exercios de algebra respondidos

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(Parte 1 de 2)

Álgebra Linear - Exercícios (Transformações Lineares)

Índice 1 Transformações Lineares 3

1 Transformações Lineares

1 Transformações Lineares Exercício 1 Mostre quea st ransformaçõesl inearesd e R3 em R3,

têm os mesmos núcleos e contradomínios.

Solução

• Tranformação T1 Consideremos a base canónica de R3:

Determinemos a matriz da transformação:

A matriz da transformação, A1, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas são as coordenadas de T1 (ei) na base {ei}:

O núcleo da transformação é dado pelo conjunto:

Determinar o núcleo consiste em resolver o sistema de equações A1v =0 nas variáveis v.D ado que rA1 =2 < 3 o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação 1, e a solução é da forma:

1 Transformações Lineares

O contradomínio, ou imagem, de T1, denotado por Im(T1) ou T1 ¡

. Temos as- sim que analisar a forma dos vectores A1v.N ote-se que A1v consiste na combinação linear das colunas de A1:

É evidente que apenas 0 1

são linearmente independentes,

pelo que, não esquecendo que estamos a tentar descobrir a forma de w,s e terá com vector genérico de Im(T1):

• Tranformação T2 Consideremos a base canónica de R3:

Determinemos a matriz da transformação:

A matriz da transformação, A1, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas são as coordenadas de T2 (ei) na base {ei}:

O núcleo da transformação é dado pelo conjunto:

1 Transformações Lineares

• Determinar o núcleo consiste em resolver o sistema de equações A2v =0 nas variáveis v. Construamos a matriz ampliada do sistema e resolvamos por condensação:

Dado que rA2 =2 < 3 o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação 1, e a solução é da forma:

O contradomínio, ou imagem, de T2, denotado por Im(T2) ou T2 ¡

. Temos as- sim que analisar a forma dos vectores A2v.N ote-se que A2v consiste na combinação linear das colunas de A2:

são linearmente independentes

(não são múltiplos um do outro), pelo que, não esquecendo que estamos a tentar descobrir a forma de w, se terá com vector genérico de Im(T2):

Tem-se claramente, Nuc(T1)= Nuc(T2). Embora de modo menos claro, também se tem Im(T1)= Im(T2).B asta verificar que os vectores da base

1 Transformações Lineares

se podem escrever como combinação linear dos vectores da base de Im(T1),o ques ignifica que os vectores da base de Im(T1) geram o conjunto Im(T2). Deste modo, tem-se Im(T1)= Im(T2).

Exercício 2 Verifiques eaa plicação T se qualifica como transformação linear: R3,

Solução

Logo, T é uma transformação linear.

Exercício 3 Determine a matriz da transformação de cada uma das seguintes transformações lineares, considerando a base canónica:

Solução

1 Transformações Lineares

A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 2×2 cujas colunas são as coordenadas de T (ei) na base {ei}:

A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 2×2 cujas colunas são as coordenadas de T (ei) na base {ei}:

c)

A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas são as coordenadas de T (ei) na base {ei}:

d)

A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas são as coordenadas de T (ei) na base {ei}:

Exercício 4 Determine a imagem do vector (−2,4) relativamente a cada uma das seguintes transformações lineares. Utilizando primeiro a definição e em seguida utilizando a matriz de cada transformação:

1 Transformações Lineares

Solução

A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 2×2 cujas colunas são as coordenadas de T (ei) na base {ei}:

Como o vector v =( −2,4) se pode escrever como combinação linear da base escolhida do seguinte modo: (−2) · e1 +4 · e2,r esulta que as co-

ordenadas do vector v na base canónica são

¸ . Conclui-se que as coordenadas de T (v) na base canónica se podem determinar fazendo o produto Av (v neste contexto refere-se às coordenadas e não ao vector propriamente dito):

Av =

Assim, o vector T (v) tem coordenadas

¸ na base canónica pelo que

Como era de esperar, os resultados utilizando a definiçãod at ransformação ou a matriz da transformação são iguais.

1 Transformações Lineares

A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 2×2 cujas colunas são as coordenadas de T (ei) na base {ei}:

Como o vector v =( −2,4) se pode escrever como combinação linear da base escolhida do seguinte modo: (−2) · e1 +4 · e2, resulta que as coorde-

nadas do vector v na base canónica são

¸ resulta que as coordenadas de T (v) na base canónica se podem determinar fazendo o produto Av (v neste contexto refere-se às coordenadas e não ao vector propriamente dito):

Av =

Assim, o vector T (v) tem coordenadas

¸ na base canónica pelo que pode ser escrito como (−8) · e1 +( −2) · e2. Um simples cálculo permite verificar que:

Como era de esperar, os resultados utilizando a definiçãod at ransformação ou a matriz da transformação são iguais.

Exercício 5 Considere o espaço das matrizes reais, quadradas de ordem 2, M2 (R).V erifique quais das seguintes transformações são lineares:

· ab

· ab

Solução 9

1 Transformações Lineares i) Temos de verificar se

Façamos então A1 =

Logo, T não é uma transformação linear. i) Temos de verificar se:

Façamos então A1 =

1 Transformações Lineares

Logo, T é uma transformação linear.

Exercício 6 Seja T uma transformação linear em R3 dada por T (x,y,z)= (z, x − y, −z).

a) Indique o núcleo de T, a sua dimensão e uma base.

b) Determine a dimensão da imagem de R3 dada por T. c) T é sobrejectiva? Justifique.

Solução a) Consideremos a base canónica para R3:

A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas são as coordenadas de T (ei) na base {ei}:

O núcleo da transformação é dado pelo conjunto

Determinar on úcleoc onsistee mr esolver o sistema de equações Av =0 nas variáveis v. Construamos a matriz ampliada do sistema e resolvamos por condensação:

1 Transformações Lineares

Dado que rA =2 < 3 o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação 1, e a solução é da forma:

Assim, Nuc(T) tem dimensão 1 (nulidade é 1) e base b) Sabendo que

teremos, 1+d im(Im(T)) = 3 ep ortanto dim(Im(T)) = 2.

c) A transformação T é sobrejectriva se ∀w∈R3,∃v∈R3 : T (v)= w.É simples verificar que um vector genérico de Im(T) terá a forma Av,i sto é,s erá combinação linear das colunas de A. A primeira e segunda colunas de A são múltiplas entre si, logo, são linearmente dependentes. Tal significa que Im(T) terá como base, por exemplo,

.O ra, nestas

circunstâncias poderemos facilmente inferir que o vector w0 = não pode ser obtido por combinação linear dos vectores da base de Im(T), isto é, não existe um vector v tal que T (v)= w0.C onfirmemos que de facto assim é, verificandoq ue os istema Av = w0 é impossível, para o que estudaremos a matriz ampliada:

Como previsível tem-se rA =2 < 3= rA|B, isto é, o sistema é impossível.

1 Transformações Lineares

Exercício 7 Seja T uma transformação linear do espaço dos polinómios reais de grau menor ou igual a 2 na variável x, P2,e m R3,d efinida da seguinte forma:

Solução

b) A transformação inversa, T−1, existirá se a matriz da transformação T for regular. Comecemos então por determinar esta matriz: consideremos

A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas são as coordenadas de T (ei) na base {fi}:

Verificando que |A| =0 − 1+0 − (0 +1+0 ) = −2 6=0 concluímos que A ér egular ep ortanto T é invertível. A teoria ensina que a matriz da transformação inversa T−1 é precisamente a matriz A−1.U tilizando um qualquer método de inversão (por condensação ou pela matriz adjunta) conlui-se que:

escolhida para R3, a base canónica. A imagem inversa de w pode ser determinada constituindo o produto A−1w:

1 Transformações Lineares

¤T são as coordenadas na base escolhida para

Exercício 8 Seja T uma transformação linear do espaço dos polinómios reais de grau menor ou igual a 2, P2, na variável x,e ms ip róprio,d efinida por:

b) A transformação T tem inversa? Justifique.

(porque Té transformação linear)

(porque Té transformação linear) b) A transformação inversa, T−1, existirá se a matriz da transformação T for regular. Comecemos então por determinar esta matriz: consideremos

A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas são as coordenadas de T (ei) na base {fi}:

1 Transformações Lineares

Verificando que |A| =0 − 4+0 − (0 − 9 − 2) = 7 6=0 concluímos que A ér egular ep ortanto T é invertível. A teoria ensina que a matriz da transformação inversa T−1 é precisamente a matriz A−1.U tilizando um qualquer método de inversão (por condensação ou pela matriz adjunta) conlui-se que:

Exercício 9 Seja T uma transformação linear em R3 definida por:

Determine as condições que a1,a2 e a3 devem satisfazer para T admitir inversa, e obtenha a expressão de T−1.

Solução A transformação inversa, T−1, existirá se a matriz da transformação T for regular. Comecemos então por determinar esta matriz: consideremos a base

são as coordenadas de T (ei) na base {fi}:

Verificando que |A| = a1a2a3 concluímos que A é regular, e portanto T é invertível, sees ós e a1a2a3 6=0 . Deveremos portanto impor as condições a1 6=0 ∧ a2 6=0 ∧ a3 6=0 ∧. A teoria ensina que a matriz da transformação inversa T−1 ép recisamenteam atriz A−1. Utilizando um qualquer método de inversão (por condensação ou pela matriz adjunta) conclui-se que:

1 Transformações Lineares

Exercício 10 Seja T uma transformação linear de R3 em R2 definida por:

com T1 e T2 transformações lineares de R3 em R.

Mostre que T é transformação linear se e só se T1 e T2 são transformações lineares.

Solução

(=⇒) Suponhamos que T é uma transformação linear. Pretende-se mostrar que T1 e T2 são transformações lineares.

Se T é uma transformação linear teremos:

Teremos assim:

O que implica que:

Mas então T1 e T2 são transformações lineares.

1 Transformações Lineares

(⇐=) Suponhamos que T1 e T2 são transformações lineares. Pretende-se mostrar que T é uma transformação linear.

Se T1 e T2 são transformações lineares teremos:

Logo, T é uma transformação linear.

Exercício 1 Seja P2 o espaço vectorial dos polinómios de coeficientes reais de grau menor ou igual a 2. Considere a transformação linear T,d e P2 em si a) Indique, justificando, uma base para a imagem de T.

b) Determine o núcleo da transformação linear T, a sua dimensão e uma base.

Solução a) Comecemos por determinar a matriz da transformação T considerando a

A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 3×3 cujas colunas são as coordenadas de T (ei) na base {fi}:

1 Transformações Lineares

És imples verificar que um vector genérico de Im(T) teráaf orma Av,i sto é, será combinação linear das colunas de A. A primeira e segunda colunas de A são linearmente independentes enquanto a terceira é o vector nulo.

Tal significa que Im(T) terá como base, por exemplo, b) O núcleo da transformação é dado pelo conjunto:

Determinar on úcleoc onsistee mr esolver o sistema de equações Av =0 nas variáveis v. Construamos a matriz ampliada do sistema e resolvamos por condensação:

Dado que rA =2 < 3 o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação 1, e a solução é da forma:

Assim, Nuc(T) tem dimensão 1 (nulidade é 1) e base

Exercício 12 Considere o espaço vectorial real Mn (R), das matrizes quadradas de ordem n.S eja T uma transformação definida em Mn (R): T (A)= A − a) Mostre que T é uma transformação linear.

1 Transformações Lineares b) Determine o núcleo de T,as uad imensãoeu mab ase.

c) Considere n =2 . Determine a matriz que representa a transformação linear T, supondo fixada a base canónica no espaço M2 (R).

Solução a) Temos de verificar se:

Logo, T é uma transformação linear. b) O núcleo da transformação é dado pelo conjunto:

O núcleo é portanto constituído pelas matrizes reais simétricas de ordem n. Para determinar uma base e a dimensão de Nuc(T) comecemos por estudar o caso n =3 . Neste caso, uma matriz do núcleo terá a forma:

bd e ce f

1 Transformações Lineares

Poderemos escrever esta matriz como a seguinte combinação linear de matrizes:

Concluímos assim, que no caso n =3 , a nulidadeé6eab ase é constituída pelos vectores:

Poderemos facilmente inferir que, no caso geral, a nulidade será 1+2+

· · + n = n+12 e a base será constituída pelos matrizes com os seguintes elementos:

c) Consideremos então base canónica para M2 (R):

Determinemos a matriz da transformação:

1 Transformações Lineares µ· 10 µ· 01

µ· 0 µ· 0

A matriz da transformação, A, será uma matriz do tipo 4×4 cujas colunas são as coordenadas de T (ei) na base {ei}:

Solução Comecemos por determinar a matriz da transformação: consideremos a base

são as coordenadas de T (ei) na base {fi}:

Como o vector v =( 9,−4,9) se pode escrever como combinação linear da base escolhida do seguinte modo: 9·e1 +(−4)·e2 +9 ·e3, resulta que as coorde- nadas do vector v na base canónica são 9 −4

. Conclui-se que as coordenadas

1 Transformações Lineares de T (v) na base canónica se podem determinar fazendo o produto Av (v neste contexto refere-se às coordenadas e não ao vector propriamente dito):

na base canónica pelo que pode ser escrito como 106·e1 +69·e2 +(−83)·e3. Um simples cálculo permite verificar que:

a) Prove que T él inear.

b) Determine k de modo a que a transformação T admita inversa e, para esses valores, obtenha a transformação inversa T−1.

c) Considere k =0 . Determine ad imensão e umab asen on úcleo de T.

Solução

Exercício 15 Suponha que V e W são espaços vectoriais e U,T : V → W transformações lineares.

Solução

1 Transformações Lineares

Exercício 16 Seja V um espaço vectorial de dimensão finita com base α =

{v1,· ,vm} e W um espaço vectorial de dimensão finita com base β = {w1,· ,wm}. Seja T : V → W uma transformação linear. Complete a seguinte definição: A

n × m, cujos elementos satisfazem as equações

matriz da transformação T, relativa às bases α e β é uma matriz A,d o tipo

Solução

Exercício 17 Seja V um espaço vectorial de dimensão finita com base α =

{v1,· ,vm} e W um espaço vectorial de dimensão finita com base β = {w1,· ,wm}. Seja T : V → W uma transformação linear. Diga o que entende por matriz da transformação T e indique, sem provar, uma fórmula para as coordenadas da imagem T (x),x ∈ V em termos da matriz da transformação T e do vector das coordenadas do vector x.

Solução

Exercício 18 Seja A =

¸ a matriz de uma transformação T : R2 → que u1 =3 v1 + v2 e u2 =2 v1 + v2. Determine a matriz da transformação T relativamente à base β.

Solução Exercício 19 Considere a matriz da transformação linear T dada por:

a) Qual a nulidade de T? b) Determineu ma base paraon úcleod e T. c) Qual a dimensão do contradomínio de T? d) Determine uma base para o contradomínio de T.

1 Transformações Lineares

Solução

Exercício 20 Seja Pn o espaço vectorial dos polinómios de grau inferior ou igual a n de coeficientes reais, na variável x. Para qualquer p ∈ Pn,d enote-se por p0 a derivada em ordem a x do polinómio p.

a) Seja p ∈ Pn.M ostre que (x · p0 − p) ∈ Pn. b) Qual a dimensão de Pn? c) Considere a aplicação T : Pn → Pn,t al que T [p(x)] = x · p0 (x) − p(x),∀p(x)∈Pn .M ostre que T é uma transformação linear.

d) Utilizando o facto de que T (p)= x2 ¡ p

¢0 eq ue q0 =0 implica que q é uma constante, determine uma base para o núcleo de T.

e) Qual ad imensãod on úcleod e T. f) Qual a dimensão do contradomínio de T.

uma base Pn. Assumindo n =3 deter- i) Determine a matriz da tansformação T na base β = © 1,x,x2,x3,· ,xn−1ª .

j) Quais os valores próprios da transformação T? l) Considere o polinómio p(x)= c0 + c2x2 + · · + cnxn.D etermine o polinómio q,t al que T (q)= p.

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