topologia-geral vários ângulos

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(Parte 1 de 8)

Topologia Geral de Varios Angulos

Andre Caldas de Souza and YOU! :-)

31 de marco de 2011

Este Livro e Livre

Este livro pode ser copiado a vontade. Se voce recebeu em formato digital, fique a vontade para copia-lo e comparilha-lo quantas vezes quiser. Voce pode tambem imprimı-lo e fotocopia-lo o tanto que quiser. Claro que e sempre importante pensar na natureza e no impacto ambiental. Procure nao desperdicar recursos. ;-)

Quer imprimir e vender este livro para os seus colegas? Fique a vontade, tambem! Voce e dono de uma editora e quer imprimir sua propria versao, vender e ficar rico com esse livro sem precisar pagar nenhum tostao em direitos autorais? Pois na minha opiniao, se voce o fizer estara contribuindo para um mundo melhor. Uma das poucas restricoes e que voce nao tire dos outros essa liberdade que lhe foi concedida. Se voce passar esse livro pra frente, nao podera proibir aquele que o recebeu de fazer o mesmo.

Este livro esta licenciado sob os termos da licenca “Creative Commons

Attribution Share Alike 3.0”. Os termos estao disponıveis na internet atraves do endereco http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/.

A versao mais atual deste livro pode ser encontrada na internet no endereco http://topologia-geral.ourproject.org/.

Neste endereco tambem podem ser encontrados os arquivos LATEX, que voce pode alterar e usar para criar sua propria versao deste livro.

Sobre o OurProject.org

O site onde esta hospedado o projeto deste livro e um repositorio de conteudos livre. Qualquer um que queira produzir conteudos livres — como

Aho site sobrevive com doacoes. ;-)

livros, poesias, musicas, vıdeos e etc. — pode utiliza-lo como ferramenta.

Endereco: http://ourproject.org/ Faz algum tempo que eu procurava um lugar que pudesse hospedar o projeto de um livro livre. Ja estava pensando em tentar fazer alguma coisa nesse estilo dentro do proprio departamento de matematica da UnB. Felizmente encontrei o OurProject e isso nao sera mais necessario.

Como Ajudar?

A melhor maneira de ajudar, e repassando este livro para o maior numero de pessoas! Quanto mais pessoas tiverem interesse no livro, maiores serao as chances de se atingir um bom nıvel de qualidade. Sugestoes, correcoes ou contribuicoes podem ser enviadas para o e-mail topologia-geral-discussion@lists.ourproject.org. Ainda nao sei quao aberto a sugestoes estou disposto a ser. No entanto, voce e livre para, respeitando os termos da licenca, criar sua propria versao e incluir seu proprio conteudo. Os arquivos que compoem o projeto deste livro podem ser baixados do repositorio SVN no endereco https://ourproject.org/scm/?group_id=914.

Contribuindo com Figuras

Me falta um certo dom para criar figuras de qualidade. :-(

Se voce puder contribuir com imagens, estas devem estar preferencialmente no formato SVG. O SVG foi adotado por ser um padrao aberto baseado em XML. O aplicativo que eu uso para criar figuras e software livre e chama-se Inkscape. A pagina do projeto Inkscape e http://www.inkscape.org/.

Contribuindo com Codigo LATEX

Os arquivos LATEX devem seguir o mesmo tipo de formatacao dos demais.

Na medida do possıvel, o arquivo LATEX nao deve conter “gambiarras” ou comandos de formatacao explıcitos no meio do texto.

Os arquivos do projeto contem varias linhas com comentarios explicando o que falta ser feito. Basta procurar pela palavra TODO (a fazer).

Por Que?

Eu (Andre Caldas) NAO acredito que “coletar taxas” seja a melhor maneira de se sobreviver da producao cultural. Na minha opiniao, as pessoas devem receber para produzir; e nao produzir na esperanca de “coletar taxas” relativas ao direito autoral para o resto da vida. Eu, por exemplo, atualmente sou estudante de doutorado da UnB e recebo uma bolsa de estudo da CAPES. Apesar de a bolsa nao cobrir os custos para a producao deste livro, foi esta mesma bolsa que viabilizou que eu pudesse deixar o meu emprego para me dedicar as minhas atividades academicas. Ou seja, a sociedade ja me oferece meios para que eu possa me dedicar a estas atividades, o que incluı a producao deste livro. :-)

Nao vejo sentido em um professor de uma universidade publica, que ja recebe um salario do governo para que produza conhecimento, ter monopolios sobre o fruto do seu trabalho. Vejo menos sentido ainda quando esse professor vende tal monopolio para ser explorado. Perceba que isso nao e uma crıtica ao lucro ou a exploracao da producao cientıfica. E uma crıtica ao monopolio sobre os direitos de uso daquilo que foi produzido com dinheiro publico. Nao faz sentido que a sociedade faca esse tipo de investimento e depois nao possa ter acesso ao que foi produzido. Livros e o menor dos problemas. Vemos que pesquisas para o desenvolvimento de medicamentos ou qualquer outra coisa que va melhorar a qualidade de vida da populacao, como melhoria na alimentacao e acesso ao lazer, sao feitas com dinheiro publico em parceria com instituicoes privadas de modo que a sociedade acaba sendo privada de seus frutos. Nao acredito que seja errado fazer parceria com instituicoes privadas. O que nao se pode e privar a sociedade dos frutos do trabalho no qual investiu. Vemos instituicoes de pesquisa se valerem de recursos publicos durante as pesquisas e depois correrem atras de registros de patentes e coisas do tipo que servem apenas ao proposito de privar a sociedade dos frutos dessa mesma pesquisa.

Se o governo, por exemplo, a uns 10 anos atras tivesse comecado a financiar a producao de livros e exigisse que o fruto desse trabalho fosse verdadeiramente livre (como e este livro), hoje nao farıamos licitacoes para a “compra” de livros; farıamos uma licitacao para a impressao e a distribuicao desses livros. Falta visao de longo prazo. Deverıamos investir na producao de livros livres. O autor deve sim receber por seu trabalho. So que deve receber enquanto faz o trabalho, e nao depois atraves do recolhimento de taxas e de mecanismos de opressao, como os que apreendem maquinas de fotocopia nas universidades.

Tenho varios amigos que fazem copias de muitos livros. Sempre lembro a eles que quando virarem autores nao devem “virar a casaca” e comecar a perseguir os que fazem copias. Gostaria de fazer o mesmo pedido ao leitor! :-)

Brasılia, 23 de abril de 2010, Andre Caldas

Sumario

Este Livro e Livre i Sumario v Prefacio vii

I Espacos Metricos 1

1.1 Definicao2
1.2 Propriedades Elementares4
1.3 Exemplos7
2.1 Sequencias e Convergencia10
2.2 Continuidade12
2.3 Topologia com Bolas13

2 Topologia Usando uma Metrica 10

3.1 Vizinhancas16
3.2 Continuidade em um Ponto19
3.3 Base de Vizinhancas20
3.4 Conjuntos Abertos2
3.5 Continuinuidade em Todo Ponto24

3 Topologia de Espacos Metricos: releitura 16

I Topologia Geral 26

4.1 Motivacao27
4.2 Definicao30

4 Motivacao e Definicoes 27 v

4.3 Vizinhancas e Base de Vizinhancas de um Ponto31
4.4 Continuidade em um Ponto3
4.5 Continuidade34

Sumario vi

5.1 Comparando Topologias37
5.2 Sub-Base40
5.3 Bases4

5 Construindo Topologias 37

6.1 Fecho e Fechado48
6.2 Interior52
6.3 Continuidade54
6.4 Convergencia56

6 Fecho e Interior 48

7.1 Topologia de um Sub-Espaco59
7.2 Topologias Inicial e Final63
7.3 Topologia Produto68
7.4 Topologia Quociente73
7.5 Topologias das Sequencias Convergentes7

7 Topologias Derivadas de Outras Topologias 59

8.1 Definicao e Exemplos80
8.2 Conexidade e Continuidade84
8.3 Propriedades85

Prefacio

Os livros que tratam do assunto topologia parecem se dividir em duas categorias:

• Comecam com definicoes abstratas e pouco motivadas.

• Tratam apenas de espacos metricos.

Os espacos metricos sao sem duvida a melhor motivacao para o estudo da topologia geral. No entanto, existem muitos conceitos, como os de sequencia de Cauchy, completude, limitacao e continuidade uniforme, que nao sao conceitos topologicos. O que acontece e que os textos que tratam de topologia dos espacos metricos dao muita enfase a esses conceitos, a equivalencia de metricas, ao completamento de espacos, e por aı vai. O fato e que dessa forma nao se tem um curso de topologia, tem-se um curso de espacos metricos.

Por outro lado, sem falar de espacos metricos e muito difıcil dar alguma motivacao para o que venha a ser uma topologia. Assim, neste livro, fizemos uma introducao rapida aos espacos metricos sem nenhuma mencao a questoes que nao sejam puramente topologicas. Falamos de bolas, de convergencia e de continuidade. A ideia e a de se fazer uma transicao entre as formulacoes que enfatizam mais a metrica ate chegar a formulacoes que dependam apenas da topologia do espaco.

Um outro diferencial deste livro esta na busca por maneiras alternativas de se olhar para os fenomenos topologicos. Em geral os conjuntos abertos recebem atencao demasiada. Por exemplo, quando estudamos analise funcional, estamos bastante interessados na continuidade de operadores lineares em topologias que sao invariantes por translacoes. Neste caso a continuidade se resume a continuidade na origem. Quando consideramos a continuidade em um unico ponto do espaco, a preocupacao em demonstrar que determinados conjuntos sao abertos e um exagero desnecessario. Deverıamos nos preocupar se estes conjuntos sao ou nao vizinhancas de 0. A intencao e que o leitor consiga identificar maneiras alternativas que melhor vii

Sumario se adaptem ao fenomeno que esta sendo analisado. Para um determinado caso, talvez o melhor seja considerar abertos, talvez vizinhancas, redes, sequencias, fechados, filtros e etc.

viii

Parte I Espacos Metricos

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