Fundamentos de topografia

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(Parte 2 de 4)

Figura 1.10 - Vertical. 1.3.4 - MODELO PLANO

Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até aproximadamente 80 km.

Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são:

a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção localizado no infinito. b) a superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimetrico o referido datum vertical brasileiro. c) as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e a refração atmosférica têm as seguintes aproximadas:

Linha de força ou linha vertical

(vertical)

g : direção do vetor gravidade do ponto P

Superfície equipotencial ou superfície de nível S

Superfície equipotencial ou superfície de nível S´

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Δh (m) = +78,1 l2 (km) Δh(m) = +67 l2 (km) onde:

Δl = deformação planimetrica devida a curvatura da Terra, em m. Δh = deformação altimétrica devida a curvatura da Terra, em m.

Δh = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da refração atmosférica, em m. l = distância considerada no terreno, em km.

d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1:35000 nesta dimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade desta dimensão. e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano de projeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja origem coincide com a do levantamento topográfico; f) o eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma direção notável do terreno, julgada como importante.

Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos mesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma:

Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo); Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira); Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste).

A figura 1.1 ilustra este plano.

Figura 1.1 - Plano em Topografia.

PS Eixo Y Eixo X

Eixo Z

Plano de Projeção 90º 90º

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Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável do terreno, como o alinhamento de uma rua, por exemplo (figura 1.12).

Figura 1.12 - Eixos definidos por uma direção notável. 1.3.4.1- EFEITO DA CURVATURA NA DISTÂNCIA E ALTIMETRIA

A seguir é demonstrado o efeito da curvatura nas distâncias e na altimetria. Na figura 1.13 tem-se que S é o valor de uma distância considerada sobre a Terra esférica e S´ a projeção desta distância sobre o plano topográfico.

Figura 1.13 - Efeito da curvatura para a distância. A diferença entre S´e S será dada por:

ΔS = S´ – S(1.3)

Calculando S e Se substituindo na equação (1.3) tem-se:

S’ = R tg θ(1.4)

R: raioaproximado da Terra (6370 km)

Eixo X Eixo Y

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S = R θ(1.5)
ΔS = R tgθ - R θ(1.6)
ΔS = R (tg θ − θ)(1.7)

Desenvolvendo tg θ em série e utilizando somente os dois primeiros termos: (1.8) onde θ = S/R, logo: (1.10)

A tabela 1.1 apresenta valores de erros absolutos e relativos para um conjunto de distâncias.

Tabela 1.1 - Efeito da curvatura para diferentes distâncias.

S (km)Δs 1 0,008 m 10 8,2 m 25 12,8 cm 50 1,03 m 70 2,81 m

Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria, de acordo com a figura 1.1.

Figura 1.14 - Efeito da curvatura na altimetria.

3 tg

R: raio aproximado da Terra (6370 km)

Δh: diferença de nível entre os pontos B e B´, este último projeção de B no plano topográfico.

Δh

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12 Através da figura 1.1 é possível perceber que:

Δ+=θcos(1.12)

hR R Isolando Δh na equação anterior:

⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅=Δ1cos1θRh(1.13)

De acordo com CINTRA (1996), desenvolvendo em série 1/cos θ e considerando que:

S=θ(1.14)

tem-se:

2Rhθ⋅=Δ(1.15)
h⋅=Δ(1.16)

R2 S2 A tabela 1.2 apresenta o efeito da curvatura na altimetria para diferentes distâncias.

Tabela 1.2 - Efeito da curvatura na altimetria.

S Δh 100m 0,8 m 500m 20 m 1 km 78 m 10 km 7,8 m 70 km 381,6 m

Como pode ser observado através das tabelas 1.1 e 1.2, o efeito da curvatura é maior na altimetria do que na planimetria. Durante os levantamentos altimétricos alguns cuidados são tomados para minimizar este efeito, com será visto nos capítulos posteriores.

1.4 - CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE OBSERVAÇÃO

Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas como direções, distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por erros. As fontes de erro poderão ser:

• Condições ambientais: causados pelas variações das condições ambientais, como vento, temperatura, etc. Exemplo: variação do comprimento de uma trena com a variação da temperatura.

• Instrumentais: causados por problemas como a imperfeição na construção de equipamento ou ajuste do mesmo. A maior parte dos erros instrumentais pode ser reduzida

TOPOGRAFIA Luis A. K. Veiga/Maria A. Z. Zanetti/Pedro L. Faggion adotando técnicas de verificação/retificação, calibração e classificação, além de técnicas particulares de observação.

• Pessoais: causados por falhas humanas, como falta de atenção ao executar uma medição, cansaço, etc.

Os erros, causados por estes três elementos apresentados anteriormente, poderão ser classificados em:

• Erros sistemáticos

• Erros aleatórios

1.4.1 - ERROS GROSSEIROS

Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos, identificação de alvo, etc., normalmente relacionados com a desatenção do observador ou uma falha no equipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrência ou detectar a sua presença. A repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros. Alguns exemplos de erros grosseiros:

• anotar 196 ao invés de 169; • engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena.

1.4.2 - ERROS SISTEMÁTICOS

São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados, seguindo leis matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser evitados através de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados mediante a aplicação de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longo do trabalho.

Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos através de fórmulas específicas:

• efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor eletrônico de distância;

• correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura.

Um exemplo clássico apresentado na literatura, referente a diferentes formas de eliminar e ou minimizar erros sistemáticos é o posicionamento do nível a igual distância entre as miras durante o nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais, o que proporciona a minimização do efeito da curvatura terrestre no nivelamento e falta de paralelismo entre a linha de visada e eixo do nível tubular.

1.4.3 - ERROS ACIDENTAIS OU ALEATÓRIOS

São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido eliminados. São erros que não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se neutralizar quando o número de observações é grande.

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De acordo com GEMAEL (1991, p.63), quando o tamanho de uma amostra é elevado, os erros acidentais apresentam uma distribuição de freqüência que muito se aproxima da distribuição normal.

1.4.3.1- PECULIARIDADE DOS ERROS ACIDENTAIS

• Erros pequenos ocorrem mais freqüentemente do que os grandes, sendo mais prováveis;

• Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual freqüência, ou são igualmente prováveis;

• A média dos resíduos é aproximadamente nula;

• Aumentando o número de observações, aumenta a probabilidade de se chegar próximo ao valor real.

Exemplo de erros acidentais:

• Inclinação da baliza na hora de realizar a medida; • Erro de pontaria na leitura de direções horizontais.

1.4.4 - PRECISÃO E ACURÁCIA

A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condições semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios.

A acurácia expressa o grau de aderência das observações em relação ao seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios e sistemáticos. A figura 1.15 ilustra estes conceitos.

Figura 1.15 - Precisão e acurácia.

O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença entre eles: um jogador de futebol está treinando cobranças de pênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado direito do goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados não apresentaram nenhuma variação em torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em compensação sua acurácia foi nula. Ele não conseguiu acertar o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez.

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Neste capítulo é realizada uma revisão de unidades e trigonometria, necessária para o estudo dos próximos temas a serem abordados.

2.1 - UNIDADES DE MEDIDA 2.1.1 - MEDIDA DE COMPRIMENTO (METRO)

A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de Ciências de Paris o definiu como unidade padrão de comprimento. Sua dimensão era representada por 1/10.0.0 de um arco de meridiano da Terra.

Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas estabeleceu a definição atual do “metro” como a distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s.

O metro é uma unidade básica para a representação de medidas de comprimento no sistema internacional (SI).

Tabela 2.1 -Prefixos.

Nome Valor

Numérico Símbolo Nome Valor Numérico Símbolo

Deca 101 da deci 10-1 d Hecto 102 H centi 10-2 c Kilo 103 K mili 10-3 m

Mega 106 M micro 10-6 μ Giga 109 G nano 10-9 n Tera 1012 T pico 10-12 p

2.1.2 - Medida Angular (Sexagesimal, Centesimal e Radianos)

2.1.2.1 - RADIANO

Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de circunferência de comprimento igual ao raio da mesma. É uma unidade suplementar do SI para ângulos planos.

2πR — 360º arco = R = raio(2.1)

Raio

Raio θ

Arco

Figura 2.1 - Representação de um arco de ângulo.

02 -REVISÃO MATEMÁTICA

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2.1.2.2 - UNIDADE SEXAGESIMAL Grau 1 grau = 1/360 da circunferência

grau °1° = (π /180) rad
minuto ’1’ = 1°/60= (π/10800) rad
segundos ”1” = 1°/3600= (π/648000) rad

2.1.2.3 - UNIDADE DECIMAL Grado 1 grado =1/400 da circunferência Um grado é dividido em 100’ e cada minuto tem 100”.

2.1.2.4 EXERCÍCIOS:

1) Transformação de ângulos:

Transforme os seguintes ângulos em graus, minutos e segundos para graus e frações decimais de grau.

a) 32º 28’ 59” = 32 = 32, 48305556º b) 17º 34’ 18,3” = 17 = 17,57175º c) 125º 59’ 57” = 125 = 125,9991667º d) 2) Soma e subtração de ângulos:

30º20’ + 20º 52’ = 51º12’ 28º41’ + 39°39’ = 68°20’ 42º30’ – 20°40’ = 21°50’

2.1) Utilizando a calculadora:

30,20 →DEG = 30,3 + 20,52 →DEG = 20,86666667 =

51,20000 2ndF →DEG = 51º 12’

2.2) Sem a utilização de calculadora:

⇒ 51º 12’

⇒ =09º28’

30º20'

20º52'50º72'+

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OBS: é comum, utilizando a calculadora, obter resultados com várias casas decimais, neste caso, recomenda-se o arredondamento. Por exemplo:

Já para a transformação de graus decimais para graus, minutos e segundos, é necessário manter um mínimo de 6 casas decimais para obter o décimo do segundo com segurança.

3) Cálculo de funções trigonométricas utilizando uma calculadora

Ao aplicar as funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente), com uma calculadora, o ângulo deve estar em graus e frações de graus ou radianos, sendo que neste último caso, a calculadora deve estar configurada para radianos. Por exemplo:

Para o ângulo 22º 09’ 04”, calcular o valor do seno, cosseno e tangente: 1º) transformar para graus decimais ou radianos: 2º 09’ 04” = 2,1511111º = 0.386609821864rad 2º) aplicar a função trigonométrica desejada: sen(2,1511111º) = sen(0.386609821864 rad) = 0,377050629 cos(2,1511111º) = cos(0.386609821864 rad) = 0,926192648 tg(2,1511111º) = tg(0.386609821864 rad) = 0,407097411

Ao aplicar-se a função sem a transformação do ângulo pode-se incorrer em erros nos cálculos futuros, como é possível observar no exemplo a seguir:

Para o ângulo citado acima: α = 22º 09’ 04”

Calculando-se o valor da função seno sem converter o valor do ângulo, obtém-se: sen 2,0904 = 0,376069016

Já transformando-o para graus decimais obtém-se: sen 2,1511111º = 0,377050629

Considerando uma distância de 300m, entre um vértice de uma poligonal e um ponto de detalhe qualquer, pode-se observar a seguinte diferença no valor de Δx calculado.

Δx = 300 . sen 2,0904 = 300 . 0,376069016 → Δx = 112,821m

Δx = 300 . sen 2,15111110 = 300 . 0,377050629 → Δx = 113,115m

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18 Logo, uma diferença de 29,4 cm.

2.2 - REVISÃO DE TRIGONOMETRIA PLANA

A trigonometria teve origem na Grécia, em virtude dos estudos das relações métricas entre os lados e os ângulos de um triângulo, provavelmente com o objetivo de resolver problemas de navegação, Agrimensura e Astronomia.

2.2.1 - RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. A partir da figura 2.2 podem ser estabelecidas as seguintes relações:

Figura 2.2 – Triângulo retângulo

Seno sen α = ) ( aHipotenusa cOpostoCateto

Cosseno cos α = ) ( aHipotenusa bAdjacenteCateto

Tangente tg α = ) ( bAdjecenteCateto cOpostoCateto

2.2.2 - TEOREMA DE PITÁGORAS

“O quadrado do comprimento da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”

AB C b

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a2 = b2 + c2(2.2)

2.3 - EXERCÍCIOS 1) No triângulo abaixo, determinar as relações solicitadas.

β a = 2m m AB

C b = 3 c = 1m

1

sen α = 2

1
3

cos α = 2

3
1
m tg β = 3

Obs.: É importante lembrar que as funções trigonométricas são adimensionais, ou seja, para qualquer unidade que esteja sendo utilizada, elas sempre se simplificarão, como pode ser visto no exemplo acima.

2) Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de 56º 0’0”. Afastando-se de 20,0 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35º 0’0”. Calcule a largura do rio (CEFET, 1984).

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3) Para determinar a largura de um rio, um topógrafo mediu, a partir de uma base de 20,00m de comprimento os ângulos A e B, conforme figura. Calcule valor de h.

BP M h a b

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2.4 - RELAÇÕES MÉTRICAS COM O TRIÂNGULO RETÂNGULO

Para um triângulo retângulo ABC pode-se estabelecer algumas relações entre as medidas de seus elementos:

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