Cálculo e Geometria Analítica IA - Resolução Exame Geral 2003-1

Cálculo e Geometria Analítica IA - Resolução Exame Geral 2003-1

Mat01353 - Calculo e Geometria Analıtica I-A Solucao do Exame Geral - 2003/1

Questao 1. (1.0 ponto) Calcule

(a) dy

(b) dy

Solucao : (a)

(b)

ou ainda dy

Questao 2. (1.5 pontos) Calcule as tres integrais abaixo:(a)

∫ dx

∫ du onde

(B) Decomposicao em Fracoes Parciais

(C) Integracao por Partes:

Questao 3. (2.0 pontos) Seja R a regiao hachurada ao lado (abaixo), limitada pelo grafico de x = 4 − y2 e x = 3. (a) Calcule a area de R. (b) Escreva (nao calcule) a integral quqe expressa o volume do solido obtido quando rodamos a regiao R em torno do eixo y.

(b)

Questao 4. (2.0 pontos)

(a) Determine a equacao da reta tangente ao grafico de f(x) = x2 + 3

de abscissa 1. (b) Considere a conica de equacao 9x2 + 4y2 − 36x − 8y + 4 = 0. Determine sua equacao canonica, seus elementos principais (focos, vertices,...) e classifique-a.

Solucao (a)

e entao

Eixo principal e paralelo ao eixo dos Y . Centro tem coordenadas C(2,1).

Questao 5. (1.5 pontos)

Uma area retangular com 216m2 sera cercada e dividida em duas partes iguais por uma cerca paralela a um de seus lados. Quais as dimensoes do retangulo externo que exigirao a menor quantidade total de cerca ? Quantos metros de cerca serao necessarios ?

Solucao : x e y sao as dimensoes , cerca divisoria tem dimensao x. A = 216m2 area do retangulo externo. Q e a quantidade de cerca (em metros).

e temos que minimizar a quantidade

Temos

Alem disso,

As dimensoes que exigirao a menor quantidade de cerca sao x = 12m e y = 216/12 = 18m. Serao necessarios 3(12) + 2(18) = 72 metros de cerca.

(b) os intervalos de crescimento e os de decrescimento de f, (c) os pontos de maximo ou mınimo local de f, caso existam, (d) as assıntotas horizontais e as verticais, caso existam.

Solucao : (a) D(f) = (0,+∞) pois x dever ser positivo por causa do logaritmo e nao -nulo porque x2 e denominador. (b)

(c) Pelo teste da derivada primeira e a pela parte (b), x = √ e e ponto de maximo local de f. (d) Assintotas verticiais: como a funcao f(x) e contınua em sem domınio, assintotas podem ocorrer em x = 0 ou ao x → +∞.

e como temos uma indeterminacao do tipo ∞/∞:

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