trabalho integrais improprias e coordenadas polares

trabalho integrais improprias e coordenadas polares

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UFPI - UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Centro de Tecnologia / Curso de Engenharia Elétrica Calculo diferencial e integral Prof. Márcia Laís

WalterlinsWillames; Pedro Henrique; Iago Cezar; Denílson; Ronyel; Elton.

Integrais impróprias e coordenadas polares

Teresina (PI) 20 de Junho 2011

Integrais impróprias introdução:

Sabendo que toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo, ou seja, se é uma função contínua em [a,b] então existe . Quando não está definida num dos extremos do intervalo [a,b] , digamos em a , mas existe . Para todo t €(a,b),podemos definir como sendo o limite quando este limite existe.para os outros casos a situação é análoga.neste casos as integrais são conhecidas como integrais impróprias.

Definição tipo 1: intervalos infinitos

(i) Dado : (a,b) R, se existe para todo t €(a,b), Definimos:

= ,a < t < b,
que a integralnão existe,ou não converge.

quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos Exemplos 1 :

Solução:b
= = │o ==

Exemplo 2:

Solução:

b = == │0 = = 1

(i) Dado : (a,b) R, se existe para todo t €(a,b), Definimos:

= , a < t < b,

integralnão existe,ou não converge.

quando este limite existe. Caso não exista este limite diremos que a Exemplo 1:

Solução:

= = │t( = = 1

Exemplo 2:

Solução:
= =dx

Fazendo u=1-x => du=-dx,pelo método da substituição, temos:

dx= du= -2u,
Ou seja,1
= ,a < c < b ,

(i) Dado : (a,b) R, escrevemos:

Quando as duas interais do 2 º membro existem. As integrais do segundo membro foram definidas em (i) e (i)

Exemplo 1:

Solução:

= = │t +1 =+∞

Exemplo 2:

Solução: Seja u= 1+x²; logo du = 2xdx: = = =- , então,

Definição tipo 2: integrandos descontínuos (i) Dado : (a,b) R, é descontinua em b, então

=a < t < b,

Se esse limite existir(como um número).

Exemplo 1

=

Solução:

Note que sec t ∞ e tg ∞ quando t , então aintegral

= ∞ diverge.

Exemplo 2

Solução: =

=

(iv) Dado : (a,b) R, é descontinua em a, então

Se esse limite existir(como um número) A integral imprópria é chamda convergente se correspondente existir e divergente se o limite não existir

Exemplo 1

Solução: =

Logo a integral é convergente. Exemplo 2:

Solução: Fazendo u= sen(x) temos : = = 2 .logo,

= ,a < c < b ,

(v) Se tiver uma descontinuidade em c , onde a < c < b

Quando as duas interais do 2 º membro existem. As integrais do segundo membro foram definidas em (i) e (i)

Exemplo:

Solução: * observe que a função integrada não é definida em -2 €[-4,1].

-21
= (│-4 + ( │-2+t2

Exemplo 2:

Solução: Temos, que = , não é continua em x=2,segue que:

t

= + , 4 = o + │t

=+

Observamos que calculando o primeiro limite obtemos o resultado ∞ , logo, podemos concluir que a integral proposta não existe, ou seja, a integral é divergente.

Coordenadas Polares.

O sistema de coordenadas polares é um recurso que podemos utilizar para localizar pontos no plano e, consequentemente, representar lugares geométricos a partir de equações, o que é de grande utilidade em várias áreas da matemática, como por exemplo, no cálculo de áreas limitadas por duas ou mais curvas planas, áreas de superfícies, etc.

Sua utilização se deve ao fato de muitas vezes a equação cartesiana de um lugar geométrico apresentar dificuldades operacionais na sua utilização, devido, por exemplo, ao grau elevado de suas variáveis.

O sistema polar.

É constituído de um eixo e um ponto fixo sobre este. O eixo é chamado de eixo polar e o ponto fixo de pólo.A todo ponto P do plano associamos um par de elemento: o primeiro é a distância do ponto P ao pólo e o segundo é o ângulo formado pelo eixo polar e a semi-reta de origem O que passa por P(figura abaixo).

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