Estruturas algébricas básicas

Estruturas algébricas básicas

(Parte 1 de 9)

Capıtulo 2

Estruturas Algebricas Basicas

2.1 Estruturas Algebricas Basicas5
2.1.1 Algebras Universais57
2.1.2 Reticulados e Algebras Booleanas59
2.1.3 Semi-Grupos, Monoides e Grupos64
2.1.4 Corpos68
2.1.5 Espacos Vetoriais71
2.1.6 Aneis, Modulos e Algebras73
2.1.6.1 Aneis73
2.1.6.2 Modulos73
2.1.6.3 Algebras74
2.1.7 Exemplos Especiais de Algebras75
2.1.7.1 Algebras de Lie75
2.1.7.2 Algebras de Poisson78
2.1.7.3 Algebras de Jordan78
2.1.7.4 Algebras de Grassmann79
2.1.7.5 Algebras de Clifford80
2.1.8 Mais sobre Aneis80
2.1.9 Acoes e Representacoes82

Conteudo

tomorfismos84
2.1.1 Induzindo Estruturas Algebricas86
2.2 Grupos. Estruturas e Construcoes Basicas90
2.2.1 Cosets90
2.2.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente91
2.2.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores93
2.2.4 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relacoes94
2.2.5.1 O Produto Direto de Grupos96
2.2.5.2 O Produto Semi-Direto Grupos97
2.2.5.3 Produtos Tensoriais de Grupos Abelianos9
2.3 Espacos Vetoriais. Estruturas e Construcoes Basicas100
2.3.1 Bases Algebricas de um Espaco Vetorial101
2.3.2 O Dual Algebrico de um Espaco Vetorial105
2.3.3 Subespacos e Espacos Quocientes110
2.3.4 Somas Diretas de Espacos Vetoriais1
2.3.5 Produtos Tensoriais de Espacos Vetoriais112
2.3.5.1 Duais Algebricos e Produtos Tensoriais116
2.3.5.3 O Produto Tensorial de Modulos. Derivacoes120
2.4 Aneis e Algebras. Estruturas e Construcoes Basicas121
2.4.1 Ideais em Aneis e Algebras Associativas121
2.4.1.1 Ideais em Aneis121
2.4.1.2 Ideais em Algebras Associativas125
2.5 Algebras Tensoriais e Algebras Exteriores128
2.5.1 Algebras Tensoriais128
2.5.2 Algebras Exteriores129

2.1.10 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, Endomorfismos e Au- 2.2.5 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos. O Produto Tensorial de Grupos Abelianos 95 2.3.5.2 Produtos Tensoriais de um mesmo Espaco Vetorial. Espacos Simetrico e Anti-Simetrico 117 54

2.6 Topicos Especiais131
2.6.1 O Grupo de Grothendieck131
2.6.2 Grupoides133
2.6.3 Quaternios134

JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Capıtulo 2 5/1507 o aprofundar seu estudo de Matematica o estudante frequentemente depara com conceitos como o de grupo, semi-grupo, espaco vetorial, algebra, anel, corpo, modulo etc. Nosso objetivo neste capıtulo e apresentar definicoes basicas de tais conceitos acompanhadas, quando possıvel, de alguns exemplos relevantes. Nossa intencao nao e de forma alguma a de cobrir esses assuntos e seus resultados mais importantes, mas apenas a de introduzir ao leitor nocoes dessas estruturas algebricas, de modo que o mesmo possa encontrar aqui referencias rapidas as mesmas quando delas necessitar. Varios dos topicos aqui abordados serao desenvolvidos em capıtulos posteriores, de modo que, como no caso do Capıtulo 1 o objetivo nao e um tratamento extensivo dos diversos assuntos. O estudante ja familiar com alguns desses conceitos (os conceitos de grupo e algebra sao populares entre estudantes de Fısica) encontrara nessa exposicao uma visao unificada dos mesmos.

Este capıtulo deve ser compreendido como uma continuacao do Capıtulo 1. O leitor pode achar ser este capıtulo uma longa sequencia de apenas definicoes e exemplos, com poucos resultados, o que e parcialmente correto. Seu objetivo, porem, e apresentar varias ideias comuns a varias areas de um ponto de vista unificado e introduzir construcoes empregadas ulteriormente.

2.1 Estruturas Algebricas Basicas

Ainda atentos ao carater introdutorio apresentaremos aqui definicoes e exemplos das estruturas algebricas mais comuns.

• Operacoes e relacoes

Sejam C e I dois conjuntos nao-vazios e consideremos o produto Cartesiano CI (o conceito de produto Cartesiano de conjuntos foi definido a pagina 27). Uma funcao f : CI → C e por vezes dita ser uma operacao sobre C. Se I e um conjunto finito, f e dita ser uma operacao finitaria sobre C.

Um conjunto R ⊂ CI e dito ser uma relacao em C. Se I e um conjunto finito, R e dito ser uma relacao finitaria em C.

• Funcoes finitarias

Sejam C e I dois conjuntos e consideremos funcoes f : CI → C. Se I e um conjunto finito f : CI → C e dita ser uma funcao finitaria sobre C ou operacao finitaria sobre C. Sem perda de generalidade consideraremos aqui funcoes finitarias do tipo f : Cn → C para algum n ∈ N. Se f e uma funcao finitaria para um dado n, f e dita ser uma funcao n-aria sobre C. Um exemplo de uma funcao nao finitaria seria uma funcao do tipo f : CN → C que a cada sequencia em C associa um elemento de C.

Funcoes 2-arias serao chamadas aqui de funcoes binarias e funcoes 1-arias sao chamadas de funcoes unarias. Funcoes unarias e binarias sao as de maior relevancia.

Por vezes iremos falar tambem de funcoes 0-arias sobre C, que consistem em funcoes f : {∅} → C. Uma tal funcao tem por imagem simplesmente um elemento fixo de C. Exemplos de funcoes 0-arias sobre R seriam f(∅) = 1 ou f(∅) = 0 ou f(∅) = √ 2. Frequentemente denotamos tais funcoes pelo elemento de C por ela associado. Nos tres exemplos acima, poderıamos denotar as funcoes por 1, 0 ou √ 2, respectivamente.

• Magmas

Um conjunto C dotado de uma relacao binaria C ×C → C e dito ser um magma. Essa nomenclatura foi introduzida por Bourbaki1 mas nao e, porem, universalmente empregada.

1Nicolas Bourbaki. Nome coletivo adotado por um grupo de importantes matematicos franceses, nascido por volta de 1935, que teve grande, mas declinante, influencia na estruturacao e sistematizacao da Matematica ao longo do seculo X. O grupo Bourbaki sofreu diversas crıticas pelo seu abstracionismo, considerado em certos cırculos como excessivo e mesmo esteril.

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• Relacoes finitarias

Ha uma nomenclatura analoga para o caso de relacoes. Sejam C e I dois conjuntos e consideremos relacoes R ⊂ CI.

Se I e um conjunto finito R e dita ser uma relacao finitaria sobre C. Sem perda de generalidade consideraremos aqui relacoes finitarias do tipo R ⊂ Cn para algum n ∈ N. Se R e uma relacao finitaria para um dado n, R e dita ser uma relacao n-aria sobre C. Para o caso n = 1 as relacoes sao tambem chamadas de unarias e para o caso n = 2 sao ditas binarias. Relacoes binarias foram estudadas a pagina 2.

• Estruturas

Seja C um conjunto, F uma colecao de operacoes (nao necessariamente finitarias) sobre C e seja R uma colecao de relacoes (nao necessariamente finitarias) em C. A tripla 〈C, F, R〉 e dita ser uma estrutura sobre C. Note-se que tanto F quanto R podem ser vazias.

Dado que operacoes sobre um conjunto C tambem sao relacoes sobre C, a definicao de estrutura acima poderia ser simplificada. E porem conveniente mante-la como esta, pois funcoes sao de importancia especial.

Uma estrutura 〈C, F〉 e dita ser uma estrutura algebrica e uma estrutura 〈C, R〉 e dita ser uma estrutura relacional.

• Tipos de operacoes e de relacoes

Ainda um comentario sobre a nomenclatura.

Sejam C e I conjuntos e seja α : CI → C uma operacao sobre o conjunto C. A cardinalidade de I e dita ser o tipo da operacao α. Assim, uma funcao n-aria e tambem dita ser de tipo n. Analogamente, se R ⊂ CI e uma relacao em C a cardinalidade de I e dita ser o tipo da relacao R.

• Comentarios sobre a notacao. Notacao mesofixa

Antes de prosseguirmos, facamos uma observacao sobre a notacao que e costumeiramente adotada, especialmente quando se trata de funcoes binarias.

Dado um conjunto C e uma funcao binaria denotada por um sımbolo φ, a imagem de um par (a, b) ∈ C2 e comummente denotada por φ(a, b). E muito pratico, por vezes, usar uma outra notacao e denotar φ(a, b) por aφb. Essa notacao e denominada notacao mesofixa. Um exemplo claro desse uso esta na funcao soma de dois numeros complexos, denotada pelo sımbolo + : C2 → C. Denotamos +(z, w) por z + w. Outro exemplo esta na funcao produto de dois numeros complexos: · : C2 → C. Denotamos ·(z, w) por z · w.

Essa notacao sera usada adiante para outras funcoes binarias alem das funcoes soma e produto de numeros ou matrizes.

Funcoes unarias tambem tem por vezes uma notacao especial, frequentemente do tipo exponencial. Tal e o caso da operacao que associa a cada elemento de um grupo a sua inversa, g 7→ g−1, ou o caso da operacao que associa a cada conjunto o seu complementar A 7→ Ac. Ou ainda o caso da transposicao de matrizes M 7→ MT, da conjugacao de numeros complexos z 7→ z∗ para o que usa-se tambem sabidamente a notacao z 7→ z.

• Comutatividade, associatividade e distributividade Uma funcao binaria χ : C2 → C e dita ser comutativa se para quaisquer a e b ∈ C valer ou seja, na notacao mesofixa, se aχb = bχa .

Funcoes binarias comutativas sao frequentemente chamadas de Abelianas2. Uma funcao binaria χ : C2 → C e dita ser associativa se para quaisquer a, b e c ∈ C valer ou seja, na notacao mesofixa, se aχ(bχc) = (aχb)χc .

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A associatividade permite-nos eliminar os parenteses de expressoes como aχ(bχc), que podem ser escritas sem ambiguidade na forma aχbχc.

Dadas duas funcoes binarias χ1, χ2 : C2 → C, dizemos que χ1 e distributiva em relacao a χ2 se valer

para quaisquer a, b, c ∈ C.

2.1.1 Algebras Universais

Uma algebra Universal e constituıda por um conjunto C e uma colecao F de funcoes finitarias sobre C. A colecao F nao precisa ser finita. Frequentemente denotaremos uma algebra universal por 〈C, F〉.

O estudo sistematico das algebras universais foi iniciado por Withehead3 e Birkhoff4, tendo Boole5, Hamilton6, De Morgan7 e Sylvester8 como precursores. Para uma referencia, vide [60]. Vamos a alguns exemplos.

2. Seja C = Mat(n) (o conjunto das matrizes complexas n × n para um certo n ∈ N) e F = {s, m}, onde s e m sao duas funcoes binarias dadas por s : C2 → C, s(A, B) = A + B e m : C2 → C, s(A, B) = A · B.

3. Seja C o conjunto de todas as matrizes complexas n × m (para n e m ∈ N) e seja F = {c, s, t} onde c : C → C e a funcao unaria dada por c(A) = A (a matriz complexo-conjugada de A), s : C2 → C e a funcao binaria dada por s(A, B) = A + B e t : C3 → C e a funcao 3-aria dada por t(A, B, C) = ABTC, onde BT e a transposta da matriz B.

Algumas algebras universais com propriedades especiais de importancia em Matematica recebem denominacoes proprias e sao chamadas de grupos, semi-grupos, aneis, corpos etc. Vamos introduzı-las adiante. Em todos elas as funcoes de F sao 0-arias, unarias ou binarias.

Algumas estruturas frequentemente encontradas, como espacos vetoriais, algebras e modulos, nao se enquadram exatamente no conceito de algebra universal, mas podem ser encarados como constituıdos por pares de algebras universais dotadas de uma acao de uma das algebras universais sobre a outra. A nocao abstrata de acao de uma algebra universal sobre uma outra algebra universal sera vista mais adiante.

A leitura do restante desta subsecao sobre algebras universais pode ser omitida pois nao afetara o que segue.

• Morfismos entre algebras universais

Sejam 〈A, A〉 e 〈B, B〉 duas algebras universais. Uma funcao ∆ : A → B e dita preservar o tipo das operacoes de A se para todo α ∈ A a operacao ∆(α) ∈ B tiver o mesmo tipo que a operacao α.

Assim, uma aplicacao que preserva o tipo leva aplicacoes unarias em unarias, aplicacoes binarias em binarias etc.

Um morfismo da algebra universal 〈A, A〉 na algebra universal 〈B, B〉 e um par de aplicacoes 〈D, ∆〉 com D : A → B e ∆ : A → B, onde ∆ e uma aplicacao que preserva o tipo e de tal forma que para todo α ∈ A tenhamos como aplicacoes An → B, onde n e o tipo de α. Isso significa que para todo α ∈ A temos

D(α(a1,,an)) = ∆(α)(D(a1), ...,D(an))
para toda (a1,,an) ∈ An, n sendo o tipo de α.

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• Acoes de uma algebra universal sobre uma outra algebra universal

Por razoes de completeza apresentaremos aqui a nocao geral de acao de uma algebra universal sobre uma outra. Vamos comecar com algumas definicoes. Sejam A e B dois conjuntos e seja uma funcao G : A × B → B. Para todo n, m ∈ N definamos

G(n, 1) : An × B → Bn tal que (a1,,an,b) 7→ (G(a1, b), ..., G(an, b))

com ai ∈ A, b ∈ B. Para todo m, m ∈ N definamos

G(1, m) : A × Bm → Bm tal que (a, b1,,bm) 7→ (G(a, b1), ..., G(a, bm))
uma aplicacao, denotaremos por γ(n) : An → An a aplicacao tal que γ(n)(c1,, cn) = (γ(c1), ..., γ(cn)).

Para um conjunto C qualquer idC : C → C denota a identidade em C: idC(c) = c, ∀c ∈ C. Fora isso, se γ : C → C e

dada por (α, β)(a1,, an, b1, . . ., bm) = (α(a1, . . . , an), β(b1, . . ., bm))).

Finalmente, para duas aplicacoes α : An → A e β : Bm → B o par (α, β) denota a aplicacao An × Bm → A × B Com isso podemos formular a definicao desejada de acao de uma algebra universal sobre uma outra.

Sejam 〈A, A〉 e 〈B, B〉 duas algebras universais. Uma acao de 〈A, A〉 sobre 〈B, B〉 e um par 〈G, Γ〉 onde sao aplicacoes tais que Γ preserva tipos e as seguintes condicoes sao validas: Para quaisquer α ∈ A e β ∈ B (cujos tipos serao n e m, respectivamente) tem-se que como aplicacoes An × Bm → B.

E. 2.1 Exercıcio. Mostre isso. 6

onde j : An ×Bm → (A×Bm)n e dada por

j(a1,, an, b1, . . . , bm) := (a1, b1, . . . , bm, a2, b1, . . . , bm, . . . , an, b1, . . . , bm)

e k : An ×Bm → (An ×B)m e dada por

k(a1,, an, b1, . . . , bm) := (a1, . . . , an, b1, a1, . . . , an, b2, . . . , a1, . . . , an, bm) .

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E. 2.2 Exercıcio. Mostre isso. 6

Das relacoes (2.4) e (2.5) segue que a condicao (2.1) pode ser escrita como

Observacao. Acima estamos considerando idA, idB, como elementos de A, respectivamente de B, o que sempre pode ser feito sem perda de generalidade.

2.1.2 Reticulados e Algebras Booleanas

• Reticulados

Um reticulado10 e uma algebra universal constituıda por um conjunto nao-vazio C e duas funcoes binarias denotadas por ∧ e ∨ (le-se “e” e “ou”, respectivamente), dotadas as seguintes propriedades, validas para todos a, b e c ∈ C (usaremos a notacao mesofixa):

Um reticulado em um conjunto C e dito ser um reticulado sobre C. Vamos a exemplos de reticulados.

Exemplo 2.1 Seja C = (B), para algum conjunto nao-vazio B e sejam as funcoes binarias ∧ e ∨ definidas para todos a, b ⊂ B, por a ∧ b = a ∩ b, a ∨ b = a ∪ b. ◊

Exemplo 2.2 Seja C = R e sejam as funcoes binarias ∧ e ∨ definidas para todos a, b ∈ R, por

Exemplo 2.3 Este exemplo generaliza o Exemplo 2.2. Seja X um conjunto nao-vazio e C = RX, o conjunto de todas as funcoes reais definidas em X. Para duas funcoes f, g : X → R defina-se duas novas funcoes f ∧ g e f ∨ g por

10Denominado “lattice” em ingles e “Verband” em alemao. 11Tambem denominada “Amalgamento”. O estudante deve observar que essa e a unica propriedade das listadas acima que relaciona ambas as operacoes ∧ e ∨.

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Exemplo 2.4 Uma outra generalizacao do Exemplo 2.2. Seja C um conjunto linearmente ordenado (a definicao esta a pagina 31) e sejam as funcoes binarias ∧ e ∨ definidas para todos a, b ∈ C, por

b, de outra forma , a∨b = b, de outra forma .

E. 2.3 Exercıcio. Mostre que cada um dos exemplos acima compoe um reticulado. 6

• Reticulados e relacoes de ordem

O Exemplo 2.4, acima, mostra-nos que e possıvel constituir um reticulado a partir de uma relacao de ordem total.

Reciprocamente, e possıvel construir uma relacao de ordem parcial a partir de um reticulado. Para tratar disso (e para futura referencia), enunciemos e provemos o seguinte lema:

Lema 2.1 Seja C um conjunto nao-vazio, o qual constitui um reticulado com duas operacoes binarias ∧ e ∨. Entao, dois elementos x, y ∈ C satisfazem a igualdade x = x ∧ y se e somente se satisfizerem tambem y = x ∨ y. 2

Prova. Se x e y ∈ C satisfazem x = x∧y, entao segue que x∨y = (x∧y)∨y = y, sendo que na ultima igualdade usamos as propriedades de comutatividade e absorvencia. Analogamente, se y = x ∨ y, segue que x ∧ y = x ∧ (x ∨ y) = x, onde novamente usamos as propriedades de comutatividade e absorvencia.

Essas observacoes do Lema 2.1, adicionadas a inspiracao do Exemplo 2.4, induzem-nos a seguinte definicao de uma relacao de ordem parcial em C: dizemos que x y se e somente se x = x ∧ y ou, equivalentemente, se e somente se y = x ∨ y.

Precisamos agora justificar dizer que se trata de uma relacao de ordem parcial, provando serem validas as propriedades de reflexividade, transitividade e anti-simetria listadas a pagina 31. Notemos que, pela propriedade de idempotencia, vale x = x ∧ x para todo x ∈ C e, portanto, x x para todo x ∈ C. Essa e a propriedade de reflexividade da ordem parcial. Notemos tambem que se x, y e z ∈ C tem as propriedades x = x ∧ y e y = y ∧ z, segue que x = x ∧ y = x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z = x ∧ z, onde usamos a propriedade de associatividade. Logo, provamos que se x y e y z vale x z. Essa e a propriedade de transitividade da ordem parcial. Por fim, se x = x ∧y e y = y ∧ x, a propriedade de comutatividade diz-nos que x = x ∧ y = y. Assim, provamos que se x y e y x vale x = y. Essa e a propriedade de anti-simetria da ordem parcial.

E. 2.4 Exercıcio. Estude as relacoes de ordem que advem dos Exemplos 2.1 e 2.3 e constate que sao relacoes de ordem parciais, nao totais (exceto no caso em que C tem apenas um elemento). 6

• Reticulados limitados superiormente. Reticulados limitados inferiormente

Um reticulado C e dito ser limitado superiormente se tiver um maximo, ou seja, se existir ω ∈ C tal que x ω para todo x ∈ C, o que equivale a dizer que x = x ∧ ω para todo x ∈ C.

Um reticulado C e dito ser limitado inferiormente se tiver um maximo, ou seja, se existir α ∈ C tal que α x para todo x ∈ C, o que equivale a dizer que x = x ∨ α para todo x ∈ C.

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