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Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital

Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital

Eng.: Roberto Bairros dos Santos.

Um empreendimento Bairros Projetos Didáticos w.bairrospd.kit.net

Este trabalho tem por objetivo apresentar os conceitos básicos da álgebra Boole permitindo a aplicação dos postulados, teoremas, propriedade e identidades em circuitos eletrônicos digitais facilitando o seu entendimento e simplificação.

Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital

1 Conceito:3
2 O que é uma Funções Lógicas:4
3 Estados lógicos na eletrônica:5
4 Funções lógicas básicas:6
5 O circuito Lógico:8
6 Como descrever uma função lógica:9
7 A tabela Verdade10
7.1 Função “E” (AND):1
7.2 Função “OU” (OR):13
7.3 Função NÃO (Inversora) (NOT):15
8 Circuito digital:17
8.1 Exemplo de análise de circuito digital:18
9 Funções especiais:21
9.1 Função “NÃO E” (NAND):2
9.2 Função “NÃO OU” (NOR):25
9.3 Função “OU EXCLUSIVO” (EXOR):27
9.4 Função “NÃO OU EXCLUSIVO” (EXNOR):29
10 Postulados da álgebra de Boole:31
10.1 Postulado do produto:31
10.2 Postulado da soma:32
10.3 Postulado da Inversão:3
10.4 Aplicando os postulados na prática:34
10.4.1 Chaves eletrônicas digitais:34
10.4.2 Implementando a função NOT sem usar a porta inversora:36
1 Propriedades das funções lógicas:39
1.1 Propriedade Comutativa:40
1.2 Propriedade Associativa:41
1.3 Propriedade distributiva:42
12 Teorema de Demorgan:45
12.1 Aplicando na prática do Teorema de Demorgan:47
13 Teorema do Mutual:49
14 Identidades:50
15 Simplificação usando álgebra de Boole:54
15.1 Equação na forma da soma de produtos:5
15.2 Dicas para a simplificação usando álgebra de Boole:56

Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital

1 Conceito:

A álgebra de Boole é um sistema completo para operações lógicas. Este sistema é usado para colocar de uma forma matemática o pensamento lógico com base nas alternativas que podem assumir somente duas possibilidades: Falso ou Verddeiro! Seu nome se deve ao matemático inglçês George Boole que foi o primeiro a definir um sistema lógico. A álgebra de boole tem grande aplicação em circuitos digitais como computador, telefones celulares, jogos eletrônicos, microcontroladores, CLP (Controlador Lógico Programável). A álgebra de Boole também é aplicada na programação de computador, programação de CLP, programação de microcontroladores. O conhecimento da álgebra de Boole é fundamental par ao técnico eletrônico.

A álgebra de Boole será tratada neste trabalho sempre sob o ponto de vista da eletrônica digital, você irá estudar a álgebra de Boole de forma a poder entender o funcionamento de um circuito digital. O estudo teórico será desenvolvido tendo em vista sua aplicação prática, você verá exemplos práticos em praticamente todos os tópicos.

A álgebra de Boole estuda as funções e variáveis lógicas. O conhecimento da álgebra de Boole vai permitir otimizar circuitos digitais. Uma das principais aplicações desta álgebra é na simplificação de funções lógicas, com este conhecimento é possível projetar circuitos digitais menores e mais baratos. O conhecimento da álgebra de Boole pode ser aplicado até mesmo no campo da pneumática, existem circuitos pneumáticos digitais, que usam funções lógicas.

O estudo da álgebra de Boole é basicamente matemático, trata as funções lógicas somente sob o aspecto matemático, no entanto, vamos enfocar este assunto tendo em vista a sua aplicação em circuitos digitais.

A lógica de Boole foi desenvolvida pelo filósofo e matemático inglês George Boole que morreu em 1864. A álgebra de Boole é base matemática dos computadores digitais modernos, Boole é considerado um visionário e um dos fundadores da ciência da computação. Boole morreu sem ter visto um computador!

George Boole.

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2 O que é uma Funções Lógicas:

A álgebra de Boole estuda as funções e operações que utilizam variáveis lógicas.

Uma variável só pode assumir dois valores tais que uma vez declarado um valor o outro deve ser declarado de forma que se um for declarado verdadeiro o outro deverá ser declarado falso. Os valores lógicos também são chamados de estados lógicos. Qualquer duas afirmativas declaradas de forma que a existência de uma implica da não existência da outra pode ser considerada um para de variáveis lógicas, veja os exemplos abaixo.

No estudo original da lógica de Boole os estados das variáveis lógicas são declarados como Falso e Verdadeiro. Você irá ver esta forma de declarar variáveis no formato inglês False e True principalmente em linguagem de computadores, microcontroladores e especificações de componentes eletrônicos digitais! Veja que se a variável assume o estado Falso com certeza não há duvida que ela não é verdadeira, porque se uma afirmativa é declarado falso não há possibilidade de ser verdadeiro.

Na matemática é mais comum tratar as variáveis lógicas como números onde por convenção o número 1(um) significa o equivalente ao estado verdadeiro da álgebra de Boole e o número 0 (zero) é equivalente ao estado falso. Nós vamos usar esta notação nesse trabalho.

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3 Estados lógicos na eletrônica:

Em circuitos elétricos os estados das variáveis lógicas são declarados como ligados e desligados. Um circuito ligado com certeza não esta desligado! O significado de ligado ou desligado pode mudar de circuito para circuito ou de componente para componente. O estado ligado mais comum na eletrônica digital é aquele em que a tensão no circuito é igual a +5 V e o estado desligado é aquele em que a tensão é 0V. Na prática existe uma faixa de tensão em o estado pode ser considerado o (zero) e uma faixa de tensão que pode ser considerado 1 (um), estes detalhes serão estudados no momento apropriado, por enquanto vamos considerar ligado como sendo uma tensão próxima de +5V e desligado uma tensão próxima de 0V! Nos diagramas os componentes eletrônicos sempre serão desenhados no seu estado inicial desligado, então uma chave desenhada com os contatos abertos significa que este é no seu estado 0 (zero ou Falso) antes de alguém apertar o botão da chave, se for desenhada com os contatos fechados significa que este é o seu estado (zero ou Falso). Veja o desenho abaixo.

Figura mostrando o diagrama elétrico de chaves e contatos de relês.

A figura abaixo mostra três tipos de chaves. A chave mais a direita é uma chave com duas possibilidade de conexão, o desenho mostra o estado da chave antes de ser pressionada!

Exemplo de botões e chaves usadas em automação!

Observe o desenho na chave indicando que entre os parafusos de cima a chave possui um contato NF e entre os parafusos de baixo um contato NA!

Os contatos NA e NF também são chamados de NC e NO (Normally Close, Normally Open)!

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4 Funções lógicas básicas:

Existem três funções lógicas básicas: Função “E”. Função “OU”. Função “Não” ou "Inversora".

Estas são as denominações das funções em português, mas estas mesmas funções são também conhecidas com a sua denominação em inglês, mais concisa: Função “AND”, Função “OR” e função “NOT”, assim ao longo deste trabalho você irá usar as duas denominações.

A partir das funções básicas é possível desenvolver funções mais complexas, a maioria não recebe uma denominação especial, mas têm algumas que, pelo seu uso, recebem nomes e símbolos especiais, são elas: Função “NAND”. Função “NOR”. Função “EXOR”. Função “EXNOR”.

Neste caso, a denominação inglesa é mais usada.

Os capítulos seguintes descrevem os detalhes de cada uma destas funções e mostra exemplos de aplicação em circuitos elétricos, linguagem de CLP LADDER e de linguagem de programação C # (se pronuncia C#). Estes exemplos são importantes para que você veja a abrangência da álgebra de Boole. No início do estudo da eletrônica digital no ensino técnico o curso era voltado para as aplicações em circuitos digitais comportas lógicas, porque esta era a tecnologia do momento. Hoje as portas lógicas t~em pouca aplicação em máquinas de automação industrial o CLP e microcontroladores são os dispositivos usados atualmente para esta função. O CLP é programado via PC usando uma linguagem chamada LADDER que é similar ao desenho de um circuito elétrico, os símbolos usados são simples porque na época que o CLP foi inventado os computadores não tinham grande recursos gráficos, o sistema operacional da época era o DOS. O microcontroldor é um dispositivo eletrônico especialmente desenvolvido para controlar máquina, é um microprocessador com circuitos de entrada e saída já montados internamente, isto facilita o uso em controle de máquinas. A programação de um microcontrolador é feita via PC usando uma linguagem de alto nível, normalmente o C++. Um PC normal também pode controlar máquinas desde que seja acrescentada alguma placa especial para entrada e saída de sinais digitais.

Álgebra de Boole aplicada à eletrônica digital

Observe que a tecnologia digital evolui rapidamente, por isto, estudar em detalhes as portas lógicas hoje não mais uma tarefa produtiva, no entanto a álgebra de Bool continua sendo a base teórica para a aplicação destes dispositivos. Você deverá concentrar especial atenção no estudo da álgebra de Boole, pois a tecnologia poderá mudar, mas a base continuará a mesma por um bom tempo ainda!

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5 O circuito Lógico:

Um circuito digital é usado para controle de máquinas. O seu funcionamento é baseado na álgebra de Boole. O diagrama abaixo mostra a estrutura de um circuito lógico.

As variáveis de entrada podem ser chamadas em eletrônica de sinais de entrada o mesmo ocorre com as variáveis de saída. O termo entrada e saída também é um termo usado na eletrônica, não é um termo matemático. Chamar as variáveis de entrada e saída fica mais fácil para o técnico entender o processo. Por exemplo: Se o circuito digital é um alarme, os sinais de entrada são: A chave colocada na porta do carro e o botão do controle remoto o sinal de saída irá ligar a buzina do carro, o circuito lógica deverá processar uma função que irá ligar saída quando a porta estiver aberta (chave fechada) e o botão do alarme não estiver acionado!

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6 Como descrever uma função lógica:

Ladder, linguagem de computador C++, Basic etcPara os matemáticos as equações

Uma função lógica pode ser descrita de várias formas: Através da tabela verdade, através da equação lógica ou através de um diagrama lógico, linguagem de CLP lógicas são a formas mais importantes de descrever uma função lógica, para o técnico eletrônico ou mecatrônico, a tabela verdade e o diagrama lógico são os mais importantes. Para desenhar um diagrama lógico que represente uma função lógica, existem as portas lógicas, que são símbolos gráficos que expressão uma função lógica. A tabela verdade é um gráfico onde todas as possibilidades de combinação de estados das entradas e das saídas são desenhados. Outra forma de representar uma função lógica é através da programação de CLP chamada LADDER que nada mais é do que um programa de computador que simula um diagrama elétrico!

Se você for chamado para consertar um equipamento digital ele vai precisar do diagrama do equipamento. O diagrama é desenhado na forma de portas lógicas. Você deverá conhecer o comportamento das funções lógicas e os símbolos das portas lógicas que representam as funções lógicas!

Se você for chamado para consertar uma máquina controlada por CLP, você vai precisar entender o programa escrito em linguagem LADDER que nada mais é do que um diagrama elétrico, isto foi feito para facilitar a vida do técnico. Um circuito elétrico com contatos de chaves em série e paralelo que liga e desliga uma bobina é simples para um técnico entender, neste caso você deve reconhecer as funções lógicas construídas através de circuito elétricas. Programas CLP é um das atividades mais lucrativas para o técnico eletrônico!

Se você for chamado para programar um PC usando uma linguagem de computador, você terá que fazer um curso extra para aprender a escrever as funções lógicas usando esta linguagem, este é um trabalho mais apropriado para um técnico em informática. Cada vez mais está aparecendo máquinas controladas por computador, desta forma é aconselhável que você conheça este tipo de programação. A boa notícia é que escrever um programa para controle de máquina não requer todo o conhecimento desenvolvido em cursos de informática. Uma linguagem muito usada no campo da eletrônica é o C++! Por outro lado, um técnico em informática não pode ser contratado para fazer o programa de controle de uma máquina, isto porque ele não entende nada de eletrônico e a máquina vai tratar com componentes eletrônicos. Este é um campo bem promissor para o técnico eletrônico e mecatrônico!

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7 A tabela Verdade.

A tabela verdade é a forma mais importante para descrever uma função lógica e consiste de um desenho na forma de uma tabela em que descreve todas as possibilidades que as variáveis de entrada podem assumir e para cada uma das possibilidades é descrito o estado da variável de saída.

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