Estatica das estruturas planas

Estatica das estruturas planas

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3 Estática das estruturas planas 3.1 Cálculo das reações vinculares - apoios

O equilíbrio estático de uma estrutura bidimensional (a estrutura considerada, as forças sobre ela aplicadas, as conexões e vínculos estão contidas no plano da figura) é dado por:

Σ FH = 0 Σ FV = 0 e Σ M(i) = 0 Sendo i um ponto qualquer da estrutura.

Veja a figura abaixo.

Σ FH = 0 Não existem forças horizontais aplicadas, portanto RHC = 0. Σ FV = 0 As forças verticais atuantes são FA = 5 kN e FB = 10 kN, portanto RVC = 15 kN

Σ M(i) = 0

Para qualquer ponto da estrutura, os momentos a esquerda e à direita deste ponto, deverão ser de mesma intensidade e sentidos opostos, i é, sua soma deve ser nula.

Σ M(C) = 0 5 x 4 = 10 x 2 20 (anti-horário) = 20 (horário)

Isto vale para qualquer ponto da estrutura, más, alguns pontos oferecem algumas facilidades, por exemplo, a somatória dos momentos no ponto C, não considera a reação RVC pois esta está aplicada no ponto C e portanto seu braço é nulo. O ponto D, ao contrário, considera todas as forças aplicadas na estrutura.

Σ M(D) = 0 5 x 1 = (10 x 5) – (15 x 3) 5 (anti-horário) = 5 (horário)

4,0 m2,0 m

A D C B 5 kN 10 kN

1,0 m ΣFH = 0

C Me Md

F1F2

ΣFV= 0 ΣM(i) = 0

3.1.2 Cálculo das reações de apoio Determinar as reações de apoio para as vigas representadas abaixo

A figura abaixo mostra uma Viga Gerber. São três vigas, sendo que a central é apoiada nas extremidades dos balanços das outras duas. Como devem ser os apoios E e F? Determine todas as reações.

ℓ/2 P x A ℓ B x A a) b) c) ℓ B kℓ d) e) f)

Kℓ g) h) i) j) p = 12 kN/m

A 2,0 m B p = 15 kN/m P = 20 kN

60º P = 20 kN

1, 0 m p = 12 kN/m p = 12 kN/m

A B C D E F 1,2 m 4,0 m 3,0 m

Nas treliças os nós são articulações perfeitas, sem força de atrito, as forças são aplicadas apenas nos nós e, as barras transmitem apenas esforços normais. Para o equilíbrio do nó devem ser satisfeitas as seguintes equações:

Σ Fx = 0 e Σ Fy = 0 Exemplo 01:

tg β = 3/3 = 1 tg α = 3/3 = 1 α = β = 45º sen 45º = cos 45º = 0,7071 Reações:

Σ M(A) = 0 0 = RVCx3 - 1000x3 RVC = 1000 Σ Fx = 0 0 = RHA + 1000 RHA = -1000

Σ Fy = 0 0 = RVA + RVC RVA = -1000 Equilíbrio dos nós (+) Tração (-) compressão

Σ FH = 0 = 1000 + RBC sen β FBC = -1000 / sen β FBC = - 1414,2 N

Σ FV = 0 = RBA + FBC cos β FAB = - FBC cos β = 1000 N Nó C

Σ FV = 0 = RVC + FCB sen α FCB = - RVA / sen α = -1414,2 N ok!!!!!!

Σ FH = 0 = FCA + FCB cos α FCA = - FBC cos α = 1000 N Nó A

Σ FV = 0 = RVA + FAB FAB = - RVA = 1000,0 N ok!!!!!! Σ FH = 0 = RHA + FAC FAC = - RBA = 1000,0 N ok!!!!!!!

3, 0 m

3, 0 m

RHA3,0 m RVCRVA

B 1000 N

Solução Final

Observe que foi feito equilíbrio dos nós. Se a barra é tracionada ela comprime o nó e vice-versa. Assim, uma força de tração no nó implica em uma de tração na barra, com mesma intensidade e direção.

Exemplo 02: Calcular a treliça abaixo Reações de apoio

Σ M(A) = 0 = (-1000x3)+(-500x2,5981)+RVDx6RVD = 716,51 N
Σ Fx = 0 = RHA + 500 = 0RHA = -500 N

Σ Fy = 0 = RVA + RVD - 1000 = 0 RVA = -716,51 + 1000 RVA = 283,49 N

Equilíbrio dos nós Nó A

Σ Fy = 0 = RVA + B2 sen60º B2 = - 327,35 Σ Fx = 0 = RHA + B2 cos60º+B1 B1 = +500+163,68 = 663,68

Σ Fy = 0 = B2 sen30º + B3 sen30º B3 = -B2 = + 327,35 Σ Fx = 0 = -B2 cos60º + B4+ B3 cos60º B4 = 2x(-327,35x0,5) = -327,35

FBC = FCB = - 1414,2 N Compressão na barra

FAB = FBA = 1000,0 N Tração na barra

FAC = FCA = 1000,0 N Tração na barra

H B1

D 3,0 m

3,0 m

B2 B3 B4

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