enr outras palawas, a aîÊleração da massa m medida no referencial com linha é a mesma medi- da no refercncial sem linha. Evidentemente , a Íazão é quc dois referenciais que æ relacionam por uma transformaçâ'o de Galileu na:o estão acelerando um em relação ao outro, de forma que a transfornração não modifica a aceleraçalo medida. Além disto' Fx'= Ft Fv'= Fv Fz'= F" dzx' dzx d{2 dt2 d2 x'mfr=Fx' d'y'_d'y dt'z dt2 d2z' d2z dfl dt2 pois a componente da forgaF que atuasobre rz na direção dos eixosx'ouxéamesma,qual' qurr qur seja o referencial em que a observamos, e analogamente este resultado vale para as outræ componentes. Calçulando as componentes sem linha da aceleração e. da forçacm (A-2) em termos'das duas correspoudentes com linha, mas sem mexer na mæsa, já que na física clás' sica a massa é uma propriedade intrínseca de uma partícula, cujo valor nío pode depender do sistema de referência, obtemos as equações de movinrento no sistema com linha d2 v' m---= Fv' dt'' ¿2 -, ^\= Fr. (A'3) dt'" Observc quc (A-3) tem.exatamente a mesma forma de (A-2). Portanto, parte da resposta à se' gunda equaçalo é que as equações de Newton, que governam o compoftamento do sistema me- aânico, nao'mudam quando fàzemos uma transformação 9e Galileu' O referencialx, y, z, t era um referencial inercial, pois dzx/dt2 = d1 yldtz = d2zldtl = 9 tt {= O' ge ('l1l)' vemos que x', y', z', t' também é um referencial inercial, pois rt2x'fdt'z - Ozy'ldt'2 = d2z'ldt'z =Ose F =0. Como as equações de Newton são idênticas em quaisquer dois referenciais inerciais, e co' mo o compoftamento de um sistema mecânico é governado por estas equações, temos então que os comportamentos de todos os sistemas mecán¡cos serão idênticos em todos os referen' ciais inerciais, embora estes referenciais se movam com velocidade constante em lelaçã'o uns aos outros. Esta previsão é verificada por um grande número de evidênciæ experiûìentais' A TRANSFORMAçÃO DE GALILEU E O ELETROMAGNETISMO A seguir, quefemos estudaf o compoftamento de s¡stemas eletromagnéticosquando faze' mos uma transformação de Galileu. Os ienômenos eletromagnéticos são tfatados na física clás' sica em termos das equações de Maxwell, que governam seu compoftamento, da mesma forma que as equações de Newion governam o comportamento de fenômenos mecánicos. Não vamos na verdaàe iure, u, transformações galileanas nas equações de Maxwell, como fizemos Para as de Newton, pois o catculo é complicado. Emvezdisso, enunciamos os fesultados:asequ¿lFes de Maxwell mudam de forma matemática sob uma transformação galileana,em grande contras- te com o @mportamento das equações de Newton. Também vamos discutir o signifìcado físico deste ¡esultado. Comooestudanteprovavelmentesabe,asequaçõesdeMaxwellprevêemaexistênciade pcrturbações.eletromagndticas que se propagam através do espaço com a maneira característi- 831 ca de movimento ondulatório. Os físicos do século dezenove, que tinham uria visão mecå¡ich. ta, estavam persuadidos que a propã8ação de ondas prev¡stes pelas equações de Maxwell exi6. ¡ia a existência de um meio de propagação mecånico. Assim corno as ondas sonoras se pto. pagam através de um meio mecánico, o ar, também, de acordo com este visão, as ondæ etetro. magnéticæ devem se propagar através de um meio mecánico, que foi por etes chamado de drer. Exigiu+e deste meio de propagaçâo propriedades bætante estranhas, píua que não ent¡ase em choque com alguns fatos conhecidos. Por exemplo, ele deveria nlto ter mâssa,já que âs ondas eletromagnéticas, como a luz, podem se propagù at¡avés do vácuo; mæ teria que ter proprie. dades elásticæ de forma a poder transmitir as vibrações que sã'o inerentes å idéia de movim€n- to ondulatório. Apesar de tudo isto, os físicos daquela época achavam que o conceito de éteÌ era mais atraente do que a alternativa de ondas eletromagnéticas se propagando sem o auxllio de um meio. Supôs-se que as equações eletromagnéticæ, na forma apreæntada por Maxwell, fosem. válidas para o sistema de refe¡ência em repouso em relação ao éter, o dramado referencÍal do étq.Uma solução destas equa$es levou a uma previsão do valor da rælocidade de propagaçâ.o du ondas eletromagnéticæ no vácuo. Este resultado foi de 2898 x 108 m/s = c, que, denìro do ero cxperimental, estava de acordo com o valor da velocidade da luz que fora medido por Fizeau. No entãnto, em um sistema de referência que se move com velocidade constante em re. laçáo ao éter, æ equa$es de Maxwell mudavam de forma, quando se usava as transformaç6es de Calileu para calculá-las no ¡eferencial em movimento. Como seria esperado, quando essæ cquações cram utiüzadas para obter uma previstfo da velocidade de propagação da onda ele- tromagrética que seria medida em um referencial em movimento reletivamente ao éter. ob- tinha-se que esta velocidade tinha um valor diferente de c. O cálculo complicado que previa a velocidade da luz medida em um sistema de referên- cia em movimento relativamente ao éter, feito ao transforma¡mos as equações de Maxwell em equações no sistema de referência em movimento, através dæ transformações de Galileu,e de. pois resolvendo essas novas equa@es neste referencial, nos deram a seguinte previsão simples: vluz em relaçalo a ¡efercncial cm movimento = "luz cm relaça-o ao éter - vrcferencial em movimento em relaçifo ao éter (A4) oîdc "lu, ., relaçâo ao óret = c. A previsá-o estava de acordo com duas idéias ffsicas simples: l. A luz se propaga com urira rælocidade de valor fìxo c em relação ao seu meio de pro- pagaçfo, o éter, da mesma forma que æ ondas sonoras se propagam com utna velocidade do mlor fìxo com relaSo ao æu meio de propagaçå'o, o ar. 2. A velocidade da luz em relaçâ'o a um referencial em movimento em relação do éter pode ser obtida através de uma adiçâo vetorial comum entre rælocidades relativæ. Deve ser obærvado que os argurnentos que justificam a adição vetorial das vetocidades sl[o na reatidade os mesmos que justifìcam a transforma$'o galileana. Por oxemplo, em um caso no qual todo o movimento está ao longo do eixo ¡' oux, (A,4) pode ser imediatamente obtida fazendo+e uma derivação em relaøo ao tempo da primeira cquação de (A-l), e usando+e a quarta, t'= t. Em resumo, a física teórica dos últimos anos do século XIX bæeava*c em três funda. ¡rientos: as equaFes de Newton, as equaçÕes de Maxwell e æ transformações galileanas, Quase tudo que podia ser deduzido a partir desses fundamentos estava bem de acordo com a$ exp' riências que tinham sido feitas até a época. Em relação ao que estivemos discutindo, eles Pre' viam que sistemas de refe¡ência em movimento uniforme relativamente uns aos outros efam completamente equivalentes no que diz respeito a fenômenos mecánicos, mas nÍio eram equiva' 832 lentes quando se tratava de fenômenos el€trolnagnélicos; havia um único referencial,o éter,no qual a velocidade da luz tem um módulo com valor numérico c. A E)OERIËNCIA DE MICHELSON.IúORLEY Em 1887, Michelson e Morley fizeram uma experiência que se mosttou de grande impor- tåncia. A experiência foi ptanejada com a intenÉ'o de estudar o movimento da Terra em rela- É'o ao referencial do éter. Como a Terra se movc em torno do Sol, pareceria não realístico faær a priori a hipótese de que o éter se movia com a Terra, e, como vamos indicar mais tarde, jít eram coñhecidas na época obs.qryações experimentais que contradiziam essa hipótese. Seria rnuito mais :ølzoável supor que o éter estivesse em repouso em relação ao centro dc mæsa do sis. tema solar, ou ao centro de massa do univeno. No primeiro cåso, a velocidade da Te¡ra enr rela. 6'o ao referencial do éter teria um módulo da ordem de lOa m/s;no segundo caso,cle seria um pouco maior. A idéia básica da experiência era medir a velocidade da lue cm duas direses perpendiculares a partir de um sistema de refer€ncia fixo à Tena. Se considerarmos por mo- mentos a teoria clássica, resumida na adiçtfo vetorial (44), veremos que a teoria prevê que æ velocidades medidas deverão ter valores diferentes quando a luz se propagar em dire$es dife- rentes em relação à direçffo de inovimento do observador através do éter. Embora a diferença esperada entre as duas velocidades da luz medidas fosæ pequena, de- vido ao lato de que a velocidade da Terra em relaS'o ao éter é pequena comparada à veloci' dade da luz em relaçâo ao éter, Michelson e Morley construíram um aparelho com um interfe¡ô- metro que seria suficientemente sensível para detectar e medir est¿ diferença, E eles se surPreen. deram extremamente ao verifìcar que não puderamdetectarnenhumadiferença.Eles,emuitos investigadorcs depois deles, repetiram æ medidæ com equipamentos aperfeiçoados, mas nun' ca se observou difercnça alguma. Apesar das previsões da teoria clássica, a experiência de Michelson-Morley mostrou que a velocidade da luz tern o mesmo valor, c, medida em direções perpendicularcs em um sistema de referência que se supõe estar em movimento através do refe'' rencial do éter. Estcs resultados chamaram a atcnção da maioria dos físicos, e muitos deles tcnta¡am in' ventar explicações que seriam consistentes com os resultados de Michelson-Morley e que ain' da mantivessem o máximo posível das teorias físicas então existentes. Entre essas expticações, foram notáveis a "hipótese do arrastamento do étcr" e a "teoria da emisslio". A hipóteæ do arrastamento do éter supunha que o referencial do éter fosse localmente fixo a todos os corpos de mæsa finita. Era alrît¡va porque explicaria os resultados de Michel' son-Morley, e não envolveria modificações nas leorias cxislentes. Mæ não poderia ser aceitâ Por muitas razõcs, entre as quais a principal se relacionava ao fenômeno astronômico chamado aber' raçaìo da luz. Era sabido, desde o século XVlll, que as posições aparentes das estrelas se movem anual¡ncnte em círculos de diâmet¡os muito pequenos. Este d um efeito puramente cinemdtico, devido ao movimento da Terra em tomo do Sol;de fato,d o mcsmoefeitoque fazcomquea chuva pareça cair fazendo um ângulo com a vertical para um observador em movimento. A par' tir desta analogia, é fácil ver que a aberração da luz não existiria caso a luz devesse se propagar com velocidade de módulo ,onrtrnt. em relação ao rcferencial do éter, e se este referenciat fosse arrastado pela Terra. Na tcoria da cmissão, as equações de Maxwell são modificadas de forma a que a velocida' dc da luz- t"iquc associada à vctocidatlc de sua fontc. tsto tambdm explicaria os resultados de Michclson-Morley, jd que sua fontc tuminosa estava fixa ao interfe¡ômetro utilizado para medir a Cifercnça das velocidadcs da luz; mas essa teoria dcvcria.scr rejeitada porque estava em'con- flito com mcdidas astronômicas relativas a estrclas binárias. Estrelas binárias são pares de estre- las que giram rapidamente em torno de seu centro de massa comum. Considere esse par num ins' 833 I ,''I '' I .\ f\v tr,\s ,l'{ ,'' \ ¡\ i .i, "t,! (: . I. ;. t, i' i1 ui, ','li'ii' l,l{ll' ) ) Þ .Þ Þ \ -'-:) "q \ ?i 'r) q. tante em que uma esteja se movendo na dùcça;o da Tcrra e a outra esteja se afastando. Entaì, se a teoria da emissão é válida:.¡, em relaç5o à Terra, a velocidade da luz de uma das estrelas seria maior do que a da luz da outra estrela. Isto faria com que as estrelas pareccssem se movcr em órbitas muito estranhas. No entànto, em l9l3 Dc Sitter nrostrou que os movimentos obseì. vados das estrelæ binárias são explicados de fo¡nra precisa pela mecánica newtoniana quando a velocidade da luz por elæ emitida é considerada com módulo indcpendente de seu movinrento. Todæ æ evidéncias experimcntais (incluindo as evidéncias de uma série de €xper¡éncias contemPo¡âneas extfematnente precisas) eram cons¡stentes apenas com a conclusalo de que nâo hÁ um sislemt especial de referência, ou referencial do éter, com a propriedade única de que ap€nas neste referencial a velocidade da luz tenha módulo igual a c. Exatamente da mesma fãr. rna que Para referenciais inerciais e fenômenos mecánicos, totlos os relereticiais em movimento relativo com velocidade constante são equivatentes, no sentido que a velocidade da luz medida em c¡¡da rçferencial tem o mesmo módulo c. Colocando de fornta sucinta a evidência experi mental: A velocitlade da luz no vticuo independe do novimento do obse¡vaclor e do movimento da.fonte. O POSTULADO DE EINSTEIN Einstei¡r Ioi, em 1905, o primeilr a percebcr que os f'ísicos deverianr abandonar o con. ceito enganador e infrutÍfero do éter. Ern ess€ncia, aceitou a hipótese de que a luz æ propaga através do vácuo, e que o vácuo é realmente vazio! Sem nenhum referencial do éter, o único sis- tcma de ¡eferéncia que pode ter algum signifìcado para um obscrvador medindo a velocidade da luz é.o ¡eferencial fixo em relaçã'o a ele mesmo. Entã'o não é de surpreender que um obser- vador em todos os casos obtenha o nresmo resultado numérico, c, quando ele mede o módulo da velocidade da luz. Einstein enunciou como unt postulado'. As leis dos fenöntenos eletronugnéticos, bem conn as leis da meciìnica, sõo os mesmas em todos os sistemas de referência inerciais, apewr de esles sislenas sc moverem uns em relaçdo aos outros. Conseqüenlemenle, lodos os refcrcncíais inerciais são complelamcnte equ¡valenles paru todos os fenômenos. Este postulado exigia que Einstein mod¡fìcasse ou as equações de Maxwell ou as transfor- mações de Galileu, já que as duas juntas implicam o conirário do postulado. Embora em 1905 a teoria da emissão ainda pudesse ser considerada aceitável, ele escolheu nao modifica¡ as equa- Ses de Maxwell. Foi então forçado a modificar a transfornlaçã'o de Galileu. Este foi um gesto audacioso. A crença i¡rtuitiva na validade das transforma$es galileanas era tão forte que seus contemporâneos nuncå æ haviam questionado seriamcntc. No entanto, como veremos; a trans- formação bem diferente adotada por Einstein em substituição à transformação galileana é ba- æada em considera$es físicas realísticas, enquanto quc a transformaS-o galilcana é flagrantc. mente não ¡ealística. Outra indicaçã'o da ousadía de Einstcin é que nossas considerações a-nterio. res implicam quc qualquer modificaçÍo nas transformaçõcs de Galileu exigiriam alguma modi' ficação correspondente nas equaçõcs de Newton, dc forma a que o þostulado continuasse a ær válido. Veremos em breve a quc rcsultado isto levou, mas antes devemos estudar i$ novas equ¡¡ções de transforrnação. SIMULTANEIDADE Considere a quarta equação das transformações de Galileu (A-l), quc é l'= l A eqttação diz quc a escala de tenìpo é a n¡esr¡ra para totlos os lugares e todos os instantes de 834 \ ì þmpo em quaisquer dr¡is sitemæ de referência se movendo uniformemente um em relaçlo ao outro. Isto é equivalente a d¡zer que existe uma esc¿la universal de tempo para todos estes re- ferenciais. Isto é verdade? Para descobri-lo, devemos investigar realisticamente os processos utili' ædos em medidas de tempo. Vamos inicialmente ocupa¡-nos com o problema de defini¡ uma escala de tempo em um único referencial. O processo básico envolvido em qualquer medida de tempo é uma medida de simultaneidade. Como escreveu Einstein, "Se eu digo 'Este trem chega aqui às sete horas', es- tou querendo dizer algo como: 'l) pontefuo p€queno do meu relógio indicar sete e o trem chegü sío eventos simultáneos'," Evidentemente, não há problema nenhum em determinar a simulta- neidade de eventos gue ocorrem basicamente na mesma posiç¿-o, como o trem e o rclígio pr6 xinø vsado para medir o tempo de sua chegada, Mæ fuí um problema na determinaçã'o da simultaneidade de eventos que ocorrem em posi@es separadas. Na verdade, este é o problema básico envolvido na construção de uma escala de tempo para um sistema de referëncia. Para que tenhamos u¡na escala de tempo válida para todo um sistema de referência, deve¡hos ter uma série de relógios distribuídos pelo referencial, de forma que sempre haverá um relógio próximo que pode ser utiliz¿do para nedir o tempo em suas vizinhanças. Eses relógios devem ser s¡ncro- nizados; isto é, devemos ser c¡rpazes de dizer, de quaisquer dois destes relógios separados I e 8: "O ponteiro pequeño do relógio z4 e o ponteiro pequeno do relógio I indicam 7 simultanea- mente". Os estudantes devem agora estar idraginando uma série de métodos para determinaÉo de simultaneidade em posições sep¡uad¡¡s. Todos eles certamente envolvem a tra¡¡smissão de sinais entre duæ posições. Se tivésæmos å nossa disposição um método. de transmissão de sinais com velocidade infinita, o problema de determinar a simultaneidade de eventos qu!, ocorrem em locais diferentes não seria maior do que o de determiná-la para eventos ocorrendo no mesmo local. Este era o ponto onde as transformações de Galileu estavam erradas, aosuporimplicita- mente a existência de um tal método de sincronizaçalo. Na verdade, este método não existe. Como estamos de acordo em sermos realísticos no desenvolvimento de uma escala de tempo, devemos usar sinais de sincronização reais. Sinais luminosos (ou outros sinais eletromagréti' cos) sao claramcnte os mais apropriados, pois tém a mesma velocidade de propagação sob qua¡s' quer circunstâncias. Essa propriedade simplifìca tremendamente o proc€sso de determinação de simultaneidade. Somos levados então à definiçdo de si¡nultaneidade para eventos separudos, dada por Einsiein: Um evento oconendo em um tempo t1 e posiça-o x1 é simultãneo aumeventoocorren- do em um tempo t2 e posiçõo x2 se sinais luminosos emititlos em t I de x I e em t2 de x2 chegø' rem simultaneamente øo ponto médio entre x 1 e xz, medido geometricamente. Esta defìnição, ilust¡ada na figurä A-2,faz a alirmaøo bastante razoável de que dois even- tos separados são simultâneos para um observador situado no ponto riédio entre sua¡¡ posi@es, se ele vê os dois acontecerem s¡multaneamente. Observe que na teoria de Einstein a simultanei dade no tempo não tem um significado absoluto, independente da localização no esPaço, como ocorre na teoria clássica. A definição m¡stura intimamente os tempos t¡ e t2e ascoo¡denadas espaciais x1 ex2. Uma conseqüência disto é que dois eventos que são simultâneos quando observados de um sistema de referência em gçral não são simu¡tâneos quando observados de um segundo sis- tema de referência qu€ estd se movendo em relação ao primeiro. Para verifìc¿rmos isto, consi- dercmos uma "experiência imaginária"'bem simples, adaptada de uma utilizada por Einstein. ' O t.t¡no vcnt dr¡ alcmão Gctlanken experiment (em inglês, thought expcriment) e foi inventado por [instein para dcsignar uma expcriência idcalizada, cuja rcalização nalo viola nenhuma lei da Física, masque evenlualmentc, por dificuldadcs prálicas, ruio pode scr efctivamente executada, O termo já apareceu no Ca' pítulo 3, Utiliza-sc também a forma equiralente "experiência imaginada". (N. do T.) 835 çam com que tanto (A-?) quanto (A'8) sejam válidas, isto é, que transformem umå equaçâo nr, outra. Somos levados pelas nossas considerações precedcntes a supor a æguinte forma para ¡g equações de transformaçllo ,,=7(x - ut) y'= y z'=z ¡,=7(r+ô) onde 7 é uma grandeza adimensional, presumivelmente enrclvendo a velocidade relativa dos dois referenciais, u, e a velocidade da luz, c, e onde ô é uma grandeza, também presumivelmente envolvendo estas velocidades, que deve ter dimensões de tempo. Vamos em breve determinat express6es para1- c ô, mas já podemos dizer que deræmos terT+ ¡ e ô + 0 ævfc+ 0. A razão distoéquepara?=leô=0(A-9)sereduzparaætransformaçõesgalileanas(A-l),queéo que deve oconer já que a transformaçâo galileana æria basicamente correta se a velocidade ¡ela. tiva u dos feferenciais fo¡ extremamente pequena comparada å velocidade c dos sinais usados para sincronizar os relógios nos referenciais. Introduzimos o termo editivo ô na quarta equaçÍo quando u/c ntÍo é pequeno porque segundo O' o tempo de qualquer evento mcdido por O deræ ær corrigido de um erro de sinøonização entre o relógio utilizado por O no evento e o relóglo rsado por O na origem, como loi discutido na nossa primeira experiéncia. Tendo levado em conta a sincronizaçlio, cotocamos o fator muttiPlicat¡\o ? na querta cquaçlfo para explicar a disaepância entre intewalos de tempo medidos por O'e por O, como foi discutido em nossa se- gunda experiência. Como foi também discutido al, deve apareceÌ o mesmo fator 7 na primeira das equações de (4.9) para explicar a discrepância næ distâncias medidas pelos dois obsenado- res. Como / e z são as distânciæ medidæ perpcndicularmente â dlreção de movimento relativo, supomos que sew vatores nÍo serão mudados pela transformação. Vamos agora verificæ se as fo¡mæ supostas eÌrt (A-9) podem realmente transformar (A'7) cm (A-8) e, caso isto.aconteçe, quais são necesariamente as exPressões Pefa ? e ô. Usando (A-9) para reescrever cada variável em (A'7) em termos das variáveis sem linha, temos .tr(x, -2rxt+u2t2)+y7 +z? =c2.f (t2 +2ôr+ô'?) Como devemos desta expressão obter (A'8), que não contém um termo com a combinat'o de va¡iáveis rf, o segundo termo no parênteses do lado esquerdo devt ser cancelado por algo no lado direito. E para que isto ocorra para todos os valores da variável independente f, ela deve se dever apenas ao segundo termo do parênteses à direita. Asim, devemos ter 1'2uxt = c2^f 26t 6 = -wlcz Observe que ô tem as dimensões de tempo, e que ô - 0 se U/c * 0, como previsto alrterior' mente. Uma reconsideração de nossa primeira experiência fará evidente o porquê da correçã'o de sincronizaçâ'o ô ser diietamente proporcional tanto a u quanto a x. Juntando os fatores de ¡2 e t2 nos termos restantes da equação, após substituirmos ô2 obtemos 840 x2 f2 (l - u2 fcz) + y2 + z' = c2 t2 "t7 (l - u7 lct) Comparando esta expressã'o com a forma exigida (A-8), veremos que podemos obtêra caso ^f (t -v2lc')= | I f- - ll - v' /c' Observe que 7 é adimensional, e que 7 + I se ufc * 0, também como foi previsto anteriormente. Considerando os resullados de nossa segunda experiência, nfo é surpreendente que Tenvolva a expressão \/@. Finatmente, usamos (A-10) e (A-l 1) para substituir 7 e 6 em (A-9), e completarmos com sucesso nossa dedução da transformação de Lorentz I x'=æ(x-u¡) {l - v" lc" (A-r r) (A-12)y,=y I- t'=-=(t-rxlc') \/ l - ù'/c- (A-lo) A transformação de variáveis de espaço-tempo da relatividade é chamada transformação de Larenlz pela razlo histórica de que equações com a mesma forma matertáticå (porém com um signifìcado físico bætante diferente, pois u representava a velocidade emrelação ao referencial do éter em vez de uma velocidade de qualquer reflerencial inercial em relação a outro'referencial inercial) foram propostas por lnrentz, retacionadas com a teoria clássica de elétrons, alguns enos antes do trabalho de Einstein. A transformação de l¡rentz se reduz, como é esperado, à transformação de Galileu, quando a velocidade retativa entre os dois referenciais, u, é pequena comparada â velocidade da luz, c. Mæ são encontradæ diferenças signilìcativæ entre as previsões da transformação de Galileu e æ da rigorosamente exate transformação de l¡rentz quandoué comparávelac.Elas ná'o foram observadas na física clássica porque as experiências apropriadas nfo foram feitas' Muitos resultados experimentais da física quântica, alguns dos quais são discutidos nesæ livro, mostram que a transformação de l-orcnlz é, de fato, a que descreve Precisamente t natvleza. Observe que para u maior do que c as equações da transformação de Lorentz nlfo têm sentido, pois tempos e coor{enadas reais sâ'o transformados em imaginários. Assim, capüeæ represen' tando o papel de uma velocidade limite para todos os fenômenos físicos. Vamos obter uma compreensfo melhor disto à medida que avançamos na teoria da rclatividade. A TRANSFORMAçÃO DE VELOCIDÀDE RELATIVÍSTICA Consi<lere a partícula mostrada na figura Â-5, sc movendo com velocidade u em um sis- 841 ,: '\ i1 I ,:"''\ .r. 1 í,;\ f\ fl\ f.,\ É.1'\ uli\ ,fi.\ f''t ¡-\ ,tt''\ /1\ :"''\ ,\ ) -) "þ \ .lrl tenra de refe¡ência O. Desejamos calcular a velocidade u' da partícula medida no referencial O', que está se movendo com ùolocidade v em relaçã'o a O. Medida no referencial 0, o yetor velocidade da partícula tem componentes tlx u- =-^d[ dy uy=î dz U, =-'dI ux dt ux-u rì I O vetor velocidade, medido no referencial O' tem componentes dx' ui' =-' dt' para istabelecer as rela@es exigidas, lomamos as diferenciais da transformação de lnrentz, (A-12), lembrando que u é uma constante. lsto dá dx'=J+W(dx - udt) dY'= dY dz' = dz I df ==(dt - udx/cz).tll - v' lc' Portanto obtemos I dx' @@x -vat) dt' I / udx\ udx 6[,-T) t-cu; dy . dy' dy dt |t' =- =- I / udx\ I / u2dx\ @|('-z-) @fl -z*) | / udx\ | / u2dx\@r'--r) ffi\-z") Estas equapes constituem a transfornração de velocidades relativística. Observe que quando uþ tende a zero, (A-13) tende às equações que seriam obtidas da transformação de Calileu. Uma outra propricdadc i¡rtcressante é quc é imposwel escolher u e v de forma tal que u', o módulo da velocidadc medida no novo referencial, seja maior do que c. 842 dv' dz' ui,=L y', =-' dt' ' dt' ur= dz dtdz t uu'¡-- c' ,,Frm ,wr ¡ --f c' (A.13) dz' lt'n =-=' dt' t/l - ut fc' u, ,*t¡ ---c' FTGURAA-5.UmapartículaemmovimentoobærvadaaPaltifdedoissistemasdefefcrênciaoeo,,como último se movendo com velocidade v em relaçalo ao primeiro' ConsideremosoexemploilustradonafìguraA-6.Quandomedidasemo,apartículaltemve. locidade 0,8c no sentido positivo de ¡ e â partícula 2 tem velocidade 0,9c no sentido negativo de x. calculamos a velocidade da partícula i medida em um referencial o' se movendo com a partícula 2 usando a primeira.qutþ de (A'13), cotnu¡ =u¡ = 0'8c e u = -0'9c' Obtemos ,, _ 0,8c - (-0,9c) - l'70c =0,99c . (-0,ec[0,8c) t,12'---T Asequaçõesdetransformaçãodevelocidadedemonstramsoboutroaspectoofatodecatuar **o u*" velocidade limite para todos os fenômenos físicos' MASSA RELATTVÍSTICA Foi enfatiz¡do que a modificação feita por Einstein nas equações de transformação exigi' ria alguma modifìcaÉo compensadoia nas eguações da mecánica, de forma que estas equações continuæsem a satisfazer à exigência de não trocarem de forma em uma transformaç5o de um refe¡encial inercial a outro se movendo em ¡elação ao primeiro. Vamos agora começ¿r a des¿n' volver a nova mecânic¿, que é chamada meaânica relativística' É cla¡o que é desè¡ável leva¡ à mecân¡ca relativfstica tudo da mecinica clássica que as yl' -0,9c , v=-0,9c + 0,8c I FIGURA Aó. Ilustraçalo de um exemplo de adição reþtivística dc vclocidadcs' 843 circunstånciæ permitirem. Veremos que é posível preservar a equaçâ'o de Nev¡ton para o mo. úmento, em uma forma equivalente à dada originalmente por Newton (A.14) onde p é o momento de uma partícula sobre a qual atua uma força F. Também é possível pre. 3€ryar ¡ lei clásica, intimamente relacionada a ela, da cons€rvação do momento para partículas em um sistema isolado [.0Ì ", oÏ,i"ur,],ni.", = l.J, ^ o*,i.ur,J'n.r (A.ts) Será até possível preservar a defìnição clásica de momento de uma partícula p= mv (A-16) onde m é sua mæsa e v sua velocidade. Mas para fazer tudo isto é necessário permitir que a massa de uma partÍcula seja uma função do módulo de sua velocidade, isto é, m = m(u) (A-t 7) A forma desta função deve ainda ser determinada. No entanto, sabemos a priori que devemos ter rn (u) = rrro s€ ulc 11 l, onde a constanle m¡ é a massa da partícula medida classicamente. A ¡azão disto é que quando uma velocidade câracterfsticå se toma muito menor do que a ve- locidade da luz, a transformação de l¡rentz correspondente æ aproxima de uma transformaçaio dc Galileu, e não é necesúria nenhuma modificação na mecánica. De fo¡ma a calcular a fun$o m(u), consideremos a æguinte experiéncia imaginária, Quan- do rnedidos no referencial x, y, z, t indic¿do na fìgura A-7, os obsenadores O¡ e 02 estão se mortndo em direções paralelæ ao eixo x com velocidades iguais em módulo e com sentidos opostos. Estes obærvadores têm partículæ idénticas, por exemplo, bolæ de bllhar B, e 82, cada ume delas com rnassa tno medidas quando elas estão em repouso. Ao passar, cada uma atira sua bola de forma tal que ela âtinja a outre bola com uma velocidade que, de seu próprio ponto de vista, s€ja perpendicular ao eixo x e tenha módulo u. Quando obiervados no referencial x,y, z, t, B¡ e 82 se aproximaralo ao longo de traje- tóriæ paralelæ que fazem ângulos 0 t ¡ = 0 tr com o eixo x, e retomam sobre trajetórias fazendo ângulos 0 1¡ e 0 2¡ em relação a este eixo. Supondo que o momento se conser e que a colisão é elrástica, é fácil mostra¡ que 01¡ = 0zl, e que os módulos das velocidades das bolas são os rncsmos tanto antes quanto depois da colisão. Ovalor¡ealde0¡¡ede02¡depende do parâme- tro de impacto d, que supomos ser tal Que 0¡ ¡= 0¡¡, conlorme é inostrado na fìgura. Consideremos agora o processo como-ele é visto do ponto de vista de O¡, como está ilrstrado na .figura A-8. O I atfta B¡ ao longo de uma linha paralela a seu eixo y com velocidade de módulo ü, que suporemos rm.rito pequena em comparação com c. Ela retorna ao longo da mesma linha com velocidade de mesmo módulo e com sentido oposto. Ele vë 82 manter uma componente x da velocidade constante e igual a u, a velocidade de O1 em relação ao O¡ , que va' mos supor ser comparável a c. De O 1 observa+e que a componente da velocidade de 82 ao lon- go do eixo y muda de sinal dura¡te a colisão, mantendo porém um módulo constante. Para calcularmos este módulo, notamos que a componente y da velocidade de 82, quando medida 844 do¡=- dt gar Oz, é ü. Então transformamos isto Para o referencial O1 com auxllio da scgunda cxpresfo ãe (A-13), e obtemos u{l - u2 f cz pata o valor da componente t, da velocidade de 81 quando ¡rrdida Por O¡. Os momentos na direç.lfo /, tânto de .B¡ quanto de 82 , rnedidos no refcrencial O¡ , sim. plesmente mudam de sinal durante a colisfo. Conæqüentemente, o momento total na direçãoy ão sisterna isolado de duas bolas que colidem muda de sinal. Se a lei de consenação do mo- FIGURA A-?. Uma cotisío simét¡ica entre duas bolas com massas de tepourc idênticas. mento (A-15) deve ser válida, o momento total na direção y antes da colisão deve ær igual âo momento na direç5o y depois. Isto pode ær verdade aPenas se e comPonente y totâl do mo' mento do sistema medido por O¡ for zefo antes da colMo. Calcr¡lando æ componentes y do momento como sendo as mässas vezes es componentes / da velocidade, conforme a defìniçlo de (A-16), e igualando su¡r soma a zero, obtemos uma equação que é obviamente inconsistente, æ insistirmos que æ duas massæ têm o \¡alor mo, a mesm quC elas têm quandO as m¡ssaS SfO medidæ em referenciais nos quais estão em rePouso. ¡, razfo d¡to é que segundo Or o módu' lo da componente da velocidade de 8¡ na diresl/ é u, enquanto que o módulo da componm' te da velocidade de 82 na dire ção y é u:/l - u' /c' . No entanto, se fìzermos com que a masa de uma partícula æja uma funSo do_ módulo de seu vetor velocidade totat, podemos satisfazcr à lei de corisefvação do momento'Como¿é muito pequeno comparado a u, o módulo do wtor rælocidade de 8z medido por o¡ é basica' runt. r, como podeser visto na fìgwa A{. O módulodovetorvelocidadedeE¡ vistopo¡Or é exatamente u. Portanto, em 01 esøeveríamos a lei da conservação do momento P¿¡fa as com' ponentes / como m(u)u - m($u,[-7'i7 =o n(u) = m1r¡tr77;7¡;' Como u é muito Pequeno em cômparaçâo a c, podemos îanr'm(u)= m6 e obter 845 f\ /r¡r f( I 9 þ rà içt ? : rt i .... :'hì '. i* Apêndice A Radiaçáo Emitida por uma Carga Acelerada Aqui daremos uma visalo bætante qualitativa da teoria clássic¿ da emissão de radiação eletromagnét¡ca por uma carga acelerada, restringindo-nos ao cåso de uma carga estacionÁria no vácuo que é subitamente acelerada até uma velocidade não relativística u ( c. Sabemos que uma carga estacionária possui æsociada a ela um campo elétrico estático E cuja energia por unidade de volume é dada por (B-r) Esta energia está armazenada no c¡lmpo e não se irradia. Se a carga se move com velocidade uniforme, há um campo magnético B æsociado a ela, bem como um campo elétrico, A ener- gia total a¡mazenada no cåmpo não estático de uma c.¿lrgâ se movendo unifo¡rBmente é maior do que a armazenada no cå¡npo estático de uma carga estacionária, sendo a energia adicional fornecida devido ao trabalho feito pelæ forças que inicialmente produziram o movimento d¿ carga. A densidade de energia neste caso é dada por p =!ro|' o=),0Ê ** u' (B-2) e a energia umazenada no campo se propaga junto Çom a ø,ÍEa. Podemos Yer que a energia, mesmo neste caso, não é irradiada, se fazemos uma transforma$o para um sistem¿ de refe- rência no qual a carga é estacionária, e aplicamos a exigência de que o comPortamento dâ carga, inclusive o fato de ela vradíar ou nâ'o, não pode depender do sistema de referência do qual ela é vista. Portanto, pÍua uma carBa com velocidade constante, os campos elélriø e magnético tém a capacidade de se ajustar de forma tal que nã'o há energiainadiada,embora estcs carnpos nâ-o sejam estáticos, Entretanto, para uma cuga aceletada, os .camPos elétrico e magtético não podem se ajustar de forma tal que a energia umazenada não é irradiada. Podemos entender isto quali- 85r tativanrcnte se consideramos o comportamento do campo elétrico. Na lìgura B-l descrevcmos este campo, desenhando algumæ das linhas de força que circundam uma carga que estava cm repouso no instante inícial f, sofreu uma aceleração a para ^ direita durante o intervalo de t d t', e ent¿Io continuou a se mover com uma velocidade constante fìnal. A figura mostra ¿s linhas de força em algum instante posterior f", vistas do sistema de referência que se move com esta velocidade u. A pequenas distâncias, æ linhæ de força são dirigidas radialmente a partir da posição atual da carya. A grandes distâncias, elæ se originam onde a partícula esta- ria caso não tivesse sido acelerada. A ntÃo disto é que informações a resPeito da posição da carga não podem ser transmitidas para locais distantes com velocidade infìnita, mas ap€nas com a velocidade c. Em conseqüência disto, há "dobras" nas línhas de força, encontradas entre uma esfera centrada na posição antes da aceleração e de raio c(t" - t), que é a distância mí- nÍma na qual o campo pode "saber" que a aceleraçã'o começou, e uma esfera centrada sobre a posição real e de lro;io c(t" - r'), que é a distância mínima com a qual o campo pode uber que a aceleração acabou. À medida que t" aumenta, a região que contém as "dobras" se ex- pandc pare fora com relocidade c. Isto é, cada "dobra" de ajuste se propaga ao longo de sua linha de força aproximadamente da mesma forma que um pulso produzido no extremo de uma co¡da esticada se propaga sobre a corda. O campo elétrico na região em que hd "dobras" tem componentes tanto longitudinal qu,lnto transversal à direçã'o de expansão. No entanto, se construfmos diagramas para vários valores de t",é fácil ver que a comPonente longitudinal some bastante repidaÍiente e pode logo ser ignorada, enquanto que a componente transversal æ smortece lentamente. De fato, a teoria eletromagnética mostra, por meio de cálculos basea- dos sobre a mesma idéia de nossa discussã'o qualitativa, que a grandes distâncias da região de aceleração (r" grande) o campo elétrico obedece å equação _qa ¿' ¡=-----;-Sêfto- 4ne6c'r (B-3) (84) Nestaequação,queéválidasomenteseuþ(l,r=c(t"-t)éomódulodovetorrquevai da região na qual ocone a aceleração a até o ponto no qual o campo transversal é calculado, e0éoânguloentrerea.AdependénciadeflemderpodeservistadafiguraB'l,edia' gramas comparáveis para valores maiores de f", e deveria ser claro da nossa discussão que f1 deva ser proporcional a q e a ¿. De forma análoga, há um campo magnético transversal se movendo junto com .E'1, e a grandes distâncias da região de aceleração seu módulo, se vfc 11 1, é dado por 11¡Qa Br =- sen d- 4ncr Estes dois campos transve¡sais que se propagam com velocidade c formam a radiaSoele' tromagnética emitida pela carga acelerada. O campo irradiado é polarizado, com E no plano de a c ¡ e com B lazendo ângulos retos com este plano, A densidade de energia da radiaçÍo d P=leol! *+tJ¿ Zlto ou,com c=lhñã deforma queB¡=E¡lc t_l-p=teoFl +-eo0! =¿o61 852 (B-5) 8s3 O "trctor de Poynting", que dil o fluxo dc energia por unida<te de área (isto é, a intensidade da radiaçeo) está dirigido ao longo de r e tem módulo Assim, de (B-3) g=p¿=esc9z¡ o2a' . ^.ç=-- sen'd- l6n2 eac3rz (B-6) FIGURA B-1. As linhas de força que circundam uma carga acelerada. Apenas aþumas das linhas sa:o mos- tradas. que também pode ær obtido a partL da relaçã'o que define o vetor de Poynting s=I e's l¡o Observe que nã'o há ene.rgia emitida na direção de aceleração, nem Para frente nem para trás (0 = 0o ou 180") e que a energia emitida é máima em uma diregã'o que faz um ângulo reto com esta direção (0 = 90o ou 270"). A energia irradiada se distribui simetricâmente em torno da linha do movimento acelerado e cm relaçâ'o às direções para frente e para trás. Vemos tam' bém de (f]-6) que a intensidade de radiação obedece à lei familiar do inverso do quadrado, .S a l/r2. Para obtermos a.taxa na qual a energia total é irradiada em todas æ direções Por urii' dade de teritpo, isto é, a potência, intcgramos.g sobre a áreade uma esfera de raio arbitrário ¡. Isto é. ,,(,. ,it It li i:: i;¡ :-l;i lii :[ì '' fiiii' [ìs[ì iì\- [r 6, ,"rÉLt) 4'' y,rç' $j,f $isil /frLl /: il".ò If' liuil'ir ![ i.*i,, ' lr'úl : i.r* I'i ?nn n= I s(ùal= I s@)2nr2 seno do"r -( onde dA = 2rr2 sen 0 d0 é o dlemento de área diferencial, na forma de um anel, sobre a esfera em uma região cntre 0 e 0 + d0. Calculando a integral, obtemos I 2 azaTR=--' - 4r.eo 3 cJ h tlt gue é a taxa de radiaÉo de energia pela carga acelerada. Verifìca*e que a taxa de radiação é proporcional ao quadrado da aceleração. Devemos observar que se tem que fornec€r energia para que seja mantida urna aceleraçâo linear consta¡rte da cuga, e uma parte dela apenas para compensår a energia i¡radiada. No en- tanto, a perda Por radiação é normal¡nente desprezÍvel a velocidades não relativístic¿s. No c¿so de desacelerÃcÃo, a energia irradiada é fomecida pcla energia atmaz¿nada no campo eletro- magnético da carga cuja velocidade está decrescendo. Esta é a radiat'o debremsstrahlung,dis- cutid¿ no Capítulo 2. Umaaplicaçâ'o freqüente de (B-7) é, leilaa umdipoloelétricovibrando.sejaumacargagvi. brando em torno da origem do eixo x com movimento harmônico simples. Então o desloca- mento da carga como uma funÉo do tcmpo é ¡ =,4 sen ost,onde A é a amplitude da vibração e ø=2Ívésuafreqüênciaangular,Aaccleraçãodacargaédadaporø=dzxldt2=-<^r2lsen ot = - t¿2¡. Se substituímos este valor de ¿ em (B-7), temos ^ =?n' ^4'r' (u.B)4nes3c' Devido a que x varia con¡ o tempo, a potência irradiada também varia com o ternpo conr a mesma freqüência de vibração do dipolo. o valor nrédio de¡2 = A2 sen2 c..¡, sobre um pcnodo de vibraçdo, entretanto, é simptesmente A2 12, de fornra que a tuia média de raciiação é dada Pof (B-7) (B-e) (B-to) q.. -' f¡ Mas qx é o momento de dipolo elétrico do dipolo vibrando quando a carga está em x. Assim q/ é a omplitude do momento de dipolo elét¡ico. Fazendo qA = p, temos a expressão útil OU, - azoiAz =:-----= 4Íes3c" - l6tta va a2A7R =---j-- 4Íes3c" - 4n3va D2 ¡R =----i 3esc' t,.,. Få (.. , ( (. ( 854 855 Apêndice A Distribuiçáo de Boltzmann Apresentamos aqui um argumento numérico simples que leva a uma aproxima$o da dis' tribuiç5ó de Boltzmann, e ent¡ó uln argumento geral ainda mais simples que verifica a forma exata -da distribuiçáo. consideremos um sistema que contém um grande número de entes físicos do mesmo tipo que estão em equilíbrio térmico a uma temperatura 1. Pua estar em equilíbrio, eles devem ,i, *p*, de troca¡ energia entre si. Næ trocas, æ energiæ dos entes vão flutuar, e em qualquer instante de tempo alguns vão ter energia maior do que a energia média, e out¡os menõr. No entanto, a teoria clássica da mecánica estatística requer que esru energias I sejam distribuídæ ægundo uma distribuição de ¡robabilidade definida, cuja forma é especificada por r' Uma razeo ãisso é gue o valor médio ã da energia de cada ente é determirudo pela distri' buição de probabilidades, e E deve ter um valor definido pa¡a um I particular' par¿ i¡strar essas idéias, consideremos um sistema que consiste de entes, do mesmo tiPo' que podem conter energia, urn exemplo se¡ia um conjunto de molas idênticas., onde cada uma delas contém energia se seu comprimãnto está va¡iando. Suponhamos que o sistema estejaiso' lado do meio que o circunda, de forma tal que a qruntidade total de energia sejaconstant€'e suponhamos também que os entes podem trocar energia entre si através de-algummecanismo' de form¿ tal que os oonstituintes do sistenu possam ficar em equilíbrio térmico entre si' Apenas com o objetivo de simplifìcar os cálculos subseqüentes, vamos' Por agora, suPof também que a energia dõ c¿da ente eitá restrita a um dos valores I = 0,48, 2^48, 348, 4A8, " 'Posterior' rnente, faremos com que o intervalo A8 tenda a zBrc de forma que todos os valores daenetgia æjam permitidos. Para simplificar ainda mais, vamos inicialmente suPof que hajl.ap€nas quåtro 1u- ni*ro pegu€no .r*ihido arbitrariamente) entes no sistema e que a energia total do sis' ù*" tunf," o'vior'348 (que também arbitrariamente é escolhido como sendo um dos peque' nos múltiplos intei¡os AeãA que a energia, pela hipotese acima,-deve ter)' Posteriormeute vamos genereliz^f istO a sistemas que tenham urn gf-d. número de entes e qualquer energia total. Devido a que os quatro entes podem trocar energia entre si, podem oconer todas as pos' síveis divisões da energia total 3Á8 entre os quatro eñtes. Na fìgura C'1, mo^stramos todas as posiveis divisões, l¡r6â¿as p.t" t t* i. Paral = l, três entes têmenergia I =0 e o qua¡to tem g = 3Ag, nos dando a energia rotal exigida 3À8. Na realidade, M quatro formas dife' rentes de obter tal divisão, porguã guatquer um dos quatro entes pode ser o qtæ está no estado Mas segundo a lei clássica da equipartição da energia, como expressa em (l-16), para oscilado. res harmônicos simples em equilÍbrio a uma temperatura I 8=kT (c{) onde aconstante de Boltzmann é k= 1,38 x l0-23 jfK.Combinando (C-3) e (C4), temos 8o=kT (c-s) Este ¡esultado é correto para entes de qualquer tipo, embora o tenhamos obtido para o cæo particular de osciladores harmônicos simples. Assim podemos escrever (c.l) como n(8) = 1¿-elkr (c-6) F,sta é a famosa dl'sfr¡åu içîo de Boltzmann. como o valor de I nã'o é especifìcado, (c-6) na rea. lidade se referc a uma proporcionalidade: o número provável de entes di um sistema em equilí- brio a uma temperatura ?nque estão em um estado de energia géproporcionTls¿-G/kr.g*- presso em termos diferentes:a probabilidade de que o estado de energia g seja ocupado por um ente é proporci6¡s1 a ¿- a/ kT . , O valor que escolhemos parå a constante I é ditado pela conrrniéncia. No Capftulo I aplicamos a distribuição de Boltzmann a um sistema de oscitadores harmônicos simplei. Como foi discutido af, em um sistema deste tipo n(8) d8 é proporcional ao número provável de osciladores com energia no intervalo de I a S + d8, já que os estados de um oscilador har. mônico simples sfo distribuídos uniformemente em energia. Evidentemente, n(g) dg tamgm é proporcional à probabilidade P(S) d8 de encontra¡ um oscilador particular com energia neste intervalo. Assim temos, como em (C-2), P(8) = þ¿-alao desde que a constante B seja escolhida apropriadamente. Isto é feito se coloca¡mos ff-r J P(f")ds=J Be-alao dE,=B l¿-eleo ¿6=1 (c-7) Isto é, defìnimo, r1T¡ ¿a comoosen¿o a probabiliide de encontrar um oscilador harmônico sìmples particular com energia entre I e I + d8, e assim, para termos consisténcia, devemos eigir que /i P(8) d8 tenha valor um, porque a integral é ixatamerfte a probabilidade de en- contrá-lo com quatquer energia. Calcula¡do li e-elso d8 em (C-7) e depois resolvendo a equaøo para termos o valor de B, encontramos B = llkr..Assim temos uma forma especial da distribuiç'f[o de Boltzmann P(8) =e-6'leo KT que é usada.no Capítulo l. 860 (c3) 861 Apêndice As Trajetórias do Espalhamento de Rutherford A fìgura 44 most¡a os parâmetros da trajetória do espalhamcnto de uma partícula leve com carga positiva +e por um núcleo pesado com carga positi tZe. Vimos no texto que o momento angular I = Mr2 tl,p/tlt é constante, Porque a força que atua sobre a partfcula cstá sempre sobre a direçtfo radial. Vamos então aplicar a lei de Newt<¡n Para a componente radial do movimento, para detcrminar a trajetória da partícula' De F = Ma, obtemos #=,1#-'(rJl (D-1) onde o terrno à esquerda é a força de Coulomb e os termos å direita sâo como se segue: d2 rfdtz éaaceleraçãoradialdevidaâvariaçâ'onomódulodere-r(d,tld!)'=-rri'réaaæleraçfocen' trfpeta (que também está sobre a direção radial) devida à variação na direçffo de r. Para ob- termos e trajetória, precisamos achar ¡ em funçfo de 9. A solução de (D-l) fica simplificada se escrevermos a equação não em termos das coor' denadas r e p, m¿¡s em termos das coordenadas rr,9, onde r=llu (D-2) Então dr dr do dr du dq -=--dt do dt du dç dt dr I du Luz L.duÈ= ---- =---dt u2d'pM Mdp I åi t. i i i t. I ii ,,:i ( L \ t (:' (' ( Þ.,, I Jy I4t à -l:J) ¡ \..i..; ¡ ¡ tt \i. -. I ¡, 4 x \'j ,ì I' ! l' d7r L7u2 dlu ìf'1 d2ø Lzu2 d2u t ffi' zZe2 u2 lrf dp' u 4neoM dzu zZe?M zZezM dg' 4nesLz 4nesú2uzbz já que L = Mvb, onde u é a velocidade inicial da partícula e å é seu parâmetro de impacto, de- fìnidos na figura 44. Se fìzermos p = (zZez 14rcùl(Mu2 l2), como em (44), essa expressão æ simplifica, f¡cando dzu D oÊ *u=-E (D4) Esta é uma equaçå'o diferencial ordinária de segunda ordem para u como unra furçfro de g. A nluçäo geralde (Da) é u=Aøsg*Bæn,p-Dl2bz que contém æ duas constantes arbitrárias,.4 e B. Podemos mgstrar que (D-5) é de fato a so- lução de (D4) calculando du ã=-nseng*Bcosg dzu @=-'lcos9-Bseng e substituindo estas expressões em (D4). Isto nos dá -,{ cos g - B *n I * A cosg*Bscn, -# = -Dl2b2 Esta identidade mostra a validade da solução geral. Para obternros asolufio parricular, dcvemos calcula¡ as constantes,4 e B. Exigimosque 862 dt2 d2r ã= Substituindo esta expressão em (D-l), temos (D-3) (D-s) (D5) esteja de acordo ømascondições iniciaís:g'0quando r+@edrfdt- -uquando f + @. Assim I u=--0=A r D cos0*8sen0-f DA=- 2b' Portanto, a soluSo particular é dr = -L du = -, = -Lt-nsen o +B cos o)dt Mdq M- MuMulB=-L Mvbb DLD u=- COS g *-æn- 2b2 ---' b 2b2 llD ;=;""v+#(cos,p- l) (D'6) Estaéaequaçãodaórbita,dandorcomoumafun$ode9'Vemosqueatrajetóriaéhiperbó. lica,já que (O-6) é a equação de uma hiperbole em coordenadas polares' 863 E Apêndice Grandezas ComPlexas O nùmero imaginario i é uma unidade defìnida de forma tal que i2 =-l ou ¡=J:t (E-1) onomeéapropriadoporquenenhulnnúmeroreal(istoé,comum)temquadradonegativo.Um número complexo z pode ser escrito na forma geral onde ¡ e y sã'o números reais. o número x é chamado de parl e reøl de z, e y de parte irøsíndria dez(emúoraysejareal).Observequezsereduzaumnúmeroreal puroæy=0'eaumnúme' ro imaginário puro se x = 0' õ, núrn.ro, complexos obedecæm às mesmas leis da álgebra que se aplicam aos números reais, exceto com relação à propriedade especilìcada pela definiçã'o (E l).4 definição de igual' dade é estendida, de forma ial que dois núnlrro, complexos são iguais se e só æ a parte feal de um for igual à parte real do outro, e ã parte imaginária de um for igual à parte imaginária do outro. Isto é. xt =x7 z=x*iy zt =zl It=!z (E-2) (E-3") (E.3b) implica que e vice-versa. O complexo coniugado do número z -- x * iy é escrito cÃÍno z+'e é definido como (E4)z.=x-ly 865 -t \ ; Ð -Ð 'h "p .|à ,ø ià .,ri¿ ,ì )j¡. R f,\ ,Þ t.} d h h iì ¡ !, {,. Apêndice Soluçao Numérica da Equaçao de Schroedinger IndePendente do Tempo para um Poço de Potencial Quadrado Em mecánica quântica' bem como em outfos camPos da ciência e da engenharia, muitos dos cálculos que apafecem no trabalho profissional atual são feitos em computadores através de téøric¿s numéricas. Em alguns ."tot . f*çao energia potencial na qual estamos interessados tem uma forma tal que sua eluaçeo de Sctuoedinger independente do lempo não pode ser re- sotvida mesmo pelæ-téøricæ .nriiti.tt mais gerais (pot :. zöes explicadas no Apendice H)' Em outros, as soluses analíticæ podem ser obtidas, mas soluses numéricæ podem sê'lo de forma mais convenienie se for possívãl a utilização de um computador adequado' - Como uma simptes i¡stra$o dæ técnicas numÈricas, e dos "qilculos imaginários" da seção5.?,vamosobteraquiurnasotuçøonuméricadaequaçãodeSctuoedingerindependente do tempo para a função energia potencial I/s, u¡rla constante v(x)= 0 x 1-al2 oux) *af2 -ø121x 1+ø12 (F-1) Este é o chamado poço de potencial quadrado , por motivos gue ficam evidentes se olhafmos o gráfico de sua forma, na fijrua F-!. Pa¡¿ esse potencial simples, podete obter uma solução nu' mérica em um tempo razoãvelmente curto usando-se "p"no utn" aolculadora pequena' se não é necessária uma precisão numérica muito grande. A equa$o de schroedinger independente do .tempo pa¡â esse potencial particular tamblm poae sei trãtada com téøricas analític¿s bætante sirnples (veja o Apendice'C), J. forma que poderemos comParar os resultados da solução .*.i. *t õs rssultados aproximados obt¡Oos a partir de nosa solu$'o numérica' . Dos argumentos da seção 5-7, sabemos que o comportat.nto dt uma solu$o ú(x) da eqrução de Schroedinger indepndente do tempo (545) ry='ff rr<.>-Etúo) 81t V(x) = ¡ro ¡=0 u=0 x= +alz u=+0,5 FIGURAF-1. UmpoçodepotencialquadradocumrâlorsupostopararcnerghtotelSdeumapartículali- gada neste potencial. para a encrgia potencial V(x) e para a energia total f,, deveria ser completaÍrcnte determinado para todos os .x pela equação e pelos valores iniciais supostos de r/(x) e dt6\ldx. Para ver isto cxplic¡temente, observe que podemos c¡lcrrlu os valofes da solução e sua primeira derivada em um ponto.rr, próximo do ponto inicial xq, em função dos valores destas grandezæ no Ponto inicial, da forma qræ segue. Pare (xt - xo) muito Pequeno, o valor da soluçâo em.r L que le- prescntarcmos por [ú(¡)]r. , é dado, pela defìniçâo de derivada, por onde [f(x)]r, é o vator, suposto conhecido, da soluçfo €rI1 .16, e ld{t(x)ldxlro é o valor, também suposto conhecido, de sua de¡ivada neste ponto. Uma fórmula similar pæaldþ(x)ldxl, . em termos das grandezas conhecidas pode ær obtida a partir da equaçfo de Schroedinger inde'- pendente do tempo se a escrevernos como d.-,te) - d l_l/fi,l. -2! ,,,,-, Fr.,,/-ì-=-l-t=-- IV(x)- Elú(¡)¿tz dxL dx J h'1 e então e multiplicarmos pela diferencial dx, obtendo [ú(x)].-, - [ú(x)],. = [ry,r] ,o (', -'o) ,['P] (F-2) 2m=- h2 Lv(x) - Elit(x) dx Dc acordo com a defìniçáo de uma diferencial, isto é (F-3) desde que (x, - ¡o) æja sufìcientemente pequeno. Reptindo+e o Processo a partir dc um noyo ponto inicial x L podemos obter os valores de t$) e dtþ(x)ldx em um ponto próximo x2 ' Continuando-se nesse processo, podemos obter a solução e suas derivadæ para todos os valores de ¡. Para aplicar (F-2) e (F-3) à funçlfo potencial dada por(F-l),é bastante conveniente divi- 872 [#1,, - [#1,. = ff v<'t- El" rú(x)]'o ('' -'o) dirmos todas as expressões pela largura a do poço quadrado. Dessa forma, æ equaç6es podem s€r reescritas em termos da variável espacial adimensional A equaçâ'o (F-2) se toma u=; [¿u,øll =[ú(u)1," * Lì-J," (u, -r¡o)[ú(u)1,, (F4) (F-s) (F-7) (F-8) (F-e) e (F-3) fìca r 1 'rrlrfu\1 zr*'lII9l =l"iY' | .+tv@)-El,o[r(u)],.(u¡ -ae) Fó)L du J,, L .- J,. Evidentemente, devemos especifìcar a profundidade lze do poço de potencial quadrado se qræ. remos obter uma solu6o numérica para a equâção diferencial. A forma de (F.6) sugere que Po. demos fazer isto de uma forma mais conveniente se especifìcarmos o valor da comblnaçlfo adi- mensional de parâmetros 2ma2 Vollf , Para nossos objetivos, podemos escolher qualquer vator razoável. Portanto fazemos, de forma arbitrária 2ma2 Vn - *-=e Se também fìzermos a encrgia total igual a E=aVo onrte o é um parâmetro adimensional, então (F'6) toma a forma adimensional onde [ ¿ør,ll f ¿'t't ill-+l +[C(l)],"['r(u)]u"(ur -rlo) L ou J,, L d' )"" 2ma2aVs c(u) = 2ma2 2ma2 Vn t, Ívr-El=- h' Il-ol=6aIl-al Vamos fazer os cálcutos numéricos com (F-5) e (F-9), que tornamos adimensionais porque tais cãlculos só podcm ser feitos com números puros. Os cálcutos serão feitos com a intençâo de dctcrminar aproximadamente a cncrgia mínima possívcl /:', e a forma da autofunção cofrespon' rlcn te ry', pr6 u6 partícuta de massa m ligada fro poço de potcncial quadrado especifìcado por (F-l) e (F-7). 2ma2 E Ir2 =-64a h2 -0,5(u(+0J (F-10) u(-0,5ouz)+0J 873 t ,c'f $ ( t' I : ,g -;i -Ðj ì d à Ð ' 'À \.d', À .új I ì SabemoS, contudo, dos qrgumentos qua.litativos da seSo 5-7, que na regialo do interior do poço quadrado a autofun$ð correspondente å energia mínima vai ser algo æmelhante à metade de uma frafo co-seno, ajustadâ à região. No entånto ela vai tcr um comprimento dc onda maior, já que se estende para a região exterior. Calculandoomomentop correspondente a meio comprimento de onda tr/2 = a ajrstandoo à região interior, a partir da relação de de Broglie p = h^= hf2ø, podemos usar a energia correspondente g= p2 lLm= h2 l8ma2 =n'hz I 2tta2 pøra nos ajudar a lazs uma estimativa do valor real de f, e economiza¡ bastante esforço no cálculo numérico. Em termos de o, o valor estimado de E é a = E/Vo = lnzhz l2rnaz)l (32h2 lna2) = Íz l& = 0,154. Como estimamos À por baixo, f e û estão superestimados. Por- tanto fazemos uma suposição e tentamos, para valor inicial no cálculo, o valor a = 0,100. Considerando o que observamos com os argumentos qualitativos, é evidente que a auto- funçã'o para a energia mínima possível neste potencial deveria ser simétrica em torno do ponto u = 0, em relação ao qual o potencial é simétrico. Isto simplifìca bastante as coisæ, pois preci- samos fazer os cálculos para a região uÞO,e porque a simetria nos conduz imed¡atamente à conclusão que dþ(u)ldu = 0 em u = 0. Devemos portanto iniciar os cãlculos em u = 0. Como a escolha de þ(u) emu = 0 é irrelevante devido à linea¡idade da equação diferencial, vamos tomar ú(u) = + 1000 neste ponto. Obteremos uma precisâo suficiente tomando ttt - uo = 0O50, etc. O primeiro cálculo está mostrado na tabela F-I. TABELA F-l Uma Integração Numérica lq{ +*J \ 'I à {,"i 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0100 0ls0 0,500 0,550 0,@0 0,650 0,?00 0,750 0,800 0,850 0,900 0,950 I,000 a = 0,100 - ó,40c=+s1,6 + I ,000 + I,000 +0984 +0,952 +0,904 +0,84t +0,764 +0,673 +0,570 +0356 +0,333 +0,203 +0,t 2t +0,068 +0,032 +0,006 -0,0 l5 -0,035 -0,058 -0,086 -0,t22 0,000 -0,320 -0,æo -0,95s -1,260 - I ,549 -l,818 -2p62 -2,277 -2,459 -2,605 - I ,646 - I,061 -0,7 ¡ 3 -0,5 t 7 -0,!25 -0,408 -0lsr -0,552 -0,7t 9 -Q,967 0,000 -0,0r 6 -0,032 -0,048 -0,0ó3 -0,077 -0,091 -0,103 -0,1l4 -0,123 -0,r30 -0,082 -0,053 -0,036 -0,02ó -0,02r -0,020 -0,023 -0,028 -0,036 -0,320 -0,320 _0315 -0,305 -0,289 -0,269 -0,244 -0,2 r 5 -0,182 -0,t46 +0,959 +0,585 + 0,348 +0,196 +0,092 +0,017 -0,043 -0,10r -0,t 67 -0,248 I -a=0,900 0(u(0,500 ¿ ) 0,500 dtltldu (dtltldu) M C,tAu Ì I r 1 q..-, b \ f. ¡.; .Þ' (. ,, )* 874 875 A primeira linha da tabela especifica os valores suPostos de ú(u) e dÚ(u)ldu em u = 0, e faz parte do primeiro pæso do cálculo. Todas as entradas nessa linha são grandezas cåtculadas puau=0,000.Aprinreiraentradaéovalorder/;asegudaéovalordedtþldu;atercei¡aé dþ ltlu ¡¡¡tltipltcada por Au = 0,050, a variação em u d¡ primeira linha para a ægunda; e a quar' ta entrada é ', multiplicado por cau. Para todæ as linhæ, até o valor de u = 0150, cau = -6,40 x 0,050 = -0,320; após este ponto, CAu = *57,6 x 0050 = *2,88. A segrurda linha completa o primeiro pæso do cálculo e laz pafte do pæso seguinte. Dc acordo com (F 5) e (F-9), a primeira entrada na segunda linha é a soma da primeira e terceira entradas da linha anterior; a segunda entrada é a soma da ægunda e guarta entradæ da coluna anterior. O mes' mo esquema é seguido para a construção do restante da tabela. O cálculo foi terminado em u = I ilgg porque {' estava tendendo rapidamente ¿ -æ, coÍlo pode ser visto no gráfìco da fìgura F.2. lsto ocorreu Porgue o valor escolhido de c e¡a muito grande. Em conæqüência, { se encurva muito rapidamente na região interior, e conseqüentemente vai passar pelo zero apenas um pouco fora ãesta região. Apos passar por zÊro, nada pode ser feito para evitar qræ f vá para --. 1,0 0.8 ë o.q) 0,2 - o'' o' FICURA F.2. Uma soluçaio da c4uaçalo de Schrocdi¡gcr independente do tempo para um Poço de potenciai quadrado. n soluça:o começ¿ a tender para menos infinito em gandes tt Porque o valot su' Posto da energia total é lþciramente grande' um segundo cálculo, usando a = 0,098, é mostrado na tabela F'2.8*e cálcr¡lo está dese' nhado na figura F-3. Ete também falhou, mas no sentido oPosto, porsle 1 seafastoudoeixo na região exterior , **.çou a tendef a *-- No entanto, os resultados dos dois dlculo¡ in' dicam- que o valor posíveí de a está entre 0,100 e 0O98, e uma comPara$o das duas crwas dá a impressão que ele está um pouco mais próximo do limite inferior. Outros cálculos podem ser usados prfa estre¡t¡u esses limites, mA$ s€ria necesário diminui¡ o valor de A¿ e aunpntar o número de casæ decimais, de forma a diminui¡ a imprecisão numérica do cálculo' Uma solufo para a eqruso de Schroedinger independente do temPo para ess€ ry":Îtt r¡sando método¡ analíticos (veja Apcndice G) dá c = 0,0980 p.r. . t'nã' energia posível' A concordância com nosso sálculo numérico é boa, mas não perfeita, devido à imprecisão numérica já mencion¿da' A solução analítica tambem mostfa que há dois outros valores posíveis para a energia de estados ligados, correspondenter . o = o,¡g¡ e r = 0,808. Evidentemente, qualquer energia não ligada, correspondend o a eÞ l,é Possível. 1,00,40,2 onde krr='/Tñ{vf,-Ðlh Para determinar as constantes arbitrárias, inicialmente impomos a funções permaneçam finitas para todos os x. Consideremos (G-2) dente que essa exigência obriga que D=O De forma análoga, é necessá¡io fazer F=0 pafa que (G-3) se mantenha fìnita no limite ¡ + *-. Imponhamos agora autofun$es e suas primeiras derivadæ sejam contínuæ em ¡ = -a12 e x quatro equações. Elæ são - A sen (k ra 12) * B cos (kra 12) = çr- k ,ta I 2 A k', cos (k ra | 2) + B k, sen (k ra | 2) = ¿ ¡ç r r¿- k pa I 2 A sen(kral2) + I cos (kpl2)=Ç¿-kPl2 ,4,t, cos (kral2) - 8,t, sen (kral2) = - 6¡rr"- k ¡a 12 Subtraindo (G-6) de (G-8), temos 2A æn (kral2) = (G - C)e- k¡alz Somando (G-6) e (G-8), temos 28 æs(kral2)= (G + C)e-knal2 Subtraindo (G-9) de (G-7), temos 28 kr sen (kra 12) = (G + C)kne- k rra 12 Somando (G-7) e (G-9), temos 2Akrcos(kral2)= -(G - C)krre-krf 12 Se B * 0 e (G + C)# 0, podemos dividir (G-12) por (G-l l), e obtemos krts(kra12) = k, *B*0e(G+C)+0 Se A * 0 e (G - C)# 0, podemos dividir (G-13) por (G-la), e obtemos com f ( Izo exigência de que æ auto- nolimite¡+-æ.Éevi- (c4) (c-s) a exigéncia de que æ = *a12. S¡o obtidas (c-6) (c-7) (c-8) (c-e) (G-r0) (G-r r) (G-r 2) (G-13) (G-14) (c-15) 880 k, cotg (kral2) = - k, æ,4 *0e(G - C)*o Então (G-8) fica 881 É fácil ver que (G-la) e (G-15) não podem ser satisfeitæ simultaneamente. Se pudessem, a equação obtida ao somarmos estæ duæ krtg(kra12) + kr cotg (kral2)= O seria válida. Multiplicamos por tg(krø12). Então a equação fica k, tgz (kra12) + ,t, = 0 tg'1 1*ra¡z¡= -1 Mas isto nã'o pode ser válido, pois tanto &¡ Quanto a12são reais.Portantoéposswel apenasor. satisfazer a (G-la) e nã'o satisfazer a (G.15), ou satisfazer a (G-15) e nfo satisfazer a (G.la). As autofunções do poço de potencial quadrado são de dois tipos. Para o primeiro tipo kt ts(kf 12) = kü A = o (c-16) G-C=o B cos (kra 12) = çr- k rta 12 G = B cos (kra l2)ek ua 12 = ç e as autofunções são Então (G-8) fìca Para o segundo tipo lB cos (k ra 12)é na I 2 7sk n x ú(x) = [¡ jcos (&,x) lB cos (k ra 12) 4 ¡a I 2 1r- k ¡ x x< -a121x x (c-17) -al2 1a12 ) al2 krcotg(kral2)=-k, B = 0 (G-18) G*C=O A sen (kral2) - 6r- krro 12 G = A sen (k ra l2)ekrro 12 = ; C ( ,,:: '\ E ( ( 't d "( ( ( ,:, 3 å å il .:a "l e as autofunções são [ -,4 sen (kralz¡éuolzPktrx þ(x)= [Alsen (,t,x) IA sen (krø|2)ek uo l?le- k u* de forma que a equaçfro fica x 1-al2 -al21x 1al2 x)al2 Consideremos a primeira cquação de (G-16). Substituindo k, e krr, e multiplicanilo tudo por al2, a equação fica Jffi¡Ñ tsd,,,E71Ñ>=Jntgo - qF6P (c-20) Pa¡a uma dada partÍcula de massa m e um dado poço de potencial com profundidade Vselu- gura ¿, essa equação é uma equação com uma única incognita,f. Suas soluções são os possíveis valores da energia total da partícula - os autovalores pÍua as autofunções do primeiro tipo. Po- demos obter as solu$es dessa equaçã'o transcendental apenas por métodos gráfìcos ou numéri- cos. APresentamos um método gráfico simples que ilustra as características importantes da equação. Façamos a trocå de variávcl s=Jrrno, lzh, {i rg 8 = J,,,Vú' lrlf - tì' (c-l e) (c-2t ) (c-22) \ 1.,. (.. ¡1. \. .i ,h 1., r t Se fizermos um grálìco da função P(E)=6teÍi e um da fun$o qi.¡)=tÑ lz¡l - ez as intersegões especifìcam valores de I que são soluções de (G-22). Um gráfìco destes está mostrado na figura G-l . A função p(8) tem zeros para I = 0, n,2r,... e tem assíntotas em I =t12,3¡l2,5rl2,...Afunção4(8)é umquartodecírcu- lo de ¡aio J^171Ñ. É, evidentc da figura que'o número de soluções de (G-22) que existcm depende do raio do quarto de círculo. Cada solução dá um autovalor para É ( /o correspon- dente a uma autofunÇá'o do primeiro tipo. Existe um deses autovalores seJmV^a2 l2h2 1tt', dois se ¡ < J^v;Fiñ ()z; trés se ), <1ñVæ tñ ( 3¡; etc. o cÂso-\,/miV ¡ltf = 4 está ilustrado na figura. observe que isto corresponde a 2mvoaz lh¿ = 64. o valor usado na in- tegraçâo numérica do Apendice F. Para este caso há duas soluções: E = 1,25 c Íi = 3,ó0. De (G.21), os autovalores sâ'o 882 u=a,2#=t,# n" = ffi'¡/o =o,oe*o ro our(A)=q(a) -e cotg 8 =Jmvoo| l2rr,' - e' 883 ,= ,' :;*,n = ÊÐ' ro = o3o8 r,o 4 J ) I 45 Í €+ ¡.'IGURAC.l. unìa soluç¿lo gráfica da cquaçaio para os autovelofes do primeiro tipo de um Poço dc poten' cial quadra<.lo particular. Solu(ão de e.q.e=$Vf¡zn'--E oup(¡¿)=q(8) os autovalores conespondentes a autofunFes do segundo tÌpo são obtidos a partir das soluções de uma equação análoga obtida a partir de (G'18)' que é -E cots 8=.,[n/;FPF -æ (G-23) 3rl2 8+ FIGURA G-2, Uma solução gráfica dâ equaçâ--o para os âutoyalores do scgundo tiPo de um poço de Poten- cial quadrado, Soluçalo de I8 5rl2¡12 A figura G-2 ilustra a solução dessa equação. É evidente que lfo exijlg r¡gnhum autovalor para E 1 Vo correspondendo a autofunções do segundo tipo æ t/mV6d'12ñ < z/2;haveni um se alz < Jmvo-F!\F 13n12; dois se 3zl2 <JtVA\=Ñ 15n12;etc.A figura ilusrra o caso ,ñV-æ72¡t = 4. A única solução de (G-23) é t" = 2,47,e o autovalor é Vo = 0,383 Vo Vemos que para um dado poço de potencial há apenas um nf¡mero restrito de valores possírais da energia total .E para E 1 Vo. Estes sÍo os autovalores discretos pæa os estados li- gados da partícula. Por outro lado, sabemos que qualquer valor de.E. é posível se E) I/s;os autovalores dos estados não ligados formam um contínuo. Para um poço de potencial que é muito ræo ou muito estreito, ou aIrrþg5,jff um único autovalor do primeiro tipo será ligado. Com valores cresæntes de 1/mV¡a2 l2hf um autovalor do ægundo tipo será ligado. Para valores ainda maiores desse parâmetro, um autovalor adicional do primeiro tipo será li- gado. A seguir, um outro autovalor do segundo tipo será ligado, etc. Como exemplo, consi- dcremos o caso JmVoa' l2h' = 4. O potencial e os autovalores contínuos e discretos estão ilustrados em escala na fìgura G-3. Usamos os números quânticos n= 1,2,3,4,5, . . . para FIGURA G3. Os autovalores de um poço de potencial quadrado particular. indicar os autovalores em ordem de energia crescente. Para esse potencial, apenas os três pri. meiros autovalores são ligados. Dæ soluções 8, de (G-22) e (G-23) para um dado vator de t/mVoo, lZfl,as formas ex- plfcitæ das autofunções, (G-17) e (G-18), podem ser calculadas. As relações exigidas sâo 2*ri= a - e k¡¡;=J^v}-tz-¡n4¡ L (G-24) O valor da constante A ott B deve ser ajustado de forma que cada autofunçáo utisfaça à condi. ção de normalização.Parc o cæo t/m-ViVl2ff = 4, æ três autofunções normalizadas corres- 884 r = 0,0980 Zo pondentes aos autovatores E¡, E2 e E3 úo n,s#e'ß"# I ú, (,) = 1,26 7; cos I rt,r(x)= 1,237;sen n,o)*;,.'"J- llSL*e- t'"o L -n,olJ.,- x 4 -a12 -al24x 4al2 .r 2 al2 x 4 -al2 -a124x 4al2 (C-25) x)a12 (''"à þ,;) FIGUR^ G*4. As autofunFes para os auto€stados lþados de um poÇo de potencial quadrado Particula¡. -2\6 -2,2-t,8 0,-t,4- 1,0-0,6-0,2 88s ( -fr .[r\1, {[ r,F\.I [ü FE:I\[ {Ä Jfi :ii rll L[i "r* li¡ 3 \il ,r dl q .*t rl 'q .ir '.' ;, ; n \ {,_,' dHæ_ =.8du ¡=l ..ï.1 î'..r, rà (,;.' .!t ,a f,s.J ,',ãlt*j ,:|l ':' .;. I '"!- = - Ae- u' l2H + Auz e- u' 12H - Aue- u' lz dll duz du -Aue- u' 12lL + Ae- u' Pd'!du du2 = Ae-u',, (, + u2 H - rr#.#) Então substituímos f e d1 Û /du2 em (H'?), obtendo Ae-u' 12 (-u * uru - zuL * !\*!ne-,' l2H - Au2e- u' l2¡1 = s \ du du'/ a Dividindo pot Ae- u' /2, e cancelmdo os tertnos que envolvcm u2 /1. temos # -#.ff-) "=o n@)= Êoa¡ul =ao * d¡u * a2u2 * a¡u! * ' " (H-r 2) Esta equa$'o diferencial determina as funções fl(u)' Vamos recapitular. Comepmos com a equação de Schroedinger indepcndente do tempo, (H.7). Por razões que serão explicadas, essa equaçá'o não pode ær rcsolvida diretâmcnte. No cntanto, s€ escreyemos as soluções dessa equação como produtos da funça:o Or- u1 12, que é a forma da dução quando lul + æ, pelas fun{es f/(u), transformamos o problema em um problema de rcsolr¡e¡ GI.l2). Esta equação pode ær resolvida através da técnica døs séries de Wtênci*s. Nesta téc¡rica, que é a técnica mais geral existente para a solução analítica de uma equa- So diferencial, corieçamos por supor que a soluSo pode ser escrita como uma sé¡ie de potén' ci¡s na rarilvcl indepcndente. Isto é, supomos (H-13) oscoelicientes as,41,42,...sfoentãodeternúnadospelasubstituiçãode(H-13)em(H'12)'e pela exigência de qw'a equaçÍo resultante seja satisfeita para qualquer valor de u. Calculando as derivadæ, la,ul- t = l¿¡ f 2a2u * 3a3uz * "' 890 dzï @ # =,à (l - L)la¡ut-z = l.2az 1 2'3a3u * 3' 4aau2 89r e substituindo-as na equação diferencial, obtemos | .2a, t?-'3a7u*3'4aau7 *4'5a5ut *"' -2' la¡u - 2'2à2u2 - 2'3asut - "' + $la - l)ø s + (ßla - l)a ¡u + (ßla - l)a2u1 + (Plu - l)a 3ut * .'' = 0 Como isto deve ser válido para todos os valores de u, os coeficientes de cada Potênciâ de u de- vem se anular indiv¡dualme'nie de forma que a validade da equa$o nâ'o dependa do valor de u' Juntando os coeficientes, e igualandoos a zero, temos uo: u' ', ,r2 '. u7. Para a !ésima poténcia de u, a rela$o é ul: ou | '2a7 * (Pla - l)a¡ = O 2.3a, * (ßla- t - 2' l)at =6 3'4aa*Gla-l-2'2)ar=g 4'Sas*$la-l -2'3)at=¡ (, + lX¡ * 2)a¡ * t + (þls - | - 2l)a¡= Q (ßla-t-2t) =-+O,-t+2 (r+lXI+2) ' (H-r4) (H-r5) Esta é chamada a reloção de recorrencta' Aretaçãonospermitecalcular,sucessivamente,oscoeficientesa2'a4'aó'"'emtermos deas,eoscoeficientes or,or,or,..'emtermosdeø¡'Oscoeficientesasea¡nãosãoespeci' lìcados pela rela$o de recorrência, mas isso efa o que devia acontecer. como a equação dife' rencial para //(uj contém uma ægunda derivada, sua nluçõo geral deve conter duas constantes a¡bitráriæ. Vemos entlo que a õluçlo geral æ divide em duæ séries independentes, que es- cfevemos como H(u)= as (.;* .ïi* .;;;" * " ) *at (u *2r' ¡L'o-t u' \ ¿t ttt ot +a1 øs øt r., + ..\ 4sd3d1 | ls ßzóes a, _ .fa, sãodadas pela relação de recorrência. A primeira ærie é uma funçÍo par de u, e a segundié ,imã tunçøo ímpar desa variável''A rrzÃo pela quat (H-?) neo pode ær resolvida diretamente pela aplicação da técnica de séries de potenciaS éþe.h L". . ot" ¡elaÉo de recorrência que envolve mais- de dois coeficien' tes. O esiudante pode mostraf isso imediatamente æ aplicar a técnica' Se ele tentar entÍo es' .;;;.; ** ,qu.çøo análoga a (H.15), ele verá que a téinica falha porque só pode haver duas constantes arbitráriæ n. *tuçao de uma equação que contém uma segunda derivada' Fomos czlpøaæs de superar a dificuldade transformando o problema na resoluçfo de (H-12). Basica. ¡nente o riresmo tnrque é útil para as equåções diferenciais que surgem da equafo de Schroe- dinger independente do tempo para o potencial coulombiano, V(r\ e, ¡-r ,de um átomo de um elétron. [Iá outros potenciais para os quais este truque nfo funciona, e ntfo há solução analí. iica. Evidentemente, qwþuer potencial pode ser tretado pelas técnicas nunréric¿s do Apêndi. oe F. Pa¡a um vdor ârbitrário de pla, tanto a crie par quanto ã crie fmpar de (H.15) vÍfo con- tcr um número infìnito de termos. Como vtremos, isto nlfo lcr¿rá a soluções acer?aueis. Consi. dcremos qualquer das séries, e calculemos d r^zÍo entrc os coefìcientes de potências sucesi,¿as deu pua,l gande. Isto dá at+z _ (fla- t -21)__21 _2 i= --(+ D(r+ 2) t, t vamos compará-lo com a mesma rczão para a expansão em série de potências da funfo eü', que é ,,a ^ u4 ,16 ut{ =l+ut +- 4-+2t 3! (ilz)t ul+ t + - +... (u2+ t)t Para I grande, a razão entre os coefìcientes de potências sucessivæ de u é tl(u2+ l)t _ (rlz)t _ (uz)t' = I =L =Ltl(U2)! (U2+ I)t (tl2+ t)(tlz)t U2+t rlz t As duás razões slfo a riesma. Isto signilìca que o termo de uma alta potência de u na série de eu' pode diferir do termo correspondente na série par de H(u)por apenas uma constante mul- tiplicativa K. Ele pode diferir do termo da série ímpar dcH(u) po¡r¡ rrzes outra constante.K'. Mas, para lal - -, os tcrmos Ce potências baixas em ¿ nlfo slfo importantes na determinação do valor de qualquer dessas séries. Conæqüentemente, conclufmos que H(u)=ao¡ru'+a1K'ueu' lul +- De acordo com (H-l 1), æ solufes da equaçfo de Schroedinger independente do tempo são Ù(u)=A¿-uz l2¡¡1,¡ Portanto, se a srie de H(u) contém um número infinito de termos, o comportamento dessas solu@es para lul + - 6 Ae-u' lzq(u)= aoAK{' 12 i alAK'¿u'12 lul- - Mas isto cresce sem limite quando l¡l * -, o que não é um comportamento aceitável para uma autofunção. 892 No entanto, podemos obter autofunções aceitáveis par^ certos valores de p/c. Fazemos unla das constantes arbitráriæ a6 ou d¡ igual a zero. Então forçamos que a Crie restante de H(u) termine, fazendo onde pla= 2n * 1 n=1,3,5,... n=0,2,4,... (ßla-t-2n) -n+2 (n + l{n +Z) n (2n + | - | -2n) (H-16) S0û6=0 $car =g É claro de (H-la) que tal escolha de þla lará com que a drie termine no n{simo termo,já que devemos ter,pual=n, ! dn=0 (n + l[n + 2) Os coefìcienles dn+4, on+6, on+8,. . . também serão zero porque sfo proporcionais àan+2. As soluções resultantes Hn(u) øo polinômios de ordem n, chamados polinômÍosde Hermíte- Cada Itr(u) pode ser obtido a partir de (tl-t 5) se calculamos os coeficientes a partir da relação de recoirência com 0/a dada por (H-16) para esse valor de n. Alguns dos primeiros polinômios de Hermite podem ær vistos na tabela ó-t, Eles sâo os fatores que multiplicam Ane-u'12 nas entradas da tabela. (Em cada caso as constantcs arbitráriæ,øo ou ¿r foram escolhidas de forma que o coefìciente de cada potência de u posa ser escrito como um inteiro simples.) Para æ solufes potinomiais da equaçõo diftrencial de Hermite GI-12) as autofirnfes correspondentes Û n(u) = A ne-u' lzH n@) (H-lÐ ter¿fo sempre o comportamento aceitável de ir para zero quando lul + -. A razÍo disto é que' para f uf glande, a funçfo exponencial e-u' 12 vuia tão mais raPidamente do que o polinômio Hr(u) que ela domina completamente o comPortamento das autofun$es. Substituindo a e p de (H4), obtemos imediatamente de (H'16) 2mE h 2E 2E=-=2n+l h2 2nmv 2¡hv hv n=0, 1,2,3,... (H-18) Estes sâo os autovalores do potencial de oscilador harmônico simples, exPressos em termos de sua freqüência de oscilação cHssica v. '= (.i)* i r:, ti' q" t ': (a^ t893 I \ 1 ! \ ..t "¡ .¡ n a :"' 1ì\ ¡ ?1 \çJ .!t(ri .?.!} 1.j1._. ,,i. q.-, \.... I ( i- 1/ I' I Apêndice O Laplaciano e os Operadores Momento Angular em Coordenadas Esfericas O OPERADOR LAPLACI,ANO O operador laplaciano V2, utiliz¿do na equagã'o de Schroedinger tridimensional' é defini' do em coordenadæ retangulares como sendo ¿z ð2 azoz -- J-- +--' - a*' ðy' ò22 Mostraremos aqui como transformar esse operador para exprimi'lo senta em coordenadas esféricas: - lal^a\ I a2 I al "a\ '' =l'f+J *7*-, "'.ñ t(:'"'il o'2) Amaneiramaisdiretadeprocedertaltransforma$oéadeaplicarsucessi\¡¿mentea ..regra de cadeia" Ae Oerivaaæ p.t'J.it. ntat método é coniudo fastidioso' O primeiro termo de (l-2) pode ser entretanto obtidå æm muito esforço, se considerarmos um caso er¡ que'o lapla' ;.*'"p"r" sobre uma funçáo rl¡ = g(r), furção apenas da coordenada radial' Nessa circunstán' cia, as dlrivadas existentes nos dois últi¡nos termos de (I'2) são nulæ e então la/,4ú\ vtú=7 *\' *) Este mesmo resultado será agora obtido a partir da expresão - ô7 l1, . ò''þ . ò2'l''vrú=#* urr* ur, que é o laplaciano em coordenadas retangulares, indicado em (l-l)' operando sobre ry'(r)' Nessa demonstração, faremos o uso de (r-l ) na forma que aPre' r=(x2 +y2 +22)tt7 895