Cálculo e Geometria Analítica IA - Resolução Exame Geral 2003-2

Cálculo e Geometria Analítica IA - Resolução Exame Geral 2003-2

Mat01353 - C alculo e Geometria Anal tica I-A Solu c~ao do Exame Geral - 2003/2

Quest~ao 1. (2.0 pontos) Calcule (a) Determine a equa c~ao da reta tangente a curva de equa c~ao xcos( y)+2y−1 = 0 no ponto (1;1). (b) Determine, se existir, um valor positivo para a 2 R que torna a fun c~ao

cont nua em x = a. Justi que sua resposta.

dx +2 dy

No ponto (1;1), a quantidade acima nos d a o coe ciente angular da reta tangente:

(b) Limites laterais:

e assim

e o valor positivo de a e igual a 3=2. Quest~ao 2. (1.5 pontos) Calcule DUAS das tres integrais abaixo. Indique clara- mente quais dever~ao ser corrigidas.(a) ∫ √

Solu c~ao : (a) Substitui c~ao trigonom etrica: evitando zero no denominador, onde p e assim Z p

(b) Decomposi c~ao por Fra c~oes Parciais:

assim

onde C e qualquer n umero real. (c) Integra c~ao por Partes:

e assimZ

onde C e qualquer n umero real.

Quest~ao 3. (1.5 pontos)

(a) Determine a area da regi~ao limitada pela curva y = p x e pelas retas x = 4 e y = x=4. (b) Calcule o volume do s olido gerado pela rota c~ao em torno do eixo X da regi~ao que est a hachurada no gr a co da elipse ao lado (abaixo).

y = −x/4 y = sqrt(x) x=4 x

2xp x

(b) Equa c~ao da elipse:

Assim

unidades de volume.

x y y = 0 AH

Quest~ao 5. (1.5 pontos) Resolva DUAS das tres quest~oes abaixo. Indique claramente quais dever~ao ser corrigidas.

px dx:

(c) Calcule dF

Solu c~ao : (a) Temos uma indetermina c~ao do tipo 1 0.

sen(1=x)

1=x

(b) Integral Impr opria. Z +1

dx = lim px dx

substitui c~ao :

dx2p x e−p x px dx =

Z p L p L

(c) Teorema Fundamental do Calculo + Regra da Cadeia

Quest~ao 6.(2.0 pontos) (a) Determine a area do maior retangulo que pode ser inscrito em um c rculo de area 4 . Justi que sua resposta, mostrando que realmente temos um m aximo absoluto no intervalo apropriado. (b) Uma prancha de 10m est a apoiada em uma parede. Se, em um certo instante, a sua base est a afastada 6 metros da parede e a base est a sendo empurrada em dire c~ao a parede a uma taxa de 2m=s, qual e a taxa de varia c~ao instantanea do angulo agudo que a prancha faz com o solo neste instante ? (Deixe a resposta em rad/s) O angulo est a crescendo ou decrescendo nesse instante ?

y x

Maximizar: A = xy

de nida para 0 x 4 (lado do retangulo n~ao pode exceder sua diagonal). Procuramos por m aximo absoluto no intervalo fechado [0;4].

e ent~ao x = 2p 2 e o ponto de m aximo absoluto em [0;4]. A area do maior retangulo

(b)

10 x y theta

Dados: num certo instante, quando x = 6, dx=dt = 2m=s. Determinar: d =dt neste instante.

ddt h x10

dt =

110dx dt onde

5 e ent~ao , neste instante,

A taxa de varia c~ao pedida e de 1=4 rad=s (radianos por segundo). O angulo est a crescendo neste instante.

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