De Euclides a Poincaré

De Euclides a Poincaré

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De Euclides a Poincare

Placido F. A. Andrade 18 de janeiro de 2007

Escolhemos o 5o postulado de Euclides como o eixo de apresentacao de uma pequena, e algumas vezes dramatica, parte da Historia do Pensamento Cientıfico que sempre pairou sobre a Matematica ate se dissolver na teoria chamada Geometria Riemanniana.

Nao nos arriscaremos a apresentar a Historia da Geometria, area que diz respeito aquele postulado, apenas exporemos um ponto de vista e fatos relacionados com o controverso axioma. Fatos que descrevem dois mil anos de busca pela comprovacao de uma ideia monolıtica sobre oe spaco fısico e que, quando da sua ruına, interferiu no desenvolvimento da Matematica. Por nao ser um tratado sobre o assunto, existirao omissoes, mas o intuito e ressaltar o belo modelo de Poincarep ara a Geometria hiperbolica, uma Geometria nao-Euclidiana cuja descoberta foi demorada em consequencia de muitos fatores internos e externos a Matematica.

Oe spaco hiperbolico de Poincaret em importancia historica singular. Primeiro, ele foi construıdo dentro de uma moldura Euclidiana, portanto, a sua consistencia e quivalente a consistencia da Geometria Euclidiana, feito que encerrou uma questao que se arrastava por decadas. Segundo, o modelo satisfaz aos axiomas de Hilbert para a Geometria Euclidiana exceto, ec laro, ao5 o postulado. Por ultimo, os planos do espaco hiperbolico, discos de Poincare,s ao modelos para os planos hiperbolicos axiomaticos.

Nao nos restringiremos a uma apresentacao factual. Pretendemos destacar o fio condutor que direcionou parte do trabalho de muitos matematicos desde a GreciaA ntigaa te o fim do seculo XIX.

2 1 A GEOMETRIA EUCLIDIANA

Oa utor er esponsavel pelos comentarios a seguir enquanto os fatos historicos utilizados para corrobora-los foram coletados, principalmente, nos livros de Boyer [Boy], Wolfe [Wol], Barbosa [Bar] e na pagina da Internet [w].

Essas notas saooc apıtulo de introducao ao texto [And].

1 A Geometria Euclidiana

Euclides organizou numa obra, Elementos, praticamente, todo o conhecimento de Matematica basica da sua epoca. Em treze livros1 estabeleceu o mais duradouro plano de ensino que se tem notıcia. Em essencia, suap ropostap arao ensino de Geometria e Aritmetica sobrevive ateo s dias de hoje nos textos do Ensino Basico.

A obra foi escrita por volta de 300 aC ao ser convidado a ser (o primeiro) professor de Matematica do Museu de Alexandria. O Museu criado por Ptolomeu I, um dos generais de Alexandre, tornou-se o maior centro academico da epoca, superando a rival Academia de Platao, em Atenas.

Para mensurar a importancia historica desse personagem, citaremos a opiniao de Boyer [Boy] elegendo-o como um dos tres mais influentes professores de Matematica da Historia, junto com o frances Gaspar Monge (1746 − 1818) e o alemao Felix Klein (1849 − 1925).

Ao desenvolver a Geometria, Euclides fixou como ponto de partida um sistema axiomatico com cinco postulados2 (o que se pode)d o qual sao deduzidas todas as proposicoes geometricas.

Axiomas de Euclides para a Geometria

1o Pode-se tracar uma reta ligando quaisquer dois pontos.

2o Pode-se continuar qualquer reta finita continuamente

1O termo livro tem o significado de capıtulo. 2Na lıngua Portuguesa axioma e postulado tem o mesmo significado.

em uma reta.

3o Pode-se tracar um cırculo com qualquer centro e qualquer raio.

4o Todos os angulos retos sao iguais.

5o Se uma reta ao cortar duas outras, forma angulos internos,n o mesmo lado,c uja soma e menor do que dois angulos retos, entao as duas retas, se continuadas, encontra-se-ao no lado onde estao os angulos cuja soma e menor do que dois angulos retos.

O sistema axiomatico e creditado a Eudoxo de Cnido (±408 aC −± 355 aC), membro da Academia de Platao. Eudoxo transportou paraaM atematica a teoria de afirmacoes de Aristoteles (± 384 aC − 322 aC) feita para a Filosofia, baseada em nocoes comuns, nocoes especiais e definicoes.

Talvez, o ultimo postulado possa ser creditado a Euclides, pelo menos com essa redacao.

2 Um modelo para o espaco

Certemente, ainda nao surgiu um povo mais intelectualmente competente que os gregos antigos e devemos agradece-los por tal postura cuja consequencia foi um rico legado para a humanidade. Dos ritos religiosos tribais eles extraıram linguagens artısticas como o Teatro, a Danca e a Poesia. Das observacoes da experiencia humana e da natureza criaram a Filosofia e algumas das ciencias atuais, como a Matematica e a Fısica. Devemos a eles o processo dedutivo que hoje direciona o que entendemos por conhecimento cientıfico. Para a manutencao e desenvolvimento

4 2 UM MODELO PARA O ESPAC¸O desses conhecimentos criaram escolas, por vezes, nao subordinadas aos templos religiosos e ao poder local. Algumas delas estavam imbuıdas de varios princıpios e valores que regem os atuais Institutos de Pesquisas e Universidades.

Para os gregos antigos, a Matematica estava envolta em misticismo.

Etimologicamente, a palavra Matematica significa oq ue e aprendido. Para eles, existiam verdades absolutas que transcendiam ao homem e que podiam ser descobertas. O fazer Matematica nao produzia conhecimentos, significava o caminhar na direcao de verdades eternas e somente por ela, a Matematica, era possıvel tal facanha.

Sem esforco algum, percebe-se a origem empırica dos quatro primeiros postulados, eles sao descricoes simples e claras das tecnicas utilizadas na agrimensura antiga. Tais processos tecnicos foram adotados como os princıpios mınimos para o desenvolvimento de uma teoria apropriadamente denominada Geometria, termo cujo significado etimologico e medicao de terras. Com profunda sabedoria, os gregos recorreram a uma das primeiras manifestacoes que marcam o ınicio da civilizacao, o surgimento da agricultura ocorrida por volta de 10.0 aC, para desenvolver a Geometria.

Com o acrescimo do 5o postulado, o homem elaborou o primeiro e mais duradouro modelo para o espaco fısico. Um modelo fısico deve ser entendido como um conjunto de leis que regem a estrutura de um sistema fısico do qual procura-se, a partir deles, explicitar dedutivamente as propriedades do sistema. O sistema considerado na Geometria Euclidiana eoe spaco fısico e as leis sao os postulados. Portanto, a Geometria Euclidiana tem o espaco como objeto de estudo, planos e retas sao subconjuntos utilizados para estuda-lo e merecem um tratamento destacado.

A simplicidade dos postulados esconde o enorme esforco mental desprendido para realizar tal sıntese. Do inıcio da agricultura ateo surgimento dos primeiros textos de Geometria transcorreram-se cerca de nove mil anos. Entretanto, somente os gregos, por volta de 350 aC. conseguiram criar uma esplendorosa teoria. A naturalidade do que ”se pode assumir” permitiu deduzir inumeras propriedades. Ainda no seculo XIX eram demonstrados teoremas como o Cırculo de nove pontos3,c onsiderado por muitos, o mais belo teorema da Geometria Euclidiana. A simplicidade tambem oculta uma serie de suposicoes. Citaremos duas delas.

i) Implicitamente estap osto que o espaco, osp lanose as retas sao ilimitados. Pelo menos, essa e a impressao que o 2o postulado transmite e e com tal carater que Euclides desenvolveu a teoria.

i) Os postulados sao extrapolacoes de experiencias locais. Dos quatro primeiros postulados, subentende-se que um procedimento realizado numa regiao do espaco pode ser repetido em qualquer outra regiao, ou seja, oe spaco e igual a si mesmo em todos os seus pontos (isotropico). Por isso, os tres criterios de congruencia para triangulos nao dependem do 50 postulado.

O5 o postulado chegou aten os conhecido como postulado das paralelas. A explicacao historica e bem conhecida. Utilizando apenas os quatro primeiros postulados ep ossıvel provar atea 31a proposicao do Livro I dos Elementos: por um ponto fora de uma reta passa pelo menos uma reta que naoai ntercepta.O utimo postulado garante a unicidade da paralela!

Oe scoces John Playfair (1748 − 1819), um geometra que fez uma traducao dos Elementos para o Ingles, observou, talvez inspirado naquela proposicao, que o postulado poderia ser substituıdo por uma afirmacao nao condicional sem que a teoria fosse alterada. Ele eo responsavel pelo substituto: por um ponto fora de uma reta passa uma unica reta que nao a inter-

cepta. Em sua homenagem, o 5o postulado tambem e conhecido como pos- tulado de Playfair. E perfeitamente plausıvel que os gregos tivessem conhecimento desse substituto.

3Creditadoa oa lemao Karl Wilhelm Feuerbach (1800−1834), publicacao de 1822.

6 3 A NECESSIDADE DO 5O POSTULADO

3 A necessidade do 5o postulado

Dos cinco postulados, o ultimo e, claramente, diferente dos demais, eo unico condicional. A redacao segue a estrutura utilizada no enunciado de uma proposicao, nao faltando o ”se”e o”entao”, a hipotese e a tese.

Euclides nao o utiliza nas demonstracoes4 das primeiras 28 proposicoes do Livro I, nas quais deduz propriedades elementares de triangulos. Na 29a proposicao inicia os preparativos para o ataque final a3 2a onde provaraq ue as omad as medidasd os angulos de um triangulo e igual a π.E ste fato e facilmente visualizado colando tres triangulos iguais feitos de cartolina, tecnica heurıstica empregada nas Escolas do Ensino Fundamental. Portanto, a proposicao de numero3 2e validada empiricamente.

Como ja comentado, a 31a Proposicao garante que por um ponto fora de uma reta passa uma reta que naoai ntercepta. Entretanto, nao e possıvel deduzir a partir dos quatro primeiros postulados que ela e a unica reta possuındo essa propriedade. Aı reside o ponto crucial da teoria Euclidiana e os gregos tinham consciencia da relatividade do modelo. Para provar a proposicao seguinte sobre os angulos de um triangulo e necessario a unicidade! O postulado das paralelas impoe a unicidade.

O5 o postulado nao e uma lei natural nem e videntep or si mesmo, e uma decisao intelectual imposta para validar uma teoria adaptando-a a um fato constatado empiricamente.

Apesar da genealidade e beleza com as quais os quatro primeiros axiomas foram imaginados eles nao foram suficientes para descrever o

4Na lıngua Portuguesa o significado de prova e demonstracao sao iguais.

modelo absoluto do espaco que os gregos acreditaram existir. Eliminar o5 o postulado do sistema axiomatico significa que o modelo ali exposto nao foi criado, mas descoberto. Reduzı-lo a uma proposicao e prova-lo seria a confirmacao de que nao houve a participacao humana na idealizacao do modelo. O modelo seria uma obra divina, uma verdade absoluta e eterna e que foi, apenas, descoberto pela razao.

AM atematica grega ja tinha sido salva por Eudoxo, um dos maiores matematicos antes de Arquimedes (287 aC − 212 aC). Eudoxo contornou brilhantemente a questao dos incomensuraveis, mas foi intransponıvel para os gregos eliminar o postulado. Ep ossıvel imaginar o desgosto e a frustracao de Euclides ao transformar o que seria a 29a proposicao de seu livro em um axioma. Restou-lhe a esperanca que no futuro alguem apresentasse uma prova para sua proposicao.

Para consolo de Euclides, podemos dizer que ele produziu Ciencia, no mais puro sentido do termo. Caso o 5o postulado fosse prescindıvel, os gregos teriam criado uma relacao de dogmas pela qual tudo seria explicado. Eles elaboraram uma teoria que apreende muitos fenomenos e aquilo que nao foi deduzido forneceu o motivo para a criacao de teorias mais abrangentes, mesmo que para isso milhares de anos fossem necessarios.

Ad emonstracao do postulado-proposicao desafiou os matematicos por vinteet res seculos. Hoje, sabemos que o mais longe que se pode chegar nessa direcao, utilizando-se apenas os quatro primeiros axiomas, ep rovarq ue a soma das medidas dos angulos de um triangulo e menor que ou igual a π.

4 Em busca do modelo absoluto

A busca pela constatacao do modelo absoluto para o espaco passou a ser uma obsessao e nao tardou a surgir os candidatos ao Panteao.

Ateo seculo XVIII, pouquıssimos tentaram, mesmo timidamente, especular sobre um outro modelo. Entre esses raros homens encontra-se Papus de Alexandria (290 − 350), outro excepcional matematico, que

8 4 EM BUSCA DO MODELO ABSOLUTO considerou o sistema mais simples possıvel. Papus assumiu apenas os axiomas de incidencia, os dois primeiros da lista.

Pela atitude, ele e considerado o pai da Geometria projetiva uma teoria que, embora singela, possui teoremas surpreendentes.

Uma segunda proposta, a do astronomo alemao Hohannes Kepler (1571 − 1630) sugerindo o acrescimo de pontos ideais ao modelo Euclidiano para expressar o encontro de paralelas, nao foi levada em conta pela ortodoxia cientıfica reinante na epoca.

A esmagadora maioria acreditou na ideia absolutista optando por demonstrar o postulado. Muitas delas foram publicadas e algumas aceitas por longos perıodos. As que mais sobreviveram utilizavam um argumento obvio, todavia, o obvio sempre era um substituto do 5o postulado utilizado sem demonstracao.

Da mais antiga delas, quem nos dac onta eofi losofo, matematico e historiador Proclus Diadochus (411 dC − 485 dC). No seu Comentario sobre Euclides, uma das principais fontes sobre a historia da Geometria grega, Proclus relata que Ptolomeu I, o general, apresentou uma prova falsa e insinua qual o erro cometido. O argumento principal de Ptolomeu seria: uma reta que intercepta uma segunda reta tambem intercepta todas as retas paralelas a esta segunda.

Proclus aventurou-se nesse terreno apresentando tambem uma pseudo-prova na qual ele utilizou o substituto de Playfair: por um ponto fora de umar etai ncide uma unica reta paralela que nao a intercepta.

O persa Nasir Edin (1201 dC − 1274 dC), astronomo, matematico e ditor de uma versao do Elementos parao arabe, deixou registrada uma outra pseudo-prova utilizando os quatro primeiros axiomas. Inicialmente, ele mostra ae xistencia de um retangulo e arremata a exposicao deduzindo que as omad as medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a dois angulos retos.T odos sao substitutos.

Om atematico ingles John Wallis (1616 − 1703) tambem fez sua tentativa. Em 1663, Wallis publicou um artigo com uma prova cujo argumento principal era o substituto: dado um triangulo ep ossıvel construir um outro triangulo semelhante com a area arbitrariamente grande.

Para ilustrar a capacidade e competencia de Wallis, vale citar, embora nao tenha relacao alguma com o assunto aqui tratado, uma bela formula de sua autoria que permite aproximar o numero π por racionais [Lan],

2.2.4.4.6.6.8.8
1.1.3.3.5.5.7.7

Certamente, a mais importante tentativa ateo seculo XVII ficou sendo a do padre jesuıta e professor da Universidade de Pavia, Giovanni Girolano Saccheri (1667 − 1733).

No ano da morte de Saccheri foi publicado um livro5 de sua autoria, redescoberto em Milao em 1889, no qual ele registrou seu trabalho em busca de uma prova para o 5o postulado.

Saccheri considerou um quadrilatero com dois angulos retos e dois lados opostos de mesmo comprimento, hoje conhecido por quadrilatero de Saccheri, e passou a estudar os outros dois angulos do quadrilatero. Ele desejava provar que existe um retangulo6 utilizando apenas os quatro primeiros postulados de Euclides. Seu metodo de estudo foi por reducao ao absurdo, supondo que nao existiam retangulos e, inutilmente, tentou chegar a uma contradicao. Na busca, demonstrou muitos resultados de Geometria hiperbolica plana, nao cometeu erros logicos na exposicao e nao encontrou contradicao alguma. Com tudo isto em maos, Saccheri nao acreditou que poderia existir uma Geometria que nao fosse a Euclidiana.

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